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2.2　基本不等式
第1课时　基本不等式
学习 目标 1. 掌握基本不等式及推导过程，能熟练运用基本不等式比较两实数的大小． 2. 能初步运用基本不等式证明不等式和求最值．
新知初探基础落实
问题1：如图，AB是圆O的直径，Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直于AB且交圆O于点P，连接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？
易求得PO＝，PQ＝，且PQ≤PO.
一般地，对于正数a，b，为a，b的算术平均数，为a，b的几何平均数．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即≤.
一、 生成概念
问题2：上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明．
方法一(作差法)：－＝＝＝≥0，即≥，当且仅当a＝b时等号成立．
方法二(分析法)：
要证≤①，
只要证2≤a＋b②，
要证②，只要证2－a－b≤0③，
要证③，只要证－(－)2≤0④，
要证④，只要证(－)2≥0⑤，
显然，⑤成立，当且仅当a＝b时，⑤中的等号成立．
只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了．
我们把这种从已知出发进行推证的方法叫综合法，将从要证的结论出发，逐步寻求使其成立的充分条件的证明方法叫分析法．注意：在书写表达时每一步都要加以文字说明“要证……，只要证……”，直到“显然×××成立”．分析法这种由未知探需知、逐步推向已知的方法在今后的数学研究中还会经常用到.
请同学阅读课本P44—P45，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 基本不等式
__≤__(a>0，b>0).
2. 基本不等式常见推论
(1)＋≥__2__(a，b同号).
(2) a2＋b2＋c2≥__ab＋bc＋ca__(a，b，c∈R).
(3) 对n(n≥2)个正数a1，a2，…，an，有≥____．
(4) ____≤≤≤____(a>0，b>0)，其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab.(　√　)
(2) 当n∈N*时，n＋>2.(　√　)
(3) 当x≠0时，x＋≥2.(　×　)
(4) 若a>0，则a3＋的最小值为2.(　×　)
典例精讲能力初成
探究1　对基本不等式的理解
例1　(多选)已知a>0，b>0，则下列各式中一定成立的是(　ABD　)
A. a＋b≥2　 B. ＋≥2
C. ≥　 D. ≥2
【解析】由≥，得a＋b≥2，故A正确；因为＋≥2＝2，故B正确；因为a＋b≥2，所以≤，所以 ≤＝，故C错误；因为a2＋b2≥2ab，>0，所以≥＝2，故D正确．
基本不等式≥一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小要善于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．
变式　(多选)下列判断正确的有(　BCD　)
A. x＋≥4(x≠0) B. x＋≥6(x>0)
C. 4x2＋≥12(x≠0) D. >2(x∈R)
【解析】对于A，当x<0时，x＋<0，故A错误；对于B，当x>0时，x＋2>2，则x＋2＋－2≥2－2＝8－2＝6，当且仅当即x＝2时等号成立，故B正确；对于C，因为x≠0，所以x2>0，由基本不等式可得4x2＋≥2＝12，当且仅当4x2＝，即x＝±时等号成立，故C正确；对于D，因为x∈R，所以x2＋2≥2，所以≥，所以＝＝＋≥2＝2，当且仅当＝，即＝1时等号成立，但≥，故等号不成立，所以>2(x∈R)，故D正确．
探究2　利用基本不等式直接求最值
例2-1　(课本P45例1)已知x>0，求x＋的最小值．
【解答】因为x>0，所以x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，因此所求的最小值为2.
例2-2　(1) 设0【解答】因为0(2) 已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值．
【解答】因为4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号，所以a＝36.
利用基本不等式求最值时需注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值；三是考虑等号成立的条件是否具备．
变式　(1) 当x>0时，y＝＋4x的最小值为__8__．
【解析】因为x>0，所以>0，4x>0，所以y＝＋4x≥2＝8，当且仅当＝4x，即x＝时取得最小值8.
