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广东实验中学 第二次阶段性练习试题
数 学
本试卷共5页，满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。
第一部分选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，集合，则
A． B． C． D．
2．角终边上一点的坐标为，则的值为
A． B． C． D．
3．已知点在平面内，点在外，且的一个法向量，则点到平面的距离为
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是
A．垂直于同一直线的两条直线相互平行
B．垂直于同一平面的两个平面相互平行
C．直线的方向向量垂直于面的法向量，则
D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直
5．已知函数在处取得极大值，则的值是
A．1 B．2 C．3 D．4
6．将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．若在上单调递增，则的取值范围为
A． B． C． D．
7．已知实数满足，若下列四个数经过适当排序后构成公差为的等差数列，则
A． B． C． D．
8．已知直线与曲线交于两点，若同时经过原点和线段中点的直线斜率为，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知，则下列等式一定正确的是
A．
B．
C．
D．
10．在四棱雉中，底面为梯形，，则
A．平面内存在无数条直线与平面平行
B．平面和平面的交线与底面平行
C．平面和平面的交线与底面平行
D．平面内任意一条直线都不与平行
11．正方体的边长为2，为底面的中心，是正方形内（不包含正方形的四边）的动点，则下列说法正确的是
A．一定是异面直线
B．当在线段上移动时，的最小值为
C．当是正方形的中心时，与所成角为
D．当与平面所成角为定值（非直角）时，的运动轨迹是两段圆弧
第二部分非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．数列的前项和为，若，则 ．
13．记的内角的对边分别为，若，则 ．
14．已知实数满足：，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知数列满足，且对任意的，都有．
（1）设，求数列的通项公式；
（2）数列表示不超过的最大整数，求的前340项和．
16．（15分）
在锐角三角形中，角的对边分别为，．
（1）求角的值；
（2）若，求的取值范围．
17．（15分）
已知函数，
（1）讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求的取值范围．
18．（17分）
如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱雉，其中为动点．
（1）证明：；
（2）若，三棱雉的各个顶点都在球的球面上，判断球心的位置，并求出球心到平面的距离；
（3）求平面与平面夹角余弦值的最小值．
19．（17分）
已知椭圆的离心率为，且经过点，直线过点且相互垂直，交于另一点，交于另一点．
（1）求的方程；
（2）证明：直线过定点；
（3）先将绕原点旋转，再将所得曲线上所有点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍得到椭圆，若逆时针旋转得到，且点在椭圆上，求的长轴长的取值范围．省实本部10月月考小题参考答案
1、【答案】C【详解】由题意，A=x/贷≤0，=X-2B={yly=2x}=(0+∞)，·A∩B=(0八，
故选：C
2.【答案】D【详解】因为角0终边上一点的坐标为(-3，④，则r=V(-3)2+42=5,
根据三角函数的定义可知：sin0=着cos0=号
利用两角差的正弦公式可知：sn(0-9=sin9cos-6os0sim号-x号-（一×号=侣放选：D
3.【答案】B【详解】由点A( ,7-儿，P(0,2-),得AP=(-,Z0,所以点P到平面α的距离为AP=
是-9
4.给定下列四个命题，其中真命题是()
A.垂直于同一直线的两条直线相互平行
B.若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行
C.垂直于同一平面的两个平面相互平行
D.若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直
【答案】D
【详解正方体同一顶点的三条棱两两垂直，则垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错误；
若
一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，两直线可以相交，也可以成为异面直线，故B错误；
正方体的前面和侧面都垂直于底面，这两个平面不平行，C错误
对D:利用反证法简单证明如下：
若两个平面α，B垂直，假设一个平面α内与它们的交线l不垂直的直线l,与另一个平面β垂直.
因为l,⊥B,且平面a,B的交线lCB,故可得l,⊥L,
这与题设l与l不垂直相互矛盾，故假设不成立，原命题成立即D选项正确故选：D.
5.【答案】C【详解】由题设f'(x)=3x2-4ax+a2,则f'()=3-4Q+a2=0,可得a=1或a=3,
当a=1时f'(x)=3x2-4x+1=(3x-)x-1),
当x<或x>1时f(x)>0,则fx在(-∞，和(1+∞上递增，
当写此时在x=1处取得极小值，不符；
当a=3时f(x)=3x2-12x+9=3(X-1)X-3),
试卷第1页，共4页
当x<1或x>3时f'(x)>0,则f(x在(-∞，1)和(3，+∞)上递增，
当16.【答案】D【分析】根据平移规则可得g(x)的解析式，再由正弦函数的单调性得出对应不等式可得结果.
