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第2课时　不等式的性质
学习 目标 1. 掌握不等式的性质． 2. 能正确运用不等式的性质解决有关问题．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P40—P42，完成下列填空．
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b a
2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 a>b，c<0 c的 符号
5 同向可加性 a>b，c>d 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 同向
7 可乘方性 a>b>0 an bn(n∈N，n≥2) 同正
8 可开方性 a>b>0，n∈N* > 同正
注意：
(1) 若a>b>0，则0<<；若a>.
(2) 不等式只有加法和乘法运算，没有减法和除法运算．
典例精讲能力初成
探究1　判断命题的真假
例1　对于实数a，b，c，下列命题为假命题的是(　 　)
A. 若a>b，则acB. 若ab2
C. 若c>a>b>0，则>
D. 若a>b，>，则a>0，b<0
在做选择题时，可利用特值法进行排除，注意取值时一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算．
变式　(1) (多选)若a>b>0，则下列不等式成立的是(　 　)
A. <　 B. >
C. a＋>b＋　 D. a＋>b＋
(2) 已知a，b，c为实数，则下列结论正确的是(　 　)
A. 若ac＞bc＞0，则a＞b
B. 若a＞b＞0，则ac＞bc
C. 若ac2＞bc2，则a＞b
D. 若a＞b，则ac2＞bc2
探究2　利用不等式性质证明不等式
例2　(课本P42例2)已知a>b>0，c<0，求证：>.
利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式，解决此类问题首先要熟记不等式的性质；另外，在应用不等式的性质进行推导时，应注意不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
变式　(1) 已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：＜.
(2) 已知b＞a＞0，c＞d＞0，求证：＞.
探究3　利用不等式的性质求范围
例3　已知实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.
(1) 求实数a，b的取值范围；
(2) 求3a－2b的取值范围．
同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．
变式　已知1≤a≤2，－1≤b≤4，则t＝a－2b的取值范围是(　 　)
A. {t|－7≤t≤4}　 B. {t|－6≤t≤9}
C. {t|6≤t≤9}　 D. {t|－2≤t≤8}
随堂内化及时评价
1. 已知a，b分别对应数轴上的A，B两点，且A在原点右侧，B在原点左侧，则下列不等式成立的是(　 　)
A. a－b≤0　 B. >－
C. |a|＞|b|　 D. a2＋b2≥－2ab
2. (多选)已知a，b，c为非零实数，且a－b≥0，则下列结论正确的有(　 　)
A. a＋c≥b＋c　 B. －a≤－b　　　　
C. a2≥b2　 D. ≥
3. 已知0A. {m|－2C. {m|－84. (2025·郑州期末)(多选)下列说法正确的是(　 　)
A. 若a>b>0，则ac2>bc2
B. 若aC. “a>2”是“<”的充要条件
D. “a>|b|”是“a2>b2”的充分不必要条件
配套新练案
一、 单项选择题
1. 下列选项正确的是(　 　)
A. a>b >1
B. a>b a2>b2
C. a3>b3 a>b
D. a>b a2n>b2n(n∈N*)
2. 如果a<0，b>0，那么下列不等式正确的是(　 　)
A. <　 B. <
C. a2|b|
3. 已知1≤3a≤5，3≤4b≤7，则2a－b的取值范围是(　 　)
A. －1≤2a－b≤3　 B. －≤2a－b≤
C. ≤2a－b≤　 D. －1≤2a－b≤
4. 对于实数a，b，c，d，下列说法正确的是(　 　)
A. 若a>b，则>
B. 若abd
C. 若a>b>c>0，则>
D. 若a>b>1，则a＋>b＋
二、 多项选择题
5. (2025·九江期末)下列结论不正确的是(　 　)
A. 若ac2≥bc2，则a≥b　　　　
B. 若a>，则a2>b2
C. 若>，则aD. 若<，则a>b
6. (2025·武汉期末)下列几种说法中，正确的是(　 　)
A. 若a>b，则<
B. 若a>1，b>1，则a＋b－1C. 若a>b>0，m>0，则<
D. 若a>b>0，c
三、 填空题
7. 已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，则3a＋2b的取值范围是 ．
8. 下列四个不等式：①a<0四、 解答题
9. (1) 设2(2) 已知a>b>0，d10. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．
(1) 若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为210 m2，其中窗户面积为20 m2，该公寓采光效果是否合格？
