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1.3.3角角边（AAS）
一、基础过关
1．如图所示的四个三角形中全等的是（ ）
A．①与② B．②与③ C．②与④ D．③与④
2．如图，小敏和小彬玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置上升时，这时小彬离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
3．课间，小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题．若柱子上每块砖的厚度，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．已知：如图，，，，则不正确的结论是（ ）
A．与互为余角 B．
C． D．
5．如图，在中，于点E，于点D，，则的长是（ ）
A．4 B．3
C．2 D．6
6．如图，在中，于点，点是上一点，连接，若，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B，下列四个结论正确的个数是（ ）
①PA=PB ②PO平分∠APB ③OA=OB ④OP垂直平分AB．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，已知，要判断，若根据“”，则还需要的一个条件是 ．
9．如图，已知∠B=∠DEF，AB=DE，要证明△ABC≌△DEF．
（1）若以“ASA”为依据，还需要添加一个条件为 ；
（2）若以“AAS”为依据，还需要添加一个条件为 ．
10．如图，已知点，在上，且，，．求证．
11．已知，如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，．
(1)求证：；
(2)当，时，求的长．
12．如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为．
(1)若为的中点，求证：；
(2)若平分，求的度数．
二、能力提升
13．如图，，，于点，于点D．下面四个结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
14．如图，，且，且，，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是 ．
15．如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E．
(1)求证：；
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
16．（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：；
【变式探究】
（2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明；
【拓展应用】
（3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由．
参考答案
1．C
【详解】解：①中，已知两角为、，则第三个角为，且与夹边为 ．
②中，已知两角为、，则第三个角为，与夹边为 ．
③中，已知两角为、，则第三个角为，与夹边为．
④中，已知两角为、，则第三个角为，与夹边为 ．
因此①与②不全等， ②与③不全等，②与④全等，③与④不全等．
故选：C ．
2．A
【详解】解：如图，
在与中，
，
，
，
小彬离地面的高度是，
故选：A．
3．C
【详解】解：由题意得：，，
∴，
在与中，
，∴≌，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C ．
4．D
【详解】解：，
，
，
，
，
故B正确；
，
故C正确；
故A正确；
综上，A，B，C，均正确，
D．，错误，故本选项符合题意．
故选：D．
5．A
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
故选A．
6．B
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
7．D
【详解】解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA于A，PB⊥OB于B，
∴PA＝PB，故①正确；
在Rt△PAO和Rt△PBO中，，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），
∴OA＝OB，∠OPA＝∠OPB，故②③正确；
∵OA＝OB，AP＝BP，
∴OP是AB的垂直平分线，故④正确；
故选：D．
8．或
【详解】解：，，
添加或，
可根据“”， 判断，
故答案为：或．
9． ∠A=∠D ∠ACB=∠DFE
【详解】解：（1），要使，且以“SAS”为依据，
∴还要添加的条件为：；
在和中
∴（ASA）
故答案为；
（2），要使，且以“”为依据，
∴还要添加的条件为：．
在和中
∴（AAS）
故答案为．
10．见解析
【详解】证明：，
，
即，
在和中
，
．
11．(1)见详解
(2)
【详解】（1）证明：，
，
即：，
在和中
，
（）；
（2）解： ，
，
，
．
12．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵由沿射线的方向平移所得，
∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴．
13．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，对顶角的性质，三角形内角和定理及边角关系，首先由与中分别有两个直角及对顶角可判断①；证明可判断②④；再根据直角三角形中，斜边最长可判断③，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵于点，于点，
∵，
∵，
∴，故①正确；
∵，
∴
∵，
∴，
又∵，，
∴，故②正确；
∴，，
∵在直角三角形中，斜边最长，
∴，，
∴，故③错误；
∵，，
∴，故④正确；
∴正确的序号是①②④，
故选：．
14．50
【分析】题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形面积，解答本题的关键是根据三角形全等求出的长，本题比较简单，但是计算时要细心．
由，可以得到，而，由此可以证明，所以；同理证得，进而求出FH，然后利用面积的割补法和梯形、三角形面积公式即可求出图形的面积．
【详解】因为，
所以，，所以，
因为，
所以，
所以．
同理证得，
所以，
所以，
所以．
15．(1)见解析
(2)见解析
(3)，证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据同角的余角相等可得，，从而即可得出；
（2）根据同角的余角相等可得，，从而即可得出，由全等三角形的性质即可得解；
（3）根据同角的余角相等可得，，从而即可得出，由全等三角形的性质即可得解．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，，
，
．
（2）解：，
，
，
，
，
，
，，
∴，
，，
．
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
，，
∴，
，，
．
16．（1）证明见解析 （2）；证明见解析 （3）；理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据不同图形条件，准确找到全等三角形的对应角和对应边，利用 AAS 等判定定理证明全等，进而推导边的关系和面积关系．
（1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等；
（2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出的数量关系；
（3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，然后再根据三角形的面积公式即可得出，大小关系．
【详解】（1）证明：∵直线l，直线l，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：的数量关系是：，证明如下：
∵是的外角，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，，
∴；
（3），大小关系是：，理由如下：
过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可证明：，
∴，
∴，
∵，，
∴．
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