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第三章《一次方程与方程组》提升卷—沪科版数学七（上）单元测
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．下列式子中，方程的个数是（　　）
；；；；；
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】方程的定义及分类
【解析】【解答】解：根据方程的定义进行判断：
①式中不含有未知数，故不满足方程的定义，①式不是方程；
②式中不是等式，故不满足方程的定义，②式不是方程；
③式含有等式，也有未知数，故满足方程的定义，③式是方程；
④式含有等式，也有未知数，故满足方程的定义，④式是方程；
⑤式没有等号，不满足方程的定义，故⑤式不是方程，
所以方程的个数为2，
故答案为：A.
【分析】结合方程的定义：含有未知数的等式叫方程，对每个式进行判断即可.
2．下列等式变形：①若x=y，则 ax= ay；②若x=y，则 ③若 ax= ay，则x=y；④若 则x=y.其中正确的有(　　)
A．③④ B．①② C．①④ D．②③
【答案】C
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：①：根据等式的基本性质：等式的两边都乘以同一个数，所得结果仍是等式，
已知x=y，在等式两边同时乘以a，那么就可以得到ax=ay，所以①的变形是正确的；
②：同样依据等式性质，等式两边都除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式，
当x=y时，若要在等式两边同时除以a得到，这里必须满足a≠0这个条件。因为如果a=0，那么和就无意义，所以②的变形只有在a≠0时才正确，该变形不完全正确；
③：由ax=ay，若要在等式两边同时除以a得到x=y，也需要满足a≠0这个条件，
因为当a=0时，无论x、y取何值，ax=ay=0都成立，此时不能得出=y，
所以③的变形只有在a≠0时才正确，该变形不完全正确；
④：根据等式性质，等式两边都乘以同一个数，所得结果仍是等式。
已知，在等式两边同时乘以a，可以得到x=y，所以④的变形是正确的.
故答案为：C .
【分析】根据等式性质对每个等式变形进行分析判断，看其是否正确即可.
3．（2022七上·罗庄期末）若方程和的解相同，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次方程
【解析】【解答】解：，
移项，得
5x+3x＝10+6，
合并同类项，得
8x＝16，
解得 x＝2．
把x＝2代入3x-2m＝10，
得3×2-2m＝10．
移项，得
2m＝6-10．
合并同类项，得
2m＝-4，
系数化为1，得
m＝-2．
故答案为：A．
【分析】先求出方程的解为x＝2，再将x＝2代入求出m的值即可。
4．（2022七上·城阳期末）为使全国人民都过上幸福的小康生活，近年来各地扶贫办致力于帮扶当地区特色产品走进市民的菜篮子，助力更多优质农产品走出地区、走向全国．已知有一扶贫农产品去年和今年两年的销售总额为180万元，其中该扶贫农产品去年的价格为15元/千克，今年的价格为12元/千克，今年的销售产量比去年增长了25%．今年该扶贫农产品销售（　　）千克．
A．60000 B．75000 C．6000 D．7500
【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设去年该扶贫农产品销售x千克，则今年该扶贫农产品销售千克，
根据题意得：，
解得，
∴，
∴今年该扶贫农产品销售75000千克，
故答案为：B．
【分析】设去年该扶贫农产品销售x千克，则今年该扶贫农产品销售千克，根据题意列出方程，再求解即可。
5．（2025七上·临平期末）如图，一块长方形的地面是由4种不同的正方形地板无缝拼接而成的，若长方形的周长为72，则①号正方形的边长为（　　）
A．9 B．12 C．14 D．18
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设④号正方形的边长为，则③号正方形的边长为，
∴②号正方形的边长为，
∴①号正方形的边长为，
∴，
∵长方形的周长为72，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴①号正方形的边长为14，
故答案为：C．
【分析】设④号正方形的边长，即可表示出的长，利用长方形周长公式求出x值即可．
6．（2024七上·海曙期末）若是二元一次方程的一个解，则下列结论错误的是（　　）
A．异号 B．
C． D．满足条件的数对有无数对
【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：是二元一次方程的一个解，
，
A．∵，∴ 当时，，当时，，即a、b异号，结论正确，故A项不符合题意；
B．，，故B项不符合题意；
C．，∴，故C项符合题意；
D．a和b满足，因此满足条件的数对有无数对，故D项不符合题意．
故选：C．
【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义可得3a+b=0，再据此逐一进行判断即可．
7．（2019七上·合肥月考）用加减法解方程组 下列解法错误的是（　　）
A．①×3－②×2，消去x B．①×2－②×3，消去y
C．①×(－3)＋②×2，消去x D．①×2－②×(－3)，消去y
【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】A、 ，可消去x，故不合题意；
B、 ，可消去y，故不合题意；
C、 ，可消去x，故不合题意；
D、 ，得 ，不能消去y，符合题意．
故答案为：D．
【分析】本题考查了加减法解二元一次方程组
用加减法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数．如果系数相等，那么相减消元；如果系数互为相反数，那么相加消元．
8．解方程组时，一个学生把a看错后得到而正确的解是则a，c，d的值是(　　)
A．不能确定 B．a=3，c=1，d=1
C．c，d不能确定，a=3 D．a=3，c=2，d=-2
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组；二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【解答】解：将、分别代入得： ，
解得，
将代入中得：，
解得：，
则，，；
故答案为：B
【分析】根据题意将、分别代入，进而解二元一次方程组，在将代入中求出a，从而即可求解。
9．（2025七下·霞山期末） 小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来的两个加数分别是（　　）
A．21，32 B．12，23 C．31，22 D．41，42
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设原来原来两个加数分别为x，y则：
解得
故答案为：A .
