资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
全等三角形的判定重难点练习
一、角平分线与垂直平分线
1．如图，在中，的平分线与边的垂直平分线相交于点P，过点P作（或延长线）的垂线，垂足分别是M，N，求证：．
2．已知点P为平分线上一点，于B，于C，点M，N分别是射线，上的点，且．
(1)如图，当点M在线段上，点N在线段的延长线上时，求证：；
(2)在（1）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系，并说明理由．
二、垂直
3．如图，在中，是边上的高，点E在上，，，连接并延长，交于点F．
(1)求证：； (2)若平分，，求的长．
4．如图，在和中，，E是的中点，，垂足为F，且．
(1)求证：； (2)若，求的长．
三、一线三等角
5．如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E．
(1)求证：；
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
6．（1）观察理解：如图①，中，，，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，，，垂足分别为D，E，试说明：．
（2）理解应用：如图②，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积______；
（3）类比探究：如图③，中，，，过点A作于点A，，连接，求的面积．
7．如图1，中，．点、、分别是、、边上的点，．
（1）若，求证：；
（2）若，，，求的长：
（3）把（1）中的条件和结论反过来，即：若，则；这个命题是否成立 若成立，请证明：若不成立，请说明理由．
8．直线经过的顶点，．，分别是直线上两点，且．

【数学思考】
若直线经过的内部，且，在射线上，请解决下面两个问题：
（1）①如图1，若，，求证：；
（2）②如图2，若，当与之间满足怎样的数量关系时，①中结论仍然成立，并给予证明．
【问题拓展】
如图3，若直线经过的外部，，请直接写出，和之间数量关系．
9．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【问题背景】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3）．
【探究问题】
（1）如图2，在直角中，，点C正好落在直线l上，分别作于点F，于点E，则线段之间的数量关系为_______，线段之间的数量关系为_______．
（2）如图3，将（1）中的直线l绕点C转动到与相交，其余条件不变．请问之间的数量关系是否发生改变？并说明理由．
【解决问题】
如图4，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，垂足分别为点M、N，若，设运动时间为t，当以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等时，直接写出此时t的值．
10．【问题提出】
（1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：；
【变式探究】
（2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：；
【拓展应用】
（3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积．
四、倍长中线
11．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1， 中，若 ，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使 ，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到的理由是 ．
A． B． C． D．
（2）求得的取值范围是 ．
A． B． C． D．
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
如图2，是 的中线，交于E，交于F，且 ，求证： ．
12．已知：和，、分别为、中点，且，．
(1)当时，求证：．
(2)当时，求证：．
13．【阅读理解】
如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到的理由是_________；
A．；B．；C．；D．．
（2）连接，利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是_______；
A．；B．；C．；D．．
【方法总结】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中；
【问题解决】
（3）如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由．
（4）在（3）的条件下，若，延长交于点G，，，则的面积为_________．
14．【问题提出】
（1）如图①，在中，若，，AD是边上的中线，求的取值范围．小明的做法如下：如图①，延长至点，使，连接，则，依据的判定方法是_____，由三角形的三边关系可知的取值范围为_____；
（2）如图②，，，，点为的中点，试说明：；
【问题解决】
（3）如图③，四边形是某公园的一片玫瑰园，对角线是中间的一条通道，现正值玫瑰盛开的旺季，为方便游客观赏，要沿对角线铺设一条小路，在两条小路的交点处修建一座观景塔（观景塔大小忽略不计），在边的中点处设置一个出入口，再沿铺设一条小路将游客分流，采购部需要知道与之间的数量关系购买原材料．按照设计要求，，，请你帮采购部探究线段与之间的数量关系（小路宽度忽略不计）．
五、手拉手模型
15．如图，已知和都是等边三角形（A，B，D共线）．下列结论，①；②；③；④是等边三角形；⑤；⑥平分；⑦平分；⑧．其中错误的有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
16．如图，在和中，，，点C，D，E三点在同一直线上，连接交于点G．
(1)试说明：；
(2)猜想有何特殊位置关系，并说明理由．
17．如图1，在中，，，D是上的一点，且，连接，．
(1)试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有，，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化；
(3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，且与交于点F，其他条件不变．
①请直接写出与的数量关系；
②你能求出与所成的较小的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由．
18．综合与探究
在和中，，，．
【模型呈现】
（1）如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数．
【拓展延伸】
（3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，试说明且．
六、半角模型
19．【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明；
【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想【尝试探究】中的结论还成立吗？请加以说明；
