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第3节　离心现象
1.如图所示，汽车在通过水平弯道时，轮胎与地面间的摩擦力已达到最大值，若汽车转弯的速率增大到原来的倍，为使汽车转弯时仍不打滑，其转弯半径应（　　）
A.增大到原来的倍 B.增大到原来的2倍
C.减小到原来的 D.减小到原来的
2.如图所示，汽车以大小相等的速率通过凸凹不平的路面时，下列说法正确的是（　　）
A.汽车通过B点时容易爆胎
B.汽车经过A、B两点均处于超重状态
C.汽车通过B点对路面压力值小于汽车的重力
D.汽车经过A、B两点时对路面压力值均等于车的重力
3.在玻璃管中放一个乒乓球后注满水，然后用软木塞封住管口，将此玻璃管固定在转盘上，管口置于转盘转轴处，处于静止状态。当转盘在水平面内转动时，如图所示，则乒乓球会（球直径比管直径略小）（　　）
A.向管底运动 B.向管口运动
C.保持不动 D.无法判断
4.（2024·贵州贵阳期末）如图所示，一汽车正在道路上转弯，弯道处的路面是倾斜的且与水平面所成夹角为θ。汽车在该弯道处以10 m/s的速率转弯时，沿倾斜路面恰好没有上、下滑动的趋势。已知汽车在弯道上做圆周运动的半径为40 m，重力加速度取g＝10 m/s2，则tan θ的值为（　　）
A. B.
C. D.
5.摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速列车，如图所示。当列车转弯时，在电脑控制下，车厢会自动倾斜；行驶在直轨上时，车厢又恢复原状，就像玩具“不倒翁”一样。假设有一摆式列车在水平面内行驶，以360 km/h的速度转弯，转弯半径为1 km，则质量为50 kg的乘客，在转弯过程中所受到的火车对他的作用力大小为（g取10 m/s2）（　　）
A.500 N B.1 000 N
C.500 N D.0
6.（多选）一个质量为m的物体（体积可忽略），在半径为R的光滑半球顶点处以水平速度v0运动，如图所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A.若v0＝，则物体对半球顶点无压力
B.若v0＝，则物体对半球顶点的压力为mg
C.若v0＝0，则物体对半球顶点的压力为mg
D.若v0＝0，则物体对半球顶点的压力为零
7.质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v，若物体与球壳之间的摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是（　　）
A.受到向心力为mg＋m
B.受到的摩擦力为μm
C.受到的摩擦力为μmg
D.受到的合力方向斜向左上方
8.为确保弯道行车安全，汽车进入弯道前保持较小速度。如图所示，AB为进入弯道前的平直公路，BC为水平圆弧形弯道。一辆质量为2 t的汽车从A点静止开始做匀加速运动，进入BC段时保持速率不变运动，已知AB段的距离sAB＝20 m，弯道BC是圆，其半径R＝25 m。汽车与路面间的动摩擦因数μ＝0.4，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g＝10 m/s2。要确保汽车进入弯道后不侧滑。求汽车：
（1）在弯道上行驶的最大速度；
（2）在AB段时所受的阻力F阻＝3 000 N，则做匀加速运动的最大牵引力；
（3）在（2）问下汽车从A点运动到C点的总时间。（π取3.14，最后1小题答案保留1位小数）
9.如图所示的为汽车在水平路面做半径为R的大转弯的后视图，悬吊在车顶的灯左偏了θ角，则：（重力加速度为g）
（1）车正向左转弯还是向右转弯？
（2）车速是多少？
（3）若（2）中求出的速度正是汽车转弯时不打滑允许的最大速度，则车轮与地面间的动摩擦因数μ是多少？（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）
第3节　离心现象
1.B　由汽车的摩擦力提供向心力，则有f＝，f不变，v增大为v，则弯道半径要变为原来的2倍，故B正确，A、C、D错误。
2.C　汽车经过B点时有向下的加速度，处于失重状态，根据牛顿第二定律，得mg－N＝m，所以N小于汽车的重力，结合牛顿第三定律，可知汽车经过B点时对路面压力值小于汽车的重力；汽车经过A点时有向上的加速度，处于超重状态，根据牛顿第二定律，得N－mg＝m，所以N大于汽车的重力，结合牛顿第三定律，可知汽车经过A点时对路面压力值大于汽车的重力，所以在A处比较容易爆胎。综上所述选C。
3.B　转盘在水平面内转动时，玻璃管壁的摩擦力不足以提供水做圆周运动时所需要的向心力，水做离心运动，所以水向管底运动，则乒乓球在水的作用下向管口运动，故选B。
4.A　对汽车受力分析，根据牛顿第二定律得mgtan θ＝m，代入数值解得tan θ＝，故选A。
5.C　360 km/h＝100 m/s，乘客所需的向心力F＝m＝500 N，而乘客的重力为G＝500 N，则火车对乘客的作用力大小N＝＝500 N，故C正确。
6AC　设物体在半球顶点受到的支持力为N，若v0＝，由mg－N＝m得N＝0，则根据牛顿第三定律，物体对半球顶点无压力，A正确；若v0＝，由mg－N＝m，得N＝mg，则根据牛顿第三定律，物体对半球顶点的压力为mg，B错误；若v0＝0，物体处于平衡状态，对半球顶点的压力为mg，C正确，D错误。
7.D　在最低点，物体受到的向心力F＝m，故A错误；根据牛顿第二定律得，物体在最低点有N－mg＝m，则N＝mg＋m，物块受到的摩擦力f＝μN＝μ，故B、C错误；因为物体受到重力和支持力的合力竖直向上，摩擦力水平向左，根据平行四边形定则知，物体所受的合力方向斜向左上方，故D正确。
8.（1）10 m/s　（2）8 000 N　（3）7.9 s
解析：（1）设汽车在弯道上行驶的最大速度为v，根据牛顿第二定律有m＝μmg
解得v＝10 m/s。
（2）根据运动学公式可得汽车在AB段做匀加速运动的最大加速度为a＝＝2.5 m/s2
根据牛顿第二定律可得汽车在AB段做匀加速运动的最大牵引力为F＝F阻＋ma＝8 000 N。
（3）汽车在AB段的运动时间为t1＝＝4 s
汽车在BC段的运动时间为t2＝≈3.9 s
汽车从A点运动到C点的总时间为t＝t1＋t2＝7.9 s。
9.（1）向右转弯　（2）　（3）tan θ
解析：（1）对灯受力分析可知，合外力方向向右，所以车正向右转弯；
