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2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时　一元二次方程和一元二次不等式
学习 目标 1. 会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的关系． 2. 借助一元二次函数的图象求解一元二次不等式，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
新知初探基础落实
问题：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少？
设这个矩形的一条边长为x m，则另一条边长为(12－x) m．由题意，得(12－x)x>20，其中x∈{x|0求不等式①的解集，就得到了问题的答案．
一、 生成概念
如图，在平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2－12x＋20的图象，图象与x轴有两个交点．我们知道，这两个交点的横坐标就是方程x2－12x＋20＝0的两个实数根x1＝2，x2＝10，因此二次函数y＝x2－12x＋20与x轴的两个交点是(2，0)和(10，0).
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．于是二次函数y＝x2－12x＋20的两个零点是x1＝2，x2＝10.
从图中可以看出，二次函数y＝x2－12x＋20的两个零点x1＝2，x2＝10将x轴分成三段．相应地，当x<2或x>10时，函数图象位于x轴上方，此时y>0，即x2－12x＋20>0；当2因为{x|2请同学阅读课本P50—P53，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 一元二次不等式
(1) 一般地，我们把只含有__一个__未知数，并且未知数的最高次数是__2__的不等式，称为一元二次不等式．
(2) 一元二次不等式的一般形式是__ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0__，其中a，b，c均为常数，a≠0.
(3) 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的__实数x__叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
2. 二次函数与一元二次不等式(方程)的关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝ 0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c> 0(a>0)的解集 __{x|xx2}__ __ －\f(b,2a)))__ R
ax2＋bx＋c< 0(a>0)的解集 __{x|x1典例精讲能力初成
探究1　一元二次不等式的解法
视角1　一元二次不等式(不含参)的求解
例1-1　(1) (课本P52例1)求不等式x2－5x＋6>0的解集．
【解答】对于方程x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3.画出二次函数y＝x2－5x＋6的图象如图所示，结合图象得不等式x2－5x＋6>0的解集为{x|x<2或x>3}．
(例1-1(1)答)
(2) (课本P52例3)求不等式－x2＋2x－3>0的解集．
【解答】原不等式可化为x2－2x＋3<0.因为Δ＝－8<0，所以方程x2－2x＋3＝0无实数根．画出二次函数y＝x2－2x＋3的图象如图所示．结合图象得不等式x2－2x＋3<0的解集为 .因此，原不等式的解集为 .
(例1-1(2)答)
一元二次不等式的求解方法：
(1) 一化：将原不等式化成一般式，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的形式，其中二次项系数a>0.
(2) 二解：判断Δ＝b2－4ac的符号，并利用配方法、公式法、因式分解法求出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根.
(3) 三作图：根据二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的位置关系确定一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集．
(4) 四答：通常要将不等式的解集用数集表示．
变式　解下列一元二次不等式：
(1) 2x2－2x＋1≥0；
【解答】方程2x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，x1＝x2＝，因为二次函数y＝2x2－2x＋1的图象开口向上，所以不等式2x2－2x＋1≥0的解集为R.
(2) x2＋x－1<0；
【解答】方程x2＋x－1＝0有两个根，x1＝，x2＝，因为二次函数y＝x2＋x－1的图象开口向上，所以不等式x2＋x－1<0的解集为.
(3) －3x2＋5x－4≥0；
【解答】不等式－3x2＋5x－4≥0可化为3x2－5x＋4≤0，因为二次函数y＝3x2－5x＋4的图象开口向上，所以由Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0可知，方程3x2－5x＋4＝0无实数根，则不等式3x2－5x＋4≤0的解集为 ，故不等式－3x2＋5x－4≥0的解集为 .
(4) (2x－1)2<4.
【解答】不等式(2x－1)2<4可化为4x2－4x－3<0，二次方程4x2－4x－3＝0有两个根，x1＝－，x2＝.因为二次函数y＝4x2－4x－3的图象开口向上，所以不等式4x2－4x－3<0的解集为，故不等式(2x－1)2<4的解集为.
