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2025-2026学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 2 3 ≤ 0}， = { || + 1| ≤ 2}，则 ∩ =( )
A. [ 1,3] B. [ 3,1] C. [ 3,3] D. [ 1,1]
3 1 , < 1
2.设函数 ( ) = 25 ，则 [ (log23)]的值为( )2 2 , ≥ 1
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.已知 = 1 13，则tan + 的值为( )
A. 4 29 B. 9 C.
9 D. 94 2
4.已知 是等差数列{ }的前 项和，若 4 = 7 + 1， 4 + 7 = 4，则 19 =( )
A. 133 B. 4 C.
20
3 D. 7
5.已知向量 , 满足| | = | | = 2，且 ⊥ ( 4 )，则向量 在向量 方向上的投影向量为( )
A. 14 B.
1 4 C.
1
2 D.
1
2
6.已知函数 ( ) = + 33 +1是定义在 上的奇函数，若函数 = ( 3 + )的零点在区间( 2,2)内，则实
数 的取值范围为( )
A. ( 2 13 , 3 ) B. (
7 , 16 6 ) C. (
1
6 ,
7 1 2
6 ) D. ( 3 , 3 )
7 .已知 0 < < 2 , 0 < < 2，且 3 = cos( 2 )，则 的最小值为( )
A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 4 2
8.已知函数 ( ) = 2 + ，若 ( ) ≥ 2 恒成立，则实数 的取值范围为( )
A. ( ∞, ] B. (0,1] C. [ , + ∞) D. [1, + ∞)
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = cos( + 3 )( > 0)的最小正周期为 ，则下列说法正确的是( )
A. = 2
B.函数 ( )的单调递增区间为[ 6 + ,

3 + ]( ∈ )
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C.函数 ( ) 的图象关于点( 12 , 0)对称
D.函数 ( )的图象关于直线 = 3对称
10.已知函数 ( ) 3对任意的 ∈ 都有 ( + 3) ( ) = 2 ( 2 )，若 = ( 2)的图象关于直线 = 2 对称，
, ∈ [0, 3 ] ≠ ( 2) ( )且对任意的 1 2 2 ，且 1 2，都有
1
< 0，则下列结论正确的是( )2 1
A. ( )是偶函数 B. ( )的周期 = 3
C. (2026) = 0 D. ( )在( 3, 32 )上单调递增
11.已知△ 是边长为 3 的等边三角形， = 3 , = 2 ，则下列说法正确的是( )
A. = 2 3
+ 1 6
B. = 52
C. = 4
D.若点 是 边上的动点，则 1的最小值为 4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知 > 0， > 0， + = 1 1 9 ，则 + 的最小值为______．
13 .在锐角△ 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 2 = 2 + ，则 的取值范围是______．
| |, > 0
14.已知函数 ( ) = 22 ，若方程 ( ) = ( ∈ )有四个不同的实数根 1， 2， ， (其中 + 2 + 1, ≤ 0 3 4 1
<
2 < 3 < 4)，则 1 + 2 + 3 + 4的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 3 = + 3 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 4， + = 6，求△ 的面积．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = sin( + 3 )
3
4 ．
(1)求 ( )的最小正周期和对称轴方程；
(2) 求 ( )在[ 4 , 4 ]上的值域；
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(3)将函数 ( )图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到函数 ( )的图象，若不等式
( 3 ) (2 +

6 ) ≥ +
3 5
2对任意的 ∈ [ 2 , 6 ]恒成立，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
设数列{ }的前 项和为 ，且 2 + = 5 2 ( ∈ )．
(1)证明：数列{ 2 }为等比数列；