（2）设灯的质量为m，对灯受力分析知mgtan θ＝m，解得v＝。
（3）设汽车的质量为M，汽车刚好不打滑，有μMg＝M解得μ＝tan θ。
3 / 3第3节　离心现象
核心素养目标 物理观念 1.知道离心现象，掌握物体做离心运动的条件。 2.知道离心现象的应用和危害。
科学思维 能利用离心规律解释一些生活中的实际现象。
科学态度与责任 了解离心现象在生活中是常见的现象。
知识点一　车辆转弯时所需的向心力
1.汽车在水平路面上转弯
（1）向心力来源：受到的　　　　　　　　提供。
（2）向心力公式：f＝　　　　　　　　。
（3）最大速度：v＝。
2.汽车、火车在内低外高的路面上转弯
（1）向心力来源：重力和支持力的合力提供。
（2）向心力公式：　　　　　　　　＝m。
（3）限定速度：v＝，取决于　　　　　　　和倾角。当v＞ 时，火车车轮轮缘与　　　　发生挤压，当v＜ 时，火车车轮轮缘与　　　　发生挤压。
知识点二　竖直平面内的圆周运动分析
1.汽车过凹凸桥
　　分类 分析　　 汽车过凸形桥 汽车过凹形桥
向心力 重力与支持力的合力提供向心力 支持力与重力的合力提供向心力
方程 　　　　＝m 　　　　＝m
压力 N'＝G－m，压力　　　　重力，当v＝　　　　时N＝0 N'＝G＋m，压力　　　　重力
2.过山车（在最高点和最低点）
（1）向心力来源：受力如图所示，重力和支持力的合力提供向心力。
（2）向心力方程
①在最高点：　　　＝m。
②在最低点：N'－mg＝m。
（3）通过最高点的条件：由N≥0，得v≥　　　　　　　　。
知识点三　生活中的离心运动
1.离心运动
（1）定义
做圆周运动的物体，在受到的合外力突然　　　　或者　　　　　　提供做圆周运动所需要的向心力的情况下，将远离圆心运动，这种运动称为离心运动。
（2）条件
合外力突然　　　　　　　　　或合外力　　　　提供向心力。
2.离心运动的应用和防止
（1）应用
离心分离器、离心干燥器、脱水筒。
（2）危害与防止
危害：过荷太大时，飞行员会暂时失明，甚至昏厥。
防止：车辆转弯时要限速。
【情景思辨】
　公路拐弯处都设置比平直公路更低的限速，赛车场设计的车道外高内低。
（1）汽车拐弯时，所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力。（　　）
（2）汽车拐弯时的速度大于限速时，汽车将做离心运动。（　　）
（3）赛车场设计的外高内低，车手和赛车转弯时靠重力和支持力的合力提供向心力。（　　）
要点一　火车转弯
【探究】
　摩托车在水平道路上转弯（图甲）和火车转弯（图乙），它们的共同点是什么？提供向心力的方式一样吗？铁路弯道处铁轨有什么特点？
【归纳】
1.铁路弯道的特点
铁路弯道处，外轨高于内轨，若火车按规定的速度v0行驶，转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan θ＝m，如图所示，则v0＝，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面间的夹角（θ很小的情况下，tan θ≈sin θ）。
2.当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和支持力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘无挤压作用。
【典例1】　有一列质量为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m。（g取10 m/s2）
（1）试计算铁轨受到的侧压力大小；
（2）若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，试计算路基倾斜角度θ的正切值。
尝试解答
易错提醒
火车转弯时合外力的方向
　　火车转弯时，火车所受合外力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨道斜面向下。因为火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车的向心力即合外力应沿水平面指向圆心。
1.近年来我国高速铁路发展迅速，现已知某新型国产火车总质量为m，如图所示，火车正要进入铁路两轨间宽度为L、内外轨高度差为h、重力加速度为g、半径为R的弯道，则该弯道处的设计速度最为适宜的是（　　）
A. B.
C. D.
2.（多选）在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则（　　）
A.该弯道的半径r＝
B.当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C.当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D.当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压
要点二　汽车过凹凸桥
1.汽车过凸形桥
汽车在凸形桥上运动，经过最高点时，汽车所受的重力与桥面对汽车支持力的合力提供向心力，如图甲所示。
由牛顿第二定律得G－N＝m
解得N＝G－m。
由牛顿第三定律得，汽车对桥面的压力N'＝N＝G－m，因此，汽车对桥面的压力小于重力，而且车速越大，压力越小。具体有以下三种情况：
①当0≤v＜时，0＜N≤G。
②当v＝时，N＝0，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险。
③当v＞时，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险。
2.汽车过凹形桥
如图乙所示，汽车经过凹形桥面最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两个力的合力提供向心力。
由牛顿第二定律得N－G＝m
解得N＝G＋m。
由牛顿第三定律得，汽车对桥面的压力N'＝N＝G＋m，因此，汽车对桥面的压力大于重力，而且车速越大， 压力越大。
【典例2】　一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱桥后，接着又以相同速率通过一圆弧形凹形桥，设两圆弧半径相等，汽车通过拱桥桥顶时，对桥面的压力大小N1为车重力的一半，汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的压力大小为N2，求N1与N2之比。
