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2025-2026学年一（上）平和广兆中学第一次水平考试
高中数学试卷
满分：150分；考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共8小题，共40分，每小题给出的选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项填涂在答题卡相应位置上）
A． B．
C． D．
2．如果，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．“ ” 是 “ ”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．必要不充分条件 D．充分不必要条件
4．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．若，则的取值集合是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知实数、，且，则的最小值是（ ）
A． B．2 C．4 D．6
7．定义集合运算：.若集合， ，则（ ）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
二、多选题（每小题6分，共3小题，共18分，每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9．已知集合为有理数集，则下列式子表示正确的是（ ）
A． B．｛1，-1｝ A C． D．
A．是的充要条件
B．或为有理数是为有理数的既不充分也不必要条件
C．在中，是锐角是为锐角三角形的充分不必要条件
D．在中，是钝角是为钝角三角形的充要条件
11．已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值是 B．的最小值是
C． D．的最大值是
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共3小题，共15分）
12．曲线 与直线的交点组成的集合为 .
13．若“，”是假命题，则的取值范围为 ．
14．设表示a，b，c中最大的数．设.，且，则的最小值为 ．
四、解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知，．
(1)求实数的取值范围；
(2)求的取值范围．
16．（15分）已知集合，集合.
(1)当时，求A∩(CRB)；
(2)若是的充分条件，求的取值范围.
17．（15分）已知命题，命题
18．（17分）仔细阅读以下材料：【已知a，，，求的最小值.
解：，当且仅当，即，时取得等号，则的最小值为.
另解：，当且仅当，即，时取得等号，则的最小值为.】参考上述解法，求解下列问题.
(1)已知a、b、，，求的最小值；
(2)已知，求的最小值；
(3)已知a、，，求的最小值.
19．（17分）已知集合．
(1)若，求；
(2)设中所有的元素均为正数，中元素的个数为，求的最小值；
(3)若，求．
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《2025-2026学年度（上））平和广兆中学第一次水平考试》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A A D B A C B A ABC AB BCD
1．A
【详解】由，则，当且仅当时等号成立，B、C、D为假命题，A为真命题；
故选：A
2．A
【分析】利用赋值排除法及不等式的性质逐一分析即可判断.
【详解】取，
对于C：，故错误；
对于D：，故错误；
对于A：因为，所以，故正确；
对于B：，故错误.
故选：A.
3．D
【分析】利用充分条件、必要条件的定义可判断.
【详解】因为，所以，
反之满足，但是不满足，
所以“ ” 是 “ ”的充分不必要条件.
故选：D
4．B
【分析】依次将集合A中的四个元素，代入不等式检验，若不等式成立，则说明该元素属于集合B，从而说明该元素是中的元素；否则，该元素就不是中的元素.
【详解】因为，所以不属于集合B；
因为，所以；
因为，所以；
因为，所以.
所以，.
故选：B.
5．A
【分析】先由题意求得，然后根据不等式的性质求解即可.
【详解】令，则，
所以解得所以．
因为，所以，
所以，即的取值集合是．
故选：A
6．C
【分析】应用“1”的代换化目标式为，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件.
【详解】由题设，
当且仅当，即时取等号，故的最小值为4.
故选：C
7．B
【分析】求出后可求得，故可得正确的选项
【详解】由题设可得，，
因为，，，，
故，
故选：B
8．A
此时在时恒成立，
，
，
故选：A
9．ABC
【分析】结合集合的求解结果和有理数集的性质，对每个选项逐一分析元素与集合、集合与集合的关系，得出答案.
【详解】，由，解得或，
所以.
因为，不在集合中，所以，选项C正确；
是一个集合，所以，选项D错误；
集合中的元素和都是有理数，所以，选项A正确；
集合中的元素都在集合中，所以，选项B正确.
故选：ABC
10．AB
【分析】对于选项C、D：结合三角形的性质即可判断；对于选项A：利用集合间的关系与运算即可判断；对于选项B:根据有理数的运算性质即可判断.