(2) 若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光是变好了还是变坏了？请说明理由．
11. 有外表一样重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋cA. d>b>a>c　 B. b>c>d>a
C. d>b>c>a　 D. c>a>d>b
12. (2025·汕尾期末)已知3A. {2ab|4<2ab<18}　　 B. {2ab|2<2ab<9}
C. {2ab|5<2ab<15}　　　　 D. <2ab<|
13. (多选)生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖(a>0，b>0，且a>b)，若再添加c(c>0)克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：>，趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列说法一定正确的是(　 　)
A. 若a>b>0，m>0，则与的大小关系随m的变化而变化
B. 若b>a>0，m>0，则>
C. 若a>b>0，c>d>0，则<
D. 若a>0，b>0，则＋<＋
14. 已知－”连接)第2课时　不等式的性质
学习 目标 1. 掌握不等式的性质． 2. 能正确运用不等式的性质解决有关问题．
新知初探基础落实
复习：等式有下面的基本性质：
性质1　如果a＝b，那么b＝a；
性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝.
可以发现，性质1，2反映了相等关系自身的特性，性质3，4，5是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性．
一、 生成概念
性质1(对称性)
(1) 如果a＞b, 那么 b＜a；
(2) 如果b＜a, 那么 a＞b.
a>b b性质2(传递性)
如果a>b，b>c，那么a>c.
证明：因为a>b，b＞c，
所以a－b>0，b－c＞0.
又因为a－c＝(a－b)＋(b－c)＞0，
所以a＞c成立．
性质3：加法法则(可加性)
不等式两边同时加上(或减去)同一个数(或代数式)，不等号的方向不变．
如果 a>b, 那么a±c>b±c.
简称为：“加减同数不变号”．
求证：如果 a>b, 那么 a＋c>b＋c.
证明：因为a>b,
所以a－b>0.
又因为(a＋c)－(b＋c)＝a＋c－b－c＝a－b>0，
所以 a＋c>b＋c 成立．
(你们还能求证：如果a>b, 那么a－c>b－c成立吗？)
性质3推论(可移性)
a＋b>c a>c－b.
性质4：乘法法则(可乘性)
(1) 不等式两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
如果a>b，c>0，那么ac>bc或>.
简称为：“乘除正数不变号”．
求证：如果a>b，c＞0，那么 ac>bc.
证明：因为a>b，c＞0，
所以a－b>0.
又因为ac－bc＝c(a－b)>0，
所以ac>bc 成立．
(你们还能证明“如果a>b，c＞0, 那么>”吗？)
(2) 不等式两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
如果a>b，c<0，那么ac简称为：“乘除负数要变号”．
求证：如果a>b，c＜0，那么 ac＜bc.
证明：因为a>b，c＜0，
所以a－b>0.
又因为ac－bc＝c(a－b)＜0，
所以ac＜bc 成立．
(你们还能证明“如果a>b，c<0, 那么<”吗？)
性质5(同向可加性)
如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
证明：因为a>b，c＞d，
所以a＋c＞b＋c，b＋c＞b＋d(可加性)，
所以 a＋c＞b＋d成立(传递性)．
性质6(同向同正可乘性)
如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
证明：因为a>b，c>0，
所以ac>bc(可乘性：乘除正数不变号)．
又因为 c>d，b>0，
所以 bc>bd(可乘性：乘除正数不变号)．
故 ac>bd(传递性)．
性质7(同向同正可乘方性)
如果a>b>0，n∈N*，那么an>bn.
性质8(同正可开方性)
如果a>b>0，n∈N*，那么>.
请同学阅读课本P40—P42，完成下列填空．
二、 概念表述
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b__<__a
2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c__>__b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 __ac>bc__ a>b，c<0 __ac5 同向可加性 a>b，c>d __a＋c>b＋d__ 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 __ac>bd__ 同向
7 可乘方性 a>b>0 an__>__bn(n∈N，n≥2) 同正
8 可开方性 a>b>0，n∈N* > 同正
注意：
(1) 若a>b>0，则0<<；若a>.