尝试解答
1.一辆小汽车驶上圆弧半径为90 m的拱桥。当汽车经过桥顶时恰好对桥没有压力而腾空，g＝10 m/s2，则此时汽车的速度大小为（　　）
A.90 m/s B.30 m/s
C.10 m/s D.3 m/s
2.如图所示，质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60 m，如果桥面能承受的压力不超过3.0×105 N，则：（g取10 m/s2）
（1）汽车允许的最大速率是多少？
（2）若以所求速率行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？
要点三　离心运动
【探究】
　雨天，当你旋转雨伞时，会发现水滴沿着伞的边缘飞出。汽车高速转弯时，若摩擦力不足，汽车会滑出路面。请思考：
（1）水滴飞出、汽车滑出是因为受到了离心力吗？
（2）物体做离心运动的条件是什么？
（3）汽车转弯发生侧翻是向外翻还是向内翻？
【归纳】
1.离心运动中合外力与向心力的关系
（1）若F合＝mrω2或F合＝m，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”。
（2）若F合＞mrω2或F合＞m，物体做半径变小的近心运动，即“提供过度”，也就是“提供”大于“需要”。
（3）若F合＜mrω2或F合＜m，则外力不足以将物体拉回到原轨道上，物体做离心运动，即“需要”大于“提供”或“提供不足”。
（4）若F合＝0，则物体沿切线方向飞出。
2.常见几种离心运动对比图示
项目 实物图 原理图 现象及 结论
洗衣机脱水筒 当水滴跟物体的附着力F不足以提供向心力时，即F＜mω2r，水滴做离心运动
汽车在水平路面上转弯 当最大静摩擦力不足以提供向心力时，即fmax＜m，汽车做离心运动
用离心机把体温计的水银甩回玻璃泡中 当离心机快速旋转时，缩口处对水银柱的阻力不足以提供向心力时，水银柱做离心运动进入玻璃泡内
【典例3】　如图甲所示，滚筒洗衣机脱水时，衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做顺时针的匀速圆周运动。如图乙所示，一件小衣物（可理想化为质点）质量为m，滚筒半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，a、b分别为小衣物经过的最高位置和最低位置。下列说法正确的是（　　）
A.衣物所受滚筒的支持力的大小始终为mω2R
B.衣物转到b位置时的脱水效果最好
C.衣物所受滚筒的作用力大小始终为mg
D.衣物在a位置对滚筒壁的压力比在b位置的大
尝试解答
1.（多选）如图所示，小球原来能在光滑的水平面上做圆周运动，若剪断B、C间细绳，当A球重新达到稳定状态后，则A球的（　　）
A.运动半径变大 B.运动半径变小
C.角速度变大 D.周期变大
2.（多选）如图所示，光滑水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球运动到P点时，拉力F发生变化，关于小球运动情况的说法正确的是（　　）
A.若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B.若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C.若拉力突然变小，小球将可能沿轨迹Pb做离心运动
D.若拉力突然变大，小球将可能沿轨迹Pc做近心运动
要点回眸
1.一个学员驾着教练车在水平路面上匀速转弯时的情形如图所示，考虑空气阻力，则下列说法中正确的是（　　）
A.教练车所受地面的摩擦力与小车前进的方向相反
B.教练车所受地面的摩擦力与小车前进的方向相同
C.教练车所受地面的摩擦力指向弯道内侧且偏向小车前进的方向
D.教练车所受地面的摩擦力垂直小车前进的方向且指向弯道内侧
2.为了行驶安全和减少对铁轨的磨损，火车转弯处轨道平面与水平面会有一个夹角。若火车以规定的速度行驶，则转弯时轮缘与铁轨无挤压。已知某转弯处轨道平面与水平面间夹角为α，转弯半径为R，规定行驶速率为v，重力加速度为g，则（　　）
A.v＝gRtan α
B.v＝gRsin α
C.v＝
D.v＝
3.实验室模拟拱形桥来研究汽车通过桥的最高点时对桥的压力。在较大的平整木板上相隔一定的距离钉4个钉子，将三合板弯曲成拱桥形卡入钉内，三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增加摩擦，这样玩具车就可以在桥面上跑起来了。把这套系统放在电子秤上，关于电子秤的示数下列说法正确的是（　　）
A.玩具车静止在拱桥顶端时的示数小一些
B.玩具车运动通过拱桥顶端时的示数大
C.玩具车运动通过拱桥顶端时处于超重状态
D.玩具车运动通过拱桥顶端时速度越大（未离开拱桥），示数越小
4.（2024·山东济南期末）骑行是一项深受人们热爱的运动，如图是场地自行车比赛的圆弧形赛道。路面与水平面间的夹角为13.5°，圆弧的半径为60 m，某运动员骑自行车在该赛道上做匀速圆周运动，已知sin 13.5°＝0.233，tan 13.5°＝0.240，取g＝10 m/s2，则下列说法正确的是（　　）
A.该运动员在骑行过程中，所受合外力为零
B.该运动员在骑行过程中，所受合外力沿路面向下
C.若该运动员以12 m/s的速度骑行，则其不受路面给的侧向摩擦力
D.若该运动员以 m/s的速度骑行，则其不受路面给的侧向摩擦力
5.我们常常在公园和古村落中见到拱形桥，如图甲所示。一辆质量为1.2 t的小车，以10 m/s速度经过半径为40 m的拱形桥最高点，如图乙所示，取g＝10 m/s2。求：
（1）桥对小车支持力的大小；
（2）为保证安全，小车经过桥顶时不能离开桥面，则此时的最大速度为多少？
（3）若小车以10 m/s的速度通过半径为40 m的凹形桥面，如图丙所示。求经过最低点时桥面对小车支持力的大小。
第3节　离心现象
【基础知识·准落实】
知识点一
1.（1）静摩擦力　（2）m　2.（2）mgtan θ　（3）转弯半径　外轨　内轨
知识点二
1.G－N　N—G　小于　　大于　2.（2）①N＋mg　（3）
知识点三
1.（1）消失　不足以　（2）消失　不足以
情景思辨
（1）×　（2）√　（3）√
