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微专题1　恒成立与存在性问题
典例剖析素养初现
拓展1　恒成立问题
视角1　一元二次不等式在R上恒成立
例1-1　(1) 若 x∈R，不等式(m2－4)x2－(m－2)x＋>0恒成立，则实数m的取值范围为 ．
(2) 若关于x的不等式mx2＋2(m＋1)x＋9m＋4＜0的解集为R，则实数m的取值范围是 ．
视角2　一元二次不等式在指定范围内恒成立
例1-2　若不等式x2－ax＋1≥0在0＜x≤2时恒成立，则实数a的最大值为(　 　)
A. 0　 B. 2
C. 　 D. 3
变式　已知当x>0时，不等式x2－mx＋16>0恒成立，则实数m的取值范围是(　 　)
A. {m|m≤8}　 B. {m|m<8}
C. {m|m≥6}　 D. {m|m>6}
视角3　给定参数范围的恒成立
例1-3　若不等式x2＋px＞4x＋p－3在0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是 ．
(1) 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．
(2) 对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．
变式　设函数y＝mx2－mx－1.
(1) 若对于－1≤x≤1，y<－m＋5恒成立，求m的取值范围；
(2) 若对于－2≤m≤2，y<－m＋5恒成立，求x的取值范围．
拓展2　存在性问题
视角1　一元二次不等式在R上有解
例2-1　若存在实数x，使得mx2－(m－2)x＋m<0成立，则m的取值范围为 ．
视角2　一元二次不等式在某区间上有解
例2-2　若存在0A. a<}　 B. 0≤a≤}
C. a>}　 D. a>}
转化为函数(式子)的最值解决能成立问题：
(1) a＞M能成立 a＞Mmin；
(2) a随堂内化及时评价
1. (多选)下列不等式恒成立的是(　 　)
A. x2＋2x＋5＞0　 B. x2＋6x＋10＞0
C. －x2＋x－2＜0　 D. 2x2－3x－3＜0
2. 当1≤x≤3时，关于x的不等式ax2＋x－1<0恒成立，则a的取值范围是(　 　)
A. {a|a<0}　 B. a<－}
C. a>－}　 D. a>－}
3. 若 x∈{x|x＞1}，不等式2x＋m＋＞0恒成立，则实数m的取值范围是(　 　)
A. {m|m＜－8}　 B. {m|m＞－8}
C. {m|m＜－6}　 D. {m|m＞－6}
4. 若存在0≤x≤3，使得不等式x2－4x－a≥0成立，则实数a的取值范围为(　 　)
A. {a|a≤－3}　 B. {a|a≤0}
C. {a|－3≤a≤0}　 D. {a|0≤a≤3}
5. 在R上定义运算⊙：x⊙y＝x(2－y)，若不等式(x＋m)⊙2x＜1对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是 ．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 不等式x2－x＋m>0在R上恒成立的充要条件是(　 　)
A. m>　 B. m<
C. m<1　 D. m>1
2. 已知关于x的不等式ax2－2x＋4a<0在0A. 　 B.
C. {a|a<2}　 D. {a|a>2}
3. 若不等式x2－tx＋1<0对一切1A. {t|t<2}　 B. t>}
C. {t|t≥1}　 D. t≥}
4. (2025·郑州期末)设正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋2b≥－x2＋4x＋9－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　 　)
A. {m|m≤4}　 B. {m|m≥4}
C. {m|m≤6}　 D. {m|m≥2}
二、 多项选择题
5. 若对于任意的x∈{x|0≤x≤2}，不等式x2－2x＋a>0恒成立，则a的取值可以为( 　)
A. －1　 B. 0
C. 2　 D. 3
6. 若正实数x，y满足x＋y＝1，且不等式＋A. －3　 B. 3
C. 4　 D. 5
三、 填空题
7. 已知命题“ x>0，λx2－λx＋2<0”为真命题，则实数λ的取值范围为 ．
8. 若对任意的x∈{x|1≤x≤3}，x2－ax＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是 ．
四、 解答题
9. 设函数y＝ax2－(2a＋3)x＋6，a∈R.
