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第一章《三角形》章节检测卷
一、选择题（8小题，每小题2分，共16分）
1．下列各学科使用的教学器具中，属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．图中的两个三角形全等，则（ ）
A． B． C． D．
3．在学习完三角形三边关系后，小明用三根木棍首尾相连拼三角形有三根长度分别为、、的木棍，若想三角形的边长均为整数，则可将的木棍进行裁切，这样小明最多可以拼出不同的三角形个数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是 ABC的中线，过点B作，交的延长线于点F，过点C作，交于点E，若，，则中线的长是（ ）
A．12 B．7 C．13 D．10
5．如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱，垂直于横梁，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在 ABC和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，平分，于点C，点D在上，若，，则的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
8．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
9．若一个三角形的三边分别为，则其周长的取值范围是 ．
10．如图，，添加一个条件 后，利用“AAS”可证得．
11．如图，在中，，．若是的中点，则的长为 ．
12．如图，在 ABC中，为的平分线，于点E，于点F，若 ABC的面积为，，则的长为 ．
13．如图，在 ABC中，为边的中线，的周长比的周长多，，则 ．
14．如图，已知在 ABC中，是的垂直平分线，垂足为，交于点，若的周长为，，则 ABC的周长是 ．

15．两角及其 分别相等的两个三角形全等（简写成“ ”或“ ”）.
如图，， ， ，
．
16．如图所示的是纸飞机的示意图，在折叠的过程中，使得 ABC和能够重合，和重合，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的有 （填序号）．
三、解答题（11小题，共68分）
17．已知三角形的三边长分别为3，8，．
(1)求的取值范围；
(2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？
18．如图，已知 ABC的周长是10，点O为与的平分线的交点，且于D．若，求 ABC的面积．
19．如图，分别是 ABC的高和中线．
(1)若 ABC的面积为，，求的长；
(2)若，，求与的周长差．
20．如图，点B在线段上，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
21．在 ABC中，，，点、分别是边、上一点， 连接、交于点．
(1)如图1，点是上一点，连接， 若，求证：；
(2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：．
22．如图，，，，点是边的中点．
求证：
(1)；
(2)．
23．如图方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上．
(1)画出 ABC中边上的高；
(2)画出 ABC中边上的中线；
(3)直接写出的面积为______．
24．如图，地块 ABC中，边，．
(1)尺规作图：现要在地块 ABC中修建绿化带，使是 ABC的角平分线，请作出，保留作图痕迹；
(2)若地块的面积为，求地块的面积．
25．如图，在等边三角形中，于点，以为一边向右作等边三角形，与交于点．
(1)试判断与的数量关系，并给出证明．
(2)若的长为，试求等边三角形的边长．
26．【综合与探究】
（1）在 AOB和中，，，，连接．
【模型呈现】
①如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由；
【模型应用】
②如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数；
【拓展延伸】
（2）如图3是某公园的局部平面示意图，已知 AOB和为等腰直角三角形，，为公园内的两条小路，现公园规划部门决定在小路和上取点M，N，且满足点M，N分别是的中点，在 CMN区域修建一个喷泉，根据设计要求需满足 CMN为等腰直角三角形．请问按照上述作法，公园的规划能否实现？并证明你的结论．
27．问题提出
（1）如图，在 ABC和 ADE中，，，（），将 ADE绕点顺时针旋转，连接．当点落在边上且三点共线时，在这个“手拉手”模型中，和全等的三角形是_______，的度数为____________；
（2）如图，已知等边三角形，，是其外一点，且，，求四边形的周长；
问题解决
（3）某市园林绿化部门在某小区门口的空地上新建一个家门口的“口袋公园”，设计形状大致为三角形，如图所示，段临街道有足够长度，是小道上某小区的入口（点不在点处），且米，设计人员准备将公园分成， BDE两大部分，是内一标志点，此处将栽植一棵风景大树，设计，，内部种植三种不同类的草坪，平均每平方米约元，留出适当大小的 BDE区域作为休闲健身区，其内安装健身器材需元，请你预算满足上述条件的建设费用大致需多少元？（不考虑其他花费）
参考答案
一、选择题
1．A
【分析】本题考查了全等图形．熟练掌握全等图形概念是解题的关键．
根据全等形是能够完全重合的两个平面图形进行分析判断．
【详解】
A. 将一个图形旋转180°，再平移与另一个图形叠放在一起能完全重合，是全等形；
B. 将一个图形平移与另一个图形叠放在一起不能完全重合，不是全等形；
C. 将一个图形平移与另一个图形叠放在一起不能完全重合，不是全等形；
D. 将一个图形旋转180°，再平移与另一个图形叠放在一起不能完全重合，不是全等形．
故选：A．
2．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．根据全等三角形的性质即可解答．
【详解】解：∵图中的两个三角形全等，且是边a、b的夹角，
∴．
故选：C．
3．C
【分析】设第三根木棒的长度是，由三角形三边关系定理得到，即可得到第三根木棒的长度，于是得到答案．
本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
【详解】解：设第三根木棒的长度是，
由三角形三边关系定理得到：，
故，
第三根木棒的长度是整数且不大于，
故，且x是正整数，
第三根木棒的长度是、、、、、，
小明最多可以拼出不同的三角形个数为个．
故选：C．
4．A
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明，得到，根据线段的和差关系可得的长，再求出的长，进而可求出中线的长．
【详解】解：∵是 ABC的中线，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
5．B
【分析】本题主要考查直角三角形中角所对直角边等于斜边一半的性质，熟练运用该性质是解题关键．先求出，再在中，结合是中点及该性质求出．
【详解】解：， 是的中点，
．
又，，
．
故选：B．
6．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．
根据全等三角形的判定方法逐一判断即可．
【详解】A、和分别是和的对边，不能判定，故A符合题意；
B、由推出，而，，由判定，故B不符合题意；
C、，而，，由判定，故C不符合题意；
D、，而，，由判定，故D不符合题意．
故选：A．
7．B
【分析】本题考查角平分线的性质，过点P作于E， 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可解答．
【详解】解：如图，过点P作于E，
∵平分，，，
∴，
∴，
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，角平分线的性质.
