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第二课时　等差数列的性质
1.已知p＝，q＝－2，则p，q的等差中项为（　　）
A.　 B.
C.2 D.4
2.已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m＝（　　）
A.8 B.4
C.6 D.12
3.已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a13＋a14＝77，则公差d＝（　　）
A.1 B.
C. D.
4.已知等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋（a4＋a6）x＋10＝0（　　）
A.无实根 B.有两个相等的实根
C.有两个不等的实根 D.不能确定有无实根
5.（多选）下列命题中，正确的是（　　）
A.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
B.若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
6.（多选）已知单调递增的等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则下列各式一定成立的有（　　）
A.a1＋a101＞0 B.a2＋a100＝0
C.a3＋a100≤0 D.a51＝0
7.在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝　　　　.
8.若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴交点的个数为　　　　.
9.已知数列{an}为等差数列，若a2＋a6＋a10＝，则tan（a3＋a9）＝　　　　.
10.（1）已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8的值；
（2）设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值.
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为，则b＝（　　）
A.1＋ B.2＋
C. D.
12.（多选）如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则（　　）
A.a3a6＞a4a5 B.a3a6＜a4a5
C.a3＋a6＝a4＋a5 D.a3a6＝a4a5
13.已知两个等差数列{an}：5，8，11，…与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝　　　　；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是　　　　.
14.已知无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝5，依次取出项数能被4除余3的项组成数列{bn}.
（1）求b1和b2；
（2）求{bn}的通项公式；
（3）{bn}中的第503项是{an}中的第几项？
15.在数列{an}中，若－＝p（n≥2，n∈N＋，p为常数），则称{an}为“等方差数列”.给出下列命题：
①数列{（－1）n}是“等方差数列”；
②若{an}是“等方差数列”，则{}是等差数列；
③若{an}是“等方差数列”，则{akn}（k∈N＋，k为常数）也是“等方差数列”；
④若{an}既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列为常数列.
其中正确命题的序号为　　　　.
16.有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？
第二课时　等差数列的性质
1.B　设p，q的等差中项为a，则有2a＝p＋q＝＋－2＝2，所以a＝，即p，q的等差中项为.故选B.
2.A　因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.
3.D　因为a4＋a7＋a10＝3a7＝17，所以a7＝.因为a4＋a5＋…＋a14＝11a9＝77，所以a9＝7，所以公差d＝＝.
4.A　因为a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a2＋a5＋a8＝3a5＝9，所以a5＝3，则方程为x2＋6x＋10＝0，因为Δ＝62－4×10＝－4＜0，所以方程无实根.
5.AC　A项中，∵a，b，c为等差数列，∴2b＝a＋c，∴2·（2b）＝2a＋2c，∴2a，2b，2c成等差数列，故A正确.C项中，∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴2（b＋2）＝（a＋2）＋（c＋2），∴a＋2，b＋2，c＋2成等差数列，故C正确；由a，b，c成等差数列，而2b＝a＋c推不出2log2b＝log2a＋log2c，也推不出2×2b＝2a＋2c.故B、D均不正确.
6.BD　设等差数列{an}的公差为d，易知d＞0，∵等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，且a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，∴a1＋a2＋a3＋…＋a101＝（a1＋a101）＋（a2＋a100）＋…＋（a50＋a52）＋a51＝101a51＝0，∴a51＝0，a1＋a101＝a2＋a100＝2a51＝0，故B、D正确，A错误.又∵a51＝a1＋50d＝0，∴a1＝－50d，∴a3＋a100＝（a1＋2d）＋（a1＋99d）＝2a1＋101d＝2×（－50d）＋101d＝d＞0，故C错误.
7.180　解析：由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.
8.1或2　解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴Δ＝4b2－4ac＝（a＋c）2－4ac＝（a－c）2≥0.故二次函数图象与x轴交点的个数为1或2.
9.　解析：因为数列{an}为等差数列，a2＋a6＋a10＝，所以a2＋a6＋a10＝3a6＝，解得a6＝，所以a3＋a9＝2a6＝，所以tan（a3＋a9）＝tan ＝.
10.解：（1）法一　根据等差数列的性质a2＋a10＝a4＋a8＝2a6，由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，解得a6＝，∴a4＋a8＝2a6＝.
法二　设公差为d，根据等差数列的通项公式，
得a2＋a6＋a10＝（a1＋d）＋（a1＋5d）＋（a1＋9d）＝3a1＋15d，由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝.
∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2（a1＋5d）＝.
（2）设公差为d，∵a1＋a3＝2a2，
∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，∴a2＝5.
又a1a2a3＝80，{an}是公差为正数的等差数列，
∴a1a3＝（5－d）（5＋d）＝16 d＝3或d＝－3（舍去），
∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.
