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2025-2026 学年湖南省长沙市高三（上）10 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | = + 1}, = { | = 2 + 1}，则 ∩ ( ) =( )
A. [0,1) B. ( ∞,1) C. [ 1,1) D. [ 1,1]
2
2.双曲线 ： 4
2 = 1 的渐近线方程为 = ，则| | =( )
A. 12 B.
2
2 C. 2 D. 2
3.已知 为等比数列{ }的前 项和，若 44 = 4 3 4 2，则 + =( )1 2
A. 5 B. 9 C. 9 D. 5
4.已知实数 > 0， > 1 满足 + = 5 2 1，则 + 1的最小值为( )
A. 3+2 2 B. 3+4 24 4 C.
3+2 2 3+4 2
6 D. 6
2
5 .已知函数 ( ) = 1 + ( > 0 且 ≠ 1)是奇函数，则 (1) =( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
6.已知圆台的上、下底面半径分别为 1 和 2，它的侧面展开图是圆心角为 的扇环，则该圆台的体积为( )
A. 7 3 8 3 16 563 B. 3 C. 3 D. 3
7.已知函数 ( )的图象关于点(1,0)中心对称，且 ( )在(1, + ∞)上单调，若 > 0， > 0，且 ( ) + ( ) = 0，
2
则 +
8
的最小值是( )
A. 4 B. 92 C. 8 D. 9
8.如图是棱长为 2 的正方体 1 1 1 1，则两个三棱锥 1 1， 1 1 的公共部分的内切球
的表面积为( )
A. 3
B. 2 3
C. 4 3
D. 8 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 15 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.下列说法中，正确的是( )


A.回归直线 = + 可以不经过样本中心
B.可以用相关系数 刻画两个变量的相关程度强弱， 值越大两个变量的相关程度越强
C.残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高
D.根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到 2 = 4.712，根据小概率值 = 0.05 的 2独立性检验
( 0.05 = 3.841)，可判断 与 有关联，此推断犯错误的概率不超过 0.05
10.已知函数 ( ) = 2 ( 2 3 )，则下列说法正确的有( )
A. = 3为函数 ( )图象的一条对称轴 B. ( )在区间[ , 2 ]上单调递增
C. ( )在区间[ , ]上的值域为[ 2,1] D. ( )在区间[0,4 ]上有 3 个零点
11.已知抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ，点 为 上任意一点，若点 (1,3)，下列结论错误的是( )
A. | |的最小值为 2
B.抛物线 关于 轴对称
C.过点 与抛物线 有一个公共点的直线有且只有一条
D.点 到点 的距离与到焦点 距离之和的最小值为 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在(1 + 2 )5的展开式中含 2的项的系数为______．
13 1 2.已知 > 1， > 0 且满足 + 2 = 1，则 +1+ 的最小值为 ．
1, > 0
14.已知函数 ( ) = 0, = 0， 、 、 是平面内三个不同的单位向量.若 ( ) + ( ) + ( ) = 0，
1, < 0
则| + + |的取值范围是______．
四、解答题：本题共 4 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 20 分)
已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 2 = + 2 ．
(1)求 ；
(2)若△ 9 3 3的周长为 ，面积为 4 ，求 ．
16.(本小题 20 分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)实轴端点分别为 1( , 0)， 2( , 0)，右焦点为 ，离心率为 2，
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9
过 1点且斜率 1 的直线 与双曲线 交于另一点 ，已知△ 1 的面积为2．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过 的直线 ′与双曲线 交于 ， 两点，试探究直线 1 与直线 2 的交点 是否在某条定直线上？若
在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．
17.(本小题 20 分)
电信诈骗是指通过电话、网络和短信方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实施远程诈骗的犯罪行为.