视角2　一元二次不等式(含参)的求解
例1-2　已知k∈R，解关于x的不等式kx2－2kx>x－2.
【解答】原不等式可变形为(kx－1)(x－2)>0.当k<0时，化简为(x－2)<0，解得0时，化简为(x－2)>0.①当＝2，即k＝时，原不等式的解集为{x|x≠2}；②当>2，即0时，原不等式的解集为.
综上，当k<0时，原不等式的解集为；当k＝0时，原不等式的解集为{x|x<2}；当0时，原不等式的解集为.
解含参数的一元二次不等式的步骤
变式　已知a∈R，解关于x的不等式>x.
【解答】对a∈R，由关于x的不等式>x，即－x>0，可得>0.当a<0时，不等式即x(ax－1)>0，解得0时，不等式即x(ax－1)>0，解得x>或x<0，解集为{x|x>或x<0}.当a＝0时，不等式即0－x>0，解得x<0，解集为{x|x<0}．综上，当a<0时，所求解集为{x|0时，所求解集为{x|x<0或x>}；当a＝0时，所求解集为{x|x<0}．
探究2　三个“二次”间的关系及应用
例2　(1) 若不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则a，b的值分别是(　B　)
A. －3，－6　 B. －6，－1　　　　
C. 6，3　 D. 3，6
【解析】不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则－，为ax2＋bx＋1＝0的两个实数根，所以－＋＝－，×＝，解得a＝－6，b＝－1.
(2) 已知一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<2或x>3}，则不等式bx2＋ax＋c>0的解集为__{x|x<－1或x>}__．
【解析】因为一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<2或x>3}，所以所以不等式bx2＋ax＋c>0为x2＋x＋<0，即5x2－x－6>0，即(5x－6)(x＋1)>0，解得x<－1或x>，所以不等式bx2＋ax＋c>0的解集是.
三个“二次”之间的关系：
变式　(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为A. a>0
B. c<0
C. a＋b>0
D. 关于x的不等式cx2＋bx＋a>0的解集为{x|－3【解析】由题意得a<0，且和1是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则解得a＝3c，b＝－4c，则c<0，故A错误，B正确；a＋b＝－c>0，故C正确；不等式cx2＋bx＋a>0即cx2－4cx＋3c>0，即x2－4x＋3<0，解得1随堂内化及时评价
1. 在下列不等式中，解集为 的是(　D　)
A. 2x2－3x＋2＞0　　　　　　 B. x2＋4x＋4≤0
C. 4－4x－x2＜0　　　　　　 D. 3x－2x2＞2
2. 若不等式ax2－x－c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则函数y＝ax2－x－c的图象为(　B　)
A B
C D
【解析】因为不等式的解集为{x|－2＜x＜1}，所以a＜0，排除C，D，又与坐标轴交点的横坐标为－2，1，排除A.
3. 不等式3x2－x－2≥0的解集是____．
【解析】由3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)≥0，解得x≤－或x≥1.
4. 不等式ax2－(a＋2)x＋2≥0(a<0)的解集为____．
【解析】原不等式可以转化为(x－1)(ax－2)≥0.当a<0时，可知(x－1)≤0，对应的方程的两根为1，，根据一元二次不等式的解集的特点，可知原不等式的解集为.
5. (课本P53 练习2)当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0
(1) y＝3x2－6x＋2；
【解答】二次函数y＝3x2－6x＋2，令3x2－6x＋2＝0，解得x＝，即x1＝，x2＝.结合二次函数的图象与性质可知，开口向上，与x轴有两个交点，所以当x∈时，函数值等于0；当x∈时，函数值大于0；当x∈(2) y＝25－x2；
【解答】二次函数y＝25－x2，令25－x2＝0，解得x1＝－5，x2＝5.结合二次函数的图象与性质可知，当x∈{－5，5}时，函数值等于0；当x∈{x|x<－5或x>5}时，函数值小于0；当x∈{x|－5(3) y＝x2＋6x＋10；
【解答】二次函数y＝x2＋6x＋10＝(x＋3)2＋1，结合二次函数的图象与性质可知，当x∈ 时，函数值小于或等于0；当x∈R时，函数值大于0.
