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第二十五章《概率初步》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．明天会有太阳
B．买一张电影票，座位号是偶数号
C．小丽到达公交车站台时，108路公交车正在驶来
D．一只袋子中装有3个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中有红球
2．小明练习射击，共射击100次，其中有85次击中靶子，由此可估计，小明射击一次击中靶子的概率约为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四张卡片上分别写有，，，四个实数，从中任取一张卡片．取到的数是无理数的可能性大小是（ ）
A．0 B． C． D．1
4．下列事件可能性大小正确的是（ ）
A．从一副张的扑克牌中抽出一张红桃的可能性是
B．掷一枚骰子得到的点数是奇数的可能性是
C．从写有的数字卡片中任意抽取一张，得到的数小于的可能性是
D．从装有个红球和个白球的袋子里任意摸出一个红球的可能性是
5．小明将1枚质地均匀的硬币朝水平地面抛3次，记三次中恰有1次正面朝上的概率为，小华将3枚质地均匀的硬币朝水平地面同时抛出，记三枚硬币中恰有1枚正面朝上的概率为，则（ ）
A． B． C． D．
6．王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图是某旅游景点的两个入口（A，D）和三个出口（B，C，E），小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从A口进入，从E口离开的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别标有数，0，1，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，把正面的数作为b，放回后洗匀，接着再抽取一张，把正面的数作为c，则满足关于x的一元二次方程有实数根的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．在学校科技宣传活动中，某校科技活动小组将2个标有“北斗”，1个标有“高铁”，1个标有“天眼”的小球（除标记外其他都相同）放入不透明的袋子中，小康从袋子中随机摸出1个球，记下标记的内容后（不放回）再从中摸出1个球，则小康两次摸出的球是“北斗”和“高铁”的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”
D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．成语是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．成语“水中捞月”描述的事件是 事件．（填“随机”“不可能”或“必然”）
12．某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据，估计任意抛掷一枚图钉：钉尖朝上的概率约为 ．（结果精确到0.1）
重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000
钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001
13．小兰和小青两人做游戏，如果小兰掷出的骰子的点数是偶数，则小兰赢．如果小青掷出的骰子的点数是3的倍数，则小青赢，那么这个游戏对小兰和小青公平吗？ （填公平或不公平） 获胜的概率大，概率是 ．
14．在一个不透明的口袋中，装有2个白球，3个黄球，若干个红球，它们除颜色外没有任何区别．经过大量重复试验，发现充分搅匀后随机摸出一球，恰好是白球的概率稳定在，则口袋中红球的个数是
15．一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除颜色外都相同．随机从中摸1个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有 个绿球．
16．网购高铁票时，如果不选择座位，系统会默认随机分配座位，小林和小新同时买同一趟高铁车票，都选择系统随机分配座位，假设系统已将两人的位置分配到同一排，如图为同一排中的座位编号A，B，C，D，F，且在同一排分配到各个座位的机会是均等的，则系统分配给小林和小新相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率为 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球7个．
(1)摸出的球是白球是______；（从“随机事件”，“必然事件”，“不可能事件”中选一个填空）
(2)求任意摸出一个球是黑球的概率；
(3)小明从盒子里取出个白球，放入个黑球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是白球的概率为，则______．
18．根据你的经验，分别写出下列事件发生的机会，并用编号把这些事件发生的机会在直线上表示出来．
、在一个不透明的袋中装有红球个，白球个，黑球个，每种球除颜色外其余都相同，摇匀后随机地从袋中取出个球，取到红球的机会是 ；
、投掷一枚普通正方体骰子，出现的点数为的机会是 ；
、投掷两枚普通硬币，出现两个正面的机会是 ．
