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北京市第八十中学 2025-2026 学年高三上学期 10 月月考
数学试卷
一、单选题
1．已知集合 A 1,3 ，B 2, 1,0,1,2,3 ，则 A B （ ）
A． 1,3 B． 1,0,1,2 C． 0,1, 2,3 D． 1,0,1,2,3
2．下列函数中，既是偶函数，又在 0, 上单调递增的是（ ）
A． f x x B． f x ex C． f x 1
x2
D． f x ln x
3．若 a b 0，则下列不等式成立的是（ ）
2 b aA． ab b B． C． 1 1 D． a2a b a b b
2
π
4．要得到函数 y sin 2x 的图象，只需将 y sin2x的图象（ ）
3
π π
A．向右平移 个单位 B．向右平移 个单位
6 3
π π
C．向左平移 个单位 D．向左平移 个单位
6 3
5．已知 x 1，且 x y 1，则（ ）
1 1
A． x y有最大值 B．
x
y有最小值
1 1
C． x - y有最大值 D．
x -
y 有最小值
6．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少 50%，若要使水
中杂质减少到原来的 5%以下，则至少需要过滤（ ）
（参考数据： lg 2 0.3010）
A．2次 B．3次 C．4次 D．5次
7．在平面直角坐标系 xOy中，角 与角 均以Ox为始边，它们的终边关于 x轴对称.若
π , π

，则 cos 的最大值为（ ）
3
A 0 B 1 C 3． ． 2 ． D．12
8．在等比数列 an 中， an 0 a a a0 ．则“ n0 n0 1”是“ n0 1 an0 3 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
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9．在正方体 ABCD A B C D 中，E为棱DC上的动点，F 为线段 B E的中点.给出下列四个
① B E AD ；
②直线D F与平面 ABB A 所成角不变；
③点 F 到直线 AB的距离不变；
④点 F 到 A,D,D ,A 四点的距离相等.
其中，所有正确结论的序号为（ ）
A．②③ B．③④
C．①③④ D．①②④