【分析】原来原来两个加数分别为x，y，根据已知条件列出二元一次方程组，计算即可解答.
10．程大位是我国明朝商人，珠算发明家.他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法.书中有如下问题：
意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人 下列求解结果正确的是（　　）.
A．大和尚25人，小和尚75人 B．大和尚75人，小和尚25人
C．大和尚50人，小和尚50人 D．大、小和尚各100人
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设大和尚有人，小和尚有人，
根据条件列方程组：
将第一个方程变形为，代入第二个方程：
则 ，即大和尚人，小和尚人.
故答案为：A .
【分析】通过设大和尚、小和尚人数为未知数，利用“总人数”和“总馒头数”两个条件建立二元一次方程组，求解得出人数.
11． 已知某速食店销售的套餐内容为一块鸡排和一杯可乐， 且一份套餐的价钱比单点一块鸡排再单点一杯可乐的总价钱便宜 4 元． 阿俊打算到该速食店买两份套餐， 若他发现店内有单点一块鸡排就再送一块鸡排的促销活动， 且单点一块鸡排再单点两杯可乐的总价钱，比两份套餐的总价钱便宜 1 元， 则根据题意， 下列结论正确的是（　　）
A．一份套餐的价钱为 14 元 B．一份套餐的价钱为 12 元
C．单点一块鸡排的价钱为 9 元 D．单点一块鸡排的价钱为 7 元
【答案】C
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设一份套餐的价格是x元，单点一块鸡排的价格是y元，单点一杯可乐的价格是z元，依题意列方程组得：
整理方程组得：
①×2+②，得：
y=9.
∴一份鸡排的的价格是9元。
故正确答案选：C.
【分析】根据题意，分别设一份套餐的价格是x元，单点一块鸡排的价格是y元，单点一杯可乐的价格是z元，依题意列方程组得：通过分析，可以消x、z，求出y的值，即y=9.所以可以得到一份鸡排的的价格是9元。
12．（2025七下·宁海期中）在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a，宽为b，a>b）搭成如图一个大正方形，面积为64，中间空缺的小正方形的面积为4.下列结论中，正确的有（　　）
①（a-b）2=4； ②ab=15；③a2+b2=34； ④a2-b2=21.
A．①②③ B．0①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：小正方形边长为，面积为4，故有，①正确.
大正方形边长为，面积为64，故有.
因为a、b必然为正数，且已知，于是有，解得.
所以，②正确；
，③正确；
，③不正确.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件、图片，可得到关于a、b的二元一次方程组，求出a、b具体值并验证各结论即可.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果.
13．（2025七下·浙江月考）古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱，九百九十九文钱，甜果苦果买一千．试问甜苦果几个？”该问题意思是：已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了个，苦果买了个，根据题意，可列方程组是　 　．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得， ，
故答案为：．
【分析】
根据九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个可得，根据十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果可得，然后即可写出相应的方程组．
14．（2024七上·镇海区期末）若是关于x的方程的解，则的值为　 　．
【答案】11
【知识点】估计方程的解；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是关于的方程的解，
故答案为：11．
【分析】由题意，将代入方程得，再将所求代数式变形得原式=2（3a-2b）+5，然后整体代换即可求解．
15．（2024八下·宁波期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是　 　
【答案】或
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；解一元一次不等式组；分类讨论
【解析】【解答】解：当时，
，
解得：，
∴，解得；
当时，
，
解得：，
∴，解得或，
综上所述，或
故答案为：或．
【分析】分“”、“”两种情况，分别用a表示出x，再代入、，分别得到关于a的不等式求解．
16．某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线.在一天内，A生产线共加工a 吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b 吨原材料，加工时间为（2b+3）小时.第一天，该企业将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的原材料的质量与分配到 B生产线的原材料的质量的比为　 　.第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5 吨原材料后，又给 A生产线分配了m 吨原材料，给B生产线分配了n 吨原材料.若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则mn的值为　 　.
