资源简介

第2节　万有引力定律的应用
1.土星最大的卫星叫“泰坦”（如图所示），每16天绕土星运行一周，其公转轨道半径约为1.2×106 km，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为（　　）
A.5×1017 kg B.5×1026 kg
C.7×1033 kg D.4×1036 kg
2.若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是（　　）
A. B.
C. D.
3.一物体从一行星表面某高度处自由下落（不计阻力）。自开始下落计时，得到物体离行星表面高度h随时间t变化的图像如图所示，则根据题设条件可以计算出（　　）
A.行星表面重力加速度大小
B.行星的质量
C.行星的密度
D.物体受到星球引力的大小
4.如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　）
A.太阳对各小行星的引力相同
B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值
D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值均大于地球公转的线速度值
5.我国女航天员王亚平在2013年6月第一次进入太空时在“天宫1号”飞船内进行了首次太空授课，演示了几个完全失重状态下的物理现象与物理实验。若飞船内静止的水珠质量为m，飞船运动的轨道距地面高度为h，地球质量为M、半径为R，引力常量为G，则水珠受地球的引力及水珠的加速度大小分别为（　　）
A.0，0
B.，0
C.，0
D.，
6.2021年5月7日，我国成功将“遥感三十号”08组卫星发射升空，卫星进入预定轨道。假设某卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，运动周期为T。地球半径为R，引力常量为G。求：
（1）卫星的向心加速度大小；
（2）地球的平均密度。
7.某同学从网上得到一些信息，如下表数据所示，则地球和月球的密度之比为（　　）
月球半径 R0
月球表面处的重力加速度 g0
地球和月球的半径之比 ＝4
地球表面和月球表面的重力加速度之比 ＝6
A. B.
C.4 D.6
8.假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球的半径为R，则地球的自转周期为（　　）
A.2π B.2π
C.2π D.2π
9.1798年英国物理学家卡文迪许测出引力常量G，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1（地球自转周期），一年的时间为T2（地球公转周期），地球中心到月球中心的距离为L1，地球中心到太阳中心的距离为L2。下列说法正确的是（　　）
A.地球的质量m地＝ B.太阳的质量m太＝
C.月球的质量m月＝ D.由题中数据可求月球的密度
10.美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道，若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是（　　）
A.M＝，ρ＝
B.M＝，ρ＝
C.M＝，ρ＝
D.M＝，ρ＝
11.（2024·山东临沂期中）2024年4月26日，我国神舟十八号宇宙飞船上的三位航天员与神舟十七号上的三位航天员在中国空间站成功会师。空间站绕地球运行视为匀速圆周运动，运行周期为T。若不考虑地球自转，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G。求：
（1）地球的平均密度ρ；
（2）空间站距离地面的高度h。
第2节　万有引力定律的应用
1.B　由卫星受到的万有引力提供向心力，得＝mr，其中r＝1.2×106 km＝1.2×109 m，T＝16天＝16×24×3 600 s＝1 382 400 s，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，代入数据可得m土≈5×1026 kg，故B正确。
2.A　根据万有引力提供向心力，有G＝m，又M＝ρ·，解得T＝ ，故A正确，B、C、D错误。
3.A　物体离行星表面的高度为25 m，落地时间为2.5 s，根据h＝gt2可得出重力加速度g， A正确；由于不知道行星的半径，所以不能求出行星的质量和密度，B、C错误；由于不知道物体的质量，所以不能求出物体受到行星的引力大小，D错误。
4.C　由于各小行星的质量和轨道半径不同，根据万有引力定律可知太阳对各小行星的引力不同，选项A错误；由G＝mr可得T＝ ，又小行星的轨道半径大于地球的轨道半径，可知各小行星绕太阳运动的周期均大于一年，选项B错误；由G＝ma可得a＝，可知小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值，选项C正确；由G＝m可得v＝ ，可知小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值均小于地球公转的线速度值，选项D错误。
5.D　飞船及其中的人和物品所受到的万有引力提供向心力，即F＝G＝ma，可得向心加速度大小为a＝，A、B、C错误，D正确。
6.（1）　（2）
解析：（1）设卫星的质量和向心加速度分别为m、a，有
mr＝ma
卫星的向心加速度大小a＝。
（2）设地球质量为M，由万有引力提供向心力可得
G＝m··r
解得M＝
则地球的密度为ρ＝＝＝。
7.B　在地球表面，物体的重力近似等于物体所受的万有引力，则mg＝G，解得M＝，地球的密度ρ＝＝＝，同理，月球的密度ρ0＝，所以地球和月球的密度之比＝＝6×＝，故选B。
8.B　质量为m的物体在两极所受地球的引力等于其所受的重力，有mg0＝G，在赤道，引力为重力和向心力的合力，有mg＋mR＝G，联立解得T＝2π ，故选项B正确。
9.B　根据万有引力等于重力，有G＝mg，则m地＝，故A错误；根据万有引力提供向心力有＝mL2，解得m太＝，故B正确；根据题中的物理量，无法求出月球的质量，故C错误；月球的质量无法求出，则无法求出月球的密度，故D错误。
10.D　由题意知“卡西尼”号探测器离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行的周期T＝，由万有引力提供向心力，有G＝m（R＋h），联立解得M＝，由ρ＝，又V＝πR3，联立解得ρ＝，故D正确，A、B、C错误。
11.（1）　（2）－R
解析：（1）在地球表面＝mg
根据密度公式得ρ＝，又V＝πR3
解得ρ＝。
（2）空间站绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有＝m
在地球表面＝mg
解得h＝－R。
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第2节　万有引力定律的应用
核心素 养目标 物理 观念 1.理解重力与万有引力的关系。
2.掌握应用万有引力定律计算天体质量和密度的方
法。
3.会计算人造卫星的第一宇宙速度，理解三个宇宙
速度的意义。
科学 思维 1.理解天体运动的分析思路与计算方法。
2.感受科学定律的预测作用，体会万有引力定律对
人类探索和认识未知世界的作用。
目 录
01.