11.A　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝（a＋c）2－2ac－2accos B　①，又S△ABC＝acsin B＝ac＝，∴ac＝6　②.∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b　③，将②③代入①得b2＝4b2－12－6，化简整理得b2＝4＋2，解得b＝1＋（负值已舍去）.
12.BC　由通项公式，得a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，那么a3＋a6＝2a1＋7d，a3a6＝（a1＋2d）（a1＋5d）＝＋7a1d＋10d2，同理a4＋a5＝2a1＋7d，a4a5＝＋7a1d＋12d2，显然a3a6－a4a5＝－2d2＜0，故选B、C.
13.12n－1　25　解析：由于数列{an}和{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12（n－1）＝12n－1.又a100＝302，b100＝399，由解得1≤n≤25.故{cn}的项数为25.
14.解：（1）∵a1＝3，d＝5，
∴an＝3＋5（n－1）＝5n－2.
数列{an}中项数被4除余3的项是{an}中的第1项，第5项，第9项，…，
∴b1＝a1＝3，b2＝a5＝23.
（2）设{an}中的第m项是{bn}中的第n项，即bn＝am，
则m＝1＋4（n－1）＝4n－3，
∴bn＝am＝a4n－3＝5（4n－3）－2＝20n－17.
即{bn}的通项公式为bn＝20n－17.
（3）b503＝20×503－17＝10 043，
设它是{an}的第s项，则as＝5s－2＝10 043，解得s＝2 009，即{bn}中的第503项是{an}中的第2 009项.
15.①②③④　解析：对于①，因为[（－1）n]2－[（－1）n－1]2＝0，所以{（－1）n}是“等方差数列”；对于②，根据“等方差数列”和等差数列的定义，易得{}是等差数列；对于③，设－＝p，当n≥2，n∈N＋时，－＝－＋－＋…＋－＝kp，为常数，故{akn}为“等方差数列”；对于④，数列{an}满足－＝p，an－an－1＝d（p，d为常数，d为数列{an}的公差，n≥2，n∈N＋），若d＝0，则{an}为常数列.若d≠0，则两式相除得an＋an－1＝（n≥2，n∈N＋），所以an＝，为常数，即{an}为常数列.
16.解：设某单位需购买电视机n台.
在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{an}，
an＝780＋（n－1）×（－20）＝－20n＋800，
由an＝－20n＋800≥440，得n≤18，
即购买台数不超过18台时，每台售价（800－20n）元；
购买台数超过18台时，每台售价440元.
到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600（元）.
比较在甲、乙两家家电商场的费用：
（800－20n）n－600n＝20n（10－n）.
当n＜10时，（800－20n）n＞600n，到乙商场购买花费较少；
当n＝10时，（800－20n）n＝600n，到甲、乙商场购买花费相同；
当10＜n≤18时，（800－20n）n＜600n，到甲商场购买花费较少；
当n＞18时，440n＜600n，到甲商场购买花费较少.
因此，当购买电视机少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机多于10台时，到甲商场购买花费较少.
2 / 2第二课时　等差数列的性质
新课程标准解读 核心素养
1.掌握等差数列的通项与一次函数的关系 数学抽象
2.掌握并应用等差中项 数学运算
3.了解等差数列的性质及应用 数学运算
如图，从下面数第一层有一个球，第二层有2个球，最上层有16个球.
【问题】　（1）从上面数第二层有几个球？
（2）每隔一层的球数有什么规律？每隔二层呢？
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　等差数列的通项公式与一次函数的关系
1.等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d，当d＝0时，an是一个固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点（n，an）分布在以　　　　为斜率的直线上，是这条直线上的一些等间隔的点.
2.等差数列的单调性
当d＞0时，数列{an}为　　　　数列；
当d＝0时，数列{an}为　　　数列；
当d＜0时，数列{an}为　　　　数列.
提醒　通过对比等差数列和一次函数的异同，可以看出等差数列的性质实际上是一次函数性质的直接反映，因此研究等差数列的性质，可以回归到对一次函数性质的研究.
【想一想】
由an＝a1＋（n－1）d可得d＝，你能联系直线的斜率解释一下这个式子的几何意义吗？
知识点二　等差中项
如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作 　　　　　　　.即A＝　　　　.
提醒　对等差中项的再理解：①任意两个实数都有唯一一个等差中项；②应用等差中项法也可证明一个数列为等差数列，即2an＝an－1＋an＋1（n≥2） {an}为等差数列.
知识点三　等差数列的性质
1.等差数列通项公式的推广
通项公式 通项公式的推广
an＝a1＋（n－1）d （揭示首末两项的关系） an＝am＋（n－m）d （揭示任意两项之间的关系）
2.等差数列的性质
（1）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N＋），则ak＋al＝am＋an；
（2）若{an}是公差为d的等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N＋）组成公差为md的等差数列；
（3）在等差数列{an}中，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap（m，n，p∈N＋），ap为am和an的等差中项.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9.（　　）
（2）若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列.（　　）
（3）若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3…也是等差数列.（　　）
（4）若数列{an}为等差数列，则an＋1＝an－1＋2d，n＞1，且n∈N＋.（　　）
2.若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为（　　）
A.26　　　　 　　　　 B.29
C.39 D.52
3.在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10＝　　　　.