【详解】对于选项C：在中，是锐角，则可能为锐角，直角或钝角，故无法得出一定为锐角三角形；
若为锐角三角形，根据锐角三角形的定义可知的三个内角均为锐角的三角形，
所以是锐角是为锐角三角形的必要不充分条件，故选项A错误；
对于选项D：当是钝角时，则为钝角三角形；
当为钝角三角形不一定能推出是钝角，
所以是钝角是为钝角三角形的充分不必要条件，故选项B错误；
对于选项A：根据交集的性质易知是的充要条件，故选项C正确；
对于选项B:当时，此时；
当，此时满足的解可以为，
所以或为有理数是为有理数的既不充分也不必要条件，故选项D正确.
故选：AB.
11．BCD
【分析】利用不等式性质可判断C；根据基本不等式判断BD；结合二次函数性质判断A；
【详解】由，得，因为，所以，解得，
又，所以，故C正确；
因为，故，所以，所以，
当且仅当时取等号，故D正确；
由，得，所以，
当时，取最小值，最小值是，故A错误；
，
当且仅当时，结合，即取时等号，故B正确.
故选：BCD.
12．
【分析】求出曲线与直线的交点坐标，再用列举法表示出这个集合.
【详解】由方程组，解得或，
所以曲线与直线的交点坐标为和，
可得曲线 与直线的交点组成的集合为.
故答案为：.
13．
【分析】由题可得“，”为真命题，据此可得答案.
【详解】由“，”是假命题，
得“，”，
则或，
解得或．
故答案为：.
14．
【分析】利用换元法可得，进而根据不等式的性质，讨论求解即可.
【详解】令其中，
所以，
若，则，故，
令，
因此,故,则，
可知的最小值为，
故答案为：
15．(1)（6分）
(2)（7分）
【分析】（1）根据不等式基本性质即可得到答案；
（2）利用待定系数法,设，得到方程组解出，再根据不等式基本性质即可得到答案.
【详解】（1）因为，，
两式相加得，所以，
所以实数的取值范围为．
（2）设，
所以，所以解得
所以．
因为，，
所以，
所以的取值范围为．
16．(1)或.（6分）
(2).（9分）
【分析】（1）先求出，再利用交集的定义可求出；
（2）由题意得，然后列不等式组可求得答案.
【详解】（1）当时，，
所以或，
因为，
故或.
（2）因为是的充分条件，所以
所以，
解得 ，
所以的取值范围为.
17．(1)（7分）
(2)或（8分）
（2）根据“真假”，或“假真”求得实数的取值范围.
【详解】（1）若为真命题，则对任意，恒成立，所以；
若为真命题，则，解得或；
若都是真命题，则实数应同时满足上述条件，即．
综上，当都为真命题时，实数的取值范围为．
（2）当为真命题，为假命题时，，解得；
当为假命题，为真命题时，，解得．
综上，当只有一个为真命题时，实数的取值范围为或．
18．(1)9；（5分）
(2)18；（5分）
(3).（7分）
【分析】（1）（2）（3）应用“1”的代换整理目标代数式，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件.
【详解】（1）由，，
则
，
当且仅当时等号成立，故最小值为9；
（2）由，则
，
当且仅当，即时等号成立，故最小值为18；
（3）由，，则，即，
所以，显然，
所以，
当且仅当，即，则时等号成立，
所以最小值为.
19．(1)（5分）
(2)3（5分）
(3)（7分）
【分析】（1）根据题设分类讨论求解即可；
（2）设，可得，即可得到，再令，分析可得此时，即可求解；
（3）由题设易得中负数的个数为1或2或3，设，进而分情况讨论求解即可.
【详解】（1）由题意，当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
故.
（2）设，则，
则.
令，则，，
即.
因为，所以此时，故的最小值为3.
（3）因为，其中3个负数2个正数，
所以中负数的个数为1或2或3，设.
若，则，
因为中元素大于1，所以不符合题意，舍去.
若，则．
因为，所以，
则，，，则，
所以，
解得，则，
此时，符合题意.
若，则．
因为中只有元素大于1，所以不符合题意，舍去.
综上所述，.
答案第1页，共2页

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