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2025-2026学年度吴淞中学高二数学10月月考卷
一、填空题
1.正方体 中, 异面直线 与 所成角的大小为________.
2.已知 ， ，若 与 共线，则 ________.
3.已知 是斜率为-1的直线的倾斜角，计算 ________.
4.如图所示, 圆锥 的底面圆半径 , 侧面的平面展开图的面积为 , 则此圆锥的体积为________.
第4题图 第8题图 第9题图
5.已知圆柱的底面积为 , 侧面积为 , 则该圆柱的体积为________.
6.一个上底面边长为 1 , 下底面边长为 4 , 高为 3 的正四棱台的体积为_____.
7.已知点 均在半径为 2 的球面上，V ABC 是边长为 3 的等边三角形， 平面 ，则 ________.
8.如图，在棱长为 4 的正方体 中， 的中点是 ，过直线 作与平面 平行的截面，则该截面的面积为 _______.
9.一个圆柱形容器内放一个实心圆锥（同底等高），得到如图所示的容器，其体积为 。现从上往下向容器内注水，当水位恰好在圆柱母线中点处时，记所注水的体积为 ，则 ________。
10.已知四棱锥 的 5 个顶点都在球 的球面上，且 平面 ，则球 的表面积为 ______.
11.如图，在棱长为 1 的正方体 中，点 是对角线 上的动点（点 与点 不重合）。给出下列结论：①存在点 ，使得平面 平面 ；②对任意点 ，都有 ；③ 面积的最小值为 ；④若 是平面 与平面 的夹角， 是平面 与平面 的夹角，则对任意点 ，都有 。其中所有正确结论的序号是
12．已知异面直线 所成角为 ，直线 与 均垂直，且垂足分别是点 .若动点 ，则线段 中点 的轨迹围成的区域的面积是__________.
二、单选题（共20分）
(1)三个不同的点确定一个平面；
(2)一条直线和一个点确定一个平面;
(3)空间两两相交的三条直线确定一个平面;
(4)两条平行直线确定一个平面.
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
14.如图，正方体 的棱长为 1，线段 上有两个动点 ，且 ，则下列结论中错误的是（ ）
;
B. 异面直线 所成的角为定值；
C. 直线 与平面 所成角为定值;
D. 三棱锥 体积为定值.
15.如图一，矩形 中， 交对角线 于点 ，交 于点 ，现将 沿 翻折至 的位置，如图二，点 为棱 的中点，则下列判断一定成立的是（ ）
平面
平面
D. 平面 平面
图一 图二
16.已知 中， ， ， 为斜边 上一动点，沿 将三角形 折起形成直二面角 ，记 ，当 最短时，
三、解答题（共76分）
17.（本题14分）已知直线 过点 ，
(1)若直线 的倾斜角为 ，求实数 的值；
(2)求直线 的斜率
18.本题 14 分) 如图, 四边形 是圆柱的轴截面, 是下底面圆周上一点, 点 是线段 中点
证明：直线 平面
(2)若 ， ， ，三棱锥 的体积.
19.(本题 14 分) 如图, 是半球的直径, 为球心, 依次是半圆上的两个三等分点, 是半球面上一点, 且 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若点 在底面圆内的射影恰在 上，求点 到平面 的距离.
20.(本题 16 分) 如图 1, 在边长为 4 的菱形 中, , 点 分别是边 的中点, , . 沿 将 翻折到 的位置,连接 , 得到如图 2 所示的五棱锥 .
图1 图2
(1)在翻折过程中是否总有平面 平面 ？证明你的结论；
(2)当四棱锥 体积最大时，求直线 和平面 所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，在线段 上是否存在一点 ，使得二面角 的平面角的余弦值为 ？若存在，试确定点 的位置；若不存在，请说明理由.
21.（本题18分）在棱长均为2的正三棱柱 中， 为 的中点．过 的截面与棱 分别交于点
(1)若 为 的中点，试确定点 的位置，并说明理由；
(2)在（1）的条件下，求截面 与底面 所成锐二面角的正切值；
(3) 设截面 的面积为 , 面积为 , 面积为 , 当点 在棱 上变动时, 求 的取值范围.

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