题型一 等差数列的函数特性
【例1】　画出数列an＝的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
　　等差数列{an}的通项公式为an＝dn＋b，那么数列{an}上任一有序数对（n，an）对应的点都在直线y＝dx＋b上，且数列{an}的公差d等于该直线的斜率.
【跟踪训练】
已知等差数列{an}的前三项依次为a＋1，a－1，2a＋3，求：
（1）数列的通项公式；
（2）判断数列{an}的增减性.
题型二 等差中项的应用
【例2】　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
　　由等差数列的定义知an＋1－an＝an－an－1（n≥2，n∈N＋），即2an＝an－1＋an＋1，从而由等差中项的定义可知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.在求等差数列的项时，可利用上述性质.
【跟踪训练】
若a＝，b＝，则a，b的等差中项为（　　）
A.　 　B.　 　C.　 　D.
题型三 等差数列性质的应用
【例3】　（1）已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15＝（　　）
A.7 B.14
C.21 D.7（n－1）
（2）已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为（　　）
A.0 B.37 C.100 D.－37
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
等差数列运算的两种常用方法及思路
（1）基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程（组），确定a1，d的值，然后求其他量；
（2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r（m，n，p，q，r∈N＋），则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
【跟踪训练】
1.数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6（a5＋a7＋a9）＝（　　）
A.－2　　　　　　　　 B.－
C.2 D.
2.设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝　　　　.
题型四 等差数列的实际应用
【例4】　《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，最上面4节的容积共3升，最下面3节的容积共4升，则从上往下数，第5节的容积为（　　）
A.1升 B.升
C.升 D.升
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
1.解答数列实际应用问题的基本步骤
2.在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题.
【跟踪训练】
假设某市2022年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房的面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在　　　　年新建住房的面积开始大于820万平方米.
1.在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5＝（　　）
A.5 B.6
C.8 D.10
2.已知数列{an}是等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P（3，a3），Q（5，a5）的直线斜率为（　　）
A.4 B.
C.－4 D.－
3.由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an，…组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是（　　）
A.新数列不是等差数列
B.新数列是公差为d的等差数列
C.新数列是公差为2d的等差数列
D.新数列是公差为3d的等差数列
4.已知数列{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d＝　　　　.
5.在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，则4 km高度的气温是　　　　℃.
第二课时　等差数列的性质
【基础知识·重落实】
知识点一
1.公差d　2.递增　常　递减
想一想
　提示：等差数列的通项公式可以变形为an＝nd＋（a1－d），当d≠0时，是关于n的一次函数，d为斜率，故过两点（1，a1），（n，an）直线的斜率d＝.
知识点二
a与b的等差中项　
自我诊断
1.（1）×　（2）√　（3）×　（4）√
2.C　因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y是x，z的等差中项，也是5，21的等差中项，所以x＋z＝2y，5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39.
3.30　解析：∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，
∴a8＝30.∴2a9－a10＝（a8＋a10）－a10＝a8＝30.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：数列{an}是首项为18，公差为－3的等差数列，
图象如图.通过图象上所有点的直线的斜率k＝－3.
跟踪训练
　解：（1）∵a＋1，a－1，2a＋3是等差数列{an}的前三项，
∴2（a－1）＝（a＋1）＋（2a＋3），解得a＝－6，
∴a1＝－5，a2＝－7，a3＝－9，
∴d＝－2，∴an＝－5－2（n－1）＝－2n－3.
（2）由（1）知d＝－2＜0.∴{an}为递减数列.
【例2】　解：∵－1，a，b，c，7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，∴b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.
∴该数列为－1，1，3，5，7.
跟踪训练
　A　由题知a，b的等差中项为（ ＋）＝（－＋＋）＝.
【例3】　（1）B　（2）C　解析：（1）因为a1－a9＋a17＝（a1＋a17）－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14.
（2）设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则（an＋1＋bn＋1）－（an＋bn）＝（an＋1－an）＋（bn＋1－bn）＝d1＋d2，所以数列{an＋bn}仍然是等差数列.又d1＋d2＝（a2＋b2）－（a1＋b1）＝100－（25＋75）＝0，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100.
跟踪训练
1.C　由3＋an＝an＋1，得an＋1－an＝3.所以{an}是公差为3的等差数列.又a2＋a4＋a6＝9，且a2＋a6＝2a4，所以3a4＝9，则a4＝3，所以a7＝a4＋3d＝3＋3×3＝12，故log6（a5＋a7＋a9）＝log6（3a7）＝log636＝2.