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【探究】　提示：共同点：摩托车在水平道路上转弯和火车转弯都需要向心力。摩托车转弯时由摩擦力提供向心力，火车质量太大，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损，需要设置特别的轨道，使外轨高于内轨，由火车受到的重力、支持力的合力提供向心力。
【典例1】　（1）1×105 N　（2）0.1
解析：（1）v＝72 km/h＝20 m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，则有
N＝m＝ N＝1×105 N。
由牛顿第三定律可知，铁轨受到的侧压力大小N'＝N＝1×105 N。
（2）
火车过弯道，若铁轨受到的侧压力为0，则重力和铁轨对火车的支持力的合力刚好提供向心力，如图所示，有mgtan θ＝m。
由此可得tan θ＝＝0.1。
素养训练
1.A　
转弯的过程中，当内外轨对车轮均没有侧向压力时，火车的受力图如图所示。由牛顿第二定律得mgtan θ＝m，tan θ＝，解得v＝。故A正确，B、C、D错误。
2.ABD　火车拐弯时不侧向挤压轮缘，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得mgtan θ＝m，解得r＝，故A正确；根据牛顿第二定律得mgtan θ＝m，解得v＝，可知火车规定的行驶速度大小与质量无关，故B正确；当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，此时外轨对火车轮缘有侧压力，轮缘挤压外轨，故C错误，D正确。
要点二
知识精研
【典例2】　1∶3
解析：汽车过圆弧形桥的最高点（或最低点）时，重力与桥面对汽车的支持力的合力提供向心力。由牛顿第三定律可知，汽车受桥面对它的支持力与它对桥面的压力大小相等，汽车过圆弧形拱桥的最高点时，由牛顿第二定律可得
mg－N1＝m，
同理，汽车过圆弧形凹形桥的最低点时，有
N2－mg＝m，
由题意可知N1＝mg
联立解得N2＝mg，
所以N1∶N2＝1∶3。
素养训练
1.B　汽车经过桥顶时对汽车受力分析，如图所示。
车对桥恰好没有压力而腾空，根据牛顿第三定律知桥对车的支持力为零，即N＝0
即汽车做圆周运动的向心力完全由其自身的重力提供，有F＝G＝m
解得v＝＝ m/s＝30 m/s，故B正确。
2.（1）10 m/s　（2）1.0×105 N
解析：（1）汽车在凹形桥的底部时，合力向上，汽车受到的支持力最大，由牛顿第三定律可知，桥面对汽车的支持力N1＝3.0×105 N，根据牛顿第二定律N1－mg＝m，解得v＝r＝10 m/s由于v＜＝10 m/s，故在凸形桥最高点上汽车不会脱离桥面，所以汽车允许的最大速率为10 m/s。
（2）汽车在凸形桥顶部时，合力向下，汽车受到的支持力最小，由牛顿第二定律得mg－N2＝m，
即N2＝m＝1.0×105 N
由牛顿第三定律得，在凸形桥顶部汽车对桥面的压力为1.0×105 N，此即最小压力。
要点三
知识精研
【探究】　提示：（1）水滴飞出、汽车滑出的原因是物体具有惯性的表现，不是因为受到了离心力，离心力是不存在的。
（2）物体做离心运动的条件是做圆周运动的物体，在受到的合外力突然消失或者不足以提供做圆周运动所需要的向心力。
（3）摩擦力提供汽车转弯的向心力，速度过大发生侧翻时会朝半径大的位置运动，即汽车会向外翻。
【典例3】　B　衣物随滚筒一起做匀速圆周运动，在转动过程中，根据牛顿第二定律可知衣物所受合力的大小始终为F合＝mω2R，以衣物所在a、b位置时为例，由于重力方向始终竖直向下，向心力方向始终指向圆心，可知衣物所受滚筒的支持力的大小不相等，故A错误；在a、b两点，根据牛顿第二定律有mg＋N1＝m，N2－mg＝m，根据牛顿第三定律知衣物对滚筒壁的压力在a位置时比在b位置的小，衣物做匀速圆周运动，所需的向心力相同，对筒壁的压力不同，在b点最大，脱水效果最好，故B正确，D错误；衣物随滚筒一起做匀速圆周运动，在转动过程中，衣物所受的重力及衣物所受滚筒的作用力大小的合力大小不变，但方向时刻改变，所以衣物所受滚筒的作用力大小是在不断变化的，故C错误。
素养训练
1.AD　当剪断B、C之间的细绳时，能提供的向心力减小，所以A球做离心运动，半径变大，故A正确，B错误；稳定后，则有：F＝mω2r＝m，所以周期T变大，角速度变小，故C错误，D正确。
2.ACD　由F＝知，拉力变小，F提供的向心力不足，R变大，小球做离心运动，C正确，B错误；反之，F变大，小球做近心运动，D正确；当F突然消失时，小球将沿切线方向做直线运动，A正确。
【教学效果·勤检测】
1.C　因为教练车做匀速圆周运动，考虑空气阻力其所受地面的摩擦力是静摩擦力，方向应指向弯道内侧且偏向小车前进的方向，其切线分量与空气阻力平衡，沿着半径方向的分量充当向心力，故选C。
2.D　火车受力如图所示。
在转弯处火车按规定速度行驶时，火车所需要的向心力由重力和支持力的合力提供，有F合＝mgtan α，根据牛顿第二定律有mgtan α＝m，解得火车规定行驶速度为v＝，故D正确。
3.D　玩具车在最高点时，受向下的重力和向上的支持力作用，根据牛顿第二定律得mg－N＝m，即N＝mg－m＜mg，根据牛顿第三定律得玩具车对桥面的压力N'＝N，所以玩具车运动通过拱桥顶端时，处于失重状态速度越大（未离开拱桥），示数越小，选项D正确。
4.C　该运动员在骑行过程中在该赛道上做匀速圆周运动，所受的合外力提供向心力，指向圆心，故A、B错误；当其不受路面给的侧向摩擦力时，重力和路面的支持力提供向心力，根据牛顿第二定律有mgtan 13.5°＝m，解得v＝＝12 m/s，故C正确，D错误。
5.（1）9 000 N　（2）20 m/s　（3）15 000 N
解析：（1）根据向心力公式和牛顿第二定律得
mg－N＝m
解得N＝9 000 N。
（2）最大允许的速度满足mg＝m
解得vm＝20 m/s。
（3）经过凹形桥面时有N'－mg＝m
解得N'＝15 000 N。
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第3节　离心现象
核心素 养目标 物理观念 1.知道离心现象，掌握物体做离心运动的条
件。
2.知道离心现象的应用和危害。
科学思维 能利用离心规律解释一些生活中的实际现
象。
科学态度与
责任　 了解离心现象在生活中是常见的现象。
目 录
01.
基础知识·准落实
02.
核心要点·快突破
03.
教学效果·勤检测
04.