基础知识·准落实
02.
核心要点·快突破
03.
教学效果·勤检测
04.
课时训练·提素能
基础知识·准落实
梳理归纳 自主学习
01
知识点一　天体质量的计算
1. 天体质量的计算
（1）在地球的表面，如果不考虑地球自转的影响， 近似
等于万有引力，即mg＝G，若已知地球的半径即可求得地
球的质量M＝ 。
重力　
　
（2）假设质量为m的天体围绕质量为M的天体近似做匀速圆周运
动， 提供向心力，则G＝mr，解得M
＝ 。
万有引力　
　
2. 重力与万有引力的关系
考虑地球的自转，如图所示，地球对物体的万有引力F的方向指向
地心O，它的一个分力F'为物体随地球自转做圆周运动的
，另一个分力就是物体的重力mg，故一般情况mg＜G。
向心
力　
知识点二　人造卫星上天
1. 人造卫星
（1）牛顿的设想：如图所示，当 足够大时，被抛出
物体将会围绕地球旋转而不再落回地面，成为一颗绕地球转
动的 。
抛出速度　
卫星　
（2）原理：卫星绕地球转动时， 提供
向心力，即＝m＝mrω2，其中r为卫星到
地心的距离。
万有引力　
2. 宇宙速度
（1）第一宇宙速度大小为 ，也称环绕速度。
（2）第二宇宙速度大小为 ，也称脱离速度。
（3）第三宇宙速度大小为 ，也称逃逸速度。
7.9 km/s　
11.2 km/s　
16.7 km/s　
知识点三　预测未知天体
1. 海王星的发现
在观测天王星时，发现其实际轨道与万有引力计算的轨道不吻合，
并由此预测存在另一行星，这就是后来发现的 。
2. 意义
巩固了 的地位，展示了科学理论的预见性。
海王星　
万有引力定律　
【情景思辨】
　如图所示的是木星和它周围运行的卫星。判断下列说法的正误。
（1）木星对卫星的万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力。
（　√　）
√
（2）如果测出一颗卫星的轨道半径和周期就可以算出木星的质量。
（　√　）
（3）如果测出一颗卫星的质量和卫星到木星表面的距离就可以算出
木星的质量。 （　×　）
（4）木星的第一宇宙速度也是7.9 km/s。 （　×　）
√
×
×
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
02
要点一　天体质量的计算
【探究】
　卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值，他被称为“能称量地球
质量的人”。
（1）他“称量”的依据是什么？
提示： 若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力。
（2）若还已知地球表面重力加速度g，地球半径R，求地球的质量和
密度。
提示： 由mg＝G得M地＝，ρ＝
＝＝。
【归纳】
对天体质量及密度的计算
情景及求解思路 结果
天体
质量 的计
算
情景及求解思路 结果
天体密度 的计算
【典例1】　假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若它
贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常量为G。
（1）求该天体的质量和密度；
答案： 　　
解析：设卫星的质量为m，天体的质量M。
（1）卫星贴近天体表面运动时，有G＝mR，
则该天体的质量M＝，
根据数学知识可知，天体的体积V＝πR3，
故该天体的密度ρ＝＝＝。
（2）若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该高度做圆周
运动的周期为T2，求该天体的质量和密度。
答案： 　
解析：卫星距天体表面的高度为h时，有
G＝m（R＋h），
则该天体的质量M＝，
故该天体的密度ρ＝＝＝。
易错警示
求解天体质量和密度时的常见错误
（1）根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝是中心天体的质
量，而不是行星（或卫星）的质量。
（2）混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应
一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，
轨道半径用r表示，只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如
近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。
（3）注意区分R、r、h的意义：一般情况下，R指中心天体的半径，r
指行星或卫星的轨道半径，h指卫星距离星球表面的高度，三者
关系为r＝R＋h。
1. 2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入
轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常
量为G，由下列物理量能计算出地球质量的是（　　）
A. 核心舱的质量和绕地半径
B. 核心舱的质量和绕地周期
C. 核心舱的绕地角速度和绕地周期
D. 核心舱的绕地线速度和绕地半径
解析： 　由万有引力提供向心力得G＝m，解得M＝，即
已知核心舱的绕地线速度v和绕地半径r，可以计算出地球质量，选
项D正确。
2. 我国成功地进行了“嫦娥四号”的发射和落月任务，进一步获取了
月球的相关数据。嫦娥四号在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，
经过时间t，运动的路程是s，与月球中心连线扫过的角度是θ（弧
度），引力常量为G，月球半径为R，则可推知月球的密度是
（　　）
解析： 　由题意可知，嫦娥四号的线速度、角速度分别为v＝，
ω＝，又因为v＝ωr，所以轨道半径为r＝＝。嫦娥四号绕月球
做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有G＝m，得月
球的质量为M＝＝，又因为月球的体积为V＝πR3，所以月
球的密度ρ＝＝＝。故B正确。
要点二　万有引力与重力的关系
1. 物体在地球表面上所受引力与重力的关系：除两极以外，地面上其
他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的
向心力。地球对物体引力的一个分力F提供向心力，另一个分力为
重力mg，如图所示。
（1）当物体在两极时：重力等于万有引力，即mg＝F引，重力达到
最大值G。
（2）当物体在赤道上时，F＝mω2R最大，重力为最小值G－
mω2R。
（3）从赤道到两极：随着纬度增加，向心力F＝mω2R减小，F与F