10．已知V ABC中， AB 4，AC 2，且 | AB (2 2 )AC|（ R）的最小值为 2 3，若

P为边 AB上任意一点，则 PB PC的最小值为（ ）
3 9
A．0 B． C D 3 3． ．
2 4 2
二、填空题
11．若复数 z满足 z i 1 2i，则 z的虚部为 .
12．已知 an 是等比数列，且公比为 q，Sn为其前 n项和，若 a2是 a1、S2的等差中项，S4 15，
则 q ， a1 .
π
13．已知函数 f (x) sin(x )(0 2π)．若 f (x)在区间 , π 上单调递减，则 的一个 3
取值可以为 ．
14．已知函数 f x 的定义域为R ，且对任意的 x R 都满足 f 1 x f 1 x .当 x 1时，
f x lnx, 0 x 1, ex 若函数 g x m x 2, x 0. 与 f x 的图像恰有两个交点，则实数m的取值
范围是 .
1 k
15．已知无穷数列 an 的前 n项和 Sn满足 Sn an ，其中 k为常数，且 S1 0．给出2 an
下列四个结论：
试卷第 2页，共 4页
①实数 k 0；
2
②数列 Sn 为等差数列；
③当 a1 1时，对任意M 0，存在 n0 0，当 n n0时， an M ；
④当 an 0恒成立时， an 一定为递减数列．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
16．已知函数 f x 2asinxcosx 2cos2 x π的一个零点为 ．
6
(1)求 a的值及 f x 的最小正周期；
(2)若m f x M对 x [0, π]恒成立，求m的最大值和M 的最小值．
2
17．如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E为BB1的中点.
(1)求证： BC1 //平面 AD1E；
(2)求直线 AA1与平面 AD1E所成角的正弦值；
(3)若正方体的棱长为 2，求点 A1到平面 AD1E的距离.
18 3．在V ABC中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c， A为钝角，a 7，sin 2B b cos B．
7
(1)求 A；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得V ABC存在，求V ABC
的面积．
13 5
条件①：b 7；条件②： cos B ；条件③： c sin A 3．
14 2
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0分；如果选择多个符合要求的条件分别解
答，按第一个解答计分．
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e
19．已知函数 f x ln x， g x
x
(1)直接写出曲线 y f x 与曲线 y g x 的公共点坐标，并求曲线 y f x 在公共点处的
切线方程；
(2)已知直线 x a分别交曲线 y f x 和 y g x 于点 A，B .当 a 0,e 时，设△OAB的面
积为 S a ，其中 O是坐标原点，求 S a 的最大值.
20 ax．已知函数 f x x 2 e b，曲线 y f x 在 0, f 0 处的切线方程为 y 3x 3 .
(1)求 a，b的值：
(2)①求证： f x 只有一个零点；
②记 f x 的零点为 x0，曲线 y f x 在 u, f u 处的切线 l与 x轴的交点横坐标为x1 .若
x1 x0，求 u的取值范围.
21．已知数列 an , bn 的项数均为 m (m 2)，且 an ,bn {1,2, ,m}, an , bn 的前 n项和分
别为 An ,Bn，并规定 A0 B0 0．对于 k 0,1, 2, ,m ，定义
rk max i∣Bi Ak , i {0,1,2, ,m} ，其中，maxM表示数集 M中最大的数.
(1)若 a1 2,a2 1,a3 3,b1 1,b2 3,b3 3 ，求 r0 , r1, r2 , r3的值；
(2)若a1 b1，且 2rj rj 1 rj 1, j 1, 2, ,m 1,，求 rn；
(3)证明：存在 p,q, s, t 0,1, 2, ,m ，满足 p q, s t, 使得 Ap Bt Aq Bs．
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C A B D B B C C
11． 1
12． 2；1.
π
13． （不唯一）
2
14．m 0或m e
15．①②④
π π π
16 2 3 3．（1）由题设 2asin cos 2cos 0，化简得 a 0
6 6 6 2 2
解得 a 3．
故 f x 2 3sinxcosx 2cos2x 3sin2x cos2x 1 2sin(2x π ) 1
6
则 f x 的最小正周期为 π；
0 x π π 2x π 5π（2）由 ，可得 ．
2 6 6 6
1
故得 sin(2x
π
) 1 π，即 2 2sin(2x ) 1 1．
2 6 6
2x π π当 x π，即 时， f x 取得最大值 1；
6 2 3
2x π π当 ，即 x 0时， f x 取得最小值 2．
6 6
由m f x M对 x [0, π]恒成立，可得m 2，且M 1．
2
即m的最大值是 2，M 的最小值是 1．
17．（1） AB//C1D1, AB C1D1 ，
平面 ABC1D1为平行四边形，BC1 //AD1，
Q AD1 平面 AD1E， BC1 平面 AD1E，
BC1 //平面 AD1E．
（2）设正方体边长为 2，以 A为原点，AD为 x轴，AB为 y轴，AA1为 z轴，建立如图所示
空间直角坐标系，
答案第 1页，共 7页
则 A 0,0,0 ,D1(2,0,2),E 0,2,1 , A1 0,0,2 ，

AD1 2,0,2 ,AE 0,2,1 ,AA1 0,0,2 ，
AD E 设平面 1 的法向量为n x, y, z ，

AD

1 n 0 2x 2z 0
则 2y z 0 ，令 z 2，则
x 2, y 1，
AE n 0

n 2,1, 2 ，

设直线 AA1与平面 AD1E所成角为 ，则 sin cos n
, AA n AA1 4 2 1 ．n AA 2 3 31
（3） 正方体棱长为 2，同（2）中假设，

AD1 2,0,2 ,AE 0,2,1 ,AA1 0,0,2 ，平面 AD E

1 的法向量 n 2,1, 2 ，
n

AA1 4 4
点 A1到平面 AD1E的距离 d n
．
22 12 2 2 3
18．（1）由题意得 2sinB cosB 3 b cosB，因为 A为钝角，
7
b 2 a 7
cosB 0 2sin B 3