课时训练·提素能
基础知识·准落实
梳理归纳 自主学习
01
知识点一　车辆转弯时所需的向心力
1. 汽车在水平路面上转弯
（1）向心力来源：受到的 提供。
（2）向心力公式：f＝ 。
（3）最大速度：v＝。
静摩擦力　
m　
2. 汽车、火车在内低外高的路面上转弯
（1）向心力来源：重力和支持力的合力提供。
（2）向心力公式： ＝m。
mgtan θ　
（3）限定速度：v＝，取决于 和倾角。当v
＞ 时，火车车轮轮缘与 发生挤压，当v＜
时，火车车轮轮缘与 发生挤压。
转弯半径　
外轨　
内轨　
知识点二　竖直平面内的圆周运动分析
1. 汽车过凹凸桥
　　分类 分析　　 汽车过凸形桥 汽车过凹形桥
向心力 重力与支
持力的合力提供向心力 支持力与重力
的合力提供向心力
　　分类 分析　　 汽车过凸形桥 汽车过凹形桥
方程 ＝m ＝m
压力 N'＝G－m，压力
重力，当v＝
时N＝0 N'＝G＋m，压力
重力
G－N　
N－G　
小
于　
　
大于　
（1）向心力来源：受力如图所示，重力和支持力的合力提供向
心力。
2. 过山车（在最高点和最低点）
①在最高点： ＝m。
②在最低点：N'－mg＝m。
N＋mg　
（2）向心力方程
（3）通过最高点的条件：由N≥0，得v≥ 。
　
知识点三　生活中的离心运动
1. 离心运动
（1）定义
做圆周运动的物体，在受到的合外力突然 或者
提供做圆周运动所需要的向心力的情况下，将远离圆
心运动，这种运动称为离心运动。
（2）条件
合外力突然 或合外力 提供向心力。
消失　
不
足以　
消失　
不足以　
2. 离心运动的应用和防止
（1）应用
离心分离器、离心干燥器、脱水筒。
（2）危害与防止
危害：过荷太大时，飞行员会暂时失明，甚至昏厥。
防止：车辆转弯时要限速。
【情景思辨】
　公路拐弯处都设置比平直公路更低的限速，赛车场设计的车道外高
内低。
（1）汽车拐弯时，所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力。
（　×　）
（2）汽车拐弯时的速度大于限速时，汽车将做离心运动。
（　√　）
（3）赛车场设计的外高内低，车手和赛车转弯时靠重力和支持力的
合力提供向心力。 （　√　）
×
√
√
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
02
要点一　火车转弯
【探究】
　摩托车在水平道路上转弯（图甲）和火车转弯（图乙），它们
的共同点是什么？提供向心力的方式一样吗？铁路弯道处铁轨有
什么特点？
提示：共同点：摩托车在水平道路上转弯和火车转弯都需要向心力。
摩托车转弯时由摩擦力提供向心力，火车质量太大，轮缘与外轨间的
相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损，需要设置特别的轨道，使外
轨高于内轨，由火车受到的重力、支持力的合力提供向心力。
【归纳】
1. 铁路弯道的特点
铁路弯道处，外轨高于内轨，若火车按规定的速度v0行驶，转弯所
需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan θ＝m，
如图所示，则v0＝，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水
平面间的夹角（θ很小的情况下，tan θ≈sin θ）。
2. 当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和支持
力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘无挤压作用。
【典例1】　有一列质量为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一
个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m。（g取10 m/s2）
（1）试计算铁轨受到的侧压力大小；
答案： 1×105 N　
解析： v＝72 km/h＝20 m/s，外轨对轮缘的侧压力提供
火车转弯所需要的向心力，则有
N＝m＝ N＝1×105 N。
由牛顿第三定律可知，铁轨受到的侧压力大小N'＝N＝
1×105 N。
（2）若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，
试计算路基倾斜角度θ的正切值。
答案： 0.1
解析：火车过弯道，若铁轨受到的侧压力为0，则重力和铁轨对火车的支持力的合力刚好提供向心力，如图所示，有mgtan θ＝
m。由此可得tan θ＝＝0.1。
易错提醒
火车转弯时合外力的方向
　　火车转弯时，火车所受合外力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨
道斜面向下。因为火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火
车的向心力即合外力应沿水平面指向圆心。
1. 近年来我国高速铁路发展迅速，现已知某新型国产火车总质量为
m，如图所示，火车正要进入铁路两轨间宽度为L、内外轨高度差
为h、重力加速度为g、半径为R的弯道，则该弯道处的设计速度最
为适宜的是（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　转弯的过程中，当内外轨对车轮均没有侧向
压力时，火车的受力图如图所示。由牛顿第二定律得
mgtan θ＝m，tan θ＝，解得v＝。故A正
确，B、C、D错误。
2. （多选）在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。如图所示，
当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤
压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为
θ，则（　　）
A. 该弯道的半径r＝
B. 当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C. 当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D. 当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压
解析： 　火车拐弯时不侧向挤压轮缘，靠重力和支持力的合
力提供向心力，根据牛顿第二定律得mgtan θ＝m，解得r＝
，故A正确；根据牛顿第二定律得mgtan θ＝m，解得v＝
，可知火车规定的行驶速度大小与质量无关，故B正确；
当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，此
时外轨对火车轮缘有侧压力，轮缘挤压外轨，故C错误，D正确。
要点二　汽车过凹凸桥
1. 汽车过凸形桥
