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第2课时　一元二次方程和一元二次不等式的应用
学习 目标 1. 了解从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的实际意义． 2. 能够构建一元二次函数模型，解决实际问题，会解简单的分式不等式．
典例精讲能力初成
探究1　分式不等式和高次不等式的解法
例1-1　解下列不等式：
(1) <0；
(2) ≤1.
简单分式不等式的解法：
变式　(2025·新高考Ⅱ卷)不等式≥2的解集是(　 　)
A. {x|－2≤x≤1}　　　　 B. {x|x≤－2}
C. {x|－2≤x<1}　　　　 D. {x|x>1}
例1-2　(1) 不等式(x－3)(x＋1)(x＋2)>0的解集为 ．
(2) 不等式(x＋3)(x－1)2(x－2)3≥0的解集为 ．
(1) 先将x的最高次项的系数变为正数；
(2) 将相应方程的根逐一标在数轴上；
(3) 从右往左、从上到下依次穿线，穿线时“奇过偶不过”；
(4) “>0”取x轴上方的图象所对应的区域，“<0”取x轴下方的图象所对应的区域．
探究2　一元二次不等式恒成立问题
例2　(1) 若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　 　)
A. {k|－3C. {k|－3(2) 当－2≤x≤2时，不等式x2－mx＋1＞0恒成立，则实数m的取值范围是(　 　)
A. {m|－2C. {m|－2≤m≤2}　 D. {m|m>2}
(1) 不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立 或
(2) 不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立 或
(3) 分离参数，将不等式恒成立问题转化为求最值问题．
变式　“不等式x2－2x＋a>0在x∈R上恒成立”的一个必要不充分条件是(　 　)
A. a>1　 B. a>0
C. a<1　 D. a<0
探究3　一元二次不等式的实际应用
例3　(课本P53例4)一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位：辆)与创造的价值y(单位：元)之间有如下的关系：y＝－20x2＋ 2 200x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60 000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
一元二次不等式实际应用问题的解题方法
(1) 根据题意列出相应的一元二次函数；
(2) 由题意列出相应的一元二次不等式；
(3) 求出解集；
(4) 结合实际情况写出最终结果．
变式　某旅店有200张床位，若每张床位一晚上的租金为50元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高10x元(x为正整数)，则租出的床位会相应减少10x张．若要使该旅店某晚的收入超过12 600元，则每张床位的出租价格可定在什么范围内？
随堂内化及时评价
1. 不等式≥2的解集为 ．
2. 若命题“ x∈R，使得ax2＋ax－4≥0”是假命题，则实数a的取值范围为 ．
3. 若关于x的不等式mx2－mx－2≤0恒成立，则实数m的取值范围是 ．
4. 某商品在最近30天内的价格y1(单位：元)与时间t(单位：天)的函数关系是y1＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)；销售量y2(单位：件)与时间t(单位：天)的函数关系是y2＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t的取值范围是 ．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是(　 　)
A. {a|－4≤a≤4}　　　 B. {a|－4C. {a|a≤－4或a≥4}　　　 D. {a|a<－4或a>4}
2. (2025·唐山期末)已知x∈R，若p：≥2，q：|1－x|≤x，则p是q的(　 　)
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
3. 某公园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪．若要求草坪的面积不小于总面积的一半，则花卉带宽度x的取值范围是(　 　)
A. {x|0C. {x|100≤x≤600}　　　 D. {x|600≤x≤800}
4. (2025·益阳期末)若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|－1A. 有最小值 　 B. 有最小值
C. 有最小值3　 D. 无最小值
二、 多项选择题
5. 某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如图所示)，则下列说法正确的是(　 　)
　(第5题)
A. 二次函数的表达式为y＝－x2＋12x－25
B. 营运的年平均最大利润为20万元
C. 营运的年平均最大利润为2万元
D. 若要使其营运的年平均利润最大，则每辆客车需营运5年
6. 汽车在行驶中由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要指标．在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(单位：m)与车速x(单位：km/h)分别有如下关系式：s1＝0.1v＋0.01v2，s2＝0.05v＋0.005v2.则下列判断正确的是(　 　)