【答案】2：3；
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；一元一次方程的实际应用-调配问题
【解析】【解答】第1空解：设分配到生产线的原材料为吨，则分配到生产线的为吨.
加工时间：
加工时间：
因加工时间相同，列方程：
则生产线分配吨，比例为 .
第2空解：第一天分配后，有吨，有吨。第二天分配吨，分配吨.
加工时间相同：
又因总分配后需满足一天内加工完，且隐含、为合理值，结合比例关系，可得（通过设，则，；或直接由，，但根据方程简化后，实际是通过加工时间等式消去常数项，得到，再结合题目隐含条件，最终 ）.
故答案为： ；.
【分析】第1空：设生产线分配量，用总原材料表示的分配量，根据“加工时间相同”列方程求解，得出分配量后求比例.
第2空：根据第一天分配结果，表示出第二天、的分配量，再利用“加工时间相同”列方程，化简得出、的关系，结合题目条件求出的值.
三、解答题：本大题共7小题，共68分.
17．解下列方程组：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：
②×2-①得：
∴，
把④代入②得：
∴
∴原方程组的解为：
（2）解：
①-6×②得：
把④代入①得：
∴原方程组的解为：
（3）解：
③-①-②得：
把④代入②得：
把和代入①得：
∴原方程组的解为：
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】（1）②×2-①即可求出y的值，再将y的值代入②中，即可解此方程组；
（2）①-6×②即可求出y的值，再将y的值代入①中，即可解此方程组；
（3）③-①-②即可求出y的值，再将y的值代入②中，即可求出x的值，再将x和y的值代入到①中，即可解此方程组.
18．
（1）解下列关于x的方程：
①4x+b= ax-8(a≠4).
②mx-1= nx.
③
（2）a为何值时，方程 有无数多个解 无解
【答案】（1） ① 解：原式=
.
②解：原式=
当时，（唯一解 ）；当时，左边为，右边为，方程无解 .
③解：原方程化为(4m-3)x=4mn+6m，
当 时，原方程有唯一解
当 时，原方程有无数个解；
当 时，原方程无解.
（2）解：原方程整理=
方程变为：
移项：（即 ，因 ，等价变形 ），
①当（即 ），方程为，有无数解；
②当（即 ），方程为非零数，无解 .
【知识点】解一元一次方程
【解析】【分析】（1）通过移项、合并同类项将方程化为“”形式，根据（系数 ）是否为分类讨论：
时，有唯一解，
时，若，方程有无数解；若，方程无解 .
（2）先化简方程，将其整理为“”形式（含参数 ），再根据是否为判断解的情况：
时，方程有无数解，
时，方程无解 .
19．（2023七下·沙坪坝月考）阅读探索：
材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：
解：设，，原方程组可化为
解得，即，解得
材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：
根据上述材料，解决下列问题：
（1）运用换元法解求关于，的方程组：的解；
（2）若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解．
（3）已知、、，满足，试求的值．
【答案】（1）解：设，，
∴原方程可以化为，
用得：，解得，
把代入到①得：，解得，
∴方程组的解为，即，
解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：设，则方程化为：，
即，
解得；
（3）解：方程，
可化为，
将②代入③，得：，
解得．
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）设，，将待求方程组简化，再利用加减消元法求解；
（2）设，将待求方程组化为已知解的方程组，得到关于x，y的方程组求解；
（3）通过消元，消去x与y，求出z．
（1）解：设，，
∴原方程可以化为，
用得：，解得，
把代入到①得：，解得，
∴方程组的解为，即，
解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：设，则方程化为：，
即，
解得；
（3）解：将方程①，变形为，
将方程②代入③得：，解得．
20．（2025七下·泸县月考）阅读与思考
【阅读理解】
我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为．
小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组的解．
解：记，，
，则原方程组的解为
【类比应用】
（1）若二阶行列式，求x的值；
（2）已知方程组利用二阶行列式求得，请求，，并写出该方程组的解．
【答案】（1）解：∵二阶行列式，
∴根据题意，得，
解得：；
（2）解：∵方程组，
∴根据题意，得，，
∵，
∴原方程组的解为.
