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2025-2026学年新疆乌鲁木齐四十一中高三（上）第二次月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { | 1 ≤ ≤ 2}， = { |2 ≤ 1}，则集合 ∩ =( )
A. [ 1,1] B. [0,2] C. [ 1,0] D. [1,2]
2.已知 ∈ ，则“ = 1”是“ = 0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件
3.已知函数 ( ) = + ，则 ( ) =( )
A.是偶函数，且在(0, + ∞)上是增函数 B.是偶函数，且在(0, + ∞)上是减函数
C.是奇函数，且在(0, + ∞)上是增函数 D.是奇函数，且在(0, + ∞)上是减函数
4.函数 ( ) = ln| 1 1+ |的大致图象为( )
A. B.
C. D.
5 + .若 = 2，则 2 =( )
A. 3 3 3 34 B. 4 C. 5 D. 5
6 .已知 ， ∈ (0, 2 )，cos( + ) =
5
13， + = 3，则 cos( ) =( )
A. 13 B.
7
13 C.
4
7 D. 1
7.已知函数 ( ) ( ) ( )为定义在 上的偶函数， 1， 2 ∈ (0, + ∞)， 1 < ， 1 2 2 12 < 2，且 (1) = 2，2 1
(0) = 0，则不等式 ( ) > 2 的解集为( )
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A. [ 1,1] B. ( 1,0) ∪ (0,1)
C. ( 1,0) ∪ (1, + ∞) D. ( 1,1)
|lg( )|, < 0
8.已知函数 ( ) = 23 若关于 的函数 = [ ( )] ( ) + 1 有 8 个不同的零点，则实数 6 + 4, ≥ 0
的取值范围为( )
A. (2,8) B. [2, 174 ) C. (2,
17
4 ] D. (2,8]
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中假命题的是( )
A.命题“ ∈ ， 2 + ≥ 0”的否定是： 20 ∈ ， 0 + 0 < 0
B.设 ∈ ，则“2 ≥ 0”是“| 1| ≤ 1”的充分而不必要条件
C. 1 1若 + = 1，则 + 的最小值为 4
D.若 = ( + 1)的定义域是[1,2] ( )，则函数 ( ) = ln( 2)的定义域为(2,3]
10.在直角坐标系内，由 ， ， ， 四点所确定的“ 型函数”指的是三次函数 ( ) = 3 + 2 + +
( ≠ 0)，其图象过 ， 两点，且 ( )的图象在点 处的切线经过点 ，在点 处的切线经过点 .若将由 (0,0)，
(1,4)， (3,2)， (4,0)四点所确定的“ 型函数”记为 = ( )，则下列选项正确的是( )
A.曲线 = ( )在点 处的切线方程为 = 2 + 8
B. ( ) = 18 ( 4)( 8)
C.曲线 = ( )关于点(4,0)对称
D.当 4 ≤ ≤ 6 时， ( ) ≥ 0
11 3.已知定义在 上的函数 ( )满足 ( ) = ( + 2 ), ( 1) = 1, (0) = 2 (
3
，且 4 )为奇函数，则( )
A. ( )为奇函数 B. ( )为偶函数
C. ( )是周期为 3 的周期函数 D. (0) + (1) + … + (30) = 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知正数 ， 满足( 1)( 2) = 4，则 + 4 的最小值为______．
13.已知 cos( 3 8 + ) =
1
4，则 cos(2

4 ) =______．
14.已知 ( )是定义域为(0, + ∞)的函数，且满足 ( ) + ′( ) = ， (1) = 2，则不等式 ( ) ≤ log3
的解集是______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 + 3 = 0．
(1)求 ；
(2)若 = 2， = 5，角 的平分线交 于点 ，求 ．
16.(本小题 15 分)
已知数列{ }的前 项和为 ， 1 = 2，当 ≥ 2 时， 2 1 = 2；{ }是等差数列， 1 = 2， 5 = 6．
(1)求{ }，{ }的通项公式；
(2) 记 1 2 3 = + + + +
，求 ． 1 2 1
17.(本小题 15 分)
已知三棱台 1 1 1 ， = = 2 1 = 2 1 1 = 4，∠ 1 = 60°，∠ = 90°， 1 ⊥ ，
为线段 的中点．
(1)证明： ⊥ 1 ；
(2)求直线 与平面 1 1 所成角的正弦值；
(3)试判断在线段 上是否存在一点 (点 不与 、 重合) ，使二面角 1 1 为 30°？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
18.(本小题 17 分)
某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格
品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有
产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为 (0 < < 1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．
(1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 ( )，求 ( )的最大值点 0．
(2)现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以(1)中确定的 0作为 的值．已知每件产品的检
验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用．