引夹角增大，所以重力mg增大，重力加速度增大。
2. 重力加速度与高度的关系
若距离地面的高度为h，则mg＝G（R为地球半径，g为离
地面h高度处的重力加速度）。在同一纬度，距地面越高，重力加
速度越小。
3. 特别说明
（1）重力是物体由于地球吸引产生的，但重力并不是地球对物体
的引力。
（2）在忽略地球自转的情况下，认为mg＝G。
【典例2】　假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的
重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期
为T，引力常量为G，则地球的密度为（　　）
解析：在地球的两极处有G＝mg0，在赤道处有G－mg＝
mR，又地球质量与地球半径的关系M＝πR3ρ，联立可得ρ＝
，故B正确。
1. （多选）如图所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地
球表面不同纬度上，如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体，
P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是
（　　）
A. P、Q受地球引力大小相等
B. P、Q做圆周运动的向心力大小相等
C. P、Q做圆周运动的角速度大小相等
D. P、Q两质点的重力大小相等
解析： 　P、Q两质点所受地球引力都是F＝G，故A正确；
P、Q都随地球一起转动，其角速度一样大，但P的轨道半径大于Q
的轨道半径，根据向心力F向＝mω2r可知P的向心力大，故B错误，
C正确；物体的重力为万有引力的一个分力，在赤道处最小，随着
纬度的增加而增大，在两极处最大，故D错误。
2. 从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月
系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球
的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆
前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过
程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比
为（　　）
A. 9∶1 B. 9∶2
C. 36∶1 D. 72∶1
解析： 　悬停时所受平台的作用力等于万有引力，则＝
G∶G＝9∶2，故选B。
要点三　对三种宇宙速度的理解及其应用
【探究】
　发射卫星，要有足够大的速度才行，请思考：
（1）不同星球的第一宇宙速度是否相同？第一宇宙速度的决定因素
是什么？
提示： 不同，根据G＝m得v＝ ，可见第一宇宙速
度由星球的质量和半径决定。
（2）人造地球卫星离地面越高，其线速度越小，那么发射起来是不
是越容易？
提示： 不是。近地卫星最“容易”发射，离地面越高的卫
星，越难发射。
【归纳】
1. 第一宇宙速度
（1）公式：v1＝ ＝。
（2）推导
①由G＝m得v1＝
＝ m/s＝7.9×103 m/s。
②万有引力近似等于星球表面的重力，由mg＝m得v1＝
＝ m/s＝7.9×103 m/s。
特别提醒
（1）第一宇宙速度公式v1＝ ＝同样适用于其他天体，其中
g、R分别为相应天体表面的重力加速度和天体的半径。
（2）意义：第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，是人造卫星
做匀速圆周运动的最大速度，对应的运行周期是人造卫星的最
小周期，Tmin＝2π＝5 075 s≈85 min。
2. 第二宇宙速度
（1）大小：v2＝11.2 km/s。
（2）意义：在地面附近发射飞行器，使之能够克服地球的引力，
永远离开地球所需的最小发射速度。
特别提醒
　　第二宇宙速度与第一宇宙速度的关系：v2＝v1。
3. 第三宇宙速度
（1）大小：v3＝16.7 km/s。
（2）意义：在地面附近发射飞行器，使之能够挣脱太阳引力的束
缚，飞到太阳系外的最小发射速度。
4. 发射速度与卫星的轨道关系
（1）当7.9 km/s≤v发＜11.2 km/s时，卫星绕地球做椭圆运动。
（2）当11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s时，卫星绕太阳旋转，成为太阳
系的一颗“小行星”。
（3）当v发≥16.7 km/s时，卫星脱离太阳的引力束缚跑到太阳系以
外的空间中去。
【典例3】　中国已在2020年发射火星探测器，已知火星的质量约为
地球的，火星的半径约为地球的。下列关于火星探测器的说法正确
的是（　　）
A. 发射速度只要大于第一宇宙速度即可
B. 发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C. 发射速度应大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度
D. 火星探测器环绕火星运行的最大速度约为地球第一宇宙速度的2倍
解析：火星探测器前往火星，脱离地球引力的束缚，还在太阳系内，
发射速度应大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，故A、B错误，C
正确；火星探测器环绕火星运行的最大速度为火星的第一宇宙速度，
地球的第一宇宙速度v1＝ ，火星的第一宇宙速度v2＝＝
v1，故D错误。
规律总结
对最小发射速度和“最大环绕速度”的理解
（1）最小发射速度：向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，
因为发射卫星要克服地球对它的引力，近地轨道是人造卫星的
最低运行轨道，而近地轨道的发射速度就是第一宇宙速度，所
以第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度。
（2）最大环绕速度：由G＝m可得v＝ ，轨道半径越小，线
速度越大。在所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星中，近地卫
星的轨道半径最小，线速度最大，所以近地卫星的线速度即第
一宇宙速度是最大环绕速度。
1. 若已知地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，地球的第一宇
宙速度为v1，则（　　）
A. 根据题给条件可以估算出地球的质量
B. 据题给条件不能估算地球的平均密度