【知识点】解一元一次方程；解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据题目中二阶行列式的运算法则得到关于的方程，解方程即可求解；
（2）根据题目中二元一次方程组的解法求出的值，然后根据题目中的解法得到该方程组的解.
（1）解：由题意得：，
解得：
（2）解：，
，
则原方程组的解为
21．（2021七下·武义期中）水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
（1）若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节约运费，市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
【答案】（1）解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，得：
，
解得.
答：分别需甲车型8辆，乙车型10辆.
（2）解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得：
，
消去z得5x＋2y＝40，，
因x，y是正整数，且不大于16，得y＝5或10，
由z是正整数，解得
有二种运送方案：
①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；
②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆
【知识点】三元一次方程组解法及应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，根据共120吨水果可得5x+8y=120，根据需运费8200元可得400x+500y=8200，联立求解即可；
（2）设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，根据总辆数为16辆可得x+y+z=16，根据共120吨水果可得5x+8y+10z=120，联立可得x、y的关系式，结合x、y、z为正整数可得运货方案.
22．（2025七下·宁海期中）综合与实践
探究操场跑道的设计与分析
素材 标准田径跑道的设计如右图。 直道长度：84.39米； 跑道数量：8条； 弯道半径：最内圈为36.5米； 跑道宽度：1.22米； 注：由内圈向外圈数，最内圈跑道记为第1道，以此类推，最外圈跑道记为第8道；
任务一 计算第1道跑道的长（实际跑线在分道线外侧，所以跑道长比实际跑线略短）（π取3.14）
任务二 计算第8道与第1道的长度之差.（π取3.14，保留一位小数）
任务三 小明从A点沿第1圈跑道逆时针跑，小方从B点的正上方（垂直于AB）沿第4圈跑道顺时针跑，两人同时出发，21秒后在跑道的CD段相遇，已知小方的速度比小明的速度快1.03米/秒，分别求出小明与小方的速度.（取3，保留两位小数）
【答案】解：任务一：2×36.5×3.14+84.39×2·
=398米
答：第1跑道的长为398米.
任务二：（米）
答：第8道与第1道的长度之差为53.6米.·
任务三：设小方的速度为a米/秒，小明的速度为b米/秒.
小方与小明相遇时，两人的所跑过的路程之和为米.
于是有
解得
答：小方的速度为8.26米/秒，小明的速度为7.23米/秒.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）由图可知，第一跑道实际由左右两个半径为36.5m的半圆以及中间的矩形拼合而成，因此，求出半径为36.5m的圆的周长，再加上2倍直线跑道长84.39m即可；
（2）只需要计算第8跑道与第1跑道的圆周长之差即可；
（3）设小方的速度为a米/秒，小明的速度为米/秒，根据题意列出关于a、b的二元一次方程组并求解即可.
23．（2025七下·温州期中）在月历上，我们可以发现其中某些日期满足一定的规律，某兴趣小组对此进行了活动探究。
探究主题：月历中的数学
初步探究 （1）图1是2025年4月份的月历，用图2所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减，尝试计算：3×17-2×18= ▲ 。
猜测说明 （2）多次尝试可以发现，上述运算结果都是定值。设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式运算的有关知识对上述规律进行说明。
深度探究 （3）在某张月历中，两个“Z”字型框架如图3摆放，若每框中A，E上的数各自相乘，两积之差为360，求a，b的值。
【答案】解：（1）15；（2）∵C 上的数为x，
∴B 上的数为(x-7)，D 上的数为(x+7)，A 上的数为(x-8)，E 上的数为(x+8)，
∴(x-7)(x+7)-(x+8)(x-8)
=x2-49-(x2-64)
=x2 -49-x 2+64
=15。（3）∵两框A，E 上的数各自相乘，其差为360，
∴(b+8)(b-8)-(a+8)(a-8)=b2-a2=(b+a)(b-a)=360。
又∵b-a=12，
∴b+a=30，
∴
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】（1）解：
故答案为： 15；
【分析】(1)计算得到结果，归纳总结即可得到结果；
(2)设“Z”字型框架中位置C上的数为x，则A，B，D，E四个数依次为 ，根据题意列出关系式，去括号合并得到结果，即可证明；
(3)中间位置上的数为a，则最小的数为 最大的数为，根据题意列出关系式，即可求解.