19．如图1．线段和相交于点，连接．四张卡片除正面分别写着如图2所示的四个不同的条件外完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
(1)若小明第一次抽到卡片②后，再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，则两张卡片上的条件能证明的概率是______________．
(2)若从四张卡片中随机抽出两张，求两张卡片上的条件能证明的概率，用树状图法进行计算．
20．某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同．
(1)甲选择“校园安全”主题的概率为______；
(2)请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率．
21．一个不透明的箱子里装着若干除颜色外其它均相同的小球，其数学兴趣小组从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，不断重复，得到如下数据：
摸球总次数 150 200 250 300 350 400
摸到红球的次数 98 126 150 177 198
摸到红球的频率
(1)上表中的___________，___________（小数形式）：
(2)“摸到红球”的概率估计值为___________；（精确到）
(3)若箱子中装有红、白、黑三种颜色的球共20个，其中白球的个数比黑球个数的2倍少2个，求摸到黑球的概率．
22．“五 一”假期，宇宙公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题：
(1)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配100名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去B地车票的概率为______；
(2)若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷1次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？
23．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 0.250
(1)根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是_____（保留2位小数）；
(2)估计袋中白球的个数；
(3)若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率．
24．为落实五育并举，全面发展社会主义建设者和接班人，明智中学将德育、智育、体育、美育和劳动教育纳入了学校课程，为了解某班学生对各课程的兴趣，学校随机抽取了班级部分学生进行调查（每位学生仅选一门课程）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：
课 程 类别 学 生 人 数
A道法课 8
B体育课
C美术课 11
D劳动课 15
(1)本次抽查的学生人数是 ，统计表中的 ；
(2)在扇形统计图中，“D劳动课”对应的圆心角的度数是 ；
(3)若该校共有1200名学生，请你估计该校学生选择“C美术课”课程的学生人数；
(4)学校决定增设“美术”“劳动”“体育”三个课后服务课程．若小张、小李随机选取三个课程中的两个，请求出他们选择相同课程的概率．
25．甲、乙两班分别选5名同学组成代表队参加学校组织的“国防知识”选拔赛，满分10分，现根据成绩（满分10分）制作如图统计图和统计表（尚未完成）
甲、乙两班代表队成绩统计表
平均数 中位数 众数 方差
甲班 8.5 8.5 a 0.7
乙班 8.5 b 10 1.6
请根据有关信息解决下列问题：
(1)填空： ______， ______；
(2)学校预估如果平均分能达8.5分，在参加市团体比赛中即可以获奖，现应选派______代表队参加市比赛；（填“甲”或“乙”）
(3)若甲班共有40名学生，试估计甲班成绩不低于8.5分的学生数量；
(4)现将从成绩满分的3个学生中随机抽取2人参加市国防知识个人竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到甲、乙班各一名学生的概率．
参考答案
一、选择题
1．D
【分析】本题考查了必然事件：一定发生的事件，对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、明天可能有太阳或没有太阳，是随机事件，故不符合题意；
B、买一张电影票，座位号是偶数号或奇数号，是随机事件，故不符合题意；
C、小丽到达公交车站台时，108路公交车正在驶来或已驶离，是随机事件，故不符合题意；
D、一只袋子中装有3个红球和1个白球，从中摸出2个球，至少有一个红球，即其中有红球，是必然事件，故符合题意；
故选：D．
2．A
【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．根据频率=频数÷数据总数计算即可得答案．
【详解】解：∵共射击100次，其中有85次击中靶子，
∴击中靶子的频率为，
∴小明射击一次击中靶子的概率约为，
故选：A
3．C
【分析】本题考查了无理数的定义，根据概率公式求概率，先判断各数是属于无理数还是有理数，再根据概率公式计算即可得解，熟练掌握无理数的定义是解此题的关键．
【详解】解：是整数，属于有理数；属于无理数；是分数，属于有理数；属于无理数；