( )若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ，
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求 ( )；
(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 1 + ．
(1)当 = 时，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若 ( ) ≥ 1，求 的取值范围．
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答案解析
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.17
13.78
14.(0, 3]
15.解：(1)由已知及正弦定理得 + 3 = 0，
因为 = ( + )，则 = sin( + ) = + ，
所以 3 = 0，即( 3 1) = 0．
又 > 0，所以 3 1 = 0 1，即 sin( 6 ) = 2，
因为 ∈ (0, ) ∈ ( 5 ，所以 6 6 , 6 )，
所以 = 6 6，得 = 3．
(2)因为 是角 的角平分线，
所以 △ = △ + △ ，
1 1 1
即2 = 2 sin 2 + 2 sin 2，
结合(1) 1 1得2 × 2 × 5 × sin 3 = 2 × 5 × × sin
+ 16 2 × 2 × × sin

6，
10 3
解得 = 7 ．
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16.(1)由 ≥ 2 时， 2 1 = 2①，则当 = 2 时，可得 1 + 2 2 1 = 2，将 1 = 2 代入，解得 2 = 4，
当 ≥ 3 时， 1 2 2 = 2②，由① ②，可得 2 1 = 0，即 = 2 1( ≥ 3)，
因 2 = 2 1 = 4，故数列{ }为等比数列，其首项为 1 = 2，公比为 2，
故 = 2 ；
设等差数列{ }的公差为 ，由 1 = 2， 5 = 2 + 4 = 6，解得 = 1，
故 = + 1．
(2) 2 3 4 +1由题意可得 = 2 + 2 1 + 2 2 + + 2 ③，
2 = 2 3 4 则 2 1 + 2 2 + 2 3 + + 2 + ( + 1)④，
由③ ④，可得 = 2 1 1 1 2 + 2 1 + 2 2 + + 2 ( + 1)
2 1 1 1 1
= 2 + 2 + 2 + + 2 + 1 ( + 1)2 2 2
1
2 2(1
1
= 2 1
)
2 + ( + 1) = ，1 12
故得 = ．
17.解：(1)证明：∵ ∠ = 90°，∴ ⊥ ，
∵ 1 ⊥ ， 1 ∩ = ，
∴ ⊥平面 1 1，
∵ 1 平面 1 1，∴ ⊥ 1E.
(2)过点 作 1 ⊥ 于 ，
∵ ⊥平面 1 1， 1 平面 1 1，
∴ ⊥ 1 ，
∵ ∩ = ，∴ 1 ⊥平面 ，
以 为原点，在平面 中，过 作 的垂线为 轴， 为 轴， 1为 轴，建立空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， 1(0,0, 3)， (0,1,0)， 1，0)， (4, 1,0)， 1(2,0, 3)，
1 1 = (2,0,0)， 1 = (0,1, 3)， = ( 4,2,0)，
设平面 1 1 的法向量 = ( , , )，
1 1 = 2 = 0则 ，取 = 1，得 = (0, 3, 1)，
1 = 3 = 0
设直线 与平面 1 1 所成角为 ，
| | 2 3 15
则直线 与平面 1 1 所成角的正弦值 = | | | = = ． | 2×2 5 10
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(3)存在点 ，使二面角 1 1 为 30°，
设 = = ( 4,4,0) = ( 4 , 4 , 0)(0 < < 1)，
∴ 1 = 1 + = (2, 1, 3) = ( 4 , 4 , 0) = (2 4 , 4 1, 3)，
设平面 1 1 的法向量 = ( , , )，
1 1 = 2 = 0则 ，取 = 3，得 = (0, 3, 4 1)，
1 = (2 4 ) + (4 1) 3 = 0
∵平面 1 1 的法向量 = (0, 3, 1)，二面角 1 1 为 30°，
∴ 30° = | | = |3+4 1| 3| =| | | ，2 3+(4 1)2 2
4 2 5 + 1 = 1整理得 ，解得 4或 = 1(舍)，
∴ 1存在点 ，且 = 4时，使二面角 1 1 为 30°．
18.解：(1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 ( )，
则 ( ) = 2 220 (1 )18，
∴ ′( ) = 2 18 220[2 (1 ) 18 (1 )17]
= 2 220 (1 )17(1 10 )，
令 ′( ) = 0，得 = 0.1，
当 ∈ (0,0.1)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
当 ∈ (0.1,1)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
∴当 = 0.1 时， ( )取得极大值，也为最大值，
则 ( )的最大值点 0 = 0.1．
(2)( )由(1)知 = 0.1，
令 表示余下的 180 件产品中的不合格品数，
依题意知 ～ (180,0.1)，
= 20 × 2 + 25 ，即 = 40 + 25 ，
∴ ( ) = (40 + 25 ) = 40 + 25 ( )
= 40 + 25 × 180 × 0.1 = 490；
( )如果对余下的所有产品作检验，
则这一箱产品所需要的检验费为 400 元，
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∵ ( ) = 490 > 400，