A. 甲车超速　 B. 乙车超速
C. 甲车不超速　 D. 乙车不超速
三、 填空题
7. 若关于x的不等式>0的解集为{x|x<－1或x>4}，则实数a＝ ．
8. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则图中矩形花园的其中一边的边长x(单位：m)的取值范围是 ．
(第8题)
四、 解答题
9. (1) 解不等式>1；
(2) 若不等式x2－2x－1>a的解集为R，求实数a的取值范围．
10. 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为 1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1) 写出本年度预计的年利润y与每辆车投入成本增加的比例x的关系式；
(2) 为使本年度的利润比上年度有所增加，问：每辆车投入成本增加的比例x应在什么范围内？
11. (2025·广东大湾区期末)已知二次函数y＝(ax－1)(x－a).甲同学：y>0的解集为x}；乙同学：y<0的解集为x}；丙同学：y＝(ax－1)(x－a)的对称轴在y轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数a的取值范围为(　 　)
A. {a|a<－1}　 B. {a|－1C. {a|01}
12. 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x＋2m－1＝0的两个不相等的实数根，且满足x＋x＝18，则实数m的值是(　 　)
A. －3　 B. 5
C. －5或3　 D. 5或－3
13. (多选)为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3升后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的75%，则V的可能取值为(　 　)
A. 4　 B. 40
C. 8　 D. 28
14. 已知命题A：x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两个实根，不等式|m2－5m－3|≥|x1－x2|对任意实数－1≤a≤1恒成立；命题B：不等式|x－2m|－|x|>1(m>0)有解．若A和B均为真命题，则实数m的取值范围为 ．第2课时　一元二次方程和一元二次不等式的应用
学习 目标 1. 了解从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的实际意义． 2. 能够构建一元二次函数模型，解决实际问题，会解简单的分式不等式．
典例精讲能力初成
探究1　分式不等式和高次不等式的解法
例1-1　解下列不等式：
(1) <0；
【解答】<0 (2x－5)(x＋4)<0 －4(2) ≤1.
【解答】因为≤1，所以－1≤0，所以≤0，即≥0，此不等式等价于(x－4)·≥0且x－≠0，解得x<或x≥4，所以原不等式的解集为.
简单分式不等式的解法：
变式　(2025·新高考Ⅱ卷)不等式≥2的解集是(　C　)
A. {x|－2≤x≤1}　　　　 B. {x|x≤－2}
C. {x|－2≤x<1}　　　　 D. {x|x>1}
【解析】≥2，即为≤0，即解得－2≤x<1，故不等式的解集为[－2，1).
例1-2　(1) 不等式(x－3)(x＋1)(x＋2)>0的解集为__{x|－23}__．
【解析】令每个括号为0得到三个零点－2，－1，3，如图，利用数轴穿根法画出图象解得－23.
(例1-2(1)答)
(2) 不等式(x＋3)(x－1)2(x－2)3≥0的解集为__{x|x≤－3或x＝1或x≥2}__．
【解析】如图，使用数轴穿根法得不等式的解集为{x|x≤－3或x＝1或x≥2}．
(例1-2(2)答)
(1) 先将x的最高次项的系数变为正数；
(2) 将相应方程的根逐一标在数轴上；
(3) 从右往左、从上到下依次穿线，穿线时“奇过偶不过”；
(4) “>0”取x轴上方的图象所对应的区域，“<0”取x轴下方的图象所对应的区域．
探究2　一元二次不等式恒成立问题
例2　(1) 若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　A　)
A. {k|－3C. {k|－3【解析】因为一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，所以解得－3(2) 当－2≤x≤2时，不等式x2－mx＋1＞0恒成立，则实数m的取值范围是(　A　)
A. {m|－2C. {m|－2≤m≤2}　 D. {m|m>2}
【解析】设y＝x2－mx＋1，其中－2≤x≤2.①当≤－2，即m≤－4时，ymin＝2m＋5＞0，解得m＞－，此时m不存在；②当－2<<2，即－4(1) 不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立 或
(2) 不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立 或
(3) 分离参数，将不等式恒成立问题转化为求最值问题．
变式　“不等式x2－2x＋a>0在x∈R上恒成立”的一个必要不充分条件是(　B　)
A. a>1　 B. a>0
C. a<1　 D. a<0
【解析】因为不等式x2－2x＋a>0在x∈R上恒成立，所以Δ＝4－4a<0，即a>1.而a>1可以推出a>0，a>0不能推出a>1，所以“不等式x2－2x＋a>0在x∈R上恒成立”的一个必要不充分条件是a>0.