(4) y＝－3x2＋12x－12.
【解答】二次函数y＝－3x2＋12x－12＝－3(x－2)2，结合二次函数的图象与性质可知，开口向下，与x轴有一个交点，所以当x∈{2}时，函数值等于0；当x∈{x|x≠2}时，函数值小于0；当x∈ 时，函数值大于0.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(　A　)
(第1题)
A. {x|－21}
C. {x|－2≤x≤1} D. {x|x≤－2或x≥1}
2. 不等式(3x＋2)(x＋2)>4的解集是(　B　)
A. 　　　　 B.
C. 　　　　 D.
3. 如果二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2，3，且a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为(　C　)
A. {x|x>3或x<－2}
B. {x|x>2或x<－3}
C. {x|－2D. {x|－3【解析】由题意知－2＋3＝－，－2×3＝，所以b＝－a，c＝－6a，所以不等式ax2＋bx＋c＞0可化为ax2－ax－6a＞0.因为a<0，所以x2－x－6<0，所以(x－3)(x＋2)<0，所以－24. 关于x的一元二次不等式(x－2)[(a－1)x＋(2－a)]>0，当0A. B.
C. D.
【解析】由02，故原不等式的解集为2二、 多项选择题
5. 下列四个不等式中，解集为 的是(　BCD　)
A. －x2＋x＋1≤0
B. 2x2－3x＋4<0
C. x2＋3x＋10≤0
D. －x2＋4x－>0(a>0)
6. 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或x>3}，则(　AB　)
A. a>0
B. 不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6}
C. a＋b＋c>0
D. 不等式cx2－bx＋a<0的解集为
【解析】因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或x>3}，所以x＝－2，3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，且a>0，故A正确；对于B，因为－＝－2＋3＝1，＝－2×3＝－6，所以b＝－a，c＝－6a，所以bx＋c＝－ax－6a＝－a(x＋6)>0，所以不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6}，故B正确；对于C，因为b＝－a，c＝－6a，a>0，可得a＋b＋c＝a－a－6a＝－6a<0，故C错误；对于D，因为cx2－bx＋a＝－6ax2＋ax＋a＝－a(6x2－x－1)<0，即6x2－x－1>0，解得x<－或x>，故D错误．
三、 填空题
7. 不等式－x2＋5x＋6<0的解集为__{x|x<－1或x＞6}__．
8. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如表所示：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
则关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是__{x|x<－2或x>3}__.
【解析】根据表格可以画出二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)图象的草图，如图．由图象得关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|x<－2或x>3}．
(第8题答)
四、 解答题
9. (课本P53练习1)求下列不等式的解集：
(1) (x＋2)(x－3)>0；
【解答】解(x＋2)(x－3)>0，得x>3或x<－2，所以原不等式的解集是{x|x>3或x<－2}．
(2) 3x2－7x≤10；
【解答】由3x2－7x≤10，得3x2－7x－10≤0，即(3x－10)(x＋1)≤0，解得－1≤x≤，所以原不等式的解集为－1≤x≤}.
(3) －x2＋4x－4<0；
【解答】由－x2＋4x－4<0，得x2－4x＋4>0，即(x－2)2＞0，解得x≠2，所以原不等式的解集为{x|x≠2}．
(4) x2－x＋<0；
【解答】不等式x2－x＋<0，即为<0，所以原不等式的解集为 .
(5) －2x2＋x≤－3；
【解答】不等式－2x2＋x≤－3即为2x2－x－3≥0，则(2x－3)·(x＋1)≥0，解得x≤－1或x≥，所以原不等式的解集为x≤－1或x≥}.
(6) x2－3x＋4>0.
【解答】x2－3x＋4>0，其相应方程x2－3x＋4＝0的判别式为Δ＝(－3)2－4×4＝－7<0，所以不等式x2－3x＋4>0的解集为R.
10. 已知函数y＝x2－ax＋b.