(1) 若y＋2>0恒成立，求实数a的取值范围；
(2) 当a＝1时， t>－2，关于x的不等式y≤－3x＋3＋m在－2≤x≤t范围内有解，求实数m的取值范围．
10. 已知不等式x2＋px>4x＋p－4.
(1) 若不等式在2≤x≤4时有解，求实数p的取值范围；
(2) 若不等式在0≤p≤6时恒成立，求实数x的取值范围．
11. 若<0(m≠0)对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是(　 　)
A. {m|m<3}　 B. m<－}
C. {m|m>2}　 D. {m|－212. 若不等式<3对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是 ．微专题1　恒成立与存在性问题
典例剖析素养初现
拓展1　恒成立问题
视角1　一元二次不等式在R上恒成立
例1-1　(1) 若 x∈R，不等式(m2－4)x2－(m－2)x＋>0恒成立，则实数m的取值范围为__{m|2≤m＜6}__．
【解析】当m2－4＝0，即m＝2(m＝－2舍去)时，不等式为＞0，恒成立；当m2－4＞0，即m＞2或m＜－2时，Δ＝[－(m－2)]2－4×(m2－4)×＜0，解得2＜m＜6.综上，实数m的取值范围为{m|2≤m＜6}．
(2) 若关于x的不等式mx2＋2(m＋1)x＋9m＋4＜0的解集为R，则实数m的取值范围是____．
【解析】当m＝0时，显然不符合题意；当m≠0时，则解得m＜－.综上，实数m的取值范围为.
视角2　一元二次不等式在指定范围内恒成立
例1-2　若不等式x2－ax＋1≥0在0＜x≤2时恒成立，则实数a的最大值为(　B　)
A. 0　 B. 2
C. 　 D. 3
【解析】不等式x2－ax＋1≥0在0＜x≤2时恒成立，即a≤恒成立．因为＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，所以a≤2，则实数a的最大值为2.
变式　已知当x>0时，不等式x2－mx＋16>0恒成立，则实数m的取值范围是(　B　)
A. {m|m≤8}　 B. {m|m<8}
C. {m|m≥6}　 D. {m|m>6}
【解析】当x>0时，不等式x2－mx＋16>0恒成立，即当x>0时，不等式m视角3　给定参数范围的恒成立
例1-3　若不等式x2＋px＞4x＋p－3在0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是__{x|x<
－1或x>3}__．
【解析】不等式可化为(x－1)p＋x2－4x＋3＞0，当0≤p≤4时恒成立，则即解得x＜－1或x＞3.
(1) 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．
(2) 对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．
变式　设函数y＝mx2－mx－1.
(1) 若对于－1≤x≤1，y<－m＋5恒成立，求m的取值范围；
【解答】由题意得，y<－m＋5在－1≤x≤1时恒成立，即m(x2－x＋1)<6在－1≤x≤1时恒成立．因为x2－x＋1＝＋≥对一切实数恒成立，所以m<在－1≤x≤1时恒成立．由函数y＝x2－x＋1的图象知ymax＝1＋1＋1＝3，所以在－1≤x≤1时的最小值为2，所以m<2，故m的取值范围为{m|m<2}．
(2) 若对于－2≤m≤2，y<－m＋5恒成立，求x的取值范围．
【解答】因为mx2－mx－1<－m＋5对于－2≤m≤2恒成立，所以m(x2－x＋1)－6<0对于－2≤m≤2恒成立，所以解得－1－1拓展2　存在性问题
视角1　一元二次不等式在R上有解
例2-1　若存在实数x，使得mx2－(m－2)x＋m<0成立，则m的取值范围为__m<}__．
【解析】当m＝0时，不等式化为2x<0，解得x<0，符合题意；当m>0时，y＝mx2－(m－2)x＋m为开口向上的二次函数，只需Δ＝(m－2)2－4m2＝－3m2－4m＋4>0，解得0视角2　一元二次不等式在某区间上有解
例2-2　若存在0A. a<}　 B. 0≤a≤}
C. a>}　 D. a>}
【解析】当0转化为函数(式子)的最值解决能成立问题：
(1) a＞M能成立 a＞Mmin；
(2) a随堂内化及时评价
1. (多选)下列不等式恒成立的是(　BC　)
A. x2＋2x＋5＞0　 B. x2＋6x＋10＞0
C. －x2＋x－2＜0　 D. 2x2－3x－3＜0
2. 当1≤x≤3时，关于x的不等式ax2＋x－1<0恒成立，则a的取值范围是(　B　)
A. {a|a<0}　 B. a<－}
C. a>－}　 D. a>－}
【解析】由题意可得a<－对x∈{x|1≤x≤3}恒成立．令y＝－＝－，则当x＝2时，ymin＝－，所以a<－.