随着 5 时代的全面来临，借助手机、网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔
爪”伸向了学生.为了调查同学们对“反诈”知识的了解情况，某校进行了一次抽样调查.若被调查的男女生
人数均为 20 ( ∈ )，统计得到以下列联表.经过计算，依据小概率值 = 0.025 的独立性检验，认为该校
学生对“反诈”知识的了解与性别有关，但依据小概率值 = 0.01 的独立性检验，认为该校学生对“反诈”
知识的了解与性别无关．
性别不了解了解合计
女生 10
男生 5
合计
(1)求 的值；
(2)将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取 5 人，记其中对“反诈”知识了解的人数为
，求 的分布列及数学期望．
(3)为了增强同学们的防范意识，该校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛.已知全校参加
本次竞赛的学生分数 近似服从正态分布 (80,25)，若某同学成绩满足 ≤ ≤ + 2 ，则该同学被评为
“反诈标兵”；若 > + 2 ，则该同学被评为“反诈达人”．
( )试判断分数为 88 分的同学能否被评为“反诈标兵”；
( )若全校共有 50 名同学被评为“反诈达人”，试估计参与本次知识竞赛的学生人数. (四舍五入后取整)
( )2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
0.10 0.05 0.025 0.01 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
若 ～ ( , 2)，则 ( ≤ ≤ + ) = 0.6827， ( 2 ≤ ≤ + 2 ) = 0.9545， ( 3 ≤ ≤ +
3 ) = 0.9973．
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18.(本小题 20 分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点 (2,0)到 的一条渐近线的距离为 3．
(1)求 的方程；
(2)设点 在 3的右支上，过点 作圆 ： 2 + 2 = 2的两条切线，一条与 的左支交于点 ，另一条与 的右支
交于点 (异于点 )．
( )证明： ⊥ ；
( )当△ 的面积最小时，求直线 和直线 的方程．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.40
13.92
14.(1, 5)
15.(1)根据 2 = + 2 ，由正弦定理得 2 = + 2 ，
在△ 中， = sin( + ) = + ，
则 2 + 2 = + 2 ，整理得 2 = ，
结合 > 0，可得 = 1 2，又 ∈ (0, )，所以 = 3．
(2) 1由(1)得 △ = 2 =
3 = 3 34 4 ，解得 = 3，
根据△ 的周长为 + + = 9，可得 + = 9 ，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = ( + )2 3 ，可得 2 = (9 )2 9，解得 = 4．
16.解：(1)设直线 的方程为 = + ，
= + 2
联立 2
2

2 ，得 = 22 2
，
2 = 1

又 = = 2， 2 = 2 +
2，代入上式得
所以 = 3 ，即 = 3 ，
所以 △ 1 =
1
2 ( + ) 3 =
9
2，解得 = 1，
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所以 = 3， = 2，
2
所以双曲线的方程为 2 3 = 1．
(2)当直线 ′的斜率不存在时， (2,3)， (2, 3)，
直线 1 的方程为 = + 1，
直线 2 的方程为 = 3 + 3，
1 3
联立直线 1 与直线 2 的方程可得的 ( 2 , 2 )，
当直线 ′的斜率存在时，设直线 ′的方程为 = ( 2)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= ( 2)
联立 22 得(3
2) 2 + 4 2 4 2 3 = 0，
3 = 1
4 2 4 2+3
所以 1 + 2 = 2 3， 1 2 = 2 3，
所以直线 1 的方程为 =
1 2
1+1
( + 1)，直线 2 的方程为 = ( 1)，2 1
+1 = 2( 1+1)所以 1 1( 2+1)
，
( +1
2
)2 = 2( 1+1)
2
两边平方得 1 ， 2( 1)21 2
2
又因为 2 3 = 1，
2 4
2+3 4 2
( 1+1)22 = 3(
2
2 1)( 1+1)2 = ( 2+1)( 1+1) = 1 2+(
+ +1
所以 1
+ 2)+1 = 2 3 2