故从中任取一张卡片．取到的数是无理数的可能性大小是，
故选：C．
4．D
【分析】本题主要考查了可能性的计算，A选项中用红桃的牌数除以54即为抽出红桃的可能性；B选项中用中奇数的个数除以6可得点数是奇数的可能性；C选项中用中小于3的数字个数除以10可得任意抽取一张，得到的数小于的可能性；D选项中用红球个数除以球的总数可得任意摸出一个红球的可能性．
【详解】解：A、从一副张的扑克牌中抽出一张红桃的可能性是，原说法错误，不符合题意；
B、掷一枚骰子得到的点数是奇数的可能性是，原说法错误，不符合题意；
C、从写有的数字卡片中任意抽取一张，得到的数小于的可能性是，原说法错误，不符合题意；
D、从装有个红球和个白球的袋子里任意摸出一个红球的可能性是，原说法正确，符合题意；
故选：D．
5．B
【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．列举出所有情况，比较概率得到正确选项即可．
【详解】解：将1枚质地均匀的硬币朝水平地面抛3次，三次情况如下：
共有8种情况，1次正面向上、2次反面向上的情况共有3种，
；
将3枚质地均匀的硬币朝水平地面同时抛出，三枚硬币情况如下：
共有8种情况，1枚正面向上、2枚反面向上的情况共有3种，
；
．
故选：B．
6．C
【分析】本题考查用频率估计概率．由题意可知点落在白色区域的概率为0.4，求出白色区域的面积，进而求出黑色区域的面积．
【详解】解：∵点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，
∴点落在白色区域的概率在0.4左右，
∴白色区域的面积为，
∴黑色区域的面积为．
故选：C．
7．A
【分析】本题主要考查了用列表法求概率，熟练掌握列表法列出所有等可能结果并结合概率公式计算是解题的关键．通过列表法列出所有入口和出口的组合情况，再找出从口进入且从口离开的情况数，最后根据概率公式计算概率．
【详解】解：列表
出口入口
由列表可知，共有种等可能的结果．
其中从口进入，从口离开的结果只有种，即．
所以．
故选：A．
8．A
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及满足关于的一元二次方程有实数根的情况数，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
则共有种等可能的结果；关于的一元二次方程有实数根，即，
由树状图可得：满足的有种情况：即，，，，，，
所以满足关于的一元二次方程有实数根的概率为：．
故选：．
9．A
【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．将2个标有“北斗”，1个标有“高铁”，1个标有“天眼”的小球依次记为，画出树状图，找出小康两次摸出的球的所有等可能的结果，再找出小康两次摸出的球是“北斗”和“高铁”的结果，然后利用概率公式计算即可得．
【详解】解：将2个标有“北斗”，1个标有“高铁”，1个标有“天眼”的小球依次记为，画出树状图如下：
由图可知，小康两次摸出的球共有12种等可能的结果，其中，小康两次摸出的球是“北斗”和“高铁”的结果有4种，
则小康两次摸出的球是“北斗”和“高铁”的概率是，
故选：A．
10．B
【分析】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率．根据折线统计图可知，随着试验次数的增加频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解．
【详解】根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下，
A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，本选项不符合题意；
B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是的概率是，本选项符合题意；
C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，本选项不符合题意；
D、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，本选项不符合题意；
故选：B．
二、填空题
11．不可能
【分析】本题考查了事件的分类，理解并掌握“随机事件”“不可能事件”或“必然事件”的概念是解题的关键．随机事件：指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；必然事件：在一定的条件下重复进行试验时必然会发生的事件；根据上述概念辨析即可求解．
【详解】解：成语“水中捞月”描述的事件是不可能事件，
故答案为：不可能 ．
12．0.4
【分析】本题考查了求频率，用频率估计概率，随着试验次数的增加，频率稳定趋向一个固定的值，这个固定值即是概率；求出各个频率即可估计出概率．
【详解】解：∵表中从左往右，频率分别为0.5，0.3，0.36，0.4，0.403，0.4005，0.4002，
∴随着试验次数的增多频率稳定在0.4附近，
∴钉尖朝上的概率约为0.4，
故答案为：0.4．
13． 不公平 小兰
【分析】此题考查了概率的应用．用列举法求概率必须把所有可能的结果都列举出来，然后再求其中某个事件发生的概率．
因为骰子的点数是1，2，3，4，5，6．其中偶数有三个，占，是3的倍数的只有两个，占．据此解答．
【详解】解：∵骰子的点数是1，2，3，4，5，6，