(2)设数列{ }满足 =
2
3 ，求数列{ }的前 项和 ． +1
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = (2 4 ) 2 4， ∈ (0, + ∞)．
(1)当 = 0 时，求函数 = ( )在(2, (2))处的切线方程；
(2)求函数 = ( )的单调区间；
(3)当 = 1 1， ≥ 2 时，恒有 ( ) + 2 + 2
2 ≥ 0 成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
定义：函数 ( )图象上不同的三点 ， ， ，它们的横坐标依次成等差数列，且函数 ( )在点 处的切线斜
率恒小于直线 的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数.设函数 ( ) = + 2．
(1)讨论函数 ( )的极值；
(2)若函数 ( )是其定义域上的“等差偏移”函数，求实数 的取值范围；
3
(3)当 = 1 时，递增数列{ }满足 +1 = ( )
2 1
2 , 1 =
3
2，其前 项和为 ，试证明： < + 1．
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参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】7
13.【答案】( 2, 3)
14. (0, 1【答案】 2 ]
15.(1)根据 3 = + 3 ，结合正弦定理得 3 = + 3 ，
因为△ 中， = sin( + ) = + ，
所以 3( + ) = + 3 ，化简得 3 = ，
因为在△ 中， ≠ 0，
3 = = 所以 ，可得 = 3，结合 ∈ (0, )，可得 = 3；
(2)由余弦定理 2 = 2 + 2 2 ，
可得 2 + 2 2 3 = 16，即
2 + 2 = 16…①，
根据 + = 6，可得( + )2 = 2 + 2 + 2 = 36…②，
= 20 = 1 = 1 × 20 3 5 3由①②两式相减，化简得 3，所以 △ 2 2 3 × 2 = 3 ．
16.(1) ( ) = sin( + ) 33 4 = ( cos

3 + sin
3
3 ) 4
1 3 3 1 3 3
= ( 2 +
2
2 ) 4 = 2 + 2 cos 4
= 14 2 +
3
4 (1 + 2 )
3 = 1 3 1 4 4 2 + 4 2 = 2 sin(2 + 3 )，
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最小正周期 = 2 2 = ，
2 + 令 3 = +

2， ∈ ，解得 =

2 + 12， ∈ ，
所以 ( ) 的对称轴方程为 = 2 + 12， ∈ ；
(2) ∈ [ , ] 2 + 4 4 时 3 ∈ [

6 ,
5 1 1 1
6 ]，故2 sin(2 + 3 ) ∈ [ 4 , 2 ]，
( ) [ 即 在 4 ,
1 1
4 ]上的值域为[ 4 , 2 ]；
(3)将函数 ( )图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，
1 1 1
得到函数 ( ) = 2 sin( 2 × 2 + 3 ) = 2 sin( + 3 )，
则 ( 3 ) (2 +

6 ) =

2
1
2 sin(2 +

2 )
= 2
1 2
2 (1 2 ) = sin
2 + 12 2，
令 = ∈ [ , 5 ，因为 2 6 ]
1
，所以 ∈ [ 2 , 1]，
3 5
则不等式 ( 3 ) (2 + 6 ) ≥ + 2对任意的 ∈ [ 2 , 6 ]恒成立，
1 3 1
等价于 2 + 2 2 ≥ + 2对任意的 ∈ [ 2 , ]恒成立，
即 2 + 2 2 ≥ 0 对任意的 ∈ [
1
2 , ]

恒成立，整理得 ( 2 1) ≥ 2
2，
2 2 2
因为 ∈ [ 12 , 1]