【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为），，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．

20．【问题情境】神奇的半角模型
在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型截长补短法是解决这类问题常用的方法．
如图，在正方形中，以为顶点的，，与，分别交于、两点，为了探究，，之间的数量关系，小明的证明思路如下：
如图，延长到点，使，连接，先证明≌，再证明，从而得到，，之间的数量关系．
(1)【提出问题】，，之间的数量关系为______；
(2)【知识应用】如图，，，以为顶点的，，，与，分别交于、两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)【知识拓展】如图，在四边形中，，，，，、与、分别交于、两点，且，请直接写出的周长______．
21．（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且．求证：；
（2）如图2，在四边形中，，分别是边上的点，且；求证：，
（3）如图3，在四边形中，，分别是边延长线上的点，且，写出之间的数量关系，并证明你的结论．
七、截长补短
22．如图所示，，，分别是，的平分线，点E在上，求证：．

23．【综合与实践题】
【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
例：如图①，在四边形中，，E是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系．
小颖的方法：如图②，延长、的相交于点F，构造和等腰三角形即可判断．
【问题解决】（1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由．
【自主探究】（2）如图③，在中，D是的中点，点E在上，连接交于点F，，试说明：．
【拓展延伸】（3）如图④，在四边形中，，，，点F在上且满足，，求的长．
24．在四边形中．
(1)如图（1），若平分，，，则线段、的长度满足的数量关系是_____．（直接填答案）
(2)如图（2），C是边的中点，若平分，，说明线段、、的长度满足的数量关系．
(3)如图（3），C是边的中点，平分，平分，若，则线段、、、的长度满足怎样的数量关系？
八、动点问题
25．如图，有一直角三角形，，，，一条线段，、两点分别在上和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到上什么位置时才能和全等？
26．如图，已知中，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点A向点C以的速度运动．若P，Q两点分别从B，A两点同时出发，其中一点到达终点，另一点随之停止运动．回答下列问题：
(1)经过后，此时__________，__________ （用含t的代数式表示）；
(2)当t为多少秒时，使得与全等？
27．如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒：
(1)　　．（用的代数式表示）
(2)当为何值时，？
(3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
九、其它
28．如图，已知线段a和，请利用尺规作，使，．
29．【课本回顾】你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？小明回顾了作图过程，并进行了如下思考：
如图1，由尺规作图可知，，①
所以（②），（填全等判定依据，如）
（1）完成上述小明思考过程中的填空；
（2）【操作应用】
如图2，已知线段a和，请用尺规作一个，使；
（3）如图3，在四边形中，，请利用尺规在边上作一点E，使得．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法）
30．【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“”“ ”“ ”“ ”）和直角三角形全等的判定方法（即“”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在和中，，，，然后对进行分类，可以分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：当为直角时，．
（1）如图①，在和中，，，，根据_________，可以知道．
第二种情况：当为钝角时，．
（2）如图②，在和中，，，，且，都是钝角，求证：．
第三种情况：当为锐角时，和不一定全等．
（3）如图③，在和中，，，，且，都是锐角，请你用尺规在图中作出，和不全等．（不写作法，保留作图痕迹）．
（4）还要满足什么条件，就可以使得，请直接填写结论：
在和中，，，，且，都是锐角，若_________，则．
《全等三角形的判定重难点练习》参考答案
1．见详解
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键．
如图所示，连接，根据角平线的性质定理得到，根据垂直平分线的性质，结合斜边直角边的判定方法得到，即可求解．
【详解】证明：如图所示，连接，
∵是的角平分线，，
∴，，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
在中，
，
∴，
∴．
2．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）由点P为平分线上一点，，，根据角平分线的性质，可得，又由，利用，即可判定，则可证得结论；
（2）证明，得到，由，得到，即可证得结论．
【详解】（1）解：∵点P为平分线上一点，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
3．(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，垂直的定义．
（1）利用证得即可得出结论；
（2）利用（1）中的结论证得，再根据证，即可得出，从而求出的长，即可得出的长．
【详解】（1）证明：∵是边上的高，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，
∴．
4．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）先证，进而证明，可得；
（2）由，得．再结合E是的中点，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
．
在和中，
，
．
（2）解：由，得．
E为的中点，
∴．
，
，
．
5．(1)见解析
(2)见解析
(3)，证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据同角的余角相等可得，，从而即可得出；
（2）根据同角的余角相等可得，，从而即可得出，由全等三角形的性质即可得解；
（3）根据同角的余角相等可得，，从而即可得出，由全等三角形的性质即可得解．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，，
，
．
（2）解：，
，
，
，
，
，
，，
∴，
，，
．
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
，，
∴，
，，
．
6．（1）证明见解析；（2）50；（3）
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