(2) 已知0【解析】因为0探究3　利用基本不等式证明不等式
例3　(课本P45例2)已知x，y都是正数，求证：
(1) 如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
【解答】因为x，y都是正数，所以≥.当积xy等于定值P时，≥，所以x＋y≥2，当且仅当x＝y时等号成立．于是，当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2) 如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
【解答】因为x，y都是正数，所以≥.当和x＋y等于定值S时，≤，所以xy≤S2，当且仅当x＝y时等号成立．于是，当x＝y时，积xy有最大值S2.
利用基本不等式证明不等式的策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
变式　已知a，b，c是正实数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
【解答】因为a，b，c是正实数， 所以＋≥2＝2c；＋≥2＝2a；＋≥2＝2b.上面三个不等式相加，得2·＋2·＋2·≥2a＋2b＋2c(当且仅当a＝b＝c时取等号)，所以＋＋≥a＋b＋c.
随堂内化及时评价
1. 设函数y＝2x＋－1(x<0)，则y(　D　)
A. 有最大值2
B. 有最小值2
C. 有最小值－2－1
D. 有最大值－2－1
【解析】y＝－－1≤－2－1，当且仅当x＝－时等号成立，所以函数y＝2x＋－1(x<0)有最大值－2－1.
2. “ab>0”是“＋≥2”的(　C　)
A. 充分不必要条件　　　　 B. 必要不充分条件
C. 充要条件　　　　 D. 既不充分又不必要条件
【解析】由ab>0可得或当时，由基本不等式可得＋≥2，当且仅当a＝b时等号成立；当时，>0，>0，由基本不等式可得＋≥2，当且仅当a＝b时等号成立，所以充分性满足．当＋≥2时，设t＝，则有t＋≥2，所以t>0，即>0，可得ab>0，所以必要性满足．故“ab>0”是“＋≥2”的充要条件．
3. 已知正实数x，y满足xy＝1，则x＋4y的最小值是__4__．
【解析】x＋4y≥2＝4，当且仅当x＝4y，即x＝2，y＝时取等号．
4. 已知x>0，则x－2＋的最小值为__2__，此时x＝__2．
【解析】因为x>0，所以x－2＋＝x＋－2≥2－2＝2，当且仅当x＝，即x＝2时取等号．
5. (课本P46练习2)已知x，y都是正数，且x≠y，求证：
(1) ＋>2；
【解答】因为x>0，y>0，所以>0，>0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即x＝y时取等号，但x≠y，因此不能取等号，所以＋>2.
(2) <.
【解答】因为x>0，y>0，所以x＋y≥2，所以≤＝，当且仅当x＝y时取等号，但x≠y，因此不能取等号，所以<.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 当x>0时，x＋的最小值为(　D　)
A. 3　 B.
C. 2　 D. 3
2. 下列不等式中等号可以取到的是(　C　)
A. ＋≥2
B. x2＋2＋≥2
C. x2＋≥2
D. |x|＋3＋≥2
3. 已知a>0，b>0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为(　D　)
A. 　 B. 4
C. 　 D. 2
【解析】由题意得4＝2a＋b≥2，即2≥，两边平方得4≥2ab，所以ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时等号成立，所以ab的最大值为2.
4. 若x＋(x>2)在x＝n处取得最小值，则n等于(　B　)
A. 　 B. 3
C. 　 D. 4
【解析】x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4(x＞2)，当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立，所以n＝3.