2 2 2
3 4 +3+4 + 3
2 2 2 2 ( 1)( 1) ( + )+1 2 2 = 4 2+3 4 2+ 2 3 = 9， 1( 2 1) 3( 1 1)( 2 1) 1 2 1 2 1 2 4 +3 4 2 +1 3 2 3
( +1所以 2 1 ) = 9，
1
所以 = 2，或 = 2(舍去)，
= 1所以定直线方程为 2．
17.解：(1)由已知，完成列联表，
性别不了解了解合计
女生 10 10 20
男生 5 15 20
合计 15 25 40
40 ×(150 2 50 2 2 = )
2 8
由题意 20 ×20 ×25 ×15 = 3，
8
根据条件，可得 5.024 ≤ 3 < 6.635，解得 1.884 ≤ < 2.488，
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因为 ∈ ，所以 = 2．
(2)由(1) 3知，样本中的男生对“反诈”知识了解的频率为是4，
用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，
3 3
对“反诈”知识了解的概率为4，则 ～ (5, 4 )，
( = 0) = 0( 3 0 1 5 15 4 ) ( 4 ) = 1024，
( = 1) = 15(
3
4 )
1( 1 4 154 ) = 1024，
( = 2) = 2( 3 2 1 3 90 455 4 ) ( 4 ) = 1024 = 512，
( = 3) = 3( 35 4 )
3( 1 )2 = 270 1354 1024 = 512，
( = 4) = 4( 3 )4( 1 )1 = 4055 4 4 1024，
( = 5) = 5( 3 5 15 4 ) ( 4 )
0 = 2431024．
则 的分布列为：
0 1 2 3 4 5
1 15 45 135 405 243
1024 1024 512 512 1024 1024
3 15
所以 ( ) = 5 × 4 = 4 = 3.75．
(3)( ) = 80， = 5，那么 75 < 88 < 90，
则该同学能被评为“反诈标兵”．
( )设全校参与本次竞赛的人数为 ，
“反诈达人”的概率为 ( > + 2 ) = 12 [1 ( 2 < < + 2 )] =
1
2 × (1 0.9545) = 0.02275，
50
则 = 0.02275，解得 ≈ 2198，
所以参与本次知识竞赛的学生人数约为 2198 人．
18.解：(1)由于双曲线 的右焦点为 (2,0)，所以 2 + 2 = 4，
双曲线 的渐近线方程为 =± ，即为 ± = 0，
由于点 (2,0)到 |2 |的一条渐近线的距离为 3，则 = 3，
2+ 2
2 = 1,
解得
2 = 3.
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2
所以 的方程为 2 3 = 1．
(2)( )证明：显然圆 的切线 的斜率存在，设切线 的方程为 = + ，
由于切线 不平行 的渐近线，则 ≠± 3．
| | 3
由圆心 到切线 的距离 = = 2，得 2
2 = 3( 2 + 1)，
2+1
= + ,
由 2 2 消去 得(3
2) 2 2 2 3 = 0，
3 = 1,
由题意知 > 0.设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2
则 1 +
2 +3
2 = 3 2， 1 2 = 3 2，
而 1 2 = ( 1 + )( 2 + ) = 2 1 2 + ( 21 + 2) +
2( 2 +3) 2 2 2
= 2 + 2 +
2
3 3
= 3
2 3 2
3 2 ．
2 2
则 1 2 + =
2 (3 +3)
1 2 3 2 = 0，
则 = 1 2 + 1 2 = 0，
所以 ⊥ ，即 ⊥ ．
(ⅱ)由( )同理可得 ⊥ ，
所以 ， ， 三点共线．则△ 的面积 = 2 △ ．
设切线 与圆 6的切点为 ，则| | = 2 ，
= 2 6△ = | || | = 2 | |．
2
由( )得| | = (1 + 2)[( 1 + 2 2
2 2 4( +3)
2) 4 1 2] = (1 + )[( 3 2 ) + 3 2 ]，
又 2 2 = 3( 2 + 1)，
2 2
| | = 6(1+ )( +9) = 6[1 + 16
2
则 (3 2)2 (3 2)2 ]．
当 = 0 时，| | = 6， = 3，
此时，直线 平行 轴，则 ， 的纵坐标绝对值为圆 的半径．
得点 6 6的坐标为( 2 , ± 2 )，
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所以直线 的方程为 =± 6 62 ，直线 的方程为 = 2 ．
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