过点G作于点H，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积．
【详解】解：过点G作于点H，
根据题意得，是的角平分线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题
9．
【分析】本题考查了三角形的三边关系的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据三角形的三边关系可得，进而可求周长的取值范围．
【详解】解：根据三角形的三边关系得：，
即：，
∴，
∴，
故答案是：．
10．
【分析】本题需要根据三角形全等的AAS判定定理，结合已知条件，找出能使和全等的条件，从而得到．
【详解】解：已知（对顶角相等），
根据 “AAS”，还需要一组对应角的对边相等，所以添加条件，
∵在和中，
∴．
∴．
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：∵中，，，是的中点，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
根据角平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式得到，即可求解．
【详解】解：∵为的平分线，，，
∴，
∵， ABC的面积为，，
∴，
∴．
故答案为：
13．5
【分析】本题考查三角形的中线，由为边的中线，可得，再根据的周长比的周长多，可得，由此可解．
【详解】解：为边的中线，
，
的周长比的周长多，
，
，
，
故答案为：5．
14．
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴ ABC的周长是，
故答案为：．
15． 夹边 角边角
【分析】由判定定理，即可解答．
【详解】解：（1）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，
故答案为：夹边．
（2）简写成“角边角”或“”，
故答案为：角边角．
（3）由（2）知，
故答案为：．
（4）在与中，
，
（）．
故答案为：．
（5）由（4）知，
故答案为：．
（6）由（4）知，
故答案为：．
16．①②④
【分析】由折叠得，根据全等三角形性质判断①②③，进而推出，由此判断④，即可求得答案．
本题考查的是翻折变换、全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
【详解】解：由折叠得，
∴，，，
∴，，，
故结论①正确，②正确，结论③错误；
又∵，即，
故结论④正确，
综上所述，正确的有①②④，
故答案为①②④．
三、解答题
17．（1）解：由题意可得，
即
则的取值范围为；
（2）由（1）得
为偶数
为6，8，10
要组成三角形的周长最小，
只能为6，
三角形的周长最小为，
则三角形的周长最小为17
18．解：如图所示，过点O作于E，于F，连接，
∵，点O为与的平分线的交点，
∴，
同理，，
∵，
∴，
∴，
，
∵ ABC的周长是10，
∴，
，
∴ ABC的面积为10．
19．（1）解：根据题意，，，，
∴；
（2）解：∵是的中线，
∴，
∵的周长，的周长，
∴的周长减去的周长表示为
，
∴与的周长差为．
20．（1）证明：在和中，，
；
（2）解：，
．
∵点B在线段上，
．
21．（1）证明：，，，
，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：∵在 ABC中，，，
，
，
∴，
，，
，
∴，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
．
22．（1）证明：在与中，
，
；
（2）由（1）可知，，
，
点是边的中点，
．
23．（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求，
（3）解：．
故答案为：．
24．（1）解：如图，线段即为所求；
（2）解：作，，垂足分别为，；
∵是的角平分线，
∴，
∵边，，地块的面积为，
∴，
解得：，
∴，
∴的面积为．
25．（1）解：（1），证明如下：
∵ ABC和 ADE均是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，即平分，
又∵，
∴；
（2）解：由（1）得， ，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即等边三角形的边长为．
26．解：（1），理由如下：
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，
∴∠AOQ=∠BPQ，
∵∠AOQ=50°，
∴，
∴∠APD=180°-∠BPQ=130°；
（3）公园的规划能实现，证明如下：
由题意得，
同理可证明，
∴，，
∵M，N分别为，的中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴，，
∵，
∴，
∴，即
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴公园的规划能实现．
27．解：（）在 ADE中，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴和全等的三角形是，的度数为，
故答案为：；；
（）延长到，使，连接，如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵ ABC是等边三角形，，
∴，，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
∴四边形的周长为；
（）过点作交于点，连接，如图所示，
∵，，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴（米），，
∴，即，
∴（平方米），
∴在内部种植三种不同类的草坪，平均每平方米约元，
∴在内部种植草坪的费用为：（元），
又∵在 BDE区域内安装健身器材需元，
∴满条件的建设费用为（元），
答：满足条件的建设费用元．

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