二、 多项选择题
5. 下面推导过程正确的有(　AC　)
A. 已知a，b为正实数，那么＋≥2＝2
B. 若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4
C. 若x，y∈R，xy<0，则＋＝－≤－2＝－2
D. 若a<0，b<0，则≤ab
【解析】对于A，因为a，b为正实数，所以，为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确；对于B，当a<0时，＋a≥2＝4不成立，故B错误；对于C，由xy<0，得，均为负数，则－，－均为正数，符合基本不等式的条件，故C正确；对于D，对任意的a，b∈R，都有a2＋b2≥2ab，即≥ab，故D错误．
6. 《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明．如图，在线段AB上任取一点C(不含端点A，B)，使得AC＝a，BC＝b，过点C作CD⊥AB交以AB为直径，O为圆心的半圆周于点D，连接OD.下面不能由OD≥CD直接证明的不等式为(　BCD　)
(第6题)
A. ≤(a>0，b>0)
B. ≥(a>0，b>0)
C. a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
D. ≤(a>0，b>0)
【解析】因为AC＝a，BC＝b，所以OD＝(a＋b)，由题意得∠ADB＝90°，由射影定理可得CD2＝AC·BC＝ab.由OD≥CD，得(a＋b)≥，当且仅当a＝b时取等号，故A正确，B，C，D不正确．
三、 填空题
7. 当x>1时，2x＋的最小值为__2＋2__．
【解析】由于x>1，所以x－1>0，所以2x＋＝2(x－1)＋＋2≥2＋2＝2＋2，当且仅当2(x－1)＝，(x－1)2＝，即x＝1＋时等号成立．
8. 已知x>0，y>0，＋y＝2，则的最小值为__1__.
【解析】由＋y＝2可得＝2－y，则x＝>0，可得0四、 解答题
9. 已知a>0，b>0，求证：(a＋b)≥4.
【解答】(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b时等号成立．
10. 设x>0，y>0，求证下列不等式：
(1) x＋≥3；
【解答】因为x>0，所以x＋1>1>0，所以x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝3，当且仅当x＋1＝，即x＝1时取等号，所以x＋≥3，命题得证．
(2) x2＋y2≥；
【解答】要证明x2＋y2≥，只需证明2(x2＋y2)≥(x＋y)2，只需证明2x2＋2y2≥x2＋y2＋2xy.因为2x2＋2y2－(x2＋y2＋2xy)＝x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0，当且仅当x＝y时取等号，所以2(x2＋y2)≥(x＋y)2成立，则x2＋y2≥成立，命题得证．
(3) x(x－y)≥y(x－y).
【解答】x(x－y)－y(x－y)＝x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0，当且仅当x＝y时取等号，所以x(x－y)≥y(x－y)，命题得证．
11. 若正数x，y满足＋2＝2，则xy的最大值为(　C　)
A. 6　 B. 9
C. 　 D.
【解析】因为＋2＝2≥2，所以8≤12，≤，xy≤，当且仅当x＝3，y＝时取等号．
12. 已知实数 a>0，b>0，且满足 ab－a－2b－2＝0，则(a＋1)(b＋2)的最小值为(　D　)
A. 24　 B. 3＋13
C. 9＋13　 D. 25
【解析】因为ab－a－2b－2＝0，所以b＝.又a>0，b>0，所以>0，所以a>2.又b＝＝1＋，所以(a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2＝a＋2b＋2＋2a＋b＋2＝3a＋3b＋4＝3a＋＋7＝3(a－2)＋＋13≥2＋13＝25，当且仅当 3(a－2)＝ ，即a＝4时等号成立，故(a＋1)(b＋2)的最小值为25.
13. 一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金项链，售货员先将一条黄金项链放在天平左盘中，质量为m1的砝码放在天平右盘中使天平平衡；再将这条黄金项链放在天平右盘中，质量为m2的砝码放在天平左盘中使天平平衡，那么这条项链的真实质量M(　B　)
A. 大于　 B. 小于
C. 等于　 D. 无法确定
【解析】由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a，右臂长为b(不妨设a＞b)，再利用杠杆原理，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩(力与力臂的乘积)大小必须相等，即Ma＝m1b，m2a＝Mb，解得m1＝，m2＝，下面比较与M的大小．因为a＞b＞0，所以＝＋＝≥·2＝M，由于a≠b，故等号不成立，所以M＜.