(1) 若x＝－1时y＝2，且a>0，b>0，求＋的最小值；
【解答】由题意得1＋a＋b＝2，得a＋b＝1.又a>0，b>0，所以＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，所以＋的最小值为4.
(2) 若b＝a，解关于x的不等式y－x≤0.
【解答】当b＝a时，不等式y－x≤0，即x2－(a＋1)x＋a≤0，即(x－a)(x－1)≤0.由(x－a)(x－1)＝0，得x＝a或x＝1.当a＝1时，不等式即为(x－1)2≤0，解得x＝1；当a>1时，由(x－a)(x－1)≤0，可得1≤x≤a；当a<1时，由(x－a)·(x－1)≤0，可得a≤x≤1.综上，当a＝1时，不等式的解集为{1}；当a>1时，不等式的解集为{x|1≤x≤a}；当a<1时，不等式的解集为{x|a≤x≤1}．
11. (多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1A. 函数y＝ax2＋bx＋c有最大值
B. 5a＋b＋c>0
C. 6b＝－5c
D. bx2＋a|x|－c>0的解集为
【解析】因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－10，故B正确；又－1，3是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则所以b＝－2a，c＝－3a，则3b＝2c，故C错误；不等式bx2＋a|x|－c>0即为－2ax2＋a|x|＋3a>0，即2x2－|x|－3>0，解得|x|<－1或|x|>，所以x∈x<－或x>}，故D正确．
12. 对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么使不等式4[x]2－36[x]＋45<0成立的x的取值范围是__{x|2≤x＜8}__．
【解析】因为4[x]2－36[x]＋45＜0，所以＜[x]＜，所以2≤x＜8.
13. (2025·淄博期末)已知函数y＝ax2－2x＋3，x∈R.
(1) 若关于x的不等式y<0的解集为{x|m【解答】由关于x的不等式y<0的解集为{x|m0，Δ＝4－4×3a>0.所以m＋n＝>0，mn＝>0，因此m>0，n>0，且＝＋＝，所以4m＋n＝(4m＋n)＝≥＝，当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立，此时a＝满足题意，所以4m＋n的最小值为.
(2) 解关于x的不等式y＋(a＋1)x>4.
【解答】整理不等式y＋(a＋1)x>4可得ax2＋(a－1)x－1>0，即(ax－1)(x＋1)>0.当a＝0时，不等式为－x－1>0，其解集为{x|x<－1}；当a＝－1时，不等式为－(x＋1)2>0，其解集为 ；当a<－1时，不等式(ax－1)(x＋1)>0的解集为－10的解集为0时，不等式(ax－1)(x＋1)>0的解集为x<－1或x>}.2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时　一元二次方程和一元二次不等式
学习 目标 1. 会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的关系． 2. 借助一元二次函数的图象求解一元二次不等式，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P50—P53，完成下列填空．
1. 一元二次不等式
(1) 一般地，我们把只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式．
(2) 一元二次不等式的一般形式是 ，其中a，b，c均为常数，a≠0.
(3) 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的 叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
2. 二次函数与一元二次不等式(方程)的关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝ 0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c> 0(a>0)的解集 R
ax2＋bx＋c< 0(a>0)的解集
典例精讲能力初成
探究1　一元二次不等式的解法
视角1　一元二次不等式(不含参)的求解
例1-1　(1) (课本P52例1)求不等式x2－5x＋6>0的解集．
(2) (课本P52例3)求不等式－x2＋2x－3>0的解集．
一元二次不等式的求解方法：
(1) 一化：将原不等式化成一般式，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的形式，其中二次项系数a>0.
(2) 二解：判断Δ＝b2－4ac的符号，并利用配方法、公式法、因式分解法求出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根.
(3) 三作图：根据二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的位置关系确定一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集．
(4) 四答：通常要将不等式的解集用数集表示．
变式　解下列一元二次不等式：
(1) 2x2－2x＋1≥0；
(2) x2＋x－1<0；
(3) －3x2＋5x－4≥0；
(4) (2x－1)2<4.