3. 若 x∈{x|x＞1}，不等式2x＋m＋＞0恒成立，则实数m的取值范围是(　D　)
A. {m|m＜－8}　 B. {m|m＞－8}
C. {m|m＜－6}　 D. {m|m＞－6}
【解析】由题知m＞－2x在x＞1时恒成立，又y＝－2x＝＋2－2x－2＝
－2，x－1＞0，所以由基本不等式可得x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立，所以y＝－2≤－6，故m＞－6.
4. 若存在0≤x≤3，使得不等式x2－4x－a≥0成立，则实数a的取值范围为(　B　)
A. {a|a≤－3}　 B. {a|a≤0}
C. {a|－3≤a≤0}　 D. {a|0≤a≤3}
【解析】存在0≤x≤3，使得不等式x2－4x－a≥0成立，等价于a≤(x2－4x)max.令y＝x2－4x，0≤x≤3，当x＝0时，ymax＝0，所以a≤0.
5. 在R上定义运算⊙：x⊙y＝x(2－y)，若不等式(x＋m)⊙2x＜1对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是__{m|－－1＜m＜－1}__．
【解析】由题意可得(x＋m)⊙2x＝(x＋m)(2－2x)＜1，变形整理得2x2＋2(m－1)x＋(1－2m)＞0.因为对任意的实数x不等式恒成立，所以其对应的一元二次方程2x2＋2(m－1)x＋(1－2m)＝0的根的判别式Δ＝4(m－1)2－8(1－2m)＜0，解得－－1＜m＜－1.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 不等式x2－x＋m>0在R上恒成立的充要条件是(　A　)
A. m>　 B. m<
C. m<1　 D. m>1
2. 已知关于x的不等式ax2－2x＋4a<0在0A. 　 B.
C. {a|a<2}　 D. {a|a>2}
3. 若不等式x2－tx＋1<0对一切1A. {t|t<2}　 B. t>}
C. {t|t≥1}　 D. t≥}
【解析】因为不等式x2－tx＋1<0对一切1＝x＋对一切14. (2025·郑州期末)设正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋2b≥－x2＋4x＋9－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　B　)
A. {m|m≤4}　 B. {m|m≥4}
C. {m|m≤6}　 D. {m|m≥2}
【解析】因为＋＝1，故a＋2b＝(a＋2b)＝5＋＋≥9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，所以a＋2b的最小值为9，故－x2＋4x＋9－m≤9在R上恒成立，即x2－4x＋m≥0在R上恒成立，所以Δ＝16－4m≤0，即m≥4.
二、 多项选择题
5. 若对于任意的x∈{x|0≤x≤2}，不等式x2－2x＋a>0恒成立，则a的取值可以为(　CD　)
A. －1　 B. 0
C. 2　 D. 3
【解析】不等式x2－2x＋a＞0转化为a＞－x2＋2x，设y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，0≤x≤2，当x＝1时，y取得最大值为ymax＝1，所以a>1.
6. 若正实数x，y满足x＋y＝1，且不等式＋A. －3　 B. 3
C. 4　 D. 5
【解析】因为正实数x，y满足x＋y＝1，则(x＋1)＋y＝2，即[(x＋1)＋y]＝1，所以＋＝[(x＋1)＋y]·＝≥＝，当且仅当即时等号成立，即＋的最小值为.因为不等式＋＜m2＋m有解，则m2＋m＞，即2m2＋3m－9＞0，即(2m－3)(m＋3)＞0，解得m＜－3或m＞.