14. 已知x>0，y>0，x＋2y＝1，则的最小值为__4＋2__．
【解析】由 x>0，y>0，x＋2y＝1 可得＝＝＝＋＋4≥2＋4＝4＋2，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为 4＋2.2.2　基本不等式
第1课时　基本不等式
学习 目标 1. 掌握基本不等式及推导过程，能熟练运用基本不等式比较两实数的大小． 2. 能初步运用基本不等式证明不等式和求最值．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P44—P45，完成下列填空．
一、 概念表述
1. 基本不等式
(a>0，b>0).
2. 基本不等式常见推论
(1)＋≥ (a，b同号).
(2) a2＋b2＋c2≥ (a，b，c∈R).
(3) 对n(n≥2)个正数a1，a2，…，an，有≥ ．
(4) ≤≤≤ (a>0，b>0)，其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数．
二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab.(　 　)
(2) 当n∈N*时，n＋>2.(　 　)
(3) 当x≠0时，x＋≥2.(　 　)
(4) 若a>0，则a3＋的最小值为2.(　 　)
典例精讲能力初成
探究1　对基本不等式的理解
例1　(多选)已知a>0，b>0，则下列各式中一定成立的是(　 　)
A. a＋b≥2　 B. ＋≥2
C. ≥　 D. ≥2
基本不等式≥一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小要善于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．
变式　(多选)下列判断正确的有(　 　)
A. x＋≥4(x≠0) B. x＋≥6(x>0)
C. 4x2＋≥12(x≠0) D. >2(x∈R)
探究2　利用基本不等式直接求最值
例2-1　(课本P45例1)已知x>0，求x＋的最小值．
例2-2　(1) 设0(2) 已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值．
利用基本不等式求最值时需注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值；三是考虑等号成立的条件是否具备．
变式　(1) 当x>0时，y＝＋4x的最小值为 ．
(2) 已知0探究3　利用基本不等式证明不等式
例3　(课本P45例2)已知x，y都是正数，求证：
(1) 如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
(2) 如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
利用基本不等式证明不等式的策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
变式　已知a，b，c是正实数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
随堂内化及时评价
1. 设函数y＝2x＋－1(x<0)，则y(　 　)
A. 有最大值2
B. 有最小值2
C. 有最小值－2－1
D. 有最大值－2－1
2. “ab>0”是“＋≥2”的(　 　)
A. 充分不必要条件　　　　 B. 必要不充分条件
C. 充要条件　　　　 D. 既不充分又不必要条件
3. 已知正实数x，y满足xy＝1，则x＋4y的最小值是 ．
4. 已知x>0，则x－2＋的最小值为 ，此时x＝ ．
5. (课本P46练习2)已知x，y都是正数，且x≠y，求证：
(1) ＋>2；
(2) <.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 当x>0时，x＋的最小值为(　 　)
A. 3　 B.
C. 2　 D. 3
2. 下列不等式中等号可以取到的是(　 　)
A. ＋≥2
B. x2＋2＋≥2
C. x2＋≥2
D. |x|＋3＋≥2
3. 已知a>0，b>0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为(　 　)
A. 　 B. 4
C. 　 D. 2
4. 若x＋(x>2)在x＝n处取得最小值，则n等于(　 　)
A. 　 B. 3
C. 　 D. 4
二、 多项选择题
5. 下面推导过程正确的有(　 　)
A. 已知a，b为正实数，那么＋≥2＝2
B. 若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4
C. 若x，y∈R，xy<0，则＋＝－≤－2＝－2
D. 若a<0，b<0，则≤ab
6. 《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明．如图，在线段AB上任取一点C(不含端点A，B)，使得AC＝a，BC＝b，过点C作CD⊥AB交以AB为直径，O为圆心的半圆周于点D，连接OD.下面不能由OD≥CD直接证明的不等式为(　 　)
(第6题)
A. ≤(a>0，b>0)
B. ≥(a>0，b>0)
C. a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
D. ≤(a>0，b>0)
三、 填空题
7. 当x>1时，2x＋的最小值为 ．
8. 已知x>0，y>0，＋y＝2，则的最小值为 .