1 / 1第三章《一次方程与方程组》提升卷—沪科版数学七（上）单元测
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．下列式子中，方程的个数是（　　）
；；；；；
A．2 B．3 C．4 D．5
2．下列等式变形：①若x=y，则 ax= ay；②若x=y，则 ③若 ax= ay，则x=y；④若 则x=y.其中正确的有(　　)
A．③④ B．①② C．①④ D．②③
3．（2022七上·罗庄期末）若方程和的解相同，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．
4．（2022七上·城阳期末）为使全国人民都过上幸福的小康生活，近年来各地扶贫办致力于帮扶当地区特色产品走进市民的菜篮子，助力更多优质农产品走出地区、走向全国．已知有一扶贫农产品去年和今年两年的销售总额为180万元，其中该扶贫农产品去年的价格为15元/千克，今年的价格为12元/千克，今年的销售产量比去年增长了25%．今年该扶贫农产品销售（　　）千克．
A．60000 B．75000 C．6000 D．7500
5．（2025七上·临平期末）如图，一块长方形的地面是由4种不同的正方形地板无缝拼接而成的，若长方形的周长为72，则①号正方形的边长为（　　）
A．9 B．12 C．14 D．18
6．（2024七上·海曙期末）若是二元一次方程的一个解，则下列结论错误的是（　　）
A．异号 B．
C． D．满足条件的数对有无数对
7．（2019七上·合肥月考）用加减法解方程组 下列解法错误的是（　　）
A．①×3－②×2，消去x B．①×2－②×3，消去y
C．①×(－3)＋②×2，消去x D．①×2－②×(－3)，消去y
8．解方程组时，一个学生把a看错后得到而正确的解是则a，c，d的值是(　　)
A．不能确定 B．a=3，c=1，d=1
C．c，d不能确定，a=3 D．a=3，c=2，d=-2
9．（2025七下·霞山期末） 小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来的两个加数分别是（　　）
A．21，32 B．12，23 C．31，22 D．41，42
10．程大位是我国明朝商人，珠算发明家.他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法.书中有如下问题：
意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人 下列求解结果正确的是（　　）.
A．大和尚25人，小和尚75人 B．大和尚75人，小和尚25人
C．大和尚50人，小和尚50人 D．大、小和尚各100人
11． 已知某速食店销售的套餐内容为一块鸡排和一杯可乐， 且一份套餐的价钱比单点一块鸡排再单点一杯可乐的总价钱便宜 4 元． 阿俊打算到该速食店买两份套餐， 若他发现店内有单点一块鸡排就再送一块鸡排的促销活动， 且单点一块鸡排再单点两杯可乐的总价钱，比两份套餐的总价钱便宜 1 元， 则根据题意， 下列结论正确的是（　　）
A．一份套餐的价钱为 14 元 B．一份套餐的价钱为 12 元
C．单点一块鸡排的价钱为 9 元 D．单点一块鸡排的价钱为 7 元
12．（2025七下·宁海期中）在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a，宽为b，a>b）搭成如图一个大正方形，面积为64，中间空缺的小正方形的面积为4.下列结论中，正确的有（　　）
①（a-b）2=4； ②ab=15；③a2+b2=34； ④a2-b2=21.
A．①②③ B．0①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果.
13．（2025七下·浙江月考）古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱，九百九十九文钱，甜果苦果买一千．试问甜苦果几个？”该问题意思是：已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了个，苦果买了个，根据题意，可列方程组是　 　．
14．（2024七上·镇海区期末）若是关于x的方程的解，则的值为　 　．
15．（2024八下·宁波期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是　 　
16．某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线.在一天内，A生产线共加工a 吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b 吨原材料，加工时间为（2b+3）小时.第一天，该企业将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的原材料的质量与分配到 B生产线的原材料的质量的比为　 　.第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5 吨原材料后，又给 A生产线分配了m 吨原材料，给B生产线分配了n 吨原材料.若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则mn的值为　 　.
三、解答题：本大题共7小题，共68分.
17．解下列方程组：
（1）
（2）
（3）
18．
（1）解下列关于x的方程：
①4x+b= ax-8(a≠4).
②mx-1= nx.