(2) 不等式只有加法和乘法运算，没有减法和除法运算．
典例精讲能力初成
探究1　判断命题的真假
例1　对于实数a，b，c，下列命题为假命题的是(　A　)
A. 若a>b，则acB. 若ab2
C. 若c>a>b>0，则>
D. 若a>b，>，则a>0，b<0
【解析】对于A，由于c的符号未知，因而不能判断ac与bc的大小．对于B，因为a－b>0，所以(－a)2>(－b)2，即a2>b2.对于C，a>b>0 －a<－b，c>a>b>0 0，所以>.对于D，由已知条件知a>b b－a<0，> －>0 >0，所以ab<0.因为a>b，所以a>0，b<0.
在做选择题时，可利用特值法进行排除，注意取值时一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算．
变式　(1) (多选)若a>b>0，则下列不等式成立的是(　AC　)
A. <　 B. >
C. a＋>b＋　 D. a＋>b＋
【解析】因为a>b>0，所以ab>0，>0，于是a·>b·，所以<，故A正确；因为a>b>0，所以ab>0，所以a＋ab>b＋ab，即a(1＋b)>b(1＋a)，所以>，故B错误；因为bb＋，故C正确；对于D，因为a>b>0，且<，无法确定a＋与b＋的大小关系，当a＝2，b＝时，a＋＝b＋，故D错误．
(2) 已知a，b，c为实数，则下列结论正确的是(　C　)
A. 若ac＞bc＞0，则a＞b
B. 若a＞b＞0，则ac＞bc
C. 若ac2＞bc2，则a＞b
D. 若a＞b，则ac2＞bc2
【解析】对于A，可设a＝－5，b＝－4，c＝－3，满足ac＞bc＞0，但a＜b，故A不正确；对于B，因为不知道c的正负情况，所以不能直接得出ac＞bc，故B不正确；对于C，因为ac2＞bc2，所以c2＞0，所以a＞b，故C正确；对于D，若c＝0，则不能得到ac2＞bc2，故D不正确．
探究2　利用不等式性质证明不等式
例2　(课本P42例2)已知a>b>0，c<0，求证：>.
【解答】因为a>b>0，所以ab>0，>0，于是a·>b·，即>，由c<0，得>.
利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式，解决此类问题首先要熟记不等式的性质；另外，在应用不等式的性质进行推导时，应注意不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
变式　(1) 已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：＜.
【解答】因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以0＜－＜－.因为a＞b＞0，所以－＞－＞0，所以＞，即－＞－，两边同乘－1，得＜.
(2) 已知b＞a＞0，c＞d＞0，求证：＞.
【解答】因为b＞a＞0，所以＞＞0.因为c＞d＞0，所以＞＞0，所以＞＞0，所以＋1＞＋1＞0＋1，所以＞＞1，所以＞.
探究3　利用不等式的性质求范围
例3　已知实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.
(1) 求实数a，b的取值范围；
【解答】由－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，得－4≤(a＋b)＋(a－b)≤6.因为a＝[(a＋b)＋(a－b)]，所以－2≤[(a＋b)＋(a－b)]≤3，即－2≤a≤3，故实数a的取值范围为{a|－2≤
a≤3}．因为b＝[(a＋b)－(a－b)]，由－1≤a－b≤4，得－4≤b－a≤1，所以－7≤(a＋b)－(a－b)≤3，所以－≤[(a＋b)－(a－b)]≤，即－≤b≤，故b的取值范围为－≤b≤
}.
(2) 求3a－2b的取值范围．
【解答】设3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b，则解得所以3a－2b＝(a＋b)＋(a－b).因为－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，所以
－≤(a＋b)≤1，－≤(a－b)≤10，所以－4≤3a－2b≤11，即3a－2b的取值范围为{3a－2b|－4≤3a－2b≤11}．
同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．
变式　已知1≤a≤2，－1≤b≤4，则t＝a－2b的取值范围是(　A　)
A. {t|－7≤t≤4}　 B. {t|－6≤t≤9}
C. {t|6≤t≤9}　 D. {t|－2≤t≤8}
【解析】因为－1≤b≤4，所以－8≤－2b≤2，由1≤a≤2，得－7≤a－2b≤4.
