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1.4.2角平分线的性质
一、基础过关
1．如图，平分，于C，于D，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
2．如图，，，若，，，则（ ）
A．26° B．29° C．58° D．32°
3．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．的三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
4．如图所示，若，，分别平分和，于，且，则与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．无法确定
5．如图，，是的中点，平分，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，O是内一点，且O到三边的距离，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．命题“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”是 （选填“真命题”或“假命题”）．
8．如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作于点，且，则的度数为 ．
9．如图，已知于A，于B，且，则 ．
10．已知，如图，是的平分线，，点在上，，，垂足分别是、．
(1)求证：
(2)试说明：．
11．如图，为的平分线，于，，，试说明：．
12．如图，在中，，D、F分别为上的点，连接，过点D作于点E，．求证：平分．
13．如图，已知，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点．求证：
(1)点到三边，，所在直线的距离相等；
(2)点在的平分线上．
14．如图，，，于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：平分．
(2)若，，求的长．
15．如图，中，平分，且平分，于，于．
(1)求证：；
(2)如果，，求的长．
二、能力提升
16．如图，点G在的延长线上，，的平分线相交于点F，连接．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
17．如图，点D是的边上一点，连接，与的面积比是，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
18．如图，在中，是它的角平分线，是它的中线，，则长为（ ）
A． B． C． D．
19．如图，的平分线交于点P，，，则下列结论中正确的个数是（ ）
①平分； ②；
③； ④．
A．1 B．2 C．3 D．4
20．如图，已知中内部的射线与的外角的平分线相交于点P．若，．
(1)求证：平分；
(2)如图，点是射线上一点，垂直平分于点，于点，连接，若，，求．
参考答案
1．B
【详解】解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知．
故选：B．
2．B
【详解】，
平分，
．
故选：B．
3．C
【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三条角平分线的交点．
故选：C．
4．C
【详解】解：如图，过点作于，作于，
、分别平分和，，
，
与之间的距离，
故选：C．
5．B
【详解】解：如图，作于，
∵，平分，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
6．D
【详解】解：∵，
∴，
∵O到三边的距离，
∴、分别平分和，
∴，
∴.
故选D.
7．真命题
【详解】解：命题“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”是真命题，
故答案为：真命题．
8．32.5
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴平分，
∴．
故答案为：．
9．/55度
【详解】解：，，，
∴点P在的平分线上，
，
，
故答案为：．
10．(1)证明见解析
(2)理由见解析
【详解】（1）证明：∵是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵点在上，，，
∴．
11．证明见解析
【详解】
解：∵，
∴，
∵为的平分线，且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
12．见解析
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
在和中，
∵
∴，
∴，
∵，
∴平分．
13．(1)证明过程见解析；
(2)证明过程见解析．
【详解】（1）证明：作于点，于点，于点，如图所示：
∵是的平分线，是的平分线，，相交于点，
∴，，
∴，
∴点到三边，，所在直线的距离相等．
（2）证明：由（1）可知，，
又∵，，
∴点在的平分线上．
14．(1)见解析
(2)15
【详解】（1）证明：，，
，
，，
，
在与中，，
，
，
平分；
（2）由（1）知平分，
，
在和中，
，
，
，
由（1）知，
，
．
15．(1)证明见解析
(2)1
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确找出全等三角形是解题关键．
（1）连接、，先证出，，再证出，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）先证出，根据全等三角形的性质可得，再设，根据线段的和差建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）证明：如图，连接、，
且平分，
，
平分，于，于，
，，
在与中，
，
∴，
．
（2）解：平分，于，于，
，，
在与中，
，
∴，
，
由（1）已证：，
设，
∵，，
∴，，
∴，
解得，
∴．
16．B
【分析】本题考查的是角平分线的性质，作于Z，于Y，于W，根据角平分线的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，根据题意得到答案，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
【详解】解：作于Z，于Y，于W，如图所示：

∵平分，，，
∴，
同理，
∴，，，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，的平分线相交于点F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．故选：B．
17．B
【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形面积公式．设D到和的距离分别为和，先根据三角形的面积公式得到，即点D到和的距离相等，然后根据角平分线的判定定理得到平分，即可得出结论．
【详解】解：设D到和的距离分别为和，
∵，
∴，
∴，
即点D到和的距离相等，
∴平分，
∴，
故选：B．
18．C
【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握三角形的中线的概念、角平分线的性质是解题的关键；过点D作于G，于H，根据角平分线的性质得到，从而得到，再根据高相等的两三角形，底边比等于面积比可得，进而求出，再根据中线的性质求出，即可得解；
【详解】解：如图，过点D作于G，于H，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的中线，，
∴，
∴，
故选：．
19．D
【分析】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
过点作于点，根据角平分线的性质以及判定即可得到，则平分，即可判断①；可得，由，得到，同理可，即可判断②；由角平分线以及三角形外角性质得到，，即可判断③；由②可知，，则，，即可判断④．
【详解】解：①如答图，过点作于点，
平分平分，，，，
，
，
点在的平分线上，故①正确；
②，
，
．
在和中，，
∴，
，
同理可证得，
，
，
，②正确；
③平分平分，
，，
，③正确；
④由②可知，，
，，
，故④正确，
故选：D．
20．(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定义，三角形外角性质，垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由平分，则，由外角性质可得，，则有，从而求证；
（）连接，过点作于，证明，则，，再证明，故有，通过即可求解．
【详解】（1）证明：如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴平分；
（2）解：如图，连接，过点作于，
由（）可知平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵垂直平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
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