探究3　一元二次不等式的实际应用
(课本P53例4)一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位：辆)与创造的价值y(单位：元)之间有如下的关系：y＝－20x2＋
2 200x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60 000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
【解答】设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车，根据题意，得－20x2＋2 200x>60 000，整理得x2－110x＋3 000<0.对于方程x2－110x＋3 000＝0，Δ＝100>0，方程有两个实数根x1＝50，x2＝60.画出二次函数y＝x2－110x＋3 000的图象如图所示，结合图象得不等式x2－110x＋3 000<0的解集为{x|50(例3答)
一元二次不等式实际应用问题的解题方法
(1) 根据题意列出相应的一元二次函数；
(2) 由题意列出相应的一元二次不等式；
(3) 求出解集；
(4) 结合实际情况写出最终结果．
变式　某旅店有200张床位，若每张床位一晚上的租金为50元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高10x元(x为正整数)，则租出的床位会相应减少10x张．若要使该旅店某晚的收入超过12 600元，则每张床位的出租价格可定在什么范围内？
【解答】设该旅店某晚的收入为y元，则y＝(50＋10x)(200－10x)，x∈N*.当y>12 600时，(50＋10x)(200－10x)>12 600，即10 000＋1 500x－100x2>12 600，即x2－15x＋26<0，解得2随堂内化及时评价
1. 不等式≥2的解集为__{x|x<－3或x≥8}__．
2. 若命题“ x∈R，使得ax2＋ax－4≥0”是假命题，则实数a的取值范围为__{a|－16<
a≤0}__．
【解析】因为命题“ x∈R，使得ax2＋ax－4≥0”是假命题，所以“ x∈R，ax2＋ax－4<0”是真命题．当a＝0时，有－4<0，符合；当a≠0时，则有解得－16若关于x的不等式mx2－mx－2≤0恒成立，则实数m的取值范围是__{m|－8≤m≤
0}__．
【解析】关于x的不等式mx2－mx－2≤0恒成立，①当m＝0时，不等式为－2≤0，恒成立，符合题意；②当m≠0时，解得－8≤m＜0.综上所述，实数m的取值范围为{m|－8≤m≤0}．
4. 某商品在最近30天内的价格y1(单位：元)与时间t(单位：天)的函数关系是y1＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)；销售量y2(单位：件)与时间t(单位：天)的函数关系是y2＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t的取值范围是__{t|10≤t≤15，t∈N}__．
【解析】依题意有(t＋10)(－t＋35)≥500，解得10≤t≤15，t∈N，故t的取值范围为{t|10≤t≤15，t∈N}．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是(　A　)
A. {a|－4≤a≤4}　　　 B. {a|－4C. {a|a≤－4或a≥4}　　　 D. {a|a<－4或a>4}
【解析】由题意知Δ＝a2－16≤0，所以－4≤a≤4.