③
（2）a为何值时，方程 有无数多个解 无解
19．（2023七下·沙坪坝月考）阅读探索：
材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：
解：设，，原方程组可化为
解得，即，解得
材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：
根据上述材料，解决下列问题：
（1）运用换元法解求关于，的方程组：的解；
（2）若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解．
（3）已知、、，满足，试求的值．
20．（2025七下·泸县月考）阅读与思考
【阅读理解】
我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为．
小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组的解．
解：记，，
，则原方程组的解为
【类比应用】
（1）若二阶行列式，求x的值；
（2）已知方程组利用二阶行列式求得，请求，，并写出该方程组的解．
21．（2021七下·武义期中）水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
（1）若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节约运费，市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
22．（2025七下·宁海期中）综合与实践
探究操场跑道的设计与分析
素材 标准田径跑道的设计如右图。 直道长度：84.39米； 跑道数量：8条； 弯道半径：最内圈为36.5米； 跑道宽度：1.22米； 注：由内圈向外圈数，最内圈跑道记为第1道，以此类推，最外圈跑道记为第8道；
任务一 计算第1道跑道的长（实际跑线在分道线外侧，所以跑道长比实际跑线略短）（π取3.14）
任务二 计算第8道与第1道的长度之差.（π取3.14，保留一位小数）
任务三 小明从A点沿第1圈跑道逆时针跑，小方从B点的正上方（垂直于AB）沿第4圈跑道顺时针跑，两人同时出发，21秒后在跑道的CD段相遇，已知小方的速度比小明的速度快1.03米/秒，分别求出小明与小方的速度.（取3，保留两位小数）
23．（2025七下·温州期中）在月历上，我们可以发现其中某些日期满足一定的规律，某兴趣小组对此进行了活动探究。
探究主题：月历中的数学
初步探究 （1）图1是2025年4月份的月历，用图2所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减，尝试计算：3×17-2×18= ▲ 。
猜测说明 （2）多次尝试可以发现，上述运算结果都是定值。设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式运算的有关知识对上述规律进行说明。
深度探究 （3）在某张月历中，两个“Z”字型框架如图3摆放，若每框中A，E上的数各自相乘，两积之差为360，求a，b的值。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】方程的定义及分类
【解析】【解答】解：根据方程的定义进行判断：
①式中不含有未知数，故不满足方程的定义，①式不是方程；
②式中不是等式，故不满足方程的定义，②式不是方程；
③式含有等式，也有未知数，故满足方程的定义，③式是方程；
④式含有等式，也有未知数，故满足方程的定义，④式是方程；
⑤式没有等号，不满足方程的定义，故⑤式不是方程，
所以方程的个数为2，
故答案为：A.
【分析】结合方程的定义：含有未知数的等式叫方程，对每个式进行判断即可.
2．【答案】C
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：①：根据等式的基本性质：等式的两边都乘以同一个数，所得结果仍是等式，
已知x=y，在等式两边同时乘以a，那么就可以得到ax=ay，所以①的变形是正确的；
②：同样依据等式性质，等式两边都除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式，
当x=y时，若要在等式两边同时除以a得到，这里必须满足a≠0这个条件。因为如果a=0，那么和就无意义，所以②的变形只有在a≠0时才正确，该变形不完全正确；
③：由ax=ay，若要在等式两边同时除以a得到x=y，也需要满足a≠0这个条件，
因为当a=0时，无论x、y取何值，ax=ay=0都成立，此时不能得出=y，
所以③的变形只有在a≠0时才正确，该变形不完全正确；
④：根据等式性质，等式两边都乘以同一个数，所得结果仍是等式。
已知，在等式两边同时乘以a，可以得到x=y，所以④的变形是正确的.
故答案为：C .
【分析】根据等式性质对每个等式变形进行分析判断，看其是否正确即可.
3．【答案】A
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次方程
【解析】【解答】解：，
移项，得
5x+3x＝10+6，
合并同类项，得
8x＝16，
解得 x＝2．
把x＝2代入3x-2m＝10，
得3×2-2m＝10．
移项，得
2m＝6-10．
合并同类项，得
2m＝-4，
系数化为1，得
m＝-2．
故答案为：A．
【分析】先求出方程的解为x＝2，再将x＝2代入求出m的值即可。
4．【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设去年该扶贫农产品销售x千克，则今年该扶贫农产品销售千克，
根据题意得：，
解得，
∴，
∴今年该扶贫农产品销售75000千克，
故答案为：B．
【分析】设去年该扶贫农产品销售x千克，则今年该扶贫农产品销售千克，根据题意列出方程，再求解即可。
5．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设④号正方形的边长为，则③号正方形的边长为，
∴②号正方形的边长为，
∴①号正方形的边长为，
∴，
∵长方形的周长为72，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴①号正方形的边长为14，
故答案为：C．
【分析】设④号正方形的边长，即可表示出的长，利用长方形周长公式求出x值即可．
6．【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：是二元一次方程的一个解，
，
A．∵，∴ 当时，，当时，，即a、b异号，结论正确，故A项不符合题意；
B．，，故B项不符合题意；
C．，∴，故C项符合题意；
D．a和b满足，因此满足条件的数对有无数对，故D项不符合题意．
故选：C．
【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义可得3a+b=0，再据此逐一进行判断即可．
7．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】A、 ，可消去x，故不合题意；
B、 ，可消去y，故不合题意；
C、 ，可消去x，故不合题意；
D、 ，得 ，不能消去y，符合题意．
故答案为：D．
【分析】本题考查了加减法解二元一次方程组
用加减法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数．如果系数相等，那么相减消元；如果系数互为相反数，那么相加消元．
8．【答案】B
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组；二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【解答】解：将、分别代入得： ，
解得，
将代入中得：，
解得：，
则，，；
故答案为：B
【分析】根据题意将、分别代入，进而解二元一次方程组，在将代入中求出a，从而即可求解。
9．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设原来原来两个加数分别为x，y则：
解得
故答案为：A .
