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1.4.1线段垂直平分线的性质
一、基础过关
1．如图，在中，垂直平分．若，，则的长是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
2．如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于D、E，则的周长为（ ）cm．
A．8 B．2 C．4 D．1
3．在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点
4．学习情境·问题讨论如图，直线l与线段交于点O，点P在直线l上，且．小明说：“直线l是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断错误的是（　　）
A．小明说得不对
B．小亮说得对，可添条件为“”
C．小亮说得对，可添条件为“”
D．小亮说得对，可添条件为“平分”
5．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为（　）
A． B．
C． D．
6．命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
7．如图，垂直平分线段于点，垂直平分线段于点．若，则 ．
8．如图，线段AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点P恰好在AC上，且AC=10cm，则B点到P点的距离为 ．
9．如图，中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在两侧相交于点、，作直线分别与、交于点，，连接，则 ．
10．如图，在中，，分别垂直平分边，，交于点，，如果，那么的周长为 ．
11．如图，在中，边上的垂直平分线交于点D，交于点E，，的周长为，则的长为 ．

12．如图，设三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要求三个村庄到学校的距离相等．请你通过尺规作图，在图中画出学校的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
13．如图，点E，F在BC上， ， ， ，AF与DE交于点G.
（1）求证： .
（2）请用无刻度的直尺画出BC的垂直平分线（保留画图痕迹）.
14．已知中，，线段的垂直平分线分别交、于点、，若的周长为，，求的周长.
15．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC=8，则△ADE周长是多少？
（2）若∠BAC=118°，则∠DAE的度数是多少？
16．在中，垂直平分，分别交、于点、，垂直平分，分别交，于点、．
⑴如图①，若，求的度数；
⑵如图②，若，求的度数；
⑶若，直接写出用表示大小的代数式．
二、能力提升
17．如图，在中，是的中线，是边的中垂线，且与相交于点，连接，，若四边形与四边形的面积分别为和，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
18．如图，线段AB、BC的垂直平分线、相交于点，若39°，则= ．
19．如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足是，是上一点，平分，于点．
(1)试判断与是否相等，并说明理由．
(2)求证：．
参考答案
1．A
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
故选：A．
2．A
【详解】解：∵的垂直平分线分别交、于D、E，
∴，
∵，，
∴的周长为；
故选A．
3．D
【详解】解：A、选项为三边中线的交点(重心)
重心的性质是到三角形顶点的距离与到对边中点的距离之比为，并非到三个顶点距离相等，无法保证游戏公平，此选项不符合题意；
B、选项为三条角平分线的交点(内心)
内心的性质是到三角形三边的距离相等，而非到三个顶点距离相等，无法保证游戏公平，此选项不符合题意；
C、选项为三边上高的交点(垂心)
垂心是三角形三条高的交点，无 “到三个顶点距离相等” 的性质，无法保证游戏公平，此选项不符合题意；
D、选项为三条垂直平分线的交点(外心)
外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，此时凳子到 A、B、C 三名同学的距离相同，能保证游戏公平，此选项符合题意；
故选：D．
4．B
【详解】解：A、可添条件为才能说：直线l是的垂直平分线；
B、添条件为，则，
不能证明；
C、添条件为，
在和中，
，
，
，
，
直线l是的垂直平分线；
D、添条件为平分，
在和中，
，
，
，
，
直线l是的垂直平分线；
故选：B．
5．C
【详解】解：由作图的过程可知，是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴的周长．
故选：C．
6．真
【详解】解：命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上，它是真命题，
故答案为：真．
7．6
【详解】解：∵垂直平分线段于点，，
∴，
∵垂直平分线段于点，
∴，
故答案为：6．
8．5cm
【详解】试题分析：根据中垂线的性质可得点P为AC的中点，则BP为直角三角形斜边上的中线，即BP=10÷2=5cm．
考点：直角三角形的性质
9．
【详解】解：根据作图可得，垂直平分，
，
．
故答案为：
10．20
【详解】解：和分别为、的垂直平分线，
，，
的周长，
故答案为：．
11．/9厘米
【详解】解：∵是的垂直平分线，∴，
∴的周长，
∵，的周长为，∴，
解得，
故答案为：．
12．见解析
【详解】解：如图，点P就是学校的位置．
．
13．（1）见解析；（2）如图所示见解析.