则 ，则 b，则 sin B 3 sin A sin A ，解得 sin A 3 ，
7 7 2
2π
因为 A为钝角，则 A 3 .
b 2π （2）选择① 7 sin B 3 b 3 7 3，则 ，因为 A ，则 B为锐角，则B ，
14 14 2 3 3
此时 A B π，不合题意，舍弃；
13 2
选择② cos B B sin B 1 13 3 3，因为 为三角形内角，则 ，14 14 14
答案第 2页，共 7页
则代入 2sin B 3 b 3 3 3 得2 b，解得b 3，
7 14 7
sinC sin A B sin 2π B sin 2π cosB cos
2π
sin B
3 3 3
3 13 1 3 3 5 3 ,
2 14 2 14 14
1 1
则 S ABC absinC 7 3
5 3 15 3
.
2 2 14 4
c sin A 5 3 5选择③ 3，则有 c 3，解得c 5，2 2 2
a c 7 5 5 3
则由正弦定理得 ，即 3 sinC ，解得
sin A sinC sinC
，
2 14
2
5 3 11
因为C为三角形内角，则 cosC 1 ，
14

14
则 sin B sin A C sin 2π C 2π 2π 3 sin cosC cos sinC 3 3
3 11 1 5 3 3 3
，
2 14 2 14 14
S 1 ac sinB 1 7 5 3 3 15 3则 △ABC 2 2 14 4
e
19．（1）由 f x g x 即 ln x 可得 x e，所以 f e ln e 1，
x
所以公共点坐标为 e,1 ，
1 1
因为 f x ，所以在公共点处切线的斜率为 f e ，
x e
所以曲线 y f x 在公共点处的切线方程为 y 1 1 x e ，即 y x
e e
1 1 e
（2）△OAB的面积为 S a AB a lna a ，
2 2 a
因为 a 0,e e e，所以 1， ln a 1，所以 ln a，
a a
S a 1 e ln a a e 1所以 a ln a， a 0,e 2 a 2 2
S a 1 1 ln a ，
2
由 S a 0 1即1 ln a 0可得 0 x ；由 S a 0即1 ln a 0 1可得 x e；
e e
所以 S a 在 0,
1 1
上单调递增，在 ,e

上单调递减，
e e
答案第 3页，共 7页
1 e 1 1
所以 S a S ln
1 e 1

max ， e 2 2 e e 2 2e
1
所以当 a 时， S a e 1的最大值为 .
e 2 2e
20．（1）由题意知， f (x) eax aeax (x 2) eax (ax 1 2a)，
所以曲线 y f (x)在 x 0处的切线的斜率为 f (0) 1 2a ，
又曲线 y f (x)在 x 0处的切线方程为 y 3x 3，
f (0) 1 2a 3 a 2
所以 ，解得
f (0) 2 b 3

b
；
1
（2）①：由（1）知， f (x) (x 2)e2x 1, f (x) e2x (2x 3)，
令 f (x) 0 x
3
, f (x) 0 x 3 ，
2 2
f (x) ( 3 3所以函数 在 , )上单调递减，在 ( , )上单调递增，
2 2
所以 f (x) f (
3
min ) (
3
2)e 3 1 1 e 3 1 0 ，
2 2 2
x 2 f (x) 0 x 2.1 f (2.1) e
4.2
且当 时， ，当 时， 1 0 ，
10
所以函数 f (x)在 R 上存在唯一 x0，使得 f (x0) 0，
即函数 f (x)在 R 上存在唯一零点.
②：由①知，切线 l的斜率为 f (u) e2u (2u 3)，又 f (u) (u 2)e 2u 1，
所以 l : y (u 2)e2u 1 e2u (2u 3)(x u)，
答案第 4页，共 7页
1 (u 2)e 2uy 0 x 1 2u
2 4u 2
令 ，得 1 e2u
u 2u (2u ， 3) e (2u 3) 2u 3
1 2u2g(u) 4u 2 g (u) 4(u 1)[(u 2)e
2u 1] 4(u 1) f (u)
设 e2u