2. (2025·唐山期末)已知x∈R，若p：≥2，q：|1－x|≤x，则p是q的(　B　)
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
【解析】由≥2得≥0，解得3. 某公园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪．若要求草坪的面积不小于总面积的一半，则花卉带宽度x的取值范围是(　A　)
A. {x|0C. {x|100≤x≤600}　　　 D. {x|600≤x≤800}
4. (2025·益阳期末)若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|－1A. 有最小值 　 B. 有最小值
C. 有最小值3　 D. 无最小值
【解析】因为关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|－10，所以b＝－a，c＝－2a，则＝＝＋≥2＝，当且仅当＝，即a＝时等号成立．
二、 多项选择题
5. 某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如图所示)，则下列说法正确的是(　ABD　)
　(第5题)
A. 二次函数的表达式为y＝－x2＋12x－25
B. 营运的年平均最大利润为20万元
C. 营运的年平均最大利润为2万元
D. 若要使其营运的年平均利润最大，则每辆客车需营运5年
【解析】设二次函数为y＝a(x－6)2＋11.因为图象过点(4，7)，代入得7＝a(4－6)2＋11，解得a＝－1，所以y＝－x2＋12x－25.由－x2＋12x－25＝0，解得x＝6±，所以y＝－x2＋12x－25(6－≤x≤6＋，x∈N*)，故A正确；设年平均利润为m，则m＝＝－x－＋12≤2，因为总利润y的单位为10万元，所以营运的年平均最大利润为20万元，故B正确，C错误；m＝＝－x－＋12≤2，当且仅当x＝，即x＝5时取等号，故D正确．
6. 汽车在行驶中由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要指标．在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(单位：m)与车速x(单位：km/h)分别有如下关系式：s1＝0.1v＋0.01v2，s2＝0.05v＋0.005v2.则下列判断正确的是(　BC　)
A. 甲车超速　 B. 乙车超速
C. 甲车不超速　 D. 乙车不超速
【解析】由题意可得s1＝0.1v＋0.01v2>12 v2＋10v－1 200>0 v>30或v<－40(舍去)，即v>30.当v＝40时，s1＝0.1×40＋0.01×1 600＝20>12，显然甲车没有超速现象．因为s2＝0.05v＋0.005v2>10 v2＋10v－2 000>0 v>40或v<－50(舍去)，即v>40，因此乙车有超速现象．
三、 填空题
7. 若关于x的不等式>0的解集为{x|x<－1或x>4}，则实数a＝__4__．
8. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则图中矩形花园的其中一边的边长x(单位：m)的取值范围是__{x|10≤x≤30}__．
(第8题)
【解析】如图，过点A作AH⊥BC于H，交DE于F，易知＝，即＝，则AF＝x，FH＝40－x，所以矩形花园的面积S＝x(40－x)≥300，解得10≤x≤30.
(第8题答)
四、 解答题
9. (1) 解不等式>1；
【解答】>1即为>0，即(x－2)·(2x－3)<0，解得(2) 若不等式x2－2x－1>a的解集为R，求实数a的取值范围．
【解答】因为不等式x2－2x－1>a的解集为R，所以x2－2x－1－a>0的解集为R，故Δ＝4＋4＋4a<0，解得a<－2，故实数a的取值范围是{a|a<－2}．
10. 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为 1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1) 写出本年度预计的年利润y与每辆车投入成本增加的比例x的关系式；
【解答】由题意得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0(2) 为使本年度的利润比上年度有所增加，问：每辆车投入成本增加的比例x应在什么范围内？
【解答】要使本年度的利润比上年度有所增加，则即解得011. (2025·广东大湾区期末)已知二次函数y＝(ax－1)(x－a).甲同学：y>0的解集为x}；乙同学：y<0的解集为x}；丙同学：y＝(ax－1)(x－a)的对称轴在y轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数a的取值范围为(　C　)
A. {a|a<－1}　 B. {a|－1C. {a|01}
【解析】若y>0的解集为x}，则解得0}，则解得a≤－1；若y＝(ax－1)(x－a)的对称轴在y轴右侧，则>0，即a＋＝>0，解得a>0.又这三个同学的论述中，只有一个假命题，故乙同学的论述为假命题．综上，012. 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x＋2m－1＝0的两个不相等的实数根，且满足x＋x＝18，则实数m的值是(　A　)
A. －3　 B. 5
C. －5或3　 D. 5或－3
【解析】因为x1，x2是关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x＋2m－1＝0的两个不相等的实数根，所以x1＋x2＝m＋1，x1x2＝2m－1，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(m＋1)2－2(2m－1)＝m2－2m＋3＝18，解得m＝5或m＝－3.当m＝5时，方程x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根，不满足题意，故舍去；当m＝－3时，满足题意．
13. (多选)为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3升后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的75%，则V的可能取值为(　CD　)
A. 4　 B. 40
C. 8　 D. 28
【解析】第一次稀释后，药液浓度为，第二次稀释后，药液浓度为＝，依题意得≤75%，即V2－32V＋60≤0，解得2≤V≤30.又V－5≥0，即V≥5，所以5≤V≤30.