【分析】原来原来两个加数分别为x，y，根据已知条件列出二元一次方程组，计算即可解答.
10．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设大和尚有人，小和尚有人，
根据条件列方程组：
将第一个方程变形为，代入第二个方程：
则 ，即大和尚人，小和尚人.
故答案为：A .
【分析】通过设大和尚、小和尚人数为未知数，利用“总人数”和“总馒头数”两个条件建立二元一次方程组，求解得出人数.
11．【答案】C
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设一份套餐的价格是x元，单点一块鸡排的价格是y元，单点一杯可乐的价格是z元，依题意列方程组得：
整理方程组得：
①×2+②，得：
y=9.
∴一份鸡排的的价格是9元。
故正确答案选：C.
【分析】根据题意，分别设一份套餐的价格是x元，单点一块鸡排的价格是y元，单点一杯可乐的价格是z元，依题意列方程组得：通过分析，可以消x、z，求出y的值，即y=9.所以可以得到一份鸡排的的价格是9元。
12．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：小正方形边长为，面积为4，故有，①正确.
大正方形边长为，面积为64，故有.
因为a、b必然为正数，且已知，于是有，解得.
所以，②正确；
，③正确；
，③不正确.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件、图片，可得到关于a、b的二元一次方程组，求出a、b具体值并验证各结论即可.
13．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得， ，
故答案为：．
【分析】
根据九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个可得，根据十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果可得，然后即可写出相应的方程组．
14．【答案】11
【知识点】估计方程的解；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是关于的方程的解，
故答案为：11．
【分析】由题意，将代入方程得，再将所求代数式变形得原式=2（3a-2b）+5，然后整体代换即可求解．
15．【答案】或
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；解一元一次不等式组；分类讨论
【解析】【解答】解：当时，
，
解得：，
∴，解得；
当时，
，
解得：，
∴，解得或，
综上所述，或
故答案为：或．
【分析】分“”、“”两种情况，分别用a表示出x，再代入、，分别得到关于a的不等式求解．
16．【答案】2：3；
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；一元一次方程的实际应用-调配问题
【解析】【解答】第1空解：设分配到生产线的原材料为吨，则分配到生产线的为吨.
加工时间：
加工时间：
因加工时间相同，列方程：
则生产线分配吨，比例为 .
第2空解：第一天分配后，有吨，有吨。第二天分配吨，分配吨.
加工时间相同：
又因总分配后需满足一天内加工完，且隐含、为合理值，结合比例关系，可得（通过设，则，；或直接由，，但根据方程简化后，实际是通过加工时间等式消去常数项，得到，再结合题目隐含条件，最终 ）.
故答案为： ；.
【分析】第1空：设生产线分配量，用总原材料表示的分配量，根据“加工时间相同”列方程求解，得出分配量后求比例.
第2空：根据第一天分配结果，表示出第二天、的分配量，再利用“加工时间相同”列方程，化简得出、的关系，结合题目条件求出的值.
17．【答案】（1）解：
②×2-①得：
∴，
把④代入②得：
∴
∴原方程组的解为：
（2）解：
①-6×②得：
把④代入①得：
∴原方程组的解为：
（3）解：
③-①-②得：
把④代入②得：
把和代入①得：
∴原方程组的解为：
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】（1）②×2-①即可求出y的值，再将y的值代入②中，即可解此方程组；
（2）①-6×②即可求出y的值，再将y的值代入①中，即可解此方程组；
（3）③-①-②即可求出y的值，再将y的值代入②中，即可求出x的值，再将x和y的值代入到①中，即可解此方程组.
