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1.3.5直角三角形的判定（HL）
一、基础过关
1．如图，，若要直接依据“”判定，则还需要补充的一个条件是（ ）

A． B． C． D．
2．如图，要用“”判定和全等的条件是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法不正确的是（ ）
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等
C．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等 D．有两边相等的两个直角三角形全等
5．如图，，垂足为，是上一点，且，．若，，则的长为（ ）．
A．2 B．
C．3 D．
6．如图，，，于点M，于点N，，，则的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
7．如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是 ．
8．如图，完成下列问题：

（1）若，，则的依据是 ；
（2）若，则的依据是 ；
（3）若，，则的依据是 ；
（4）若，，则的依据是 ；
（5）若，，则的依据是 ．
9．如图，在中，，于点M，于点N．若，则的度数为 ．
10．如图，在中，，点在边上，连接，分别过点作于点，交的延长线于点．若，则的度数是 ．
11．如图，，点分别在直线和上，点在上，，则 ．
12．如图，在中，D为的中点，，，点E、F为垂足，且．求证：．
13．如图，在中，于点，，，求证：．
14．如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：．
15．如图，于点E，于点F，若，，且，，求的长．
二、能力提升
16．如图，在中，cm，P，Q两点分别在上和过点A且垂直的射线上运动，且．当的值为多少时，与全等？（ ）
A． B． 或 C． D．或
17．已知在与中，若，，，若则 度．
18．【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“”“ ”“ ”“ ”）和直角三角形全等的判定方法（即“”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在和中，，，，然后对进行分类，可以分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：当为直角时，．
（1）如图①，在和中，，，，根据_________，可以知道．
第二种情况：当为钝角时，．
（2）如图②，在和中，，，，且，都是钝角，求证：．
第三种情况：当为锐角时，和不一定全等．
（3）如图③，在和中，，，，且，都是锐角，请你用尺规在图中作出，和不全等．（不写作法，保留作图痕迹）．
（4）还要满足什么条件，就可以使得，请直接填写结论：
在和中，，，，且，都是锐角，若_________，则．
参考答案
1．B
【详解】解：添加条件：，
∵
在和中，
，
∴，
故选：B．
2．C
【详解】解：“”定理适用于直角三角形全等的判定，具体为：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，
对比选项，只有C项符合题意，
故选：C．
3．D
【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为；
故选：D．
4．D
【详解】解：A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；可由（SAS）判断，正确；
B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；可由（AAS）判断，正确；
C．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；可由（HL）判断，正确；
D．有两边相等的两个直角三角形无法判定边的对应相等关系，故不一定全等；选项错误，符合题意；
故选： D．
5．A
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
6．C
【详解】解：∵于点M，于点N，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
故选：C．
7．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴要利用“”判定的条件是．
故答案为：．
8．
【详解】解：（1）∵，，∴；故答案为：
（2）∵，∴；故答案为：
（3）∵，，∴；故答案为：
（4）∵，，∴；故答案为：
（5）∵，，∴；故答案为：
9．
【详解】解：，，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：.
10．
【详解】解：，
是直角三角形
在和中
又
故答案为： ．
11．9
【详解】解：，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故答案为：9．
12．见解析
【详解】证明：，，点E、F为垂足，
，
和均为直角三角形．
为的中点，
．
在和中，
，
．
13．见解析
【详解】证明：，
，
在和中，
，
．
14．见解析
【详解】证明： 与分别为边上的中线，
，，
，
，
在和中，
，
．
15．
【详解】解：∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴．
16．D
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，分情况讨论：①，此时，可据此求出的值．②，此时，P、C重合，据此求出的值．
【详解】解：，
，
根据三角形全等的判定方法可知：
①当P运动到时，
∵，
在与中，
，
∴，
即；
②当P运动到与C点重合时，，
在与中，
，
∴，
即，
综上所述，当的值为或时，与全等，
故选：D．
17．130或50
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，作一个角等于已知角，作三角形，根据题意作，，再作交于点，点，作于点G，作于点H，易证，再根据三角形全等的性质即可解答．
【详解】解：如图，作，，再作交于点，点，作于点G，作于点H，
当为锐角，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
当为钝角时，
同理得，
∴；
∴；
综上，的角度为或．
故答案为：130或50．
18．（1）；（2）见解析；（3）见详解；（4）
【分析】（1）根据可以知道．
（2）过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H．先根据证明，则可得．再根据证明，则可得．最后根据即可证明．
（3）根据题目要求作图即可．
（4）由前面（1）（2）（3）的结论可得时，
【详解】解：（1）如图①，在和中，，，，根据可以知道．
故答案为：
（2）证明：如图，过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H．
∵，且、都是钝角，
∴，即．
∵在和中，
，
∴，
∴．
∵在和中，
，
∴，
∴．
∵在和中，
，
∴．
（3）如图，在和中，，，，，且，都是锐角，但和不一定全等．即为所求；
（4）由(1)(2)(3)的结论可知：在和中，，，，且，都是锐角，若，则．
故答案为：．
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