三、 填空题
7. 已知命题“ x>0，λx2－λx＋2<0”为真命题，则实数λ的取值范围为__{λ|λ<0或λ>8}__．
【解析】由题意得，当λ＝0时，2>0，不符合题意；当λ>0时，y＝λx2－λx＋2的对称轴为x＝，所以只需Δ＝λ2－8λ>0，解得λ>8；当λ<0时，显然满足题意．综上，实数λ的取值范围为{λ|λ<0或λ>8}．
8. 若对任意的x∈{x|1≤x≤3}，x2－ax＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是__{a|a≤2}__．
【解析】令y＝x2－ax＋1，当≤1，即a≤2时，y＝x2－ax＋1在x∈{x|1≤x≤3}上单调递增，ymin＝2－a≥0，解得a≤2.当1＜＜3，即2＜a＜6时，ymin＝1－≥0，解得－2≤a≤2，故无解．当≥3，即a≥6时，y＝x2－ax＋1在x∈{x|1≤x≤3}上单调递减，ymin＝10－3a≥0，解得a≤，故无解．综上，a≤2.
四、 解答题
9. 设函数y＝ax2－(2a＋3)x＋6，a∈R.
(1) 若y＋2>0恒成立，求实数a的取值范围；
【解答】y＋2>0恒成立，即ax2－(2a＋3)x＋8>0恒成立．当a＝0时，－3x＋8>0，解得x<，舍去；当a≠0时，解得(2) 当a＝1时， t>－2，关于x的不等式y≤－3x＋3＋m在－2≤x≤t范围内有解，求实数m的取值范围．
【解答】当a＝1时， t>－2，关于x的不等式y≤－3x＋3＋m在－2≤x≤t范围内有解，则－2是x2－2x＋3－m≤0的解，因为抛物线y＝x2－2x＋3开口向上，对称轴为x＝1，所以11－m≤0，解得m≥11，所以m的取值范围为{m|m≥11}．
10. 已知不等式x2＋px>4x＋p－4.
(1) 若不等式在2≤x≤4时有解，求实数p的取值范围；
【解答】不等式x2＋px>4x＋p－4可化为x2＋(p－4)·x＋4－p>0 ①，设y＝x2＋(p－4)x＋4－p，当不等式①在2≤x≤4时有解时，即存在2≤x≤4，使得y>0，所以当x＝2时，y>0或当x＝4时，y>0成立，即4＋2(p－4)＋4－p>0或16＋4(p－4)＋4－p>0，解得p>0或p>－，所以实数p的取值范围是p>－}.
(2) 若不等式在0≤p≤6时恒成立，求实数x的取值范围．
【解答】不等式x2＋px>4x＋p－4化为p(x－1)＋(x2－4x＋4)>0 ②，设g＝p(x－1)＋(x2－4x＋4)，因为当0≤p≤6时不等式②恒成立，即当p＝0时，g>0且当p＝6时，g>0，所以x2－4x＋4>0且6(x－1)＋(x2－4x＋4)>0，解得x<－1－或－1＋2.所以实数x的取值范围是{x|x<－1－或－1＋2}．
11. 若<0(m≠0)对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是(　B　)
A. {m|m<3}　 B. m<－}
C. {m|m>2}　 D. {m|－2【解析】因为不等式<0等价于(m2x－1)(mx＋1)<0(m≠0)，令(m2x－1)(mx＋1)＝0，解得x＝或x＝－(m≠0).①当m>0时，－<，所以不等式(m2x－1)(mx＋1)<0的解集为－0不符合题意；②当m≤－1时，≤－，所以不等式(m2x－1)(mx＋1)<0的解集为x<或x>－}，又因为原不等式对一切x≥4恒成立，所以解得m≤－1；③当－1－，所以不等式(m2x－1)(mx＋1)<0的解集为x<－或x>}，又因为原不等式对一切x≥4恒成立，所以解得－112. 若不等式<3对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是__{a|3－2【解析】x2－x＋1＝＋>0，所以<3恒成立等价于2－ax＋x2<3(1－x＋x2)恒成立，即不等式2x2＋(a－3)x＋1>0恒成立，所以Δ＝(a－3)2－4×2×1<0，解得3－2第二章 一元二次函数、方程和不等式
微专题1　恒成立与存在性问题
典例剖析 素养初现
恒成立问题
拓展
1
1－1
{m|2≤m＜6}
(2) 若关于x的不等式mx2＋2(m＋1)x＋9m＋4＜0的解集为R，则实数m的取值范围是
____________．
视角2　一元二次不等式在指定范围内恒成立
　　　　　若不等式x2－ax＋1≥0在0＜x≤2时恒成立，则实数a的最大值为
(　　)
B
1－2
变式　
B
　　　　已知当x>0时，不等式x2－mx＋16>0恒成立，则实数m的取值范围是
(　　)
A. {m|m≤8}　 B. {m|m<8}
C. {m|m≥6}　 D. {m|m>6}
视角3　给定参数范围的恒成立
　　　　　若不等式x2＋px＞4x＋p－3在0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是______________________．
1－3
{x|x<－1或x>3}
(1) 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．
(2) 对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．
变式　
　　　　设函数y＝mx2－mx－1.
