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第二章《实数的初步认识》单元检测卷
一、选择题（8小题，每小题2分，共16分）
1．在实数中，最大的实数是（ ）
A． B． C． D．
2．一个数精确到百分位是，那么这个数最小为（ ）
A． B． C． D．
3．若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，这个数是（ ）
A．0 B．0和1 C．1 D．和0
4．已知，，满足，则的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
5．数轴上表示，的点分别为，，点是的中点，则点所表示的数是(　　)
A． B． C． D．
6．如图是小江在电脑上设计的一个程序框图，若输入的值为32，那么输出的值为（ ）
A． B．2 C． D．
7．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
8．如图，将边长为的正方形各边四等分，把一长度为的绳子一端固定在点处，并沿逆时针方向缠绕正方形，则另一端点将落在下列哪条线段上（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
9．的立方根是 ．
10．比较大小： 2．(填“”“”或“<”)
11．若，，则 ， ．
12．如图是一个数值转换器，当输入的值是时，输出的值是 ．
13．已知小数部分是m， 小数部分是n，且，则 ．
14．四个互不相等的实数在数轴上的对应点分别为，其中，为整数，．
（1）若，则中与距离最小的点为 ；
（2）若在、、中，点与点的距离最小，则符合条件的点有 个．
15．某小区要扩大绿化带面积，已知原绿化带的形状是一个边长是的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形．
（1）若面积扩大为原来的9倍，则边长扩大为原来的 倍．
（2）若扩大后的绿化带面积是原绿化带面积的4倍，则扩大后绿化带的边长是 ，边长扩大为原来的 倍．
16．我们已经学习了利用“夹逼法”估算的值，现在用表示距离（为正整数）最近的正整数．例如：表示距离最近的正整数，表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，利用这些发现得到以下结论：
①若时，的值有 个；
②当时，的值为 ．
三、解答题（11小题，共68分）
17．求下列各式中x的值：
(1)； (2)； (3)； (4)．
18．用四舍五入法对下列各数取近似数：
(1)（精确到）； (2)（精确到个位）；
(3)（精确到）； (4)（精确到千分位）．
19．已知是的算术平方根，是的立方根，试求的立方根．
20．一个正数x的两个不同的平方根分别是和．
(1)求a和x的值．
(2)求的算术平方根．
21．已知实数、在数轴上的对应点的位置如图所示．
请化简：．
22．阅读材料，解答问题：
(1)计算下列各式：
①__________，__________，
②__________，__________．
(2)运用（1）中的结果可以得到：；，通过计算，我们可以发现__________．
(3)通过（1）（2），完成下列问题：
①化简：__________．
②计算：__________．
③化简：的结果是__________．
23．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则．
例：比较和2的大小．
由“作差法”得，因为，所以，所以，所以．
请你根据上面的方法解决下列问题：
(1)比较和1的大小；
(2)比较和7的大小．
24．如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为的大正方形纸片．
(1)小正方形纸片的边长为 ；
(2)若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．
25．阅读理解
，即．
的整数部分为2，小数部分为
的整数部分为1．
的小数部分为
解决问题：已知：是的整数部分，是的小数部分，
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
26．小明是一位善于思考．勇于创新的同学．在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于，所以没有平方根．有一天，小明想：如果存在一个数，使，那么，因此就有两个平方根了．进一步，小明想：因为，所以的平方根是；因为，所以的平方根就是．请你根据上面的信息解答下列问题：
（1）求，的平方根；
（2）求，，，，，，…的值，你发现了什么规律？请你将发现的规律用式子表示出来；
（3）求的值．
27．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；
②其次观察了立方数：，，，，，，，，9；猜想的个位数字是7；
③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1)______；
(2)若，则______；
(3)已知，且与互为相反数，求x，y的值．
参考答案
一、选择题
1．B
【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法，熟练掌握负数的大小比较是解题的关键．
根据负实数绝对值大的反而小即可得到答案．
【详解】因为，
所以最大的实数是，
故选：B．
2．C
【分析】本题主要考查了近似数的知识，理解并掌握“四舍五入”规则是解题关键．小数精确到百分位，要看千分位上的数字，根据四舍五入法的原则，若千分位上的数字大于等于5，就向百分位进1，若千分位上的数字小于5，就舍去千分位及其后面数位上的数，据此解答即可．
【详解】解：一个数精确到百分位是，那么这个数最小为，
故选：．
3．B
【分析】本题主要考查立方根及算术平方根，熟练掌握立方根与算术平方根是解题的关键；因此此题可根据立方根与算术平方根进行求解即可．
【详解】解：因为0的立方根是0，算术平方根也是0；1的立方根是1，算术平方根也是1；所以一个数的立方根等于这个数的算术平方根，那么这个数是0和1；
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了非负数的性质．解题的关键是理解绝对值和二次根式的非负性，能够正确求出、的值．根据绝对值和二次根式的非负性分别求出、，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了实数与数轴，用到的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．首先根据数轴上1，的对应点分别是点A和点B，可以求出线段AB的长度，然后根据中点的性质即可解答．
【详解】解：∵数轴上1，的对应点分别是点A和点B，
∴，
∵是线段的中点，
∴，
∴点C表示的数为：．
故选：C．
6．C