视角2　一元二次不等式(含参)的求解
例1-2　已知k∈R，解关于x的不等式kx2－2kx>x－2.
解含参数的一元二次不等式的步骤
变式　已知a∈R，解关于x的不等式>x.
探究2　三个“二次”间的关系及应用
例2　(1) 若不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则a，b的值分别是(　 　)
A. －3，－6　 B. －6，－1　　　　
C. 6，3　 D. 3，6
(2) 已知一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<2或x>3}，则不等式bx2＋ax＋c>0的解集为 ．
三个“二次”之间的关系：
变式　(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为A. a>0
B. c<0
C. a＋b>0
D. 关于x的不等式cx2＋bx＋a>0的解集为{x|－3随堂内化及时评价
1. 在下列不等式中，解集为 的是(　 　)
A. 2x2－3x＋2＞0　　　　　　 B. x2＋4x＋4≤0
C. 4－4x－x2＜0　　　　　　 D. 3x－2x2＞2
2. 若不等式ax2－x－c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则函数y＝ax2－x－c的图象为(　 　)
A B
C D
3. 不等式3x2－x－2≥0的解集是 ．
4. 不等式ax2－(a＋2)x＋2≥0(a<0)的解集为 ．
5. (课本P53 练习2)当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0
(1) y＝3x2－6x＋2；
(2) y＝25－x2；
(3) y＝x2＋6x＋10；
(4) y＝－3x2＋12x－12.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(　 　)
(第1题)
A. {x|－21}
C. {x|－2≤x≤1} D. {x|x≤－2或x≥1}
2. 不等式(3x＋2)(x＋2)>4的解集是(　 　)
A. 　　　　 B.
C. 　　　　 D.
3. 如果二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2，3，且a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为(　 　)
A. {x|x>3或x<－2}
B. {x|x>2或x<－3}
C. {x|－2D. {x|－34. 关于x的一元二次不等式(x－2)[(a－1)x＋(2－a)]>0，当0A. B.
C. D.
二、 多项选择题
5. 下列四个不等式中，解集为 的是(　 　)
A. －x2＋x＋1≤0
B. 2x2－3x＋4<0
C. x2＋3x＋10≤0
D. －x2＋4x－>0(a>0)
6. 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或x>3}，则(　 　)
A. a>0
B. 不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6}
C. a＋b＋c>0
D. 不等式cx2－bx＋a<0的解集为
三、 填空题
7. 不等式－x2＋5x＋6<0的解集为 ．
8. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如表所示：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
则关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是 .
四、 解答题
9. (课本P53练习1)求下列不等式的解集：
(1) (x＋2)(x－3)>0；
(2) 3x2－7x≤10；
(3) －x2＋4x－4<0；
(4) x2－x＋<0；
(5) －2x2＋x≤－3；
(6) x2－3x＋4>0.
10. 已知函数y＝x2－ax＋b.
(1) 若x＝－1时y＝2，且a>0，b>0，求＋的最小值；
(2) 若b＝a，解关于x的不等式y－x≤0.
11. (多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1A. 函数y＝ax2＋bx＋c有最大值
B. 5a＋b＋c>0
C. 6b＝－5c
D. bx2＋a|x|－c>0的解集为
12. 对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么使不等式4[x]2－36[x]＋45<0成立的x的取值范围是 ．
13. (2025·淄博期末)已知函数y＝ax2－2x＋3，x∈R.
(1) 若关于x的不等式y<0的解集为{x|m(2) 解关于x的不等式y＋(a＋1)x>4.(共50张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时　一元二次方程和一元二次不等式
学习 目标 1. 会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．
2. 借助一元二次函数的图象求解一元二次不等式，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
新知初探 基础落实
问题：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是
24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少？
设这个矩形的一条边长为x m，则另一条边长为(12－x) m．由题意，得(12－x)x>20，其中x∈{x|0求不等式①的解集，就得到了问题的答案．
一、 生成概念
如图，在平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2－12x＋20的图象，图象与x轴有两个交点．我们知道，这两个交点的横坐标就是方程x2－12x＋20＝0的两个实数根x1＝2，x2＝10，因此二次函数y＝x2－12x＋20与x轴的两个交点是(2，0)和(10，0).