(1) 若对于－1≤x≤1，y<－m＋5恒成立，求m的取值范围；
设函数y＝mx2－mx－1.
(2) 若对于－2≤m≤2，y<－m＋5恒成立，求x的取值范围．
视角1　一元二次不等式在R上有解
　　　　　若存在实数x，使得mx2－(m－2)x＋m<0成立，则m的取值范围为____________．
存在性问题
拓展
2
2－1
视角2　一元二次不等式在某区间上有解
　　　　　若存在0(　　)
A
2－2
转化为函数(式子)的最值解决能成立问题：
(1) a＞M能成立 a＞Mmin；
(2) a随堂内化 及时评价
BC
2. 当1≤x≤3时，关于x的不等式ax2＋x－1<0恒成立，则a的取值范围是
(　　)
B
D
4. 若存在0≤x≤3，使得不等式x2－4x－a≥0成立，则实数a的取值范围为(　　)
A. {a|a≤－3}　 B. {a|a≤0}
C. {a|－3≤a≤0}　 D. {a|0≤a≤3}
B
【解析】存在0≤x≤3，使得不等式x2－4x－a≥0成立，等价于a≤(x2－4x)max.令y＝x2－4x，0≤x≤3，当x＝0时，ymax＝0，所以a≤0.
5. 在R上定义运算⊙：x⊙y＝x(2－y)，若不等式(x＋m)⊙2x＜1对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是___________________________．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 不等式x2－x＋m>0在R上恒成立的充要条件是 (　　)
A
2. 已知关于x的不等式ax2－2x＋4a<0在0(　　)
A
3. 若不等式x2－tx＋1<0对一切1D
B
二、 多项选择题
5. 若对于任意的x∈{x|0≤x≤2}，不等式x2－2x＋a>0恒成立，则a的取值可以为
(　　)
A. －1　 B. 0
C. 2　 D. 3
CD
【解析】不等式x2－2x＋a＞0转化为a＞－x2＋2x，设y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，0≤x≤2，当x＝1时，y取得最大值为ymax＝1，所以a>1.
【答案】BCD
三、 填空题
7. 已知命题“ x>0，λx2－λx＋2<0”为真命题，则实数λ的取值范围为______________．
{λ|λ<0或λ>8}
8. 若对任意的x∈{x|1≤x≤3}，x2－ax＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是______________．
{a|a≤2}
四、 解答题
9. 设函数y＝ax2－(2a＋3)x＋6，a∈R.
(1) 若y＋2>0恒成立，求实数a的取值范围；
9. 设函数y＝ax2－(2a＋3)x＋6，a∈R.
(2) 当a＝1时， t>－2，关于x的不等式y≤－3x＋3＋m在－2≤x≤t范围内有解，求实数m的取值范围．
【解答】当a＝1时， t>－2，关于x的不等式y≤－3x＋3＋m在－2≤x≤t范围内有解，则－2是x2－2x＋3－m≤0的解，因为抛物线y＝x2－2x＋3开口向上，对称轴为x＝1，所以11－m≤0，解得m≥11，所以m的取值范围为{m|m≥11}．
10. 已知不等式x2＋px>4x＋p－4.
(1) 若不等式在2≤x≤4时有解，求实数p的取值范围；
10. 已知不等式x2＋px>4x＋p－4.
(2) 若不等式在0≤p≤6时恒成立，求实数x的取值范围．
【答案】B

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