C. 第一宇宙速度v1是人造地球卫星的最大发射速度，也是最小环绕速度
D. 在地球表面以速度2v1发射的卫星将会脱离太阳的束缚，飞到太阳系之外
解析： 　设地球半径为R，则地球的第一宇宙速度v1＝，对
近地卫星，有G＝mg，联立可得M＝，A正确；地球体积V＝
πR3＝π，结合M＝，可以估算出地球的平均密度ρ＝
，B错误；第一宇宙速度v1是人造地球卫星的最小发射速度，
也是最大的环绕速度，C错误；第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，第二
宇宙速度v2＝11.2 km/s，第三宇宙速度v3＝16.7 km/s，在地球表面
以速度2v1发射的卫星，速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速
度，此卫星为绕太阳运动的卫星，D错误。
2. 物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度，第二宇宙
速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝v1。已知某星球半径是地
球半径R的3倍，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的，
不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为（　　）
解析： 　由题意知该星球的第一宇宙速度v1＝＝ ＝
，该星球的第二宇宙速度v2＝v1＝，故A正确。
要点回眸
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
03
1. （多选）下列说法正确的是（　　）
A. 海王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的
B. 天王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的
C. 天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原
因是天王星受到轨道外面其他行星的引力作用
D. 以上说法都不对
解析： 　海王星是人们根据万有引力定律计算出其轨道，然后
由天文工作者在预言的位置附近观察到的，天王星是人们通过望远
镜观察发现的；由于天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算
出来的轨道，引起了人们的思考，推测天王星轨道外面存在未知行
星，进而发现了海王星。故A、C正确，B、D错误。
2. 科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出
1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹
是半长轴为1 000 AU（太阳到地球的距离为1 AU）的椭圆，银河系
中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物
理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设
太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为（　　）
A. 4×104M
B. 4×106M
C. 4×109M
D. 4×1010M
解析： 　由1994年到2002年对恒星S2观测位置图可知，恒星S2绕
黑洞运动的周期大约为T2＝16年，半长轴为a＝1 000 AU，设黑洞
的质量为M黑，恒星S2质量为m2，由万有引力提供向心力，可得
G＝m2a；设地球质量为m，地球绕太阳运动的轨道半径
为r＝1 AU，周期T1＝1年，由万有引力提供向心力，可得G＝
mr，联立解得黑洞质量M黑≈4×106M，选项B正确。
3. 若月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，并且已知月球绕地
球运动的轨道半径为r、绕地球运动的周期为T，引力常量为G，由
此可以知道（　　）
解析： 　根据万有引力提供向心力，列出等式G＝m，可
得地球的质量M＝，只能求出中心天体的质量，故A错误，B
正确；由于不清楚月球和地球的半径大小，所以无法求出它们的平
均密度，故C、D错误。
4. 据报道，在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，设其质量为地球质
量的k倍，其半径为地球半径的p倍，由此可推知该行星表面的重力
加速度与地球表面重力加速度之比为（　　）
解析： 　由mg＝G，可知g地＝G，g星＝G，得＝
·＝，故B正确。
04
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
1. 土星最大的卫星叫“泰坦”（如图所示），每16天绕土星运行一
周，其公转轨道半径约为1.2×106 km，已知引力常量G＝
6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为（　　）
A. 5×1017 kg B. 5×1026 kg
C. 7×1033 kg D. 4×1036 kg
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解析： 　由卫星受到的万有引力提供向心力，得＝mr，
其中r＝1.2×106 km＝1.2×109 m，T＝16天＝16×24×3 600 s＝1
382 400 s，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，代入数据可得m土
≈5×1026 kg，故B正确。
1
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6
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8
9
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11
2. 若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附
近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是（　　）
解析： 　根据万有引力提供向心力，有G＝m，又M＝
ρ·，解得T＝ ，故A正确，B、C、D错误。
1