2.35　解析：因为数列{an}，{bn}都是等差数列，所以数列{an＋bn}也构成等差数列，所以2（a3＋b3）＝（a1＋b1）＋（a5＋b5），所以2×21＝7＋a5＋b5，所以a5＋b5＝35.
【例4】　B　设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则即解得则a5＝a1＋4d＝，故第5节的容积为升.
跟踪训练
　2031　解析：设2023年为第1年，第n年该市新建住房的面积为an万平方米.由题意，得{an}是等差数列，首项a1＝450，公差d＝50，所以an＝a1＋（n－1）d＝50n＋400.令50n＋400＞820，解得n＞.由于n∈N＋，则n≥9.所以该市在2031年新建住房的面积开始大于820万平方米.
随堂检测
1.A　由a1＋a9＝2a5＝10得a5＝5，故选A.
2.A　由数列{an}是等差数列，知an是关于n的“一次函数”，其图象是一条直线上的等间隔的点（n，an），因此过点P（3，a3），Q（5，a5）的直线斜率即过点（4，15），（7，27）的直线斜率，所以所求直线的斜率k＝＝4.
3.C　因为（an＋1＋an＋3）－（an＋an＋2）＝（an＋1－an）＋（an＋3－an＋2）＝2d，所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列.
4.1　解析：∵{an}是等差数列，∴a2－a1＝d，a3－a2＝d，两式相加得a3－a1＝2d，又a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，∴a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减可得a3－a1＝4－2，则2d＝4－2，解得d＝1.
5.－11　解析：用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n.∴a4＝－11.
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第二课时　
等差数列的性质
新课程标准解读 核心素养
1.掌握等差数列的通项与一次函数的关系 数学抽象
2.掌握并应用等差中项 数学运算
3.了解等差数列的性质及应用 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图，从下面数第一层有一个球，第二层有2个球，最上层有16个球.
【问题】　（1）从上面数第二层有几个球？
（2）每隔一层的球数有什么规律？每隔二层呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知识点一　等差数列的通项公式与一次函数的关系
1. 等差数列的通项公式 an ＝ a1＋（ n －1） d ，当 d ＝0时， an 是一个
固定常数；当 d ≠0时， an 相应的函数是一次函数；点（ n ， an ）
分布在以 为斜率的直线上，是这条直线上的一些等间隔
的点.
公差 d 　
2. 等差数列的单调性
当 d ＞0时，数列{ an }为 数列；
当 d ＝0时，数列{ an }为 数列；
当 d ＜0时，数列{ an }为 数列.
提醒　通过对比等差数列和一次函数的异同，可以看出等差数列的
性质实际上是一次函数性质的直接反映，因此研究等差数列的性
质，可以回归到对一次函数性质的研究.
递增　
常　
递减　
【想一想】
由 an ＝ a1＋（ n －1） d 可得 d ＝ ，你能联系直线的斜率解释一
下这个式子的几何意义吗？
提示：等差数列的通项公式可以变形为 an ＝ nd ＋（ a1－ d ），当 d ≠0
时，是关于 n 的一次函数， d 为斜率，故过两点（1， a1），（ n ，
an ）直线的斜率 d ＝ .
知识点二　等差中项

提醒　对等差中项的再理解：①任意两个实数都有唯一一个等差中
项；②应用等差中项法也可证明一个数列为等差数列，即2 an ＝ an－1
＋ an＋1（ n ≥2） { an }为等差数列.
a 与 b 的等差中项　
　
知识点三　等差数列的性质
1. 等差数列通项公式的推广
通项公式 通项公式的推广
an ＝ a1＋（ n －1） d （揭示首末两项的关系） an ＝ am ＋（ n － m ） d
（揭示任意两项之间的关系）
2. 等差数列的性质
（1）若{ an }为等差数列，且 k ＋ l ＝ m ＋ n （ k ， l ， m ， n ∈N
＋），则 ak ＋ al ＝ am ＋ an ；
（2）若{ an }是公差为 d 的等差数列，则 ak ， ak＋ m ， ak＋2 m ，…
（ k ， m ∈N＋）组成公差为 md 的等差数列；
（3）在等差数列{ an }中，若 m ＋ n ＝2 p ，则 am ＋ an ＝2 ap （ m ，
n ， p ∈N＋）， ap 为 am 和 an 的等差中项.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）等差数列{ an }中，必有 a10＝ a1＋ a9. （　×　）
（2）若数列 a1， a2， a3， a4，…是等差数列，则数列 a1， a3，
a5，…也是等差数列. （　√　）
（3）若数列 a1， a3， a5，…和 a2， a4， a6…都是公差为 d 的等差数
列，则 a1， a2， a3…也是等差数列. （　×　）
（4）若数列{ an }为等差数列，则 an＋1＝ an－1＋2 d ， n ＞1，且 n
∈N＋. （　√　）
×
√
×
√
2. 若5， x ， y ， z ，21成等差数列，则 x ＋ y ＋ z 的值为（　　）
A. 26 B. 29
C. 39 D. 52
解析： 　因为5， x ， y ， z ，21成等差数列，所以 y 是 x ， z 的等
差中项，也是5，21的等差中项，所以 x ＋ z ＝2 y ，5＋21＝2 y ，所
以 y ＝13， x ＋ z ＝26，所以 x ＋ y ＋ z ＝39.