（1）先证明，，进而可依据“”判定；
（2）同（1）证明，，得出，，，，再根据三角形的面积公式分别求出，，，，再求出，进而可求出直角梯形的面积为80，由此即可得出图中实线所围成的图形的面积S；
（3）过点作于点H，先证明，进而依据“”判定得，再根据三角形的面积公式即可得出的面积．
【详解】（1）证明：，，垂足分别为D，E，
，
，
在中，，，
，
，
在和中，
，
；
（2）同（1）证明：，，
，，，，
，，，，
，
，，，
，
四边形是直角梯形，
，
图中实线所围成的图形的面积
，
故答案为：50；
（3）过点作于点H，如图所示：
，
中，，，
，
，
于点A，，
，
，
在和中，
，
，
，
的面积为：
7．（1）见解析；（2）；（3）成立，见解析
【分析】(1)证明即可；
(2)求出，由已知及三角形内角和定理得到，进而证明，即可得到；
(3)过点、分别作于点M，于点N，证明，得到，再结合条件可以证明，进而得到即可求解．
【详解】解：(1)如图1所示：
由三角形的外角定理可知：，
且，，
，
在和中，，
，
；
(2)，，
，
在中，由三角形内角和定理可知：
，且．
又，
，
同(1)可知：，
；
(3)成立，理由如下：
过点、分别作于点M，于点N，如图2所示：
，，
，
又，
在和中，
．
，
又，
，
，
又，．
．
即若，则此命题成立．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了角的和差，全等三角形的判定与性质，三角形的外角与不相邻两个内角的关系，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点作辅助线构建全等三角形．
8．（1）证明见解析；（2）时，①中的结论仍然成立，理由见解析；（3）
【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）证明，则，，；
（2）当时，，证明，则，，；
（3）证明，则，，．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：当时，①中的结论仍然成立，理由如下：
当时，则，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：；
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
9．（1）；（2）发生改变，理由见解析；（3）或或
【分析】本题围绕“一线三等角”模型，考查全等三角形的判定与性质，一元一次方程与几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据等角的余角相等推出，再由证明，得，，进而可得结论；
（2）由证明，得，，进而可得结论；
（3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分：①当E在上，D在上时；②当E在上，D在上时；③当E在上，D在上时；④当E到达A，D在上时，分别讨论．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，即，
故答案为：，；
（2）发生改变，理由如下：
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等，
∴，
分情况讨论：
①当E在上，D在上时，
∵点E的速度为，点D的速度为，
则，
∵
即，
则，，
∵，
∴，
∴；
②当E在上，D在上时，
则，
∴，，
∵，
∴，
∴；
③当E在上，D在上时，
则
即，
，，
∵，
∴，
∴（不符合，舍去）；
④当E到达A，D在上时，
即，
，，
∵，
∴，
∴．
综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
10．（1）见解析；（2）证明见解析；（3）
【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键．
（1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等；
（2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明；
（3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，，由此可得，再根据即可求解．
【详解】解：（1）证明：在中，
．
又
在和中，
，
∴
（2），
证明：
在和中，
∴，
∴，
；
（3）如图，过点作于点，作，交的延长线于点，
．
与（1）同理可得，，
，，
，
∵
∴
11．（1）B；（2）C；（3）见解析
【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
（1）根据，，推出和全等即可；
（2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可；
（3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可．
【详解】（1）解：∵为边上的中线，
∴，
在和中
，
，
故选B；
（2）解：由（1）知：，
，，
在中，，由三角形三边关系定理得：，
即
，
故选C；
（3）证明：如图2，延长到，使，连接，
是中线，
，
在和中
，
，
，，
，
，
，
，
，
∴．
12．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，第问关键是延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接．
先由证明，再利用证明即可；
延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接，利用全等三角形的判定与性质即可证明．
【详解】（1）解：在和中，，
，
，
、分别为、的中点，
，，
，
，，
在和中，，
，
故答案为：；；；；
（2）证明：如下图所示，延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接，
，
，
在和中，
，
，，
同理可证，
，，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，
在和中，
．
13．（1）B （2）D （3） （4）
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，三角形的面积，正确作出辅助线是解题关键．
（1）根据全等三角形的判定定理即可解答；
（2）根据三角形三边的关系即可求出的取值范围，进而可求出得取值范围；
（3）延长到，使得，连接，则，由（1）同理可证，得到，，从而，又，因此，进而得证，即可得到结论；
（4）由（3）可得，，，，则，说明即可求解．
【详解】（1）解：延长到点，使，
∵是中线，
∴，
∵，
∴，
故选：B；
（2）解：∵，
∴，
在中，，
∴，即，
∴，
故选：D；
（3），
延长到，使得，连接，如图，
∴，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（4）延长到，使得，连接，
由（3）可知，，
，
，
即，
，
，
故答案为：．
14．（1），；（2）见解析；（3）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理等知识．
（1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得；
（2）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到；