随堂内化及时评价
1. 已知a，b分别对应数轴上的A，B两点，且A在原点右侧，B在原点左侧，则下列不等式成立的是(　D　)
A. a－b≤0　 B. >－
C. |a|＞|b|　 D. a2＋b2≥－2ab
2. (多选)已知a，b，c为非零实数，且a－b≥0，则下列结论正确的有(　ABD　)
A. a＋c≥b＋c　 B. －a≤－b　　　　
C. a2≥b2　 D. ≥
【解析】由a－b≥0得a≥b，根据不等式的性质可知A，B正确．因为a，b的大小不确定，所以C错误．－＝≥0，故D正确．
3. 已知0A. {m|－2C. {m|－8【解析】因为04. (2025·郑州期末)(多选)下列说法正确的是(　BD　)
A. 若a>b>0，则ac2>bc2
B. 若aC. “a>2”是“<”的充要条件
D. “a>|b|”是“a2>b2”的充分不必要条件
【解析】对于A，当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误；对于B，因为ab2且a2>ab，故a2>ab>b2，故B正确；对于C，当a<0时，<也成立，而当a>2时，<成立，故“a>2”是“<”的充分不必要条件，故C错误；对于D，当a>|b|时，a>|b|≥0，故a2>b2；取a＝－2，b＝－1，则a2>b2，但a>|b|不成立，故“a>|b|”是“a2>b2”的充分不必要条件，故D正确．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 下列选项正确的是(　C　)
A. a>b >1
B. a>b a2>b2
C. a3>b3 a>b
D. a>b a2n>b2n(n∈N*)
2. 如果a<0，b>0，那么下列不等式正确的是(　A　)
A. <　 B. <
C. a2|b|
3. 已知1≤3a≤5，3≤4b≤7，则2a－b的取值范围是(　B　)
A. －1≤2a－b≤3　 B. －≤2a－b≤
C. ≤2a－b≤　 D. －1≤2a－b≤
4. 对于实数a，b，c，d，下列说法正确的是(　D　)
A. 若a>b，则>
B. 若abd
C. 若a>b>c>0，则>
D. 若a>b>1，则a＋>b＋
【解析】对于A，当a＝1，b＝－1时，<，故A错误．对于B，若a0，故D正确．
二、 多项选择题
5. (2025·九江期末)下列结论不正确的是(　ACD　)
A. 若ac2≥bc2，则a≥b　　　　
B. 若a>，则a2>b2
C. 若>，则aD. 若<，则a>b
【解析】对于A，若c＝0，则a，b无法比较大小，故A错误；对于B，若a>，则a为正数，两边平方得a2>b2，故B正确；对于C，若>，则a>b，故C错误；对于D，若a＝－2，b＝1，满足<，但是a6. (2025·武汉期末)下列几种说法中，正确的是(　BCD　)
A. 若a>b，则<
B. 若a>1，b>1，则a＋b－1C. 若a>b>0，m>0，则<
D. 若a>b>0，c
【解析】当a＝2，b＝－1时，满足a>b，但<不成立，故A错误；因为a>1，b>1，所以a＋b－1－ab＝(1－b)·(a－1)<0，即a＋b－1b>0，m>0，所以－＝<0，即<，故C正确；因为a>b>0，cb－d>0，所以0<<，又m<0，所以>，故D正确．
三、 填空题
7. 已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，则3a＋2b的取值范围是__{3a＋2b|2≤3a＋2b≤11}__．
【解析】设3a＋2b＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b，所以解得所以3a＋2b＝(a＋b)＋(a－b).因为1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，所以≤(a＋b)≤10，－≤(a－b)≤1，因此2≤3a＋2b≤11.
8. 下列四个不等式：①a<0【解析】①a＜0＜b ＜0，＞0 ＜； ②b＜a＜0 ＜；③b＜0＜a ＞；④0＜b＜a ＜. 故答案为①②④.