3. 在等差数列{ an }中，已知 a2＋2 a8＋ a14＝120，则2 a9－ a10
＝ .
解析：∵ a2＋ a14＝2 a8，∴ a2＋2 a8＋ a14＝4 a8＝120，
∴ a8＝30.∴2 a9－ a10＝（ a8＋ a10）－ a10＝ a8＝30.
30
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 等差数列的函数特性
【例1】　画出数列 an ＝的图象，并求通过图象
上所有点的直线的斜率.
解：数列{ an }是首项为18，公差为－3的等差数
列，
图象如图.通过图象上所有点的直线的斜率 k ＝－
3.
通性通法
　　等差数列{ an }的通项公式为 an ＝ dn ＋ b ，那么数列{ an }上任一有
序数对（ n ， an ）对应的点都在直线 y ＝ dx ＋ b 上，且数列{ an }的公
差 d 等于该直线的斜率.
【跟踪训练】
已知等差数列{ an }的前三项依次为 a ＋1， a －1，2 a ＋3，求：
（1）数列的通项公式；
解： ∵ a ＋1， a －1，2 a ＋3是等差数列{ an }的前三项，
∴2（ a －1）＝（ a ＋1）＋（2 a ＋3），
解得 a ＝－6，
∴ a1＝－5， a2＝－7， a3＝－9，
∴ d ＝－2，∴ an ＝－5－2（ n －1）＝－2 n －3.
（2）判断数列{ an }的增减性.
解： 由（1）知 d ＝－2＜0.
∴{ an }为递减数列.
题型二 等差中项的应用
【例2】　在－1与7之间顺次插入三个数 a ， b ， c ，使这五个数成等
差数列，求此数列.
解：∵－1， a ， b ， c ，7成等差数列，
∴ b 是－1与7的等差中项，∴ b ＝ ＝3.
又 a 是－1与3的等差中项，∴ a ＝ ＝1.
又 c 是3与7的等差中项，∴ c ＝ ＝5.
∴该数列为－1，1，3，5，7.
通性通法
　　由等差数列的定义知 an＋1－ an ＝ an － an－1（ n ≥2， n ∈N＋），
即2 an ＝ an－1＋ an＋1，从而由等差中项的定义可知，等差数列从第2项
起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.在求等差数列的项
时，可利用上述性质.
【跟踪训练】
若 a ＝ ， b ＝ ，则 a ， b 的等差中项为（　　）
解析： 　由题知 a ， b 的等差中项为 （ ＋ ）＝ （
－ ＋ ＋ ）＝ .
题型三 等差数列性质的应用
【例3】　（1）已知数列{ an }是等差数列，若 a1－ a9＋ a17＝7，则 a3
＋ a15＝（　B　）
A. 7 B. 14
C. 21 D. 7（ n －1）
B
解析： 因为 a1－ a9＋ a17＝（ a1＋ a17）－ a9＝2 a9－ a9＝ a9
＝7，所以 a3＋ a15＝2 a9＝2×7＝14.
（2）已知数列{ an }，{ bn }都是等差数列，且 a1＝25， b1＝75， a2＋
b2＝100，那么数列{ an ＋ bn }的第37项为（　C　）
A. 0 B. 37
C. 100 D. －37
C
解析：设等差数列{ an }，{ bn }的公差分别为 d1， d2，则（ an＋1＋
bn＋1）－（ an ＋ bn ）＝（ an＋1－ an ）＋（ bn＋1－ bn ）＝ d1＋
d2，所以数列{ an ＋ bn }仍然是等差数列.又 d1＋ d2＝（ a2＋ b2）
－（ a1＋ b1）＝100－（25＋75）＝0，所以 a37＋ b37＝ a1＋ b1＝
100.
通性通法
等差数列运算的两种常用方法及思路
（1）基本量法：根据已知条件，列出关于 a1， d 的方程（组），确定
a1， d 的值，然后求其他量；
（2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足 m ＋ n ＝ p ＋ q
＝2 r （ m ， n ， p ， q ， r ∈N＋），则 am ＋ an ＝ ap ＋ aq ＝2 ar .
【跟踪训练】
1. 数列{ an }满足3＋ an ＝ an＋1且 a2＋ a4＋ a6＝9，则log6（ a5＋ a7＋
a9）＝（　　）
A. －2
C. 2
解析： 　由3＋ an ＝ an＋1，得 an＋1－ an ＝3.所以{ an }是公差为3的
等差数列.又 a2＋ a4＋ a6＝9，且 a2＋ a6＝2 a4，所以3 a4＝9，则 a4
＝3，所以 a7＝ a4＋3 d ＝3＋3×3＝12，故log6（ a5＋ a7＋ a9）＝
log6（3 a7）＝log636＝2.