汽车在凸形桥上运动，经过最高点时，汽车所受的重力与桥面对汽
车支持力的合力提供向心力，如图甲所示。
解得N＝G－m。
由牛顿第三定律得，汽车对桥面的压力N'＝N＝G－m，因此，汽
车对桥面的压力小于重力，而且车速越大，压力越小。具体有以下
三种情况：
由牛顿第二定律得G－N＝m
①当0≤v＜时，0＜N≤G。
②当v＝时，N＝0，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险。
③当v＞时，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险。
2. 汽车过凹形桥
如图乙所示，汽车经过凹形桥面最低点时，受竖直向下的重力和竖
直向上的支持力，两个力的合力提供向心力。
由牛顿第二定律得N－G＝m
解得N＝G＋m。
由牛顿第三定律得，汽车对桥面的压力N'＝N＝G＋m，因此，汽
车对桥面的压力大于重力，而且车速越大， 压力越大。
【典例2】　一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱桥后，接着又以相同
速率通过一圆弧形凹形桥，设两圆弧半径相等，汽车通过拱桥桥顶
时，对桥面的压力大小N1为车重力的一半，汽车通过圆弧形凹形桥的
最低点时，对桥面的压力大小为N2，求N1与N2之比。
答案：1∶3
解析：汽车过圆弧形桥的最高点（或最低点）时，重力与桥面对汽车
的支持力的合力提供向心力。由牛顿第三定律可知，汽车受桥面对它
的支持力与它对桥面的压力大小相等，汽车过圆弧形拱桥的最高点
时，由牛顿第二定律可得mg－N1＝m，
同理，汽车过圆弧形凹形桥的最低点时，有
N2－mg＝m，
由题意可知N1＝mg
联立解得N2＝mg，
所以N1∶N2＝1∶3。
1. 一辆小汽车驶上圆弧半径为90 m的拱桥。当汽车经过桥顶时恰好对
桥没有压力而腾空，g＝10 m/s2，则此时汽车的速度大小为
（　　）
A. 90 m/s B. 30 m/s
C. 10 m/s D. 3 m/s
解析： 汽车经过桥顶时对汽车受力分析，如图
所示。
车对桥恰好没有压力而腾空，根据牛顿第三定律
知桥对车的支持力为零，即N＝0
即汽车做圆周运动的向心力完全由其自身的重力
提供，有F＝G＝m
解得v＝＝ m/s＝30 m/s，故B正确。
2. 如图所示，质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形
桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60 m，如果桥面能承受的
压力不超过3.0×105 N，则：（g取10 m/s2）
（1）汽车允许的最大速率是多少？
答案： 10 m/s　
解析： 汽车在凹形桥的底部时，
合力向上，汽车受到的支持力最
大，由牛顿第三定律可知，桥
面对汽车的支持力N1＝3.0×105 N，
根据牛顿第二定律N1－mg＝m，解得v＝r＝10 m/s由于v＜＝10 m/s，故在凸形桥最高点上汽车不会脱离桥面，所以汽车允许的最大速率为10 m/s。
（2）若以所求速率行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？
答案： 1.0×105 N
解析：汽车在凸形桥顶部时，合力向
下，汽车受到的支持力最小，由牛顿
第二定律得mg－N2＝m，
即N2＝m＝1.0×105 N
由牛顿第三定律得，在凸形桥顶部汽车对桥面的压力为
1.0×105 N，此即最小压力。
要点三　离心运动
【探究】
　雨天，当你旋转雨伞时，会发现水滴沿着伞的边缘飞出。汽车高速
转弯时，若摩擦力不足，汽车会滑出路面。请思考：
（1）水滴飞出、汽车滑出是因为受到了离心力吗？
提示： 水滴飞出、汽车滑出的原因是物体具有惯性的表
现，不是因为受到了离心力，离心力是不存在的。
（2）物体做离心运动的条件是什么？
提示： 物体做离心运动的条件是做圆周运动的物体，
在受到的合外力突然消失或者不足以提供做圆周运动所需要
的向心力。
（3）汽车转弯发生侧翻是向外翻还是向内翻？
提示： 摩擦力提供汽车转弯的向心力，速度过大发生侧翻
时会朝半径大的位置运动，即汽车会向外翻。
【归纳】
1. 离心运动中合外力与向心力的关系
（1）若F合＝mrω2或F合＝m，物体做匀速圆周运动，即“提供”
满足“需要”。
（2）若F合＞mrω2或F合＞m，物体做半径变小的近心运动，即
“提供过度”，也就是“提供”大于“需要”。
（3）若F合＜mrω2或F合＜m，则外力不足以将物体拉回到原轨道
上，物体做离心运动，即“需要”大于“提供”或“提供不
足”。
（4）若F合＝0，则物体沿切线方向飞出。
2. 常见几种离心运动对比图示
项目 实物图 原理图 现象及结论
洗衣机
脱水筒 当水滴跟物体的附着力F不足以提
供向心力时，即F＜mω2r，水滴
做离心运动
项目 实物图 原理图 现象及结论
汽车在
水平路
面上转
弯
当最大静摩擦力不足以提供向心
力时，即fmax＜m，汽车做离心
运动
项目 实物图 原理图 现象及结论
用离心
机把体
温计的
水银甩
回玻璃
泡中 当离心机快速旋转时，缩
口处对水银柱的阻力不足
以提供向心力时，水银柱
做离心运动进入玻璃泡内
【典例3】　如图甲所示，滚筒洗衣机脱水时，衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做顺时针的匀速圆周运动。如图乙所示，一件小衣物（可理想化为质点）质量为m，滚筒半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，a、b分别为小衣物经过的最高位置和最低位置。下列说法正确的是（　　）
A. 衣物所受滚筒的支持力的大小始终为mω2R
B. 衣物转到b位置时的脱水效果最好
C. 衣物所受滚筒的作用力大小始终为mg
D. 衣物在a位置对滚筒壁的压力比在b位置的大
解析：衣物随滚筒一起做匀速圆周运动，在转动过程中，根据牛顿
第二定律可知衣物所受合力的大小始终为F合＝mω2R，以衣物所在
a、b位置时为例，由于重力方向始终竖直向下，向心力方向始终指
向圆心，可知衣物所受滚筒的支持力的大小不相等，故A错误；在
a、b两点，根据牛顿第二定律有mg＋N1＝m，N2－mg＝m，根
据牛顿第三定律知衣物对滚筒壁的压力在a位置时比在b位置的小，
衣物做匀速圆周运动，所需的向心力相同，对筒壁的压力不同，在
b点最大，脱水效果最好，故B正确，D错误；衣物随滚筒一起做匀速圆周运动，在转动过程中，衣物所受的重力及衣物所受滚筒的作用力大小的合力大小不变，但方向时刻改变，所以衣物所受滚筒的作用力大小是在不断变化的，故C错误。
1. （多选）如图所示，小球原来能在光滑的水平面上做圆周运动，若
剪断B、C间细绳，当A球重新达到稳定状态后，则A球的（　　）
A. 运动半径变大 B. 运动半径变小
C. 角速度变大 D. 周期变大
解析： 　当剪断B、C之间的细绳时，能提供的向心力减
小，所以A球做离心运动，半径变大，故A正确，B错误；稳定