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3. 一物体从一行星表面某高度处自由下落（不计阻力）。自开始下落
计时，得到物体离行星表面高度h随时间t变化的图像如图所示，则
根据题设条件可以计算出（　　）
A. 行星表面重力加速度大小
B. 行星的质量
C. 行星的密度
D. 物体受到星球引力的大小
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解析： 　物体离行星表面的高度为25 m，落地时间为2.5 s，根据
h＝gt2可得出重力加速度g， A正确；由于不知道行星的半径，所
以不能求出行星的质量和密度，B、C错误；由于不知道物体的质
量，所以不能求出物体受到行星的引力大小，D错误。
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4. 如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小
行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确
的是（　　）
A. 太阳对各小行星的引力相同
B. 各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C. 小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速
度值
D. 小行星带内各小行星圆周运动的线速度值均大于地球公转的线速
度值
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解析： 　由于各小行星的质量和轨道半径不同，根据万有引力定
律可知太阳对各小行星的引力不同，选项A错误；由G＝
mr可得T＝ ，又小行星的轨道半径大于地球的轨道半
径，可知各小行星绕太阳运动的周期均大于一年，选项B错误；由
G＝ma可得a＝，可知小行星带内侧小行星的向心加速度值大
于外侧小行星的向心加速度值，选项C正确；由G＝m可得v＝ ，可知小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值均小于地球公转的线速度值，选项D错误。
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5. 我国女航天员王亚平在2013年6月第一次进入太空时在“天宫1号”
飞船内进行了首次太空授课，演示了几个完全失重状态下的物理现
象与物理实验。若飞船内静止的水珠质量为m，飞船运动的轨道距
地面高度为h，地球质量为M、半径为R，引力常量为G，则水珠受
地球的引力及水珠的加速度大小分别为（　　）
A. 0，0
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解析： 　飞船及其中的人和物品所受到的万有引力提供向心力，
即F＝G＝ma，可得向心加速度大小为a＝，
A、B、C错误，D正确。
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6. 2021年5月7日，我国成功将“遥感三十号”08组卫星发射升空，卫
星进入预定轨道。假设某卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径
为r，运动周期为T。地球半径为R，引力常量为G。求：
（1）卫星的向心加速度大小；
答案： 　
解析： 设卫星的质量和向心加速度分别为m、a，有
mr＝ma
卫星的向心加速度大小a＝。
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解析：设地球质量为M，由万有引力提供向心力可得
G＝m··r
解得M＝
则地球的密度为ρ＝＝＝。
（2）地球的平均密度。
答案：
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7. 某同学从网上得到一些信息，如下表数据所示，则地球和月球的密
度之比为（　　）
月球半径 R0
月球表面处的重力加速度 g0
地球和月球的半径之比
地球表面和月球表面的重力加速度之比
C. 4 D. 6
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解析： 　在地球表面，物体的重力近似等于物体所受的万有引
力，则mg＝G，解得M＝，地球的密度ρ＝＝＝，
同理，月球的密度ρ0＝，所以地球和月球的密度之比＝
＝6×＝，故选B。
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8. 假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面重力加速度在
两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球的半径为R，则地球的自
转周期为（　　）
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解析： 　质量为m的物体在两极所受地球的引力等于其所受的重
力，有mg0＝G，在赤道，引力为重力和向心力的合力，有mg
＋mR＝G，联立解得T＝2π ，故选项B正确。
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9. 1798年英国物理学家卡文迪许测出引力常量G，因此卡文迪许被人
们称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量为G，地球表面
处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1
（地球自转周期），一年的时间为T2（地球公转周期），地球中心
到月球中心的距离为L1，地球中心到太阳中心的距离为L2。下列说
法正确的是（　　）
D. 由题中数据可求月球的密度
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解析： 　根据万有引力等于重力，有G＝mg，则m地＝
，故A错误；根据万有引力提供向心力有＝
mL2，解得m太＝，故B正确；根据题中的物理量，无
法求出月球的质量，故C错误；月球的质量无法求出，则无法
求出月球的密度，故D错误。
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10. 美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕
土星飞行的轨道，若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空
离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，
已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式
正确的是（　　）
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解析： 　由题意知“卡西尼”号探测器离土星表面高h的圆形轨
道上绕土星飞行的周期T＝，由万有引力提供向心力，有
G＝m（R＋h），联立解得M＝，由ρ
＝，又V＝πR3，联立解得ρ＝，故D正确，A、
B、C错误。
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11. （2024·山东临沂期中）2024年4月26日，我国神舟十八号宇宙飞
船三位航天员与神舟十七号上的三位航天员在中国空间站成功会
师。空间站绕地球运行视为匀速圆周运动，运行周期为T。若不
考虑地球自转，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，万有
引力常量为G。求：
（1）地球的平均密度ρ；
答案： 　
解析： 在地球表面＝mg
根据密度公式得ρ＝，又V＝πR3
解得ρ＝。
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（2）空间站距离地面的高度h。
答案： －R
解析：空间站绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向
心力，有＝m
在地球表面＝mg
解得h＝－R。
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谢谢观看!第2节　万有引力定律的应用
核心素养目标 物理观念 1.理解重力与万有引力的关系。 2.掌握应用万有引力定律计算天体质量和密度的方法。 3.会计算人造卫星的第一宇宙速度，理解三个宇宙速度的意义。
科学思维 1.理解天体运动的分析思路与计算方法。 2.感受科学定律的预测作用，体会万有引力定律对人类探索和认识未知世界的作用。
知识点一　天体质量的计算
1.天体质量的计算
（1）在地球的表面，如果不考虑地球自转的影响，　　　　　　近似等于万有引力，即mg＝G，若已知地球的半径即可求得地球的质量M＝　　　　　　　　。
（2）假设质量为m的天体围绕质量为M的天体近似做匀速圆周运动，　　　　　　　提供向心力，则G＝mr，解得M＝　　　　　　　　。
2.重力与万有引力的关系
考虑地球的自转，如图所示，地球对物体的万有引力F的方向指向地心O，它的一个分力F'为物体随地球自转做圆周运动的　　　　，另一个分力就是物体的重力mg，故一般情况mg＜G。
知识点二　人造卫星上天
1.人造卫星
（1）牛顿的设想：如图所示，当　　　　　　　　足够大时，被抛出物体将会围绕地球旋转而不再落回地面，成为一颗绕地球转动的　　　　。
（2）原理：卫星绕地球转动时，　　　　　提供向心力，即＝m＝mrω2，其中r为卫星到地心的距离。
2.宇宙速度
（1）第一宇宙速度大小为　　　　　　　　，也称环绕速度。
（2）第二宇宙速度大小为　　　　　　　　，也称脱离速度。
（3）第三宇宙速度大小为　　　　　　　　，也称逃逸速度。
知识点三　预测未知天体
1.海王星的发现
在观测天王星时，发现其实际轨道与万有引力计算的轨道不吻合，并由此预测存在另一行星，这就是后来发现的　　　　　　　。
2.意义
巩固了　　　　　　　　的地位，展示了科学理论的预见性。
【情景思辨】
　如图所示的是木星和它周围运行的卫星。判断下列说法的正误。
（1）木星对卫星的万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力。（　　）
（2）如果测出一颗卫星的轨道半径和周期就可以算出木星的质量。（　　）
（3）如果测出一颗卫星的质量和卫星到木星表面的距离就可以算出木星的质量。（　　）
（4）木星的第一宇宙速度也是7.9 km/s。（　　）
要点一　天体质量的计算
【探究】
　卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值，他被称为“能称量地球质量的人”。
（1）他“称量”的依据是什么？
（2）若还已知地球表面重力加速度g，地球半径R，求地球的质量和密度。
【归纳】
对天体质量及密度的计算
情景及求解思路 结果
天体质量的计算 已知所求星体的半径R及其表面的重力加速度g，则G＝mg M＝
质量为m的行星绕所求星体做匀速圆周运动，万有引力提供行星所需的向心力，即G＝m＝mω2r＝mr （1）M＝ （2）M＝ （3）M＝
天体密度的计算 ρ＝＝ （1）ρ＝（gR2＝GM） （2）ρ＝ （3）ρ＝ r＝R时：ρ＝ （4）ρ＝ r＝R时：ρ＝
【典例1】　假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常量为G。
（1）求该天体的质量和密度；
（2）若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该高度做圆周运动的周期为T2，求该天体的质量和密度。
尝试解答
易错警示
求解天体质量和密度时的常见错误
（1）根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝是中心天体的质量，而不是行星（或卫星）的质量。
（2）混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。
（3）注意区分R、r、h的意义：一般情况下，R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径，h指卫星距离星球表面的高度，三者关系为r＝R＋h。
1.2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量为G，由下列物理量能计算出地球质量的是（　　）
A.核心舱的质量和绕地半径
B.核心舱的质量和绕地周期
C.核心舱的绕地角速度和绕地周期
D.核心舱的绕地线速度和绕地半径
2.我国成功地进行了“嫦娥四号”的发射和落月任务，进一步获取了月球的相关数据。嫦娥四号在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间t，运动的路程是s，与月球中心连线扫过的角度是θ（弧度），引力常量为G，月球半径为R，则可推知月球的密度是（　　）