【分析】本题考查程序设计与实数运算，求立方根，求算术平方根．
根据程序框图，将代入，按照运算法则计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
的算术平方根为，
∴输出的值为．
故选：C．
7．C
【分析】本题主要考查了算术平方根的应用、正方形的面积等知识点，掌握数形集合思想成为解题的关键．
根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是、2，再根据阴影部分的周长公式计算即可．
【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 2和4，
∴两个正方形的边长分别是、2，
∴阴影部分的周长为．
故选C．
8．D
【分析】由于，正方形的边长为，则另一端点将落在边上，再根据四等分点的定义即可求解．本题考查了正方形的性质，解题的关键是得到．
【详解】解：，正方形的边长为，
另一端点将落在边上，
又边长为的正方形各边四等分，
∴，
另一端点将落在线段上．
故选：．
二、填空题
9．
【分析】本题考查了求立方根，正确理解立方根的概念是解题的关键．
先算平方，再算立方根，注意平方后为正数．
【详解】解：，
．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是将整数2转化为算术平方根形式，再根据被开方数大小比较算术平方根的大小．
把2转化为，然后比较和的大小，根据算术平方根的性质，被开方数大的算术平方根大．
【详解】解：因为，而，
根据算术平方根的性质，当时，，所以，即，
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了算术平方根的概念，解题的关键是理解算术平方根每向左（或右）移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之被开方数每移动两位，则算术平方根向相同的方向移动一位．被开方数是把的小数点向左移动2位后得到的，则的值是把的值小数点向左移动1位；62400是把小数点向右移动4位，则是将的值向右移动2位得到．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，．
故答案为：；．
12．
【分析】本题考查了与流程图有关的实数计算，计算出的算术平方根，若结果为无理数，则输出，若结果为有理数，则把结果作为新数输入，继续求算术平方根，直至结果为无理数作为输出的结果，据此求解即可，看懂流程图是解题的关键．
【详解】解：的算术平方根是，是有理数，
的算术平方根是，是有理数，
的算术平方根是，是无理数，
∴输出的值是，
故答案为：．
13．2或0
【分析】本题考查了无理数的有关运算；
根据的取值范围得出，，再根据平方根的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴的小数部分是，的小数部分是，
∴，，
∴，
∴，
∴或0，
故答案为：2或0．
14．
【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法，在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
（1）若，，，求出m的值，再求出A，B，C中与M距离，比较大小，得出与M距离最小的点为A；
（2）若在A，B，C中，点C是一个变化的点，点 M随它变化，因此也随之变化．点C与点M的距离最小，则符合条件的点C有3个．
【详解】解：（1）若，则，
，，，
，B，C中与M距离最小的点为点
故答案为：
（2）．
①当时，．，，，此时最小；
②当时，．，，，此时最小；
③当时，．，，，此时最小；
所以符合条件的点C有3个．
故答案为：3．
15． 3 20 2
【分析】此题考查了算术平方根，根据题意求出扩大后绿化带的面积是解题的关键．
（1）先求出原绿化带的面积，再求出扩大后绿化带的面积，然后开方即可得出答案；
（2）先求出原绿化带的面积，再求出扩大后绿化带的面积，然后开方即可得出答案．
【详解】解：（1）原绿化带的面积为，
面积扩大为原来的9倍为，
∴边长为，即长扩大为原来的倍，
故答案为：；
（2）面积扩大为原来的4倍为，
∴边长为，即长扩大为原来的倍，
故答案为：，．
16． 6 110
【分析】本题考查数字的变化规律，根据所给的定义，通过估算无理数，找到数字的变化规律是解题的关键．
①当时，，可知n的值有6个；
②由，；可得2个1，4个2，6个3，8个4……，再代入计算即可．
【详解】解：①当时，为7，8，9，10，11，12一共有6个；
②由，
；可得2个1，4个2，6个3，8个4……，
所以，，
．
故答案为：①6；②110．
三、解答题
17．（1）解：
.
（2）解：
.
（3）解：
.
（4）解：
或.
18．（1）解：（精确到）。
（2）解：（精确到个位）。
（3）解：（精确到）。
（4）解：（精确到千分位）。
19．解：∵是的算术平方根，是的立方根，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∴的立方根为．
20．（1）解：由题意得：，
，
，
；
即a的值为，x的值为49；
（2）解：由（1）可知：，，
，
的算术平方根为5．
21．解：由数轴可知，
∴，
∴
．
22．（1）解：①，，
②，．
故答案为：①，；②，
（2）解：∵；，
∴通过计算，我们可以发现．
故答案为：
（3）解：①．
②．
③．
故答案为：①；②；③．
23．（1）解：，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，
∵，
∴，
∴，
∴．
24．（1）解：由题意得，小正方形的面积是大正方形面积的一半，
∴小正方形的面积为，
设小正方形的边长为a，
则，
∴（负值舍去），
故答案为：；
（2）解：不能，理由如下：
大正方形的边长为：，
∵长方形的长宽之比为，
∴设长方形的长和宽分别是，，
∴，
，
∵，
，
∴长方形的长为，
，，
∵，
∴沿着大正方形边的方向不能裁出符合要求的长方形．
25．（1）解：∵，
∴，
∴，
∴的整数部分为1，即，
∴的小数部分为，即；
（2）解：∵，，
∴
，
∵的平方根是，
∴的平方根是．
26．（1）∵，
∴的平方根是，
∵，
∴的平方根是．
（2），
，
，
，
，
，…，
规律是：每四个相邻次方为一个循环，
用式子表示为：，，，（其中是正整数）．
（3）由（2）可知，中，相邻四个数的和为0，
∵，
∴原式．
27．（1）解：因为，，所以是两位数，
因为；猜想的个位数字是9，
接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是；
最后再依据“负数的立方根是负数”得到；
（2）解：∵，
∴和 互为相反数，
∴，
∴；
故答案为：3．
（3）解：∵，即，
∴或1或
解得：或或
∵与互为相反数，即，
∴，即，
∴当时，
当时，；
当，．

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