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2025-2026学年贵州省贵阳市清华中学高三（上）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
2.已知实数 ， 满足 ，则复数 的模为( )
A. B. C. D.
3.奇函数 满足 ，且当 时， ，则 ( )
A. B. C. D.
4.某同学测得连续 天的最低气温分别为 ， ， ， ， ， ， 单位 ，若这组数据的平均数是中
位数的 倍，则 ( )
A. B. C. D.
5.如图所示， ， ， ， 是正弦函数 图象上的四个点，且在 ， 两点处的函数值最大，
在 ， 两点处的函数值最小，则 ( )
A. B. C. D.
6.设函数 ，数列 满足 ， ，且数列 是递增数列，
则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.过坐标原点 的直线 与圆 相切，且直线 与抛物线 ： 交于点 ， ，若
，则 的值是( )
A. B. C. D.
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8.已知函数 在 内有两个不同的零点，则 的范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.二项式 的展开式中含 的项的系数是 ，则下列说法正确的是( )
A. B.展开式中含 的项的系数是
C.展开式中一定有含 的项 D.展开式中的常数项是
10.已知 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，则有( )
A.
B.过原点的切线有两条
C. 和 都是 的极大值点
D.当 时，必有
11.如图所示，在圆锥 中， 为高， 为底面圆的直径，圆锥的
轴截面是面积等于 的等腰直角三角形， 为母线 的中点，点 为
底面上的动点，且 ，点 在直线 上的射影为 ，当点
运动时，则有( )
A.三棱锥 体积的最大值为
B.直线 与直线 不可能垂直
C.点 的轨迹长度为
D. 的最大值为
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知夹角为 的非零向量 、 满足 ，且 ，则 ______．
13.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ，
则 的面积为______．
14.已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ， 是椭圆 上的点，且在第一象限，
是 的平分线，过点 作 的垂线，垂足为 ，若 ， ， ，
则椭圆 的离心率是______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15. 本小题 分
若数列 是公差为 的等差数列，且 ，点 在函数 的图象上 ，记数列
的前 项和为 ．
求数列 ， 的通项公式；
设 ，记数列 的前 项和为 ，证明： ．
16. 本小题 分
如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， ， ，且 平面 ， 为
线段 上一点，且平面 将四棱锥 分成体积比为 ： 的两部分．
求证：平面 平面 ；
Ⅱ 若 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值．
17. 本小题 分
贵州“村超”以及江苏“苏超”的成功充分说明了足球是一项大众喜爱的运动．
Ⅰ 为了解喜爱足球运动是否与性别有关，现随机抽取了男性和女性各 名观众进行调查，得到 列
联表如下：
喜爱足球运动不喜爱足球运动合计
男性
女性
合计
依据小概率值 的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？
Ⅱ 某足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第 次由甲将球传出，每次传球时、传球者
都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到 记开始传
球的人为第 次触球者，第 次触球者是甲的概率记为 ，即 ．
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求 ， ；
证明：数列 为等比数列，并判断第 次与第 次触球者是甲的概率的大小、
附： ．
18. 本小题 分
已知 ， 分别为双曲线 的左、右顶点，其中一条渐近线方程为 ，
焦距为 ．
Ⅰ 求双曲线 的方程；
Ⅱ 设过 的直线与双曲线交于 ， 两点 与 、 不重合 ，记直线 ， 的斜率为 ，
，证明： 为定值．
19. 本小题 分
已知函数 ， ．
当 时，求 在 处的切线方程．
记 ，若 有两个零点．
求实数 的取值范围；
求证： ．
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参考答案
1.