【详解】由题可得g(x)=sin(2wx-+骨，
因为w>0所以当0上+学+.因为gX在0单调递指所以。十与之-又w>0,解得0
7.【答案】A【详解】由题意，当a>b>0时，有b则a+b=b+”,解得vab=a”,这与ab<”矛盾，则此时不能构成等差数列；
当b则b+a5=a+典，化简得(90-b)a-b)=0解得b=90或b=a(舍去)，
此时d=a,b-a-,g=4al,故选：A
2
2
8.【答案】B【详解】设A(Xy),B(x2y2),
则mx号+ny号=0①
mx3+ny3=0,②
因为：同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为号
由少=X+7
y=x
得：A,B中点坐标为(23，所以X,+X2=4
y1+y2=6
且kAB=义=1@-②可得m(x3-x③+n0y3-y3=0.则-只=经袋=义袋货=号1=号
X1-X2
n x-x7 x1+X2 x1-X2 2
e--7-清=V7+号-故选：B
m
9.【答案】BCD【详解】依题意，-21og3a+Iog3b=0,即Iogb=Ilog3a2,则b=a2且a,b>0,故C
正确；对于A,(2)2=20·20=22a卡2，错误；
对于B,a·elna=a2=b,正确；
对于D,log2a=logsab台31og2a=log2ab台b=a2,正确.故选：BCD
10.【答案】ACD【详解】解：设平面PBC∩平面PAD=l,在平面PBC内存在无数条直线与l平行，
且不含于平面PAD,则在平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行，故A正确：
若l/I平面ABCD,lC平面PBC,平面PBC∩平面ABCD=BC,则l/BC,
试卷第2页，共4页省实本部10月月考大题参考答案
15.(13分)
已知数列{an}满足a1=1,a3=6,且对任意的n≥2，n∈N*，都有an+1+an-1=2an+3.
(1)设bn=an+1-an,求数列{bn}的通项公式：
(2)数列cn=1gbnl,[x表示不超过x的最大整数，求{cn}的前340项和T340
【详解】(1)由an+1+an-1=2an+3可得an+1-an=an-am-1+3,n≥2，
又bn=an+1-an,所以bn-bn-1=3,即{bn}是以3为公差的等差数列，
又a1=1,a3=6,得b1=a2-a1=a2-1,b2=a3-a2=6-a2,
所以6-a2-(a2-1)=3,解得a2=2,故b1=a2-1=1,
所以bm=1+3(n-1)=3n-2.
(2)由(1)可得b4=10,b34=100,b334=1000,
又cn=lgbn]
0,1≤n≤3
所以cn=
1,4≤n≤33
2,34≤n≤333，
3,334≤n≤340
所以T340=0×3+1×30+2×300+3×7=651.
16.(15分)
在锐角三角形△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,V3(acosC+ccosA)=2 bsinB.
(1)求角B的值：
(2)若b=23,求a2+c2的取值范围.
【详解】(1)因为V3(acosC+ccosA)=2 bsinB,
由正弦定理边化角可得V3(sinAcosC+sinCcosA)=2 sinBsinB,
所以v3sin(A+C)=V3sinB=2 sinBsinB,又sinB≠0，
所以sinB=5,又B为锐角，
2
则B=
（2》由正弦定理，品=点=品=2普=4，
则a=4sinA,c=4sinC,
a2 +c2 16sin2A +16sin2C 8(1-cos2A)+8(1-cos2C),
=16-8c0s2A-8c0s2C=16-8cos2A-8cos2(m-A-
71
3
16-8cos2A-8-7COs2A-7 sin2A
=16+4v3sin2A-4cos2A
=16+8sin(2A-),
0因为在锐角三角形△ABC中
-A-善号得所以<2A-<
则时所以a2+c2的取值范围为(20,24].
17.(15分)
已知函数f(x)=ex-ax,
(1)讨论f(x)的单调性：
(2)当x≥0时，f(x)≥(x+1)2恒成立，求a的取值范围.
【详解】（1)因为f(x)=ex-ax,所以f(x)=ex-a.
若a≤0，则f(x)>0在(-∞，+∞)上恒成立，所以函数f(x)在(-∞，+∞)上单调递增：
若a>0,由f(x)=ex-a>0→x>lna:由f(x)<0→x所以函数f(x)在(-oo,lna)上单调递减，在(Ina,+oo)上单调递增
综上：当a≤0时，函数f(x)在(-∞，+oo)上单调递增：
当a>0时，函数f(x)在(-oo,lna)上单调递减，在(Ina,+oo)上单调递增
(2)当x≥0时，f(x)≥(x+1)2→ex-ax≥(x+1)2→ax≤ex-(x+1)2
当x=0时，上式恒成立，即a∈R;
当x>0时，a≤-+12
设g(x)=-+12
x之，x>0,
则g(o）=5-2x+1x-e-6+1]=x-1e-x
x2
x2
设h(x)=e*-x-1,x>0,则h(x)=ex-1>0在(0，+o)上恒成立，即h(x)在(0，+∞)
上单调递增，
又h(0)=e-0-1=0,所以e*-x-1>0在(0，+o)上恒成立.
所以由g'(x)>0→x>1,由g(x)<0→0所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增.
所以g(x)min=g(1)=e-4.
所以a≤e-4.
综上可知：a的取值范围为：(-∞，e-4].

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