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1.3.1边角边（SAS）
一、基础过关
1．下图中全等的三角形有（ ）
A．图1和图2 B．图2和图3 C．图2和图4 D．图1和图3
2．如图，与相交于点O，，若用“”说明，则还需添加的一个条件是（ ）
A． B． C． D．
3．如图:，欲证，则可增加的条件是（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，根据所学的三角形全等的有关知识，得出的依据是（ ）
A． B． C． D．
5．如图把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳，此卡钳的工作原理是（ ）

A． B． C． D．
6．如图，把长度确定的两根木棍，的一端固定在A处，和第三根木棍摆出固定，将木棍绕点A转动，得到，这个实验说明（ ）
A．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等
B．有两角分别相等且其中一角的对边相等的两个三角形不一定全等
C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
7．如图，已知点在同一直线上，并且．请你只添加一个条件（不再添加辅助线），使得．你添加的条件是 ．
8．如图，点A，F，B共线，E为上一点，，，相交于点O，且，，，则图中全等三角形有 对．
9．如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是 ．

10．已知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线的两侧，且，，．求证：．
11．已知：如图，， ，．求证：．
12．如图，是的角平分线，，试探究线段之间的数量关系．
二、能力提升
13．如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在直角三角形中，，，点D是的中点，将一块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接、．下列判断正确的有（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．如图，在正方形中，点E，F分别为边，上的动点，连接，，．若，，则 （用含α的式子表示）．
16．附加题：（1）已知：如图①，在和中，OA=OB，OC=OD，，求证：①AC=BD；②．
（2）如图②，在和中，若OA=OB，OC=OD，，则AC与BD间的等量关系式为 ；的大小为 ．
参考答案
1．D
【详解】解：A、图1和图2，只有一边一角对应相等，无法证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
B、图2和图3，只有一边一角对应相等，无法证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
C、图2和图4，只有一边一角对应相等，无法证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
D、图1和图3，两边及其夹角对应相等，能证明两三角形全等，故本选项符合题意；
故选：D
2．D
【详解】解：∵，，
∴用“”判定，要补充．
故选：D．
3．D
【详解】解：添加，
∵，
∴．
又∵，
∴．
故选：D．
4．C
【详解】解：由题意可知，，，
故，
故选C．
5．B
【详解】解：如图所示，

∵为，的中点，
∴，
又∵，
∴（），
∴．
故选：B．
6．D
【详解】解：由题意知，与中有两边和其中一边的对角分别相等，
与不全等，
有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
故选：D．
7．（或或）
【详解】解：∵点在同一直线上，并且，
∴，
∴，
又，
添加，可根据使得；
添加，可根据使得；
添加，可根据使得，
故答案为：（或或）．
8．3
【详解】解：在和中，
，
；
在和中，
，
；
在和中，
，
；
图中全等三角形有3对，
故答案为：．
9．
【详解】如图：

在和中，
（SAS）
，
．
故答案为：
10．见解析
【详解】证明：∵，
∴，即，
在和中
，
∴．
11．见解析
【详解】证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴．
∴．
12．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用“截长法”作辅助线构造全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．在上截取，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再求出，根据等角对等边可得，从而得到，然后根据等量代换即可得证．
【详解】解：．理由如下：
如图，在上截取，
为的平分线，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
13．B
【详解】解：记与的交点为点F，如图，
在和中，
，
≌，
，
，
，
∴，
．
故选：B．
14．C
【分析】本题考查的是全等三角形的性质和判定，等边对等角；熟练运用全等三角形的性质和判定是解题的关键．由是锐角为的直角三角板、等腰三角形的性质及角的和差，即可得出，从而得到，由确定的性质判断其它三个选项是否正确即可．
【详解】解：，点是的中点，
∴，，
是等腰直角三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，故①正确；
（全等三角形的对应边相等），故②正确；
（全等三角形的对应角相等），
，
，故③正确；
，
，
，，
∴，
，故④错误．
综上分析，正确的有3个．
故选：C．
15．
【分析】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键；将绕点A顺时针旋转，得，G、B、E三点共线，如图所示：证明，从而可得答案．
【详解】解：在正方形中，，，
将绕点A顺时针旋转，得，G、B、E三点共线，如图所示：
则，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16．（1）见解析；（2），
【分析】（1）①求出∠AOC=∠BOD，证出△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质推出即可；
②根据△AOC≌△BOD推出∠OAC=∠OBD，再利用角的和差即可求出∠APB的度数；
（2）求出∠AOC=∠BOD，证出△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质推出即可；根据△AOC≌△BOD推出∠OAC=∠OBD，再利用角的和差即可求出求出∠APB．
【详解】（1）证明：
①∵∠AOB=∠COD=60°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
∴∠AOC=∠BOD，
又∵OA＝OB，OC＝OD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD；
②由①得：∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC=∠OBD，
∴∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠APB，
∴∠OAC+60°=∠OBD+∠APB，
∴∠APB=60°；
（2）∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOC=∠BOD，
又∵OA＝OB，OC＝OD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD；
∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC=∠OBD，
∴∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠APB，
∴∠OAC+ =∠OBD+∠APB，
∴∠APB=；故答案为：，．
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