A. B.
C. D.
要点二　万有引力与重力的关系
1.物体在地球表面上所受引力与重力的关系：除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力。地球对物体引力的一个分力F提供向心力，另一个分力为重力mg，如图所示。
（1）当物体在两极时：重力等于万有引力，即mg＝F引，重力达到最大值G。
（2）当物体在赤道上时，F＝mω2R最大，重力为最小值G－mω2R。
（3）从赤道到两极：随着纬度增加，向心力F＝mω2R减小，F与F引夹角增大，所以重力mg增大，重力加速度增大。
2.重力加速度与高度的关系
若距离地面的高度为h，则mg＝G（R为地球半径，g为离地面h高度处的重力加速度）。在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小。
3.特别说明
（1）重力是物体由于地球吸引产生的，但重力并不是地球对物体的引力。
（2）在忽略地球自转的情况下，认为mg＝G。
【典例2】　假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的密度为（　　）
A. B.
C. D.
尝试解答
1.（多选）如图所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　）
A.P、Q受地球引力大小相等
B.P、Q做圆周运动的向心力大小相等
C.P、Q做圆周运动的角速度大小相等
D.P、Q两质点的重力大小相等
2.从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为（　　）
A.9∶1 B.9∶2
C.36∶1 D.72∶1
要点三　对三种宇宙速度的理解及其应用
【探究】发射卫星，要有足够大的速度才行，请思考：
（1）不同星球的第一宇宙速度是否相同？第一宇宙速度的决定因素是什么？
（2）人造地球卫星离地面越高，其线速度越小，那么发射起来是不是越容易？
【归纳】
1.第一宇宙速度
（1）公式：v1＝ ＝。
（2）推导
①由G＝m得v1＝
＝ m/s＝7.9×103 m/s。
②万有引力近似等于星球表面的重力，由mg＝m得v1＝＝ m/s＝7.9×103 m/s。
特别提醒
（1）第一宇宙速度公式v1＝ ＝同样适用于其他天体，其中g、R分别为相应天体表面的重力加速度和天体的半径。
（2）意义：第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，是人造卫星做匀速圆周运动的最大速度，对应的运行周期是人造卫星的最小周期，Tmin＝2π＝5 075 s≈85 min。
2.第二宇宙速度
（1）大小：v2＝11.2 km/s。
（2）意义：在地面附近发射飞行器，使之能够克服地球的引力，永远离开地球所需的最小发射速度。
特别提醒
　　第二宇宙速度与第一宇宙速度的关系：v2＝v1。
3.第三宇宙速度
（1）大小：v3＝16.7 km/s。
（2）意义：在地面附近发射飞行器，使之能够挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外的最小发射速度。
4.发射速度与卫星的轨道关系
（1）当7.9 km/s≤v发＜11.2 km/s时，卫星绕地球做椭圆运动。
（2）当11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s时，卫星绕太阳旋转，成为太阳系的一颗“小行星”。
（3）当v发≥16.7 km/s时，卫星脱离太阳的引力束缚跑到太阳系以外的空间中去。
【典例3】　中国已在2020年发射火星探测器，已知火星的质量约为地球的，火星的半径约为地球的。下列关于火星探测器的说法正确的是（　　）
A.发射速度只要大于第一宇宙速度即可
B.发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C.发射速度应大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度
D.火星探测器环绕火星运行的最大速度约为地球第一宇宙速度的2倍
尝试解答
规律总结
对最小发射速度和“最大环绕速度”的理解
（1）最小发射速度：向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射卫星要克服地球对它的引力，近地轨道是人造卫星的最低运行轨道，而近地轨道的发射速度就是第一宇宙速度，所以第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度。
（2）最大环绕速度：由G＝m可得v＝ ，轨道半径越小，线速度越大。在所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星中，近地卫星的轨道半径最小，线速度最大，所以近地卫星的线速度即第一宇宙速度是最大环绕速度。
1.若已知地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，地球的第一宇宙速度为v1，则（　　）
A.根据题给条件可以估算出地球的质量
B.据题给条件不能估算地球的平均密度
C.第一宇宙速度v1是人造地球卫星的最大发射速度，也是最小环绕速度
D.在地球表面以速度2v1发射的卫星将会脱离太阳的束缚，飞到太阳系之外
2.物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度，第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝v1。已知某星球半径是地球半径R的3倍，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为（　　）
A. B.
C. D.
要点回眸
1.（多选）下列说法正确的是（　　）
A.海王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的
B.天王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的
C.天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是天王星受到轨道外面其他行星的引力作用
D.以上说法都不对
2.科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴为1 000 AU（太阳到地球的距离为1 AU）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为（　　）
A.4×104M B.4×106M
C.4×109M D.4×1010M
3.若月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，并且已知月球绕地球运动的轨道半径为r、绕地球运动的周期为T，引力常量为G，由此可以知道（　　）
A.月球的质量m＝
B.地球的质量M＝
C.月球的平均密度ρ＝
D.地球的平均密度ρ'＝
4.据报道，在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，设其质量为地球质量的k倍，其半径为地球半径的p倍，由此可推知该行星表面的重力加速度与地球表面重力加速度之比为（　　）