∴P（偶数）； P（3的倍数）．
∴游戏不公平；小兰获胜的概率大，概率是．
故答案为：不公平，小兰，．
14．
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题关键．由摸到白球的频率稳定在附近得出口袋中得到白色球的概率，进而利用概率公式求出红球个数即可．
【详解】解：设红球个数为个，
∵摸到白色球的频率稳定在左右，
∴口袋中得到白色球的概率为，
∴，
解得：，
故红球的个数为个．
故答案为：．
15．4
【分析】本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．直接由概率公式即可得出结论．
【详解】解：∵一个袋子中有若干个白球和绿球，随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，
∴袋子中至少有4个绿球，
故答案为：4．
16．
【分析】本题考查列表法求概率：列出表格，利用概率公式进行求解即可．
【详解】解：由题意，列表如下：
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
共20种等可能的情况，其中小林和小新相邻座位的结果有6种，
∴．
故答案为：
三、解答题
17．（1）∵红球3个，白球5个，黑球7个
∴摸出的球是白球是随机事件，
故答案为：随机事件；
（2）∵红球3个，白球5个，黑球7个
∴任意摸出一个球是黑球的概率是；
（3）根据题意得，
，
即
解得．
18．解：、在一个不透明的袋中装有红球个，白球个，黑球个，每种球除颜色外其余都相同，摇匀后随机地从袋中取出个球，取到红球的机会是；
、投掷一枚普通正方体骰子，出现的点数为是不可能事件，故概率为；
、投掷两枚普通硬币，一共有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）四种等可能结果，出现两个正面的由一种，
∴出现两个正面的机会是，
故答案为：；；，
在直线上表示如下，
19．（1）解：（1），
当时，．
当时，．
当时，无法得到．
概率是．
故答案为：．
（2）如图：
共12种等可能的结果．
结合，其中
①，②，∴；
②，①，∴；
②，④，∴；
④，②，∴，
满足要求的结果有4种．
20．（1）解：共有四种等可能结果，甲选择“校园安全”主题的结果只有一种，所以甲选择“校园安全”主题的概率为．
故答案为：．
（2）解：设交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别为A、B、C、D，
画树状图为：
，
共有16种等可能结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有12种，
则甲和乙选择不同主题的概率为．
21．（1）解：，；
（2）解：由表可知，当n很大时，摸到红球的频率将会接近，
∴摸到红球的概率估计值是；
（3）解：设黑球有个，则白球有个；
∴，
解得：，
∴摸到黑球的概率为，
答：摸到黑球的概率为．
22．（1）解：员工小王抽到去地车票的概率为，
故答案为：．
（2）解：不公平，
画树状图如下：
由此可知，共有16种等可能结果．
其中小张掷得数字比小李掷得数字大的有6种：，，，，，．
所以小张掷得数字比小李掷得数字大的概率为．
则小张掷得数字不小于小李掷得数字的概率为，
，
不公平．
23．（1）解： 观察表格得：通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.25左右，
估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25；
故答案为：0.25；
（2）解：∵从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25
∴球的总数为
∴袋中白球的个数为；
（3）解：画树状图得：

共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种情况，
两次都摸出白球的概率为．
24．（1）解：总人数为：（人）
那么体育课的人数为：（人），即，
故答案为：50，16；
（2）解：D劳动课的人数为15人，那么圆心角度数为：，
故答案为：；
（3）解：（人）
答：估计该校学生选择“C美术课”课程的学生人数是264人．
（4）解：设“美术”“劳动”“体育”分别为，，，
那么小李的选择有可能是：，，，
小张的选择有可能是：，，，
列出表格如下：
小李 小张
、 、 、
、 、 、
、 、 、
一共有9种结果，选择相同课程的结果有3个，
那么他们选择相同课程的概率，
答：他们选择相同课程的概率是．
25．（1）解：由条形统计图可得甲班的众数为，即，
将乙班的数据从小到大排列为：，，，，，
∴中位数为，即，
故答案为：，；
（2）解：现应选派甲班代表队参加市比赛会更好，理由如下：
从平均数看，两班平均数相同，则甲、乙两班的成绩一样好；
从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定．
故答案为：甲；
（3）解：由条形统计图可得，（人），
答：估计甲班成绩不低于8.5分的学生有人；
（4）解：列表如下：
甲 乙1 乙2
甲 ﹣﹣﹣ 乙1 甲 乙2 甲
乙1 甲 乙1 ﹣﹣﹣ 乙2乙1
乙2 甲 乙2 乙1乙2 ﹣﹣﹣
所有等可能的结果为6种，其中抽到甲班、乙班各一人的结果为4种，
∴抽到甲，乙班各一个学生的概率为．

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