14. 已知命题A：x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两个实根，不等式|m2－5m－3|≥|x1－x2|对任意实数－1≤a≤1恒成立；命题B：不等式|x－2m|－|x|>1(m>0)有解．若A和B均为真命题，则实数m的取值范围为____．
【解析】因为x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两个实根，所以x1＋x2＝a，x1x2＝－2，所以|x1－x2|＝＝.因为－1≤a≤1，所以2≤|x1－x2|≤3.因为不等式|m2－5m－3|≥|x1－x2|对任意实数－1＜a≤1恒成立，所以|m2－5m－3|≥3，所以m2－5m－3≥3或m2－5m－3≤－3，即m2－5m－6≥0或m2－5m≤0，解得m≤－1或m≥6或0≤m≤5，所以命题A：m≤－1或m≥6或0≤m≤5.令y＝|x－2m|－|x|(m＞0)，则y＝|x－2m|－|x|＝结合函数的性质可知，该函数的最大值为2m.由不等式|x－2m|－|x|＞1(m＞0)有解，可得2m＞1，解得m＞，所以命题B：m＞.因为A和B均为真命题，所以所以＜m≤5或m≥6.(共44张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
第2课时　一元二次方程和一元二次不等式的应用
学习 目标 1. 了解从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的实际意义．
2. 能够构建一元二次函数模型，解决实际问题，会解简单的分式不等式．
典例精讲 能力初成
探究
　　　　　解下列不等式：
1
分式不等式和高次不等式的解法
1－1
简单分式不等式的解法：
变式　
C
　　　　　(1) 不等式(x－3)(x＋1)(x＋2)>0的解集为_______________________．
【解析】令每个括号为0得到三个零点－2，－1，3，如图，利用数轴穿根法画出图象解得－23.
1－2
{x|－23}
【解析】如图，使用数轴穿根法得不等式的解集为{x|x≤－3或x＝1或x≥2}．
(2) 不等式(x＋3)(x－1)2(x－2)3≥0的解集为_________________________．
{x|x≤－3或x＝1或x≥2}
(1) 先将x的最高次项的系数变为正数；
(2) 将相应方程的根逐一标在数轴上；
(3) 从右往左、从上到下依次穿线，穿线时“奇过偶不过”；
(4) “>0”取x轴上方的图象所对应的区域，“<0”取x轴下方的图象所对应的区域．
探究
2
一元二次不等式恒成立问题
2
A
(2) 当－2≤x≤2时，不等式x2－mx＋1＞0恒成立，则实数m的取值范围是 (　　)
A. {m|－2C. {m|－2≤m≤2}　 D. {m|m>2}
A
【解析】因为不等式x2－2x＋a>0在x∈R上恒成立，所以Δ＝4－4a<0，即a>1.而a>1可以推出a>0，a>0不能推出a>1，所以“不等式x2－2x＋a>0在x∈R上恒成立”的一个必要不充分条件是a>0.
变式　
B
　　　　“不等式x2－2x＋a>0在x∈R上恒成立”的一个必要不充分条件是
(　　)
A. a>1　 B. a>0
C. a<1　 D. a<0
探究
　　　　(课本P53例4)一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位：辆)与创造的价值y(单位：元)之间有如下的关系：
y＝－20x2＋2 200x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60 000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
3
一元二次不等式的实际应用
3
【解答】设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车，根据题意，得－20x2＋2 200x>60 000，整理得x2－110x＋3 000<0.对于方程x2－110x＋
3 000＝0，Δ＝100>0，方程有两个实数根x1＝50，x2＝60.
画出二次函数y＝x2－110x＋3 000的图象如图所示，结合图象得不等式x2－110x＋
3 000<0的解集为{x|50一元二次不等式实际应用问题的解题方法
(1) 根据题意列出相应的一元二次函数；
(2) 由题意列出相应的一元二次不等式；
(3) 求出解集；
(4) 结合实际情况写出最终结果．
【解答】设该旅店某晚的收入为y元，则y＝(50＋10x)(200－10x)，x∈N*.当y>12 600时，(50＋10x)(200－10x)>12 600，即10 000＋1 500x－100x2>12 600，即x2－15x＋26<0，解得2(不包括70元和180元).