，所以2 1 < 0
2
，则 ≤ =
( 2) = 2 +4
1 ( 1) 2
，
2 2
2
令 ( ) = 2 +4 1 2 ， ∈ [ 2 , 1]，对 ( )求导：
4 ( 2) ( 2 2 +4) 2( 2 4 + 2)
′( ) = =
( 2)2 ( 2)2
2
= 2( 2) +4 4( 2)2 = 2 + ( 2)2，
令 ′( ) = 0，解得 = 2 2，
令 ′( ) > 0，解得 2 2 < ≤ 1，即 ( )在(2 2, 1]内单调递增；
1
令 ′( ) < 0，解得2 ≤ < 2 2
1
，即 ( )在[ 2 , 2 2)内单调递减；
所以 ( ) = (2 2) = 4 2 8，所以 ≤ 4 2 8，
即实数 的取值范围是( ∞,4 2 8]．
17.(1)证明：由 2 + = 5 2 ( ∈ )，
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可得 2 1 + = 3
10
1 1 = 10，解得 1 = 3，
当 ≥ 2 时，由 2 + = 5 2 ( ∈ )，
可得 2 1 + 1 1 = 5 2 ，
相减可得 2 + 1 1 = 5 2 ，
1 5
即为 = 3
1
1 + 3 2 ，
2 = 1则 1 3 ( 1 2 )，
可得数列{ 2 } 4 1 是3，公比为3的等比数列；
(2) 1由等比数列的通项公式，可得 2 = 4 ( 3 )
，
即 = 2 + 4 (
1
3 ) ，

2 3 6
3 1 1
= 3 = (6 +4)(6 +1+4) = 5 ( 6 +4 6 +1+4 )， +1
3 1 1 1 1 1 1
则数列{ }的前 项和 = 5 ( 10 40 + 40 220 + . . . + 6 +4 6 +1+4 )
= 3 ( 1 1 3 35 10 6 +1+4 ) = 50 5(6 +1+4)．
18.(1)当 = 0 时， ( ) = (2 4) 2 4，
′( ) = (2 4)′ 2 4 + (2 4)( 2 4)′
= 2 2 4+ 2(2 4) 2 4 = 2 4(4 6)，
所以 ′(2) = 2， (2) = 0，
所以函数 = ( )在(2, (2))处的切线方程为 = 2( 2)，即 = 2 4；
(2) ′( ) = (2 4 )′ 2 4 + (2 4 )( 2 4)′
= (4 6 2 ) 2 4， ∈ (0, + ∞)，
令 ′( ) = 0 3+ ，因为 2 4 > 0，所以 4 6 2 = 0，解得 = 2 ，
若 > 3 3+ ，则 2 > 0，
当 ∈ (0,2)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
当 ∈ ( 3+ 2 , + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
3+
若 ≤ 3，则 2 ≤ 0，
因为 > 0，所以 2 3 ≥ 2 3 ( 3) = 2 > 0，
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所以 ′( ) > 0， ( )单调递增；
> 3 ( ) (0, 3+ ) ( 3+ 综上， 时， 的单调递减区间为 2 ，单调递增区间为 2 , + ∞)；
≤ 3 时， ( )的单调递增区间为(0, + ∞)，无单调递减区间；
(3)当 = 1， ≥ 2 时， ( ) = (2 5) 2 4，令 2 = ( ≥ 1)，
则 = 2 + 1，原不等式可化为(2 1) 2 + + 22 ≥ 0 恒成立，
令 ( ) = (2 1) 2 + + 12
2( ≥ 1)，
′( ) = 4 + ，令 ( ) = 4 + ( ≥ 1)，
′( ) = 4( + 1)，当 ≥ 1 时， ′( ) = 4( + 1) > 0，
所以 ( )在[1, + ∞)上单调递增，所以 ( ) ≥ (1) = ，
当 ≥ 0 时， ′( ) ≥ 0， ( )在[1, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) ≥ (1) = 1 + + 1 22 ≥ 0，解得 ≥ 1 + 3，或 ≤ 1 3舍去；
当 < 0 时，存在 0 > 1，使得 ′( 0) = 0，即 4 0 0 + = 0，
= 4 0 0，当 ∈ [1, 0)时， ( ) < 0， ( )单调递减，
当 ∈ ( 0, + ∞)时， ( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( ) = ( ) = (2 2
1 2 2 2
0 0 1) 0 + 0 + 2 = (2 0 1) 0 4 0 +
1 2 2 2 2
0 2 × 16 0ln 0 = 8 0ln 0
2 20 20 0 ≥ 0，
令 = 0( 0 > 1)，则 8 2 2 1 ≥ 0
1
，解得 ≥ 2，或 ≤
1
4，
即 ≥ 1 1 10 2，或 0 ≤ 4，因为 0 > 1，所以 0 ≤ 4舍去，
1
由 0 ≥ 2得 0 ≥ ，
令 ( ) = 4 ( > 1)，则 ′( ) = 4(1 + )，
当 > 1 时， ′( ) < 0，所以 ( )单调递减，
所以 = 4 0 0 ≤ 4 ×
1
2 = 2 ，
综上所述，实数 的取值范围是( ∞, 2 ] ∪ [ 1 + 3, + ∞)．
19.(1)函数 ( ) = + 2的定义域为(0, + ∞)，
2 2+
求导得： ′( ) = + 2 = ，
当 ≥ 0 时，2 2 + > 0 恒成立，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增，无极值；
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2
当 < 0 时，令 ′( ) = 2 + = 0，解得 =± 2，
∵ > 0 ∴ = ， 2，
0 < < 当 2时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减，