四、 解答题
9. (1) 设2【解答】由题意得2(2) 已知a>b>0，d【解答】－＝，因为a>b>0，d0，ad10. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．
(1) 若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为210 m2，其中窗户面积为20 m2，该公寓采光效果是否合格？
【解答】这所公寓的窗户面积为20 m2，则地板面积为190 m2，由题意可得＝>＝10%，所以这所公寓的采光效果合格．
(2) 若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光是变好了还是变坏了？请说明理由．
【解答】设窗户面积为x m2，地板面积为y m2，窗户和地板同时增加m m2，则－＝＝，由题意可知00，所以>0，即>，所以公寓的采光效果变好了．
11. 有外表一样重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋cA. d>b>a>c　 B. b>c>d>a
C. d>b>c>a　 D. c>a>d>b
【解析】由题知a，b，c，d均大于0.因为a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，所以a＋d＋(a＋b)＞b＋c＋(c＋d)，即a＞c，所以b＜d.又a＋c＜b，所以a＜b.综上可得，d＞b＞a＞c.
12. (2025·汕尾期末)已知3A. {2ab|4<2ab<18}　　 B. {2ab|2<2ab<9}
C. {2ab|5<2ab<15}　　　　 D. <2ab<|
【解析】因为所以即所以则5<4ab<15，所以<2ab<.
13. (多选)生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖(a>0，b>0，且a>b)，若再添加c(c>0)克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：>，趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列说法一定正确的是(　BCD　)
A. 若a>b>0，m>0，则与的大小关系随m的变化而变化
B. 若b>a>0，m>0，则>
C. 若a>b>0，c>d>0，则<
D. 若a>0，b>0，则＋<＋
【解析】对于A，因为a>b>0，m>0，所以－＝>0，所以>，故A错误．对于B，因为b>a>0，m>0，所以－＝<0，所以>，故B正确．对于C，因为a>b>0，c>d>0，所以a－b>0，c－d>0，所以－＝＝>0，所以<，故C正确．对于D，因为0<1＋a<1＋a＋b，0<1＋b<1＋a＋b，所以>，>，所以＋>＋，故D正确．
14. 已知－A>B>D__．(用“>”连接)
【解析】由－0，所以A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2>0，所以A>B.又C－A＝－(1＋a2)＝＝，因为1＋a>0，－a>0，＋>0，所以C>A.B－D＝1－a2－＝＝，因为－0.又因为－<－<0，所以B＞D.综上，C>A>B>D.(共49张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1　等式性质与不等式性质
第2课时　不等式的性质
学习 目标 1. 掌握不等式的性质．
2. 能正确运用不等式的性质解决有关问题．
新知初探 基础落实
复习：等式有下面的基本性质：
可以发现，性质1，2反映了相等关系自身的特性，性质3，4，5是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性．
一、 生成概念
性质1(对称性)
(1) 如果a＞b, 那么 b＜a；
(2) 如果b＜a, 那么 a＞b.
a>b b性质2(传递性)
如果a>b，b>c，那么a>c.
证明：因为a>b，b＞c，
所以a－b>0，b－c＞0.
又因为a－c＝(a－b)＋(b－c)＞0，
所以a＞c成立．
性质3：加法法则(可加性)
不等式两边同时加上(或减去)同一个数(或代数式)，不等号的方向不变．
如果 a>b, 那么a±c>b±c.
简称为：“加减同数不变号”．
求证：如果 a>b, 那么 a＋c>b＋c.
证明：因为a>b,
所以a－b>0.
又因为(a＋c)－(b＋c)＝a＋c－b－c＝a－b>0，
所以 a＋c>b＋c 成立．
(你们还能求证：如果a>b, 那么a－c>b－c成立吗？)
性质3推论(可移性)
a＋b>c a>c－b.
性质4：乘法法则(可乘性)
(1) 不等式两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
简称为：“乘除正数不变号”．
求证：如果a>b，c＞0，那么 ac>bc.
证明：因为a>b，c＞0，
所以a－b>0.