后，则有：F＝mω2r＝m，所以周期T变大，角速度变小，
故C错误，D正确。
2. （多选）如图所示，光滑水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速
圆周运动，若小球运动到P点时，拉力F发生变化，关于小球运动
情况的说法正确的是（　　）
A. 若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B. 若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C. 若拉力突然变小，小球将可能沿轨迹Pb做离心运动
D. 若拉力突然变大，小球将可能沿轨迹Pc做近心运动
解析： 　由F＝知，拉力变小，F提供的向心力不足，R变
大，小球做离心运动，C正确，B错误；反之，F变大，小球做近心
运动，D正确；当F突然消失时，小球将沿切线方向做直线运动，
A正确。
要点回眸
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
03
1. 一个学员驾着教练车在水平路面上匀速转弯时的情形如图所示，考
虑空气阻力，则下列说法中正确的是（　　）
A. 教练车所受地面的摩擦力与小车前进的方向相反
B. 教练车所受地面的摩擦力与小车前进的方向相同
C. 教练车所受地面的摩擦力指向弯道内侧且偏向小
车前进的方向
D. 教练车所受地面的摩擦力垂直小车前进的方向且
指向弯道内侧
解析： 　因为教练车做匀速圆周运动，考虑空气阻力其所受地面
的摩擦力是静摩擦力，方向应指向弯道内侧且偏向小车前进的方
向，其切线分量与空气阻力平衡，沿着半径方向的分量充当向心
力，故选C。
2. 为了行驶安全和减少对铁轨的磨损，火车转弯处轨道平面与水平面
会有一个夹角。若火车以规定的速度行驶，则转弯时轮缘与铁轨无
挤压。已知某转弯处轨道平面与水平面间夹角为α，转弯半径为
R，规定行驶速率为v，重力加速度为g，则（　　）
A. v＝gRtan α B. v＝gRsin α
C. v＝ D. v＝
解析： 　火车受力如图所示。
在转弯处火车按规定速度行驶时，火车所需要的
向心力由重力和支持力的合力提供，有F合＝
mgtan α，根据牛顿第二定律有mgtan α＝m，解
得火车规定行驶速度为v＝，故D正确。
3. 实验室模拟拱形桥来研究汽车通过桥的最高点时对桥的压力。在较
大的平整木板上相隔一定的距离钉4个钉子，将三合板弯曲成拱桥
形卡入钉内，三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增加摩擦，这样
玩具车就可以在桥面上跑起来了。把这套系统放在电子秤上，关于
电子秤的示数下列说法正确的是（　　）
A. 玩具车静止在拱桥顶端时的示数小一些
B. 玩具车运动通过拱桥顶端时的示数大
C. 玩具车运动通过拱桥顶端时处于超重状态
D. 玩具车运动通过拱桥顶端时速度越大（未离开拱
桥），示数越小
解析： 　玩具车在最高点时，受向下的重力和向上的支持力作
用，根据牛顿第二定律得mg－N＝m，即N＝mg－m＜mg，根
据牛顿第三定律得玩具车对桥面的压力N'＝N，所以玩具车运动通
过拱桥顶端时，处于失重状态速度越大（未离开拱桥），示数越
小，选项D正确。
4. （2024·山东济南期末）骑行是一项深受人们热爱的运动，如图是
场地自行车比赛的圆弧形赛道。路面与水平面间的夹角为13.5°，
圆弧的半径为60 m，某运动员骑自行车在该赛道上做匀速圆周运
动，已知sin 13.5°＝0.233，tan 13.5°＝0.240，取g＝10 m/s2，
则下列说法正确的是（　　）
A. 该运动员在骑行过程中，所受合外力为零
B. 该运动员在骑行过程中，所受合外力沿路面向下
C. 若该运动员以12 m/s的速度骑行，则其不受路面给
的侧向摩擦力
D. 若该运动员以 m/s的速度骑行，则其不受路
面给的侧向摩擦力
解析： 　该运动员在骑行过程中在该赛道上做匀速圆周运动，所
受的合外力提供向心力，指向圆心，故A、B错误；当其不受路面
给的侧向摩擦力时，重力和路面的支持力提供向心力，根据牛顿第
二定律有mgtan 13.5°＝m，解得v＝＝12 m/s，故
C正确，D错误。
5. 我们常常在公园和古村落中见到拱形桥，如图甲所示。一辆质量为
1.2 t的小车，以10 m/s速度经过半径为40 m的拱形桥最高点，如图
乙所示，取g＝10 m/s2。求：
（1）桥对小车支持力的大小；
答案： 9 000 N　
解析： 根据向心力公式和牛顿第二定律得
mg－N＝m
解得N＝9 000 N。
（2）为保证安全，小车经过桥顶时不能离开桥面，则此时的最大
速度为多少？
答案： 20 m/s　
解析：最大允许的速度满足mg＝m
解得vm＝20 m/s。
（3）若小车以10 m/s的速度通过半径为40 m的凹形桥面，如图丙
所示。求经过最低点时桥面对小车支持力的大小。
答案： 15 000 N
解析：经过凹形桥面时有N'－mg＝m
解得N'＝15 000 N。
04
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
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1. 如图所示，汽车在通过水平弯道时，轮胎与地面间的摩擦力已达到
最大值，若汽车转弯的速率增大到原来的倍，为使汽车转弯时
仍不打滑，其转弯半径应（　　）
A. 增大到原来的倍
B. 增大到原来的2倍
C. 减小到原来的
D. 减小到原来的
解析： 　由汽车的摩擦力提供向心力，则有f＝，f不变，v
增大为v，则弯道半径要变为原来的2倍，故B正确，A、C、
D错误。
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2. 如图所示，汽车以大小相等的速率通过凸凹不平的路面时，下列说
法正确的是（　　）
A. 汽车通过B点时容易爆胎
B. 汽车经过A、B两点均处于超重状态
C. 汽车通过B点对路面压力值小于汽车的重力
D. 汽车经过A、B两点时对路面压力值均等于车的重力
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解析： 　汽车经过B点时有向下的加速度，处于失重状态，根据
牛顿第二定律，得mg－N＝m，所以N小于汽车的重力，结合牛
顿第三定律，可知汽车经过B点时对路面压力值小于汽车的重力；
汽车经过A点时有向上的加速度，处于超重状态，根据牛顿第二定
律，得N－mg＝m，所以N大于汽车的重力，结合牛顿第三定
律，可知汽车经过A点时对路面压力值大于汽车的重力，所以在A
处比较容易爆胎。综上所述选C。
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3. 在玻璃管中放一个乒乓球后注满水，然后用软木塞封住管口，将此
玻璃管固定在转盘上，管口置于转盘转轴处，处于静止状态。当转