18．【答案】（1） ① 解：原式=
.
②解：原式=
当时，（唯一解 ）；当时，左边为，右边为，方程无解 .
③解：原方程化为(4m-3)x=4mn+6m，
当 时，原方程有唯一解
当 时，原方程有无数个解；
当 时，原方程无解.
（2）解：原方程整理=
方程变为：
移项：（即 ，因 ，等价变形 ），
①当（即 ），方程为，有无数解；
②当（即 ），方程为非零数，无解 .
【知识点】解一元一次方程
【解析】【分析】（1）通过移项、合并同类项将方程化为“”形式，根据（系数 ）是否为分类讨论：
时，有唯一解，
时，若，方程有无数解；若，方程无解 .
（2）先化简方程，将其整理为“”形式（含参数 ），再根据是否为判断解的情况：
时，方程有无数解，
时，方程无解 .
19．【答案】（1）解：设，，
∴原方程可以化为，
用得：，解得，
把代入到①得：，解得，
∴方程组的解为，即，
解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：设，则方程化为：，
即，
解得；
（3）解：方程，
可化为，
将②代入③，得：，
解得．
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）设，，将待求方程组简化，再利用加减消元法求解；
（2）设，将待求方程组化为已知解的方程组，得到关于x，y的方程组求解；
（3）通过消元，消去x与y，求出z．
（1）解：设，，
∴原方程可以化为，
用得：，解得，
把代入到①得：，解得，
∴方程组的解为，即，
解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：设，则方程化为：，
即，
解得；
（3）解：将方程①，变形为，
将方程②代入③得：，解得．
20．【答案】（1）解：∵二阶行列式，
∴根据题意，得，
解得：；
（2）解：∵方程组，
∴根据题意，得，，
∵，
∴原方程组的解为.
【知识点】解一元一次方程；解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据题目中二阶行列式的运算法则得到关于的方程，解方程即可求解；
（2）根据题目中二元一次方程组的解法求出的值，然后根据题目中的解法得到该方程组的解.
（1）解：由题意得：，
解得：
（2）解：，
，
则原方程组的解为
21．【答案】（1）解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，得：
，
解得.
答：分别需甲车型8辆，乙车型10辆.
（2）解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得：
，
消去z得5x＋2y＝40，，
因x，y是正整数，且不大于16，得y＝5或10，
由z是正整数，解得
有二种运送方案：
①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；
②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆
【知识点】三元一次方程组解法及应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，根据共120吨水果可得5x+8y=120，根据需运费8200元可得400x+500y=8200，联立求解即可；
（2）设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，根据总辆数为16辆可得x+y+z=16，根据共120吨水果可得5x+8y+10z=120，联立可得x、y的关系式，结合x、y、z为正整数可得运货方案.
22．【答案】解：任务一：2×36.5×3.14+84.39×2·
=398米
答：第1跑道的长为398米.
任务二：（米）
答：第8道与第1道的长度之差为53.6米.·
任务三：设小方的速度为a米/秒，小明的速度为b米/秒.
小方与小明相遇时，两人的所跑过的路程之和为米.
于是有
解得
答：小方的速度为8.26米/秒，小明的速度为7.23米/秒.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）由图可知，第一跑道实际由左右两个半径为36.5m的半圆以及中间的矩形拼合而成，因此，求出半径为36.5m的圆的周长，再加上2倍直线跑道长84.39m即可；
（2）只需要计算第8跑道与第1跑道的圆周长之差即可；
（3）设小方的速度为a米/秒，小明的速度为米/秒，根据题意列出关于a、b的二元一次方程组并求解即可.
23．【答案】解：（1）15；（2）∵C 上的数为x，
∴B 上的数为(x-7)，D 上的数为(x+7)，A 上的数为(x-8)，E 上的数为(x+8)，
∴(x-7)(x+7)-(x+8)(x-8)
=x2-49-(x2-64)
=x2 -49-x 2+64
=15。（3）∵两框A，E 上的数各自相乘，其差为360，
∴(b+8)(b-8)-(a+8)(a-8)=b2-a2=(b+a)(b-a)=360。
又∵b-a=12，
∴b+a=30，
∴
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】（1）解：
故答案为： 15；
【分析】(1)计算得到结果，归纳总结即可得到结果；
(2)设“Z”字型框架中位置C上的数为x，则A，B，D，E四个数依次为 ，根据题意列出关系式，去括号合并得到结果，即可证明；
(3)中间位置上的数为a，则最小的数为 最大的数为，根据题意列出关系式，即可求解.
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