∴应该对余下的所有产品进行检验．
19.解：(1)当 = 时， ( ) = + 1，
∴ ′( ) = 1 ，
∴ ′(1) = 1，
∵ (1) = + 1，
∴曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 ( + 1) = ( 1)( 1)，
当 = 0 2时， = 2，当 = 0 时， = ，
1
∴曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积 = 12 × 2 ×
2 2
1 = 1．
(2)方法一：由 ( ) ≥ 1，可得 1 + ≥ 1，即 1+ + ≥ 1，
即 1+ + + 1 ≥ + = + ，
令 ( ) = + ，
则 ′( ) = + 1 > 0，
∴ ( )在 上单调递增，
∵ ( + 1) ≥ ( )
∴ + 1 ≥ ，
即 ≥ + 1，
令 ( ) = + 1，
∴ 1 1 ′( ) = 1 = ，
当 0 < < 1 时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增，
当 > 1 时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减，
∴ ( ) ≤ (1) = 0，
∴ ≥ 0，
∴ ≥ 1，
故 的范围为[1, + ∞)．
方法二：由 ( ) ≥ 1 可得 1 + ≥ 1， > 0， > 0，
即 1 1 ≥ ，
设 ( ) = 1，
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∴ ′( ) = 1 > 0 恒成立，
∴ ( )在(0, + ∞)单调递增，
∴ ( ) > (0) = 1 0 1 = 0，
∴ 1 > 0，
即 > + 1，
再设 ( ) = 1 ，
∴ ′( ) = 1 1 1 = ，
当 0 < < 1 时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减，
当 > 1 时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增，
∴ ( ) ≥ (1) = 0，
∴ 1 ≥ 0，
即 1 ≥
∴ 1 ≥ ，则 1 ≥ ，
此时只需要证 ≥ ，
即证 ( 1) ≥ ，
当 ≥ 1 时，
∴ ( 1) > 0 > 恒成立，
当 0 < < 1 时， ( 1) < 0 < ，此时 ( 1) ≥ 不成立，
综上所述 的取值范围为[1, + ∞)．
方法三：由题意可得 ∈ (0, + ∞)， ∈ (0, + ∞)，
∴ ′( ) = 1 1 ，
易知 ′( )在(0, + ∞)上为增函数，
1 1
①当 0 < < 1 时， ′(1) = 1 < 0， ( 1′ ) =
1 = ( 1) > 0，
∴ 1存在 0 ∈ (1, )使得 ′( 0) = 0，
当 ∈ (1, 0)时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减，
∴ ( ) < (1) = + < < 1，不满足题意，
②当 ≥ 1 时， 1 > 0， > 0，
∴ ( ) ≥ 1 ，
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令 ( ) = 1 ，
∴ ′( ) = 1 1 ，
易知 ′( )在(0, + ∞)上为增函数，
∵ ′(1) = 0，
∴当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减，
当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增，
∴ ( ) ≥ (1) = 1，
即 ( ) ≥ 1，
综上所述 的取值范围为[1, + ∞)．
方法四：∵ ( ) = 1 + ， > 0， > 0，
∴ ′( ) = 1 1 ，易知 ′( )在(0, + ∞)上为增函数，
∵ = 1在(0, + ∞) 1上为增函数， = 在 0，+∞)上为减函数，
∴ = 1 = 1与 在 0，+∞)上有交点，
∴存在 0 ∈ (0, + ∞)，使得 ′( ) = 0 10
1
= 0，0
则 0 1 = 1 ，则 + 0 1 = 0，即 = 1 0 0，0
当 ∈ (0, 0)时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减，
当 ∈ ( 0, + ∞)时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增，
∴ ( ) ≥ ( 10) = 0 0 +
1 1
= 0 + 1 0 0 = 2 0 + 1 0 ≥ 10 0
1
∴ 2 0 0 ≥ 00
设 ( ) = 1 2 ，

易知函数 ( )在(0, + ∞)上单调递减，且 (1) = 1 0 1 = 0，
∴当 ∈ (0,1]时， ( ) ≥ 0，
∴ 0 ∈ (0,1]
1
时， 2 0 0 ≥ 0，0
设 ( ) = 1 ， ∈ (0,1]，
∴ ′( ) = 1 1 < 0 恒成立，
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∴ ( )在(0,1]上单调递减，
∴ ( ) ≥ (1) = 1 1 1 = 0，
当 → 0 时， ( ) →+∞，
∴ ≥ 0 = 1，
∴ ≥ 1．
方法五： ( ) ≥ 1 等价于 1 + ≥ 1，该不等式恒成立．
当 = 1 时，有 + ≥ 1，其中 > 0．
设 ( ) = + 1，则 ′( ) = 1 + 1 > 0，
则 ( )单调增，且 (1) = 0．
所以若 + ≥ 1 成立，则必有 ≥ 1．
∴下面证明当 ≥ 1 时， ( ) ≥ 1 成立．
∵ ≥ + 1，
把 换成 1 得到 1 ≥ ，
∵ 1 ≥ ，∴ ≥ 1．
∴ ( ) = 1 1 + ≥ 1 1 ≥ ≥ 1．
综上， ≥ 1．
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