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．于是二次函数y＝x2－12x＋20的两个零点是x1＝2，x2＝10.
从图中可以看出，二次函数y＝x2－12x＋20的两个零点x1＝2，x2＝10将x轴分成三段．相应地，当x<2或x>10时，函数图象位于x轴上方，此时y>0，即x2－12x＋20>0；当2因为{x|2请同学阅读课本P50—P53，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 一元二次不等式
(1) 一般地，我们把只含有_______未知数，并且未知数的最高次数是____的不等式，称为一元二次不等式．
(2) 一元二次不等式的一般形式是_______________________________，其中a，b，c均为常数，a≠0.
(3) 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的________叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
一个
2
ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0
实数x
2. 二次函数与一元二次不等式(方程)的关系
{x|xx2}
{x|x1
典例精讲 能力初成
探究
视角1　一元二次不等式(不含参)的求解
　　　　　(1) (课本P52例1)求不等式x2－5x＋6>0的解集．
1
一元二次不等式的解法
【解答】对于方程x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3.画出二次函数y＝x2－5x＋6的图象如图所示，结合图象得不等式x2－5x＋6>0的解集为{x|x<2或x>3}．
1－1
(2) (课本P52例3)求不等式－x2＋2x－3>0的解集．
【解答】原不等式可化为x2－2x＋3<0.因为Δ＝－8<0，所以方程
x2－2x＋3＝0无实数根．画出二次函数y＝x2－2x＋3的图象如图
所示．结合图象得不等式x2－2x＋3<0的解集为 .因此，原不等式
的解集为 .
一元二次不等式的求解方法：
(1) 一化：将原不等式化成一般式，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的形式，其中二次项系数a>0.
(3) 三作图：根据二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的位置关系确定一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集．
(4) 四答：通常要将不等式的解集用数集表示．
变式　
　　　　解下列一元二次不等式：
(2) x2＋x－1<0；
【解答】不等式－3x2＋5x－4≥0可化为3x2－5x＋4≤0，因为二次函数y＝3x2－5x＋4的图象开口向上，所以由Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0可知，方程3x2－5x＋4＝0无实数根，则不等式3x2－5x＋4≤0的解集为 ，故不等式－3x2＋5x－4≥0的解集为 .
解下列一元二次不等式：
(3) －3x2＋5x－4≥0；
(4) (2x－1)2<4.
视角2　一元二次不等式(含参)的求解
　　　　　已知k∈R，解关于x的不等式kx2－2kx>x－2.
1－2
解含参数的一元二次不等式的步骤
变式　
探究
2
三个“二次”间的关系及应用
2
B
(2) 已知一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<2或x>3}，则不等式bx2＋ax＋c>0
的解集为_______________________．
三个“二次”之间的关系：
变式　
BC
随堂内化 及时评价
1. 在下列不等式中，解集为 的是 (　　)
A. 2x2－3x＋2＞0　　　　　　 B. x2＋4x＋4≤0
C. 4－4x－x2＜0　　　　　　 D. 3x－2x2＞2
D
2. 若不等式ax2－x－c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则函数y＝ax2－x－c的图象为
(　　)
B
【解析】因为不等式的解集为{x|－2＜x＜1}，所以a＜0，排除C，D，又与坐标轴交点的横坐标为－2，1，排除A.
3. 不等式3x2－x－2≥0的解集是_________________．
4. 不等式ax2－(a＋2)x＋2≥0(a<0)的解集为_______________．
5. (课本P53 练习2)当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0
(1) y＝3x2－6x＋2；
5. (课本P53 练习2)当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0
(2) y＝25－x2；
【解答】二次函数y＝25－x2，令25－x2＝0，解得x1＝－5，x2＝5.结合二次函数的图象与性质可知，当x∈{－5，5}时，函数值等于0；当x∈{x|x<－5或x>5}时，函数值小于0；当x∈{x|－55. (课本P53 练习2)当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0
(3) y＝x2＋6x＋10；
【解答】二次函数y＝x2＋6x＋10＝(x＋3)2＋1，结合二次函数的图象与性质可知，当x∈ 时，函数值小于或等于0；当x∈R时，函数值大于0.