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15.解： 数列 是公差为 的等差数列，
由 得 ，
，
点 在函数 的图象上 ，
；
证明： 显然数列 为等比数列，首项为 ，公比为 ，
则 ，
，
．
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16.( )证明：∵ ⊥平面 ，
∴ ： = 3：1，
即 ： △ = 3：1，
∴ 为 的中点，由 = 2， = 4，得 = ，
又 是矩形，则∠ = 45°，
同理∠ = 45°，∴ ∠ = 90°，
则 ⊥ ， ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，而 ∩ = ， ⊥平面 ，由 平面 ，
∴平面 ⊥平面 ．
(Ⅱ)依题意，建立空间直角坐标系如下图所示，
∵ = 2，又 ⊥平面 ，
∴ ∠ 即为 与平面 所成角的平面角，故∠ = 3，
∴ = 2 3，
则 (0,0,0)， (2,0,0)， (0,4,0)， (2,2,0)， (0,0,2 3)，
由(1)知：平面 的一个法向量 = (1, 1,0)，
设 = ( , , )是平面 的一个法向量，而 = (2,2, 2 3)， = (0,2,0)，
∴ = 2 + 2 2 3 = 0，取 = 1，则 = 3，
= 2 = 0
故 = ( 3, 0,1)，
∴ cos ,
= = 3 6
| || | 2×2
= 4 ，
由图知，二面角 为锐角，
故二面角 的余弦值为 6．
4
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17.(Ⅰ)假设 0：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关，
2 = 200×(60×80 20×40)
2
80×120×100×100 ≈ 33.3 > 10.828，
根据小概率值 = 0.00 的独立性检验，我们推断 0不成立，
即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过 0.001．
(Ⅱ)①由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，第二次触球者传给包括甲的三人中的一人，
1 1
故第三次传给甲的概率为3，故 2 = 0， 3 = 3．
②第 次触球者是甲的概率记为 ，
则当 ≥ 2 时，第 1 次触球者是甲的概率为 1，第 1 次触球者不是甲的概率为 1 1，
则 = 1 0 + (1 1)
1
3 =
1
3 (1 1)，
1 1
可得 4 = 3 ( 1
1
4 )
1 3
，且 1 4 = 4 ≠ 0，
{ 1 3 1所以 4 }是以4为首项，公比为 3的等比数列；
1可得 4 =
3
4 × (
1 ) 1 3 1 13 ，所以 =
1
4 × ( 3 ) + 4，
= 3 1则 19 4 × ( 3 )
18 + 1 > 14 4，
3 1 19 1
20 = 4 × ( 3 ) + 4 <
1
4，
所以第 19 次触球者是甲的概率大．
18.(Ⅰ)解：由双曲线的焦距为 2 7，可得 2 = 2 7，即 = 7，
3 3
又因为一条渐近线方程为 3 + 2 = 0，可得 = 2 ，可得 = 2 ，
而 2 = 2 + 2，即 7 = 2 + 34
2，解得 2 = 4， 2 = 3，
2 2
所以双曲线 的方程为： 4 3 = 1；
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得 ( 2,0)， (2,0)，
由题意可得直线 斜率不为 0，设直线 的方程为 = + 4，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= + 4
联立 2 2 .整理可得：(3 2 4) 2 + 24 + 36 = 0，
4

3 = 1
= (24 )2 4 × (3 2 4) × 36 > 0 4，且 3 2 4 ≠ 0，可得 2 ≠ 3恒成立，
且 24 1 + 2 = 3 2 4， =
36 3
1 2 3 2 4，可得 1 2 = 2 ( 1 + 2)，
3

所以 1 = 1 2 2 = 1( 2+2) 1 2+2 1
2( 1+ 2)+2 1 1 3 2 1
2 1+2 2 2( 1+6)
= 1 2+6
= 3 = = 为定值．2 2( 1+ 2)+6 2 3( 1 2) 3
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19.(1)当 = 1 时， ( ) = 2 ，可得导函数 ′( ) = 2 2 1，
那么 ′(0) = 2 1 = 1，且 (0) = 1，
因此 = ( )在 = 0 处的切线方程为 1 = 1 × ( 0)，即 = + 1．
(2)( )由 ( ) = ( ) ( ) = 2 (2 ) ，则 ( )定义域为 ，
且 ′( ) = 2 2 + ( 2) 1 = ( 1)(2 + 1)，
当 ≤ 0 时， 1 < 0，2 + 1 > 0，可得导函数 ′( ) < 0，
因此函数 ( )在 上单调递减， ( )不存在两个零点，不符合题意，舍去；
当 > 0 时，令导函数 ′( ) = 0，可得 1 = 0，解得 = ，
当 ∈ ( , + ∞)时， ′( ) > 0，当 ∈ ( ∞, )时， ′( ) < 0，
所以 ( )在( , + ∞)上单调递增，在( ∞, )上单调递减，
因此 ( ) = ( ) = 2×( ) + ( 2) + =
1
+ 1，
1
令函数 ( ) = + 1( > 0)，要满足题意，那么只需 ( ) < 0，
1 1
根据导函数 ′( ) = + 2 > 0，因此 ( )在(0, + ∞)上单调递增，且 (1) = 0，
所以 ∈ (0,1)．
( ) 3 9 6 3 3 3证明：由( )可得 (ln ) = + 3 ln = ln + 3，
令 ( ) = + 3( > 3)，可得 ′( ) = 1 ，
当 > 3 时， ′( ) > 0，所以 ( )在(3, + ∞)上单调递增．
所以 ( ) > (3) = 6 3 > 0，即 (ln 3 ) > 0，得证．
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