又因为ac－bc＝c(a－b)>0，
所以ac>bc 成立．
(2) 不等式两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
简称为：“乘除负数要变号”．
求证：如果a>b，c＜0，那么 ac＜bc.
证明：因为a>b，c＜0，
所以a－b>0.
又因为ac－bc＝c(a－b)＜0，
所以ac＜bc 成立．
性质5(同向可加性)
如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
证明：因为a>b，c＞d，
所以a＋c＞b＋c，b＋c＞b＋d(可加性)，
所以 a＋c＞b＋d成立(传递性)．
性质6(同向同正可乘性)
如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
证明：因为a>b，c>0，
所以ac>bc(可乘性：乘除正数不变号)．
又因为 c>d，b>0，
所以 bc>bd(可乘性：乘除正数不变号)．
故 ac>bd(传递性)．
请同学阅读课本P40—P42，完成下列填空．
二、 概念表述
<
>
ac>bc
aca＋c>b＋d
ac>bd
>
典例精讲 能力初成
探究
1
判断命题的真假
1
A
在做选择题时，可利用特值法进行排除，注意取值时一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算．
变式　
AC
【解析】对于A，可设a＝－5，b＝－4，c＝－3，满足ac＞bc＞0，但a＜b，故A不正确；对于B，因为不知道c的正负情况，所以不能直接得出ac＞bc，故B不正确；对于C，因为ac2＞bc2，所以c2＞0，所以a＞b，故C正确；对于D，若c＝0，则不能得到ac2＞bc2，故D不正确．
(2) 已知a，b，c为实数，则下列结论正确的是 (　　)
A. 若ac＞bc＞0，则a＞b B. 若a＞b＞0，则ac＞bc
C. 若ac2＞bc2，则a＞b D. 若a＞b，则ac2＞bc2
C
探究
2
利用不等式性质证明不等式
2
利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式，解决此类问题首先要熟记不等式的性质；另外，在应用不等式的性质进行推导时，应注意不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
变式　
探究
　　　　已知实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.
(1) 求实数a，b的取值范围；
3
利用不等式的性质求范围
3
已知实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.
(2) 求3a－2b的取值范围．
同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．
【解析】因为－1≤b≤4，所以－8≤－2b≤2，由1≤a≤2，得－7≤a－2b≤4.
变式　
　　　　已知1≤a≤2，－1≤b≤4，则t＝a－2b的取值范围是 (　　)
A. {t|－7≤t≤4}　 B. {t|－6≤t≤9}
C. {t|6≤t≤9}　 D. {t|－2≤t≤8}
A
随堂内化 及时评价
D
ABD
3. 已知0A. {m|－2C. {m|－8D
【解析】因为0－6BD
配套新练案
一、 单项选择题
1. 下列选项正确的是 (　　)
C
B. a>b a2>b2
C. a3>b3 a>b
D. a>b a2n>b2n(n∈N*)
A
3. 已知1≤3a≤5，3≤4b≤7，则2a－b的取值范围是 (　　)
B
4. 对于实数a，b，c，d，下列说法正确的是 (　　)
D
二、 多项选择题
5. (2025·九江期末)下列结论不正确的是 (　　　)
ACD
6. (2025·武汉期末)下列几种说法中，正确的是 (　　　)
BCD
三、 填空题
7. 已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，则3a＋2b的取值范围是__________________．
{3a＋2b|2≤3a＋2b≤11}
①②④
四、 解答题
10. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．
(1) 若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为210 m2，其中窗户面积为20 m2，该公寓采光效果是否合格？
10. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．
(2) 若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光是变好了还是变坏了？请说明理由．
11. 有外表一样重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋cA. d>b>a>c　 B. b>c>d>a
C. d>b>c>a　 D. c>a>d>b
A
【解析】由题知a，b，c，d均大于0.因为a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，所以a＋d＋(a＋b)＞b＋c＋(c＋d)，即a＞c，所以b＜d.又a＋c＜b，所以a＜b.综上可得，d＞b＞a＞c.
12. (2025·汕尾期末)已知3A. {2ab|4<2ab<18}　　 B. {2ab|2<2ab<9}
D
【答案】BCD
C>A>B>D

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