(4) y＝－3x2＋12x－12.
【解答】二次函数y＝－3x2＋12x－12＝－3(x－2)2，结合二次函数的图象与性质可知，开口向下，与x轴有一个交点，所以当x∈{2}时，函数值等于0；当x∈{x|x≠2}时，函数值小于0；当x∈ 时，函数值大于0.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是
(　　)
A. {x|－2B. {x|x<－2或x>1}
C. {x|－2≤x≤1}
D. {x|x≤－2或x≥1}
A
2. 不等式(3x＋2)(x＋2)>4的解集是 (　　)
B
3. 如果二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2，3，且a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为 (　　)
A. {x|x>3或x<－2} B. {x|x>2或x<－3}
C. {x|－2C
4. 关于x的一元二次不等式(x－2)[(a－1)x＋(2－a)]>0，当0B
二、 多项选择题
5. 下列四个不等式中，解集为 的是 (　　　)
A. －x2＋x＋1≤0
B. 2x2－3x＋4<0
C. x2＋3x＋10≤0
BCD
6. 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或x>3}，则 (　　)
A. a>0
B. 不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6}
C. a＋b＋c>0
【答案】AB
三、 填空题
7. 不等式－x2＋5x＋6<0的解集为______________________．
{x|x<－1或x＞6}
8. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如表所示：
【解析】根据表格可以画出二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)图象的草图，
如图．由图象得关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|x<－2或x>3}．
则关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是______________________.
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
{x|x<－2或x>3}
四、 解答题
9. (课本P53练习1)求下列不等式的解集：
(1) (x＋2)(x－3)>0；
【解答】解(x＋2)(x－3)>0，得x>3或x<－2，所以原不等式的解集是{x|x>3或x<－2}．
(2) 3x2－7x≤10；
9. (课本P53练习1)求下列不等式的解集：
(3) －x2＋4x－4<0；
【解答】由－x2＋4x－4<0，得x2－4x＋4>0，即(x－2)2＞0，解得x≠2，所以原不等式的解集为{x|x≠2}．
9. (课本P53练习1)求下列不等式的解集：
(5) －2x2＋x≤－3；
(6) x2－3x＋4>0.
【解答】x2－3x＋4>0，其相应方程x2－3x＋4＝0的判别式为Δ＝(－3)2－4×4＝－7<
0，所以不等式x2－3x＋4>0的解集为R.
10. 已知函数y＝x2－ax＋b.
10. 已知函数y＝x2－ax＋b.
(2) 若b＝a，解关于x的不等式y－x≤0.
【解答】当b＝a时，不等式y－x≤0，即x2－(a＋1)x＋a≤0，即(x－a)(x－1)≤0.由(x－a)(x－1)＝0，得x＝a或x＝1.当a＝1时，不等式即为(x－1)2≤0，解得x＝1；当a>1时，由(x－a)(x－1)≤0，可得1≤x≤a；当a<1时，由(x－a)·(x－1)≤0，可得a≤x≤1.综上，当a＝1时，不等式的解集为{1}；当a>1时，不等式的解集为{x|1≤x≤a}；当a<1时，不等式的解集为{x|a≤x≤1}．
【解析】因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1【答案】ABD
12. 对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么使不等式4[x]2－36[x]＋45<0成立的x的取值范围是_________________．
{x|2≤x＜8}
13. (2025·淄博期末)已知函数y＝ax2－2x＋3，x∈R.
(1) 若关于x的不等式y<0的解集为{x|m13. (2025·淄博期末)已知函数y＝ax2－2x＋3，x∈R.
(2) 解关于x的不等式y＋(a＋1)x>4.

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