四、 解答题
9. 已知a>0，b>0，求证：(a＋b)≥4.
10. 设x>0，y>0，求证下列不等式：
(1) x＋≥3；
(2) x2＋y2≥；
(3) x(x－y)≥y(x－y).
11. 若正数x，y满足＋2＝2，则xy的最大值为(　 　)
A. 6　 B. 9
C. 　 D.
12. 已知实数 a>0，b>0，且满足 ab－a－2b－2＝0，则(a＋1)(b＋2)的最小值为(　 　)
A. 24　 B. 3＋13
C. 9＋13　 D. 25
13. 一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金项链，售货员先将一条黄金项链放在天平左盘中，质量为m1的砝码放在天平右盘中使天平平衡；再将这条黄金项链放在天平右盘中，质量为m2的砝码放在天平左盘中使天平平衡，那么这条项链的真实质量M(　 　)
A. 大于　 B. 小于
C. 等于　 D. 无法确定
14. 已知x>0，y>0，x＋2y＝1，则的最小值为 ．(共49张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2　基本不等式
第1课时　基本不等式
学习 目标 1. 掌握基本不等式及推导过程，能熟练运用基本不等式比较两实数的大小．
2. 能初步运用基本不等式证明不等式和求最值．
新知初探 基础落实
问题1：如图，AB是圆O的直径，Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直于AB且交圆O于点P，连接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？
一、 生成概念
问题2：上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明．
我们把这种从已知出发进行推证的方法叫综合法，将从要证的结论出发，逐步寻求使其成立的充分条件的证明方法叫分析法．注意：在书写表达时每一步都要加以文字说明“要证……，只要证……”，直到“显然×××成立”．分析法这种由未知探需知、逐步推向已知的方法在今后的数学研究中还会经常用到.
请同学阅读课本P44—P45，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 基本不等式

________________(a>0，b>0).
2
ab＋bc＋ca
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．)
(1) 对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab. (　　)
√
√
×
×
典例精讲 能力初成
探究
　　　　(多选)已知a>0，b>0，则下列各式中一定成立的是 (　　　)
1
对基本不等式的理解
1
ABD
变式　
　　　　(多选)下列判断正确的有 (　　)
【答案】BCD
探究
2
利用基本不等式直接求最值
2－1
2－2
利用基本不等式求最值时需注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值；三是考虑等号成立的条件是否具备．
变式　
(2) 已知0探究
　　　　(课本P45例2)已知x，y都是正数，求证：
3
利用基本不等式证明不等式
3
(课本P45例2)已知x，y都是正数，求证：
利用基本不等式证明不等式的策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
变式　
随堂内化 及时评价
D
C
3. 已知正实数x，y满足xy＝1，则x＋4y的最小值是____．
4
2
2
5. (课本P46练习2)已知x，y都是正数，且x≠y，求证：
5. (课本P46练习2)已知x，y都是正数，且x≠y，求证：
配套新练案
D
2. 下列不等式中等号可以取到的是 (　　)
C
D
B
【答案】AC
6. 《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明．如图，在线段AB上任取一点C(不含端点A，B)，使得AC＝a，BC＝b，过点C作CD⊥AB交以AB为直径，O为圆心的半圆周于点D，连接OD.下面不能由OD≥CD直接证明的不等式为 (　　)
【答案】BCD
1
10. 设x>0，y>0，求证下列不等式：
10. 设x>0，y>0，求证下列不等式：
10. 设x>0，y>0，求证下列不等式：
(3) x(x－y)≥y(x－y).
【解答】x(x－y)－y(x－y)＝x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0，当且仅当x＝y时取等号，所以x(x－y)≥y(x－y)，命题得证．
C
D
13. 一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金项链，售货员先将一条黄金项链放在天平左盘中，质量为m1的砝码放在天平右盘中使天平平衡；再将这条黄金项链放在天平右盘中，质量为m2的砝码放在天平左盘中使天平平衡，那么这条项链的真实质量M (　　)
【答案】B

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