2. 设数列{ an }，{ bn }都是等差数列，若 a1＋ b1＝7， a3＋ b3＝21，则
a5＋ b5＝ .
解析：因为数列{ an }，{ bn }都是等差数列，所以数列{ an ＋ bn }也
构成等差数列，所以2（ a3＋ b3）＝（ a1＋ b1）＋（ a5＋ b5），所
以2×21＝7＋ a5＋ b5，所以 a5＋ b5＝35.
35
题型四 等差数列的实际应用
【例4】　《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上
而下各节的容积成等差数列，最上面4节的容积共3升，最下面3节的
容积共4升，则从上往下数，第5节的容积为（　　）
A. 1升
解析： 　设所构成的等差数列{ an }的首项为 a1，公差为 d ，则
即解得则 a5＝ a1
＋4 d ＝ ，故第5节的容积为 升.
通性通法
1. 解答数列实际应用问题的基本步骤
2. 在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关
键问题.
【跟踪训练】
假设某市2022年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该
市每年新建住房的面积均比上一年增加50万平方米.那么该市
在 年新建住房的面积开始大于820万平方米.
解析：设2023年为第1年，第 n 年该市新建住房的面积为 an 万平方米.
由题意，得{ an }是等差数列，首项 a1＝450，公差 d ＝50，所以 an ＝
a1＋（ n －1） d ＝50 n ＋400.令50 n ＋400＞820，解得 n ＞ .由于 n
∈N＋，则 n ≥9.所以该市在2031年新建住房的面积开始大于820万平
方米.
2031
1. 在等差数列{ an }中， a1＋ a9＝10，则 a5＝（　　）
A. 5 B. 6
C. 8 D. 10
解析： 　由 a1＋ a9＝2 a5＝10得 a5＝5，故选A.
2. 已知数列{ an }是等差数列， a4＝15， a7＝27，则过点 P （3，
a3）， Q （5， a5）的直线斜率为（　　）
A. 4
C. －4
解析： 　由数列{ an }是等差数列，知 an 是关于 n 的“一次函
数”，其图象是一条直线上的等间隔的点（ n ， an ），因此过点 P
（3， a3）， Q （5， a5）的直线斜率即过点（4，15），（7，27）
的直线斜率，所以所求直线的斜率 k ＝ ＝4.
3. 由公差 d ≠0的等差数列 a1， a2，…， an ，…组成一个新的数列 a1
＋ a3， a2＋ a4， a3＋ a5，…，下列说法正确的是（　　）
A. 新数列不是等差数列
B. 新数列是公差为 d 的等差数列
C. 新数列是公差为2 d 的等差数列
D. 新数列是公差为3 d 的等差数列
解析： 因为（ an＋1＋ an＋3）－（ an ＋ an＋2）＝（ an＋1－ an ）＋
（ an＋3－ an＋2）＝2 d ，所以数列 a1＋ a3， a2＋ a4， a3＋ a5，…是公
差为2 d 的等差数列.
4. 已知数列{ an }是等差数列， a1与 a2的等差中项为1， a2与 a3的等差
中项为2，则公差 d ＝ .
解析：∵{ an }是等差数列，
∴ a2－ a1＝ d ， a3－ a2＝ d ，两式相加得 a3－ a1＝2 d ，又 a1与 a2的
等差中项为1， a2与 a3的等差中项为2，
∴ a1＋ a2＝2， a2＋ a3＝4，两式相减可得 a3－ a1＝4－2，则2 d ＝4
－2，解得 d ＝1.
1
5. 在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下
降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气
温是－17.5 ℃，则4 km高度的气温是 ℃.
解析：用{ an }表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则 a1＝
8.5， a5＝－17.5，
由 a5＝ a1＋4 d ＝8.5＋4 d ＝－17.5，
解得 d ＝－6.5，
∴ an ＝15－6.5 n .∴ a4＝－11.
－11
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知 p ＝ ， q ＝ －2，则 p ， q 的等差中项为（　　）
C. 2 D. 4
解析： 　设 p ， q 的等差中项为 a ，则有2 a ＝ p ＋ q ＝ ＋
－2＝2 ，所以 a ＝ ，即 p ， q 的等差中项为 .故选B.
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2. 已知等差数列{ an }的公差为 d （ d ≠0），且 a3＋ a6＋ a10＋ a13＝
32，若 am ＝8，则 m ＝（　　）
A. 8 B. 4 C. 6 D. 12
解析： 　因为 a3＋ a6＋ a10＋ a13＝4 a8＝32，所以 a8＝8，即 m
＝8.