　　　　某旅店有200张床位，若每张床位一晚上的租金为50元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高10x元(x为正整数)，则租出的床位会相应减少10x张．若要使该旅店某晚的收入超过12 600元，则每张床位的出租价格可定在什么范围内？
变式　
随堂内化 及时评价
{x|x<－3或x≥8}
2. 若命题“ x∈R，使得ax2＋ax－4≥0”是假命题，则实数a的取值范围为______________．
{a|－163. 若关于x的不等式mx2－mx－2≤0恒成立，则实数m的取值范围是______________．
{m|－8≤m≤0}
4. 某商品在最近30天内的价格y1(单位：元)与时间t(单位：天)的函数关系是y1＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)；销售量y2(单位：件)与时间t(单位：天)的函数关系是y2＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t的取值范围是___________________．
【解析】依题意有(t＋10)(－t＋35)≥500，解得10≤t≤15，t∈N，故t的取值范围为{t|10≤t≤15，t∈N}．
{t|10≤t≤15，t∈N}
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是 (　　)
A. {a|－4≤a≤4}　　　 B. {a|－4C. {a|a≤－4或a≥4}　　　 D. {a|a<－4或a>4}
A
【解析】由题意知Δ＝a2－16≤0，所以－4≤a≤4.
B
3. 某公园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪．若要求草坪的面积不小于总面积的一半，则花卉带宽度x的取值范围是 (　　)
A. {x|0C. {x|100≤x≤600}　　　 D. {x|600≤x≤800}
A
B
二、 多项选择题
5. 某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如图所示)，则下列说法正确的是 (　　)
A. 二次函数的表达式为y＝－x2＋12x－25
B. 营运的年平均最大利润为20万元
C. 营运的年平均最大利润为2万元
D. 若要使其营运的年平均利润最大，则每辆客车需营运5年
【答案】ABD
6. 汽车在行驶中由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要指标．在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(单位：m)与车速x(单位：km/h)分别有如下关系式：s1＝0.1v＋0.01v2，s2＝0.05v＋0.005v2.则下列判断正确的是 (　　)
A. 甲车超速　 B. 乙车超速
C. 甲车不超速　 D. 乙车不超速
【解析】由题意可得s1＝0.1v＋0.01v2>12 v2＋10v－1 200>0 v>30或v<－40(舍去)，即v>30.当v＝40时，s1＝0.1×40＋0.01×1 600＝20>12，显然甲车没有超速现象．因为s2＝0.05v＋0.005v2>10 v2＋10v－2 000>0 v>40或v<－50(舍去)，即v>40，因此乙车有超速现象．
【答案】BC
4
8. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则图中矩形花园的其中一边的边长x(单位：m)的取值范围是___________________．
{x|10≤x≤30}
(2) 若不等式x2－2x－1>a的解集为R，求实数a的取值范围．
【解答】因为不等式x2－2x－1>a的解集为R，所以x2－2x－1－a>0的解集为R，故Δ＝4＋4＋4a<0，解得a<－2，故实数a的取值范围是{a|a<－2}．
10. 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为 1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1) 写出本年度预计的年利润y与每辆车投入成本增加的比例x的关系式；
【解答】由题意得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(010. 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为 1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0(2) 为使本年度的利润比上年度有所增加，问：每辆车投入成本增加的比例x应在什么范围内？
【答案】C
12. 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x＋2m－1＝0的两个不相等的实数根，且满足x＋x＝18，则实数m的值是 (　　)
A. －3　 B. 5
C. －5或3　 D. 5或－3
A
13. (多选)为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3升后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的75%，则V的可能取值为 (　　)
A. 4　 B. 40 C. 8　 D. 28
CD
14. 已知命题A：x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两个实根，不等式|m2－5m－3|≥|x1－x2|对任意实数－1≤a≤1恒成立；命题B：不等式|x－2m|－|x|>1(m>0)有解．若A和B均为真命题，则实数m的取值范围为_____．

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