（3）延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，先证可得，，再证明，得到，，最后证明，得到．
【详解】（1）解：延长到点E．使，连接，
∵是的中线，
∴，又，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：延长至G，使，连接，则
∵点D为的中点，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
（3）解：如图，延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，
∵点F是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
15．C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是
正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．由题中条件可得，得出，，，，求出，得出，进而得出，，从而证明是等边三角形，根据等边三角形的性质证明，得出，过B作于M，于N，得出，根据角平分线的判定得出平分，求出，，根据直角三角形的性质得出，，证明，得出，进而证明，从而证明；根据已知条件，不能证明平分，从而得出答案．
【详解】解：∵与为等边三角形，
∴，，，
∴，即，，，
∴，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，故①②③④⑤正确；
过B作于M，于N，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∴平分，⑦正确；
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
即，故⑧错误；
根据已知条件，不能证明平分，故⑥错误；
综上分析可知：错误的有2个．
故选：C．
16．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定、性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据，可得， 再根据，便可证得结论；
（2）根据（1）的结论，利用全等三角形的性质得，结合与内角和，即可得．
【详解】（1）解：，
．
即．
在和中，
，
．
（2）解：，理由如下：
，
．
，，，
．
．
17．(1)，，理由见解析
(2)没有发生变化
(3)①，②能，
【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握手拉手模型，是解题的关键：
（1）延长交于点F，证明，得到，，推出，即可得出结论；
（2）证明，得到，，推出，即可得出结论；
（3）同法，证明，得到，进而求出的度数即可．
【详解】（1）解：，．
理由：延长交于点F，如图
在和中，
．
，．
，
．
，
．
，
．
（2）由题意得，
．
．
在和中，
．
，．
，
．
，
．
，
．
与的位置关系和数量关系没有发生变化．
（3）①，理由见②．
②能，与所成的较小的角的度数为．
和是等边三角形，
，，，．
．
．
在和中，
．
．
．
即与所成的较小的角的度数为．
18．（1），理由见解析；（2）；（3）见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据证明即可得；
（2）设与的交点为Q，由可得，又由于，结合三角形内角和定理可得，从而可得；
（3）根据证明，则可得，，进而可得，则可得．
【详解】解：（1），理由如下：
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）设与的交点为Q．
∵，
∴，
在和中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
（3）证明：∵，
∴，，
∵M，N分别为，的中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴，，
∵，
即，
∴，
即
∴．
19．【尝试探究】，证明见解析；【模型建立】成立，证明见解析；【拓展应用】16
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是通过旋转构造全等三角形．本题主要考查半角模型，平时多归纳，多积累，可以帮助我们快速解题．
[尝试探究]：把绕点顺时针旋转90°至，可使与重合，证明即可得出结论；
[模型建立] 将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合，证明，即可得出结论；
[拓展应用] 将绕点旋转，得到，证明，得到，再根据三角形的周长公式进行求解即可．
【详解】解：[尝试探究]．
证明：如图，把绕点顺时针旋转至，可使与重合，
∵，
∴，点、、共线，
∴，
即．
在和中，，
∴，
∴，
∴；
[模型建立]
成立，如图，
证明：将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合，
由旋转得：，，，，
同理得：点，，在同一条直线上，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴【尝试探究】中的结论还成立，；
[拓展应用]∵是边长为8的等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
将绕点旋转，得到，
则：和重合，，，，
∴，
∴三点共线，
同法，可得：，
∴，
∴的周长．
20．(1)
(2)成立，理由见解析
(3)
【分析】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）延长到点，使，连接，先证明≌，再证明从而得到、、之间的数量关系；
（2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，从而得到、、之间的数量关系；
（3）延长到点，使，连接，先证明，再证明，从而得到、、之间的数量关系，将的周长转化为的长．
【详解】（1）解：延长到点，使，连接，
四边形是正方形，
，，
∴，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：成立，理由如下：延长到点，使，连接，
∵，
∴，
∴，
，，
，，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：延长到点，使，连接，
则，
与互补，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
的周长为，
故答案为：．
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）；理由见解析
【分析】（1）延长到G，使，连接．证明，可得，进而可得结论；
（2）延长至M，使，连接．证明．可得．然后根据，证明．可得．进而可以得到结论；
（3）在上截取，使，连接．证明．可得．然后可得出，那么．
【详解】（1）证明：如图1中，延长到G，使，连接．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：如图2，延长至M，使，连接．
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：．
证明：如图3，在上截取，使，连接．
∵，
∴．
在与中，
，
∴．
∴．
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的，属于中考压轴题．