A.　 　B.　 　C.　 　D.
第2节　万有引力定律的应用
【基础知识·准落实】
知识点一
1.（1）重力　　（2）万有引力　　2.向心力
知识点二
1.（1）抛出速度　卫星　（2）万有引力　2.（1）7.9 km/s
（2）11.2 km/s　（3）16.7 km/s
知识点三
1.海王星　2.万有引力定律
情景思辨
（1）√　（2）√　（3）×　（4）×
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【探究】　提示：（1）若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力。
（2）由mg＝G得M地＝，ρ＝＝＝。
【典例1】　（1）　　（2）　
解析：设卫星的质量为m，天体的质量M。
（1）卫星贴近天体表面运动时，有G＝mR，
则该天体的质量M＝，
根据数学知识可知，天体的体积V＝πR3，
故该天体的密度ρ＝＝＝。
（2）卫星距天体表面的高度为h时，有
G＝m（R＋h），
则该天体的质量M＝，
故该天体的密度ρ＝＝＝。
素养训练
1.D　由万有引力提供向心力得G＝m，解得M＝，即已知核心舱的绕地线速度v和绕地半径r，可以计算出地球质量，选项D正确。
2.B　由题意可知，嫦娥四号的线速度、角速度分别为v＝，ω＝，又因为v＝ωr，所以轨道半径为r＝＝。嫦娥四号绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有G＝m，得月球的质量为M＝＝，又因为月球的体积为V＝πR3，所以月球的密度ρ＝＝＝。故B正确。
要点二
知识精研
【典例2】　B　在地球的两极处有G＝mg0，在赤道处有G－mg＝mR，又地球质量与地球半径的关系M＝πR3ρ，联立可得ρ＝，故B正确。
素养训练
1.AC　P、Q两质点所受地球引力都是F＝G，故A正确；P、Q都随地球一起转动，其角速度一样大，但P的轨道半径大于Q的轨道半径，根据向心力F向＝mω2r可知P的向心力大，故B错误，C正确；物体的重力为万有引力的一个分力，在赤道处最小，随着纬度的增加而增大，在两极处最大，故D错误。
2.B　悬停时所受平台的作用力等于万有引力，则＝G∶G＝9∶2，故选B。
要点三
知识精研
【探究】　提示：（1）不同，根据G＝m得v＝ ，可见第一宇宙速度由星球的质量和半径决定。
（2）不是。近地卫星最“容易”发射，离地面越高的卫星，越难发射。
【典例3】　C　火星探测器前往火星，脱离地球引力的束缚，还在太阳系内，发射速度应大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，故A、B错误，C正确；火星探测器环绕火星运行的最大速度为火星的第一宇宙速度，地球的第一宇宙速度v1＝ ，火星的第一宇宙速度v2＝＝v1，故D错误。
素养训练
1.A　设地球半径为R，则地球的第一宇宙速度v1＝，对近地卫星，有G＝mg，联立可得M＝，A正确；地球体积V＝πR3＝π，结合M＝，可以估算出地球的平均密度ρ＝，B错误；第一宇宙速度v1是人造地球卫星的最小发射速度，也是最大的环绕速度，C错误；第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，第三宇宙速度v3＝16.7 km/s，在地球表面以速度2v1发射的卫星，速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，此卫星为绕太阳运动的卫星，D错误。
2.A　由题意知该星球的第一宇宙速度v1＝＝ ＝ ，该星球的第二宇宙速度v2＝v1＝，故A正确。
【教学效果·勤检测】
1.AC　海王星是人们根据万有引力定律计算出其轨道，然后由天文工作者在预言的位置附近观察到的，天王星是人们通过望远镜观察发现的；由于天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，引起了人们的思考，推测天王星轨道外面存在未知行星，进而发现了海王星。故A、C正确，B、D错误。
2.B　由1994年到2002年对恒星S2观测位置图可知，恒星S2绕黑洞运动的周期大约为T2＝16年，半长轴为a＝1 000 AU，设黑洞的质量为M黑，恒星S2质量为m2，由万有引力提供向心力，可得G＝m2a；设地球质量为m，地球绕太阳运动的轨道半径为r＝1 AU，周期T1＝1年，由万有引力提供向心力，可得G＝mr，联立解得黑洞质量M黑≈4×106M，选项B正确。
3.B　根据万有引力提供向心力，列出等式G＝m，可得地球的质量M＝，只能求出中心天体的质量，故A错误，B正确；由于不清楚月球和地球的半径大小，所以无法求出它们的平均密度，故C、D错误。
4.B　由mg＝G，可知g地＝G，g星＝G，得＝·＝，故B正确。
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