当 > 2时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增，
∴函数 ( )在 = 2处取得极小值，极小值为： ( 2) = 2 + ( 2)
2 = 2 ln( 2 ) 2，且函数
无极大值．
≥ 0 < 0 综上，若 ，函数无极值；若 ，函数的极小值为2 ln( 2 ) 2，无极大值．
(2)设三点 ( 1, ( 1))， ( 2, ( 2))， ( 3, ( 3))的横坐标成等差数列，且满足 1 < 2 < 3，
3 2 2 3
= 1+ 3 = ( 3) ( )
+( 3 1)
则 ， 1 = 1 = 12 2 + 2 2，3 1 3 1 3 1
= ′( 2) =

+ 2 2，2
∵函数 ( )在点 处的切线斜率恒小于直线 的斜率，
3
∴ 1 + 2 2 < + 2 2，2 3 1
ln 3
( 2 化简得 1 + ) < 0，即
2( 3 1) 3
3 1 3 1 3+
< ln ，1 1
= 3 > 1 2( 1)令 ，则 ，代入可得 +1 < ，1
即 2( 1)．[ +1 ] < 0，
令 ( ) = 2( 1) +1 ，
( ) = 4
2
求导得 ′ ( +1)2
1
=
( 1)
( +1)2 < 0 恒成立，
∴ ( )在(1, + ∞)内单调递减， ( ) < (1) = 0 2( 1)，即 +1 < 0，
∴ ( ) < 0，解得 > 0，
∴实数 的取值范围为：(0, + ∞)．
(3)证明：当 = 1 时， ( ) = + 2，
2 3 = ( ) 1 2 2
3 1
+1 2 = + 2 =
1 1

+ 2 + ， 2
( ) = + 1 1设 2 + 2，
求导得 ′( ) = 1 1 2 1 2 2 = 2 2 ，
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当 > 1 时， ′( ) > 0，则 ( )在(1, + ∞)内单调递增，
∴ ( ) > (1) = 1，
∴ > 1， 1 =
3
2 > 1 符合题意，
1 1
构造函数 ( ) = 2 ( ) , ( > 1)，
1 2
求导得 ′( ) = 2 +
1 1
2 2 =
( 1)
2 2 > 0，
∴ ( )在(1, + ∞)内单调递增，则 ( ) > (1) = 0，
∴当 > 1 1时，2 (
1
) > ，
∴ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 < 2 2 ，即 +1 = + 2 + 2 < 2 2 + 2 + 2 = 2 + 2，
∴ 1 1 1 +1 1 < 2 ( 1) < 22 ( 1 1) < … < 2 ( 1 1) =
1
2 +1，
∴ 1 < 1 2 ，即 <
1
2 + 1( ≥ 2)，
1 1
∴ =
1 1 1 2 2 +1 1
1 + 2 + … + < 2 + 22 + … + 2 + = 1 + = 1 2 + < + 1．1 2
第 9页，共 9页

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