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3. 已知数列{ an }是等差数列，若 a4＋ a7＋ a10＝17， a4＋ a5＋ a6＋…
＋ a13＋ a14＝77，则公差 d ＝（　　）
A. 1
解析： 　因为 a4＋ a7＋ a10＝3 a7＝17，所以 a7＝ .因为 a4＋ a5
＋…＋ a14＝11 a9＝77，所以 a9＝7，所以公差 d ＝ ＝ .
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4. 已知等差数列{ an }中， a2＋ a5＋ a8＝9，那么关于 x 的方程 x2＋（ a4
＋ a6） x ＋10＝0（　　）
A. 无实根 B. 有两个相等的实根
C. 有两个不等的实根 D. 不能确定有无实根
解析： 　因为 a4＋ a6＝ a2＋ a8＝2 a5， a2＋ a5＋ a8＝3 a5＝9，所以
a5＝3，则方程为 x2＋6 x ＋10＝0，因为Δ＝62－4×10＝－4＜0，所
以方程无实根.
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5. （多选）下列命题中，正确的是（　　）
A. 若 a ， b ， c 成等差数列，则2 a ，2 b ，2 c 成等差数列
B. 若 a ， b ， c 成等差数列，则log2 a ，log2 b ，log2 c 成等差数列
C. 若 a ， b ， c 成等差数列，则 a ＋2， b ＋2， c ＋2成等差数列
D. 若 a ， b ， c 成等差数列，则2 a ，2 b ，2 c 成等差数列
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解析： 　A项中，∵ a ， b ， c 为等差数列，∴2 b ＝ a ＋ c ，
∴2·（2 b ）＝2 a ＋2 c ，∴2 a ，2 b ，2 c 成等差数列，故A正确.C项
中，∵ a ， b ， c 成等差数列，∴2 b ＝ a ＋ c ，∴2（ b ＋2）＝（ a
＋2）＋（ c ＋2），∴ a ＋2， b ＋2， c ＋2成等差数列，故C正
确；由 a ， b ， c 成等差数列，而2 b ＝ a ＋ c 推不出2log2 b ＝log2 a
＋log2 c ，也推不出2×2 b ＝2 a ＋2 c .故B、D均不正确.
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6. （多选）已知单调递增的等差数列{ an }满足 a1＋ a2＋ a3＋…＋ a101
＝0，则下列各式一定成立的有（　　）
A. a1＋ a101＞0 B. a2＋ a100＝0
C. a3＋ a100≤0 D. a51＝0
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解析： 　设等差数列{ an }的公差为 d ，易知 d ＞0，∵等差数列
{ an }满足 a1＋ a2＋ a3＋…＋ a101＝0，且 a1＋ a101＝ a2＋ a100＝…＝
a50＋ a52＝2 a51，∴ a1＋ a2＋ a3＋…＋ a101＝（ a1＋ a101）＋（ a2＋
a100）＋…＋（ a50＋ a52）＋ a51＝101 a51＝0，∴ a51＝0， a1＋ a101＝
a2＋ a100＝2 a51＝0，故B、D正确，A错误.又∵ a51＝ a1＋50 d ＝0，
∴ a1＝－50 d ，∴ a3＋ a100＝（ a1＋2 d ）＋（ a1＋99 d ）＝2 a1＋
101 d ＝2×（－50 d ）＋101 d ＝ d ＞0，故C错误.
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7. 在等差数列{ an }中，若 a3＋ a4＋ a5＋ a6＋ a7＝450，则 a2＋ a8
＝ .
解析：由等差数列的性质，得 a3＋ a4＋ a5＋ a6＋ a7＝5 a5＝450，
∴ a5＝90，∴ a2＋ a8＝2 a5＝180.
180
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8. 若 a ， b ， c 成等差数列，则二次函数 y ＝ ax2－2 bx ＋ c 的图象与 x
轴交点的个数为 .
解析：∵ a ， b ， c 成等差数列，∴2 b ＝ a ＋ c ，∴Δ＝4 b2－4 ac ＝
（ a ＋ c ）2－4 ac ＝（ a － c ）2≥0.故二次函数图象与 x 轴交点的个
数为1或2.
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9. 已知数列{ an }为等差数列，若 a2＋ a6＋ a10＝ ，则tan（ a3＋ a9）
＝ .
解析：因为数列{ an }为等差数列， a2＋ a6＋ a10＝ ，所以 a2＋ a6＋
a10＝3 a6＝ ，解得 a6＝ ，所以 a3＋ a9＝2 a6＝ ，所以tan（ a3＋
a9）＝tan ＝ .

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10. （1）已知等差数列{ an }中， a2＋ a6＋ a10＝1，求 a4＋ a8的值；
解： 法一　根据等差数列的性质 a2＋ a10＝ a4＋ a8＝2
a6，由 a2＋ a6＋ a10＝1，得3 a6＝1，解得 a6＝ ，∴ a4＋ a8＝
2 a6＝ .