【分析】（1）通过证明，利用等角对等边证明即可；
（2）延长BA、CD交于点P，连接PG并延长，则直线PG即为所求.
【详解】 ，
在 和 中，
（2）延长BA、CD交于点P，连接PG并延长，如图所示：
14．
【分析】由AB的垂直平分线MN交AC于D，可得AD=BD，继而可得△DBC的周长=AC+BC，则可求得答案．
【详解】∵AB的垂直平分线MN交AC于D，
∴AD=BD，
∵△DBC的周长是25cm，BC=10cm，
∴BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=25cm，
∴AC=15cm．
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=15+15+10=40cm．
15．（1）8 （2）56°
【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得出AD=BD，CE=AE，求出△ADE的周长=BC，即可得出答案；
（2）由∠BAC=118°，即可得∠B+∠C=62°，又由DA=DB，EA=EC，即可求得∠DAE的度数．
【详解】（1）∵在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴AD=BD，AE=EC，
∵BC=8，
∴△ADE周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=8；
（2）∵∠BAC=118°，
∴∠B+∠C=62°，
∵DA=DB，EA=EC，
∴∠BAD=∠B，∠EAC=∠C，
∴∠BAD+∠EAC=62°，
∠DAE=
16．（1）∠EAN=44°；（2）∠EAN=16°；（3）当0<α＜90°时，∠EAN=180°-2α；当α＞90°时，∠EAN=2α-180°．
【分析】(1)根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，再根据等边对等角可得∠BAE=∠B，同理可得，∠CAN=∠C，然后利用三角形的内角和定理求出∠B+∠C，再根据∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)代入数据进行计算即可得解；
(2)同(1)的思路，最后根据∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC代入数据进行计算即可得解；
(3)根据前两问的求解，分α＜90°与α＞90°两种情况解答．
【详解】(1)∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B，
同理可得：∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=∠BAC-(∠B+∠C)，
在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-112°=68°，
∴∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)=112°-68°=44°；
(2)∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B，
同理可得：∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-82°=98°，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=98°-82°=16°；
(3)当0<α＜90°时，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B，
同理可得：∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-α，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=180°-α-α=180°-2α；
当α＞90°时，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B，
同理可得：∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=∠BAC-(∠B+∠C)，
在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-α，
∴∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)=α-(180°-α)=2α-180°．
17．B
【分析】本题考查了三角形中线、垂直平分线的定义，由是的中线，是边的中垂线，则，，，由四边形与四边形的面积分别为和，可得，从而求出，即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵是的中线，是边的中垂线，
∴，，，
∵四边形与四边形的面积分别为和，
∴，
∴，
∴，
∴，即的面积为，
故选：．
18．78
【分析】如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，再利用垂直的定义结合三角形外角性质得到∠AOG =51-∠A，∠COF =51-∠C，利用平角的定义得到∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180，计算即可求解．
【详解】如图，连接BO并延长，
∵、分别是线段AB、BC的垂直平分线，
∴OA=OB，OB=OC，∠ODG=∠OEF=90，
∴∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，
∴∠2=2∠A，∠3=2∠C，∠OGD=∠OFE=90-39=51，
∴∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，
∵∠OGD=∠A+∠AOG，∠OFE=∠C+∠COF，
∴∠AOG =51-∠A，∠COF =51-∠C，
而∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180，
∴51-∠A+2∠A+2∠C+51-∠C+39=180，
∴∠A+∠C=39，
∴∠AOC=2(∠A+∠C)=78，
故答案为：78．
19．(1)，理由见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，主要考查学生的推理能力．
（1）根据角平分线性质得出即可．
（2）连接，推出，根据证出即可．
【详解】（1）解：，
理由是：∵平分，
∴．
（2）证明：连接，
∵的垂直平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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