盘在水平面内转动时，如图所示，则乒乓球会（球直径比管直径略
小）（　　）
A. 向管底运动 B. 向管口运动
C. 保持不动 D. 无法判断
解析： 　转盘在水平面内转动时，玻璃管壁的摩擦力不足以提供
水做圆周运动时所需要的向心力，水做离心运动，所以水向管底运
动，则乒乓球在水的作用下向管口运动，故选B。
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4. （2024·贵州贵阳期末）如图所示，一汽车正在道路上转弯，弯道
处的路面是倾斜的且与水平面所成夹角为θ。汽车在该弯道处以10
m/s的速率转弯时，沿倾斜路面恰好没有上、下滑动的趋势。已知
汽车在弯道上做圆周运动的半径为40 m，重力加速度取g＝10
m/s2，则tan θ的值为（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　对汽车受力分析，根据牛顿第二定律得mgtan θ＝m，
代入数值解得tan θ＝，故选A。
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5. 摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速列车，
如图所示。当列车转弯时，在电脑控制下，车厢会自动倾斜；行驶
在直轨上时，车厢又恢复原状，就像玩具“不倒翁”一样。假设有
一摆式列车在水平面内行驶，以360 km/h的速度转弯，转弯半径为
1 km，则质量为50 kg的乘客，在转弯过程中所受到的火车对他的
作用力大小为（g取10 m/s2）（　　）
A. 500 N B. 1 000 N
C. 500 N D. 0
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解析： 　360 km/h＝100 m/s，乘客所需的向心力F＝m＝500
N，而乘客的重力为G＝500 N，则火车对乘客的作用力大小N＝
＝500 N，故C正确。
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6. （多选）一个质量为m的物体（体积可忽略），在半径为R的光滑
半球顶点处以水平速度v0运动，如图所示，重力加速度为g，则下
列说法正确的是（　　）
A. 若v0＝，则物体对半球顶点无压力
B. 若v0＝，则物体对半球顶点的压力为mg
C. 若v0＝0，则物体对半球顶点的压力为mg
D. 若v0＝0，则物体对半球顶点的压力为零
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解析： 　设物体在半球顶点受到的支持力为N，若v0＝，由
mg－N＝m得N＝0，则根据牛顿第三定律，物体对半球顶点无压
力，A正确；若v0＝，由mg－N＝m，得N＝mg，则根据
牛顿第三定律，物体对半球顶点的压力为mg，B错误；若v0＝0，
物体处于平衡状态，对半球顶点的压力为mg，C正确，D错误。
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7. 质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形
金属壳竖直放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v，若物体
与球壳之间的摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的
是（　　）
A. 受到向心力为mg＋m
B. 受到的摩擦力为μm
C. 受到的摩擦力为μmg
D. 受到的合力方向斜向左上方
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解析： 　在最低点，物体受到的向心力F＝m，故A错误；根据
牛顿第二定律得，物体在最低点有N－mg＝m，则N＝mg＋m，
物块受到的摩擦力f＝μN＝μ，故B、C错误；因为物体
受到重力和支持力的合力竖直向上，摩擦力水平向左，根据平行四
边形定则知，物体所受的合力方向斜向左上方，故D正确。
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8. 为确保弯道行车安全，汽车进入弯道前保持较小速度。如图所示，
AB为进入弯道前的平直公路，BC为水平圆弧形弯道。一辆质量为2
t的汽车从A点静止开始做匀加速运动，进入BC段时保持速率不变
运动，已知AB段的距离sAB＝20 m，弯道BC是圆，其半径R＝25
m。汽车与路面间的动摩擦因数μ＝0.4，设最大静摩擦力等于滑动
摩擦力，取g＝10 m/s2。要确保汽车进入弯道后不侧滑。求汽车：
（1）在弯道上行驶的最大速度；
答案： 10 m/s　
解析： 设汽车在弯道上行驶的最大速度为v，根据牛顿
第二定律有m＝μmg
解得v＝10 m/s。
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（2）在AB段时所受的阻力F阻＝3 000 N，则做匀加速运动的最大
牵引力；
答案： 8 000 N　
解析：根据运动学公式可得汽车在AB段做匀加速运动的最大
加速度为a＝＝2.5 m/s2
根据牛顿第二定律可得汽车在AB段做匀加速运动的最大牵引
力为F＝F阻＋ma＝8 000 N。
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（3）在（2）问下汽车从A点运动到C点的总时间。（π取3.14，最
后1小题答案保留1位小数）
答案： 7.9 s
解析：汽车在AB段的运动时间为t1＝＝4 s
汽车在BC段的运动时间为t2＝≈3.9 s
汽车从A点运动到C点的总时间为t＝t1＋t2＝7.9 s。
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9. 如图所示的为汽车在水平路面做半径为R的大转弯的后视图，悬吊
在车顶的灯左偏了θ角，则：（重力加速度为g）
（1）车正向左转弯还是向右转弯？
答案： 向右转弯　
解析： 对灯受力分析可知，合外力方向向右，所以车正
向右转弯；
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（2）车速是多少？
答案： 　
解析：设灯的质量为m，对灯受力分析知mgtan θ＝m，
解得v＝。
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（3）若（2）中求出的速度正是汽车转弯时不打滑允许的最大速
度，则车轮与地面间的动摩擦因数μ是多少？（设最大静摩擦
力等于滑动摩擦力）
答案： tan θ
解析：设汽车的质量为M，汽车刚好不打滑，有μMg＝
M解得μ＝tan θ。
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