22．见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及全等二角形的性质的运用，解答时运用截取法正确作辅助线是解决本题关键所在．
在上取点，使，连接，由角平分线的性质可以得出，，从而可以得出，可以得出，进而可以得出，就可以得出，即可得出结论．
【详解】解：在上取点F，使，连接，

∵，分别是，的平分线，
∴，，
∵，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴．
23．（1），见解析；（2）见解析；（3）3.4
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质．
（1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系；
（2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论；
（3）过点延长、相交于点，根据三角形面积公式及得，证明和全等得，则，再根据，得，进而可得答案．
【详解】解：（1），，之间的等量关系是：，理由如下：
如图，延长、相交于点F，
，
，，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）延长至点H，使，连接，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
（对顶角相等），
，
，
；
（3）延长、相交于点，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
，
，，
，
，
因此，的长为3.4．
24．(1)
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
（1）证明即可得到结论；
（2）在上取一点F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论；
（3）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论；
【详解】（1）解：，理由如下：
∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
在上取一点F，使，连接．
∵平分，
∴，
在和中，
∴．
∴，，
∵C是边的中点．
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵，
∴．
（3）解：，理由如下：
在上取，，连接，．
与（1）同理，可得，．
∴，，，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴为等边三角形．
∴．
∵，
∴．
25．当运动到或点与重合时，才能和全等
【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定方法，可以根据不同的对应关系进行分类解答．
首先根据直角三角形全等的判定方法，结合三角形的对应边的不确定性，可知需分和两种情况， 结合全等的性质，可以得到点运动的位置．
【详解】解：根据三角形全等的判定方法可知：
当运动到时，
∵在与中，
，
∴，
当与点重合时，，
∵在与中，
，
∴，
答：当运动到或点与重合时，才能和全等．
26．(1)，
(2)2
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）根据路程速度时间求解即可；
（2）根据等边对等角得出，要使得与全等，则有两种情况：①；②，然后根据全等三角形的性质构建方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，，
故答案为：，；
（2），点D为的中点，
，，
要使得与全等，则有两种情况：①；② ，
①当时，,，
，，
解得，符合题意；
②当时，，，
，，
解得，，不符合题意，舍去，
综上，当t为2秒时，使得与全等．
27．(1)
(2)
(3)或2．
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．
（1）根据点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长；
（2）当时，根据三角形全等的条件可得当时，进而得出答案；
（3）题干未指明全等三角形边的对应情况，需要分两种情况①当时；②当时，分别讨论计算出的值，进而得到的值．
【详解】（1）解：点从点出发，以秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒时，，
则；
故答案为：；
（2）当时，
则，
故，
解得：；
（3）①如图1，当，则，，
，
，即，解得：，
∵，即，解得：秒）．
②如图2，当，则，．
，
，
，即，解得：，
∵，即，解得：；
综上所述：当秒或秒时与全等．
28．见解析
【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图，分别作，截取即可．
【详解】解：如图，即为所求作的三角形．
29．（1）①，②；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】本题主要考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
（1）结合全等三角形的判定定理填空即可；
（2）先根据作一个角等于已知角的方法作，以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点B，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点D，以点D为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点A，连接即可；
（3）结合全等三角形的判定，作的平分线，交于点E，则点E即为所求．
【详解】解：（1）如图1，由尺规作图可知，，
所以．
故答案为：，．
（2）如图2，先任意作，以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点B，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点D，以点D为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点A，连接，则即为所求．
（3）如图3，作的平分线，交于点E，则．
∵，
∴，则点E即为所求．
30．（1）；（2）见解析；（3）见详解；（4）
【分析】（1）根据可以知道．
（2）过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H．先根据证明，则可得．再根据证明，则可得．最后根据即可证明．
（3）根据题目要求作图即可．
（4）由前面（1）（2）（3）的结论可得时，
【详解】解：（1）如图①，在和中，，，，根据可以知道．
故答案为：
（2）证明：如图，过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H．
∵，且、都是钝角，
∴，即．
∵在和中，
，
∴，
∴．
∵在和中，
，
∴，
∴．
∵在和中，
，
∴．
（3）如图，在和中，，，，，且，都是锐角，但和不一定全等．即为所求；
（4）由(1)(2)(3)的结论可知：在和中，，，，且，都是锐角，若，则．
故答案为：．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