(2u 3) 2u 3 ，则

e2u (2u 3)2 e2u (2u 3)2 ，
3 3
令 g (u) 0 1 u 或 u x0， g (u) 0 u 1或 u x0，2 2
3 3
所以函数 g(u)在 (1, )和 ( , x0)上单调递减，在 ( ,1)和 (x0 , )上单调递增，2 2
u 3
1
当 时， g(u) g(1) 2 0 ，即 x1 0，由①知 x0 (2, 2.1)，故不符合题意；2 e
3
当u 时，由 (x 2)e 2x0 1 0 ，得
2 0
1 2x20 4x0 2 x0 2 2x
2
0 4x 2g(u) g(x0)
0 x
(2x0 3)e
2x0 2x0 3 2x0 3 2x0 3
0 ，
即 x1 x0，符合题意，
3
故实数u的取值范围为 ( , ) .
2
21．（1）由题意可知： A0 0,A1 2,A2 3,A3 6,B0 0,B1 1,B2 4,B3 7 ，
当 k 0时，则 B 0 A0 0, B i A0 , i 1, 2 , 3 ，故 r0 0；
当 k 1时，则 B 0 A1 , B1 A1 , B i A1 , i 2 , 3，故 r1 1；
当 k 2时，则 Bi A2 , i 0,1,B2 A2 ,B3 A2 ,故 r2 1；
当 k 3时，则 Bi A3, i 0,1,2,B3 A3，故 r3 2；
综上所述： r0 0， r1 1， r2 1， r3 2 .
（2）由题意可知： rn m ，且 rn N ，
因为 a n 1, bn 1，且 a1 b1，则 An B1 B0对任意 n N*恒成立，
所以 r0 0,r1 1，
又因为 2 ri ri 1 ri 1，则 ri 1 ri ri ri 1 ，即 rm rm 1 rm 1 rm 2 r1 r0 1，
可得 ri 1 ri 1，
反证：假设满足 rn 1 rn 1 的最小正整数为1 j m 1，
当 i j时，则 ri 1 ri 2；当 i j 1时，则 ri 1 ri 1，
则 rm rm rm 1 rm 1 rm 2 r1 r0 r0 2 m j j 2m j，
答案第 5页，共 7页
又因为1 j m 1，则 rm 2m j 2m m 1 m 1 m，
假设不成立，故 rn 1 rn 1 ，
即数列 rn 是以首项为 1，公差为 1的等差数列，所以 rn 0 1 n n,n N .
（3）因为 an ,bn均为正整数，则 An , Bn 均为递增数列，
（ⅰ）若 Am Bm，则可取 t q 0，满足 p q, s t, 使得 Ap Bt Aq Bs；
（ⅱ）若 Am Bm ，则 rk m，
构建 Sn Br An,1 n m，由题意可得： Sn 0，且 Sn为整数，n
反证，假设存在正整数K，使得 SK m，
则 Br AK m, Br 1 AK K K 0，可得brK 1 Br 1 BK r K Br 1 AK Br A m ，K K K
这与br 1 1,2, ,m 相矛盾，故对任意1 n m,n N ，均有 S n 1 m .K
①若存在正整数 N，使得 SN Br AN 0，即 AN BN r ，N
可取 t q 0, p N ,s rN ，
满足 p q, s t，使得 Ap Bt Aq Bs；
②若不存在正整数 N，使得 S N 0 ，
因为 Sn 1, 2, , m 1 ，且1 n m，
所以必存在1 X Y m，使得 SX SY ，
即 Br AX Br AY ，可得 AY Br A BX Y X X rY ，
可取 p Y , s rY ,q X , t rX ，
满足 p q, s t，使得 Ap Bt Aq Bs；
（ⅲ）若 Am Bm，
定义 Rk max ∣i Ai Bk , i 0,1, 2, ,m ，则 Rk m，
构建 Sn AR Bn ,1 n mn ，由题意可得： Sn 0，且 Sn为整数，
反证，假设存在正整数K ,1 K m，使得 SK m，
答案第 6页，共 7页
则 AR BK m, AR 1 BK K K 0，可得aR 1 AK RK 1 AR K ARK 1 BK AR BK m，K
这与 aR 1 1,2, ,m 相矛盾，故对任意1 n m,n N ，均有 S n 1 m .K
①若存在正整数 N，使得 SN AR BN 0，即 A BN RN N，
可取 q t 0,s N , p R N ，
即满足 p q, s t，使得 Ap Bt Aq Bs；
②若不存在正整数 N，使得 S N 0 ，
因为 Sn 1, 2, , m 1 ，且1 n m，
所以必存在1 X Y m，使得 SX SY ，
即 AR B A BX X RY Y ，可得 AR BX AR BY X Y ，
可取 p RY ,t X ,q RX ,s Y ，
满足 p q, s t，使得 Ap Bt Aq Bs .
综上所述：存在0 q p m, 0 t s m使得 Ap Bt Aq Bs．
答案第 7页，共 7页

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