法二　设公差为 d ，根据等差数列的通项公式，
得 a2＋ a6＋ a10＝（ a1＋ d ）＋（ a1＋5 d ）＋（ a1＋9 d ）＝3 a1＋15
d ，由题意知，3 a1＋15 d ＝1，即 a1＋5 d ＝ .
∴ a4＋ a8＝2 a1＋10 d ＝2（ a1＋5 d ）＝ .
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解：设公差为 d ，∵ a1＋ a3＝2 a2，
∴ a1＋ a2＋ a3＝15＝3 a2，∴ a2＝5.
又 a1 a2 a3＝80，{ an }是公差为正数的等差数列，
∴ a1 a3＝（5－ d ）（5＋ d ）＝16 d ＝3或 d ＝－3（舍去），
∴ a12＝ a2＋10 d ＝35， a11＋ a12＋ a13＝3 a12＝105.
（2）设{ an }是公差为正数的等差数列，若 a1＋ a2＋ a3＝15， a1 a2
a3＝80，求 a11＋ a12＋ a13的值.
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11. 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 a ， b ， c
成等差数列， B ＝30°，△ ABC 的面积为 ，则 b ＝（　　）
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解析： 　由余弦定理得 b2＝ a2＋ c2－2 ac cos B ＝（ a ＋ c ）2－2
ac －2 ac cos B 　①，又 S△ ABC ＝ ac sin B ＝ ac ＝ ，∴ ac ＝6　
②.∵ a ， b ， c 成等差数列，∴ a ＋ c ＝2 b 　③，将②③代入①得
b2＝4 b2－12－6 ，化简整理得 b2＝4＋2 ，解得 b ＝1＋
（负值已舍去）.
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12. （多选）如果 a1， a2，…， a8为各项都大于零的等差数列，且公
差 d ≠0，则（　　）
A. a3 a6＞ a4 a5 B. a3 a6＜ a4 a5
C. a3＋ a6＝ a4＋ a5 D. a3 a6＝ a4 a5
解析： 　由通项公式，得 a3＝ a1＋2 d ， a6＝ a1＋5 d ，那么 a3
＋ a6＝2 a1＋7 d ， a3 a6＝（ a1＋2 d ）·（ a1＋5 d ）＝ ＋7 a1 d ＋
10 d2，同理 a4＋ a5＝2 a1＋7 d ， a4 a5＝ ＋7 a1 d ＋12 d2，显然 a3
a6－ a4 a5＝－2 d2＜0，故选B、C.
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13. 已知两个等差数列{ an }：5，8，11，…与{ bn }：3，7，11，…，
它们的公共项组成数列{ cn }，则数列{ cn }的通项公式 cn ＝
；若数列{ an }和{ bn }的项数均为100，则{ cn }的项数
是 .
解析：由于数列{ an }和{ bn }都是等差数列，所以{ cn }也是等差数
列，且公差为3×4＝12，又 c1＝11，故 cn ＝11＋12（ n －1）＝12
n －1.又 a100＝302， b100＝399，由解得
1≤ n ≤25.故{ cn }的项数为25.
12 n
－1
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14. 已知无穷等差数列{ an }中，首项 a1＝3，公差 d ＝5，依次取出项
数能被4除余3的项组成数列{ bn }.
（1）求 b1和 b2；
解： ∵ a1＝3， d ＝5，
∴ an ＝3＋5（ n －1）＝5 n －2.
数列{ an }中项数被4除余3的项是{ an }中的第1项，第5项，
第9项，…，
∴ b1＝ a1＝3， b2＝ a5＝23.
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（2）求{ bn }的通项公式；
解： 设{ an }中的第 m 项是{ bn }中的第 n 项，即 bn ＝
am ，
则 m ＝1＋4（ n －1）＝4 n －3，
∴ bn ＝ am ＝ a4 n－3＝5（4 n －3）－2＝20 n －17.
即{ bn }的通项公式为 bn ＝20 n －17.
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（3）{ bn }中的第503项是{ an }中的第几项？
解： b503＝20×503－17＝10 043，
设它是{ an }的第 s 项，则 as ＝5 s －2＝10 043，解得 s ＝2
009，即{ bn }中的第503项是{ an }中的第2 009项.
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15. 在数列{ an }中，若 － ＝ p （ n ≥2， n ∈N＋， p 为常
数），则称{ an }为“等方差数列”.给出下列命题：
①数列{（－1） n }是“等方差数列”；
②若{ an }是“等方差数列”，则{ }是等差数列；
③若{ an }是“等方差数列”，则{ akn }（ k ∈N＋， k 为常数）也是
“等方差数列”；
④若{ an }既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列为
常数列.
其中正确命题的序号为 .
①②③④
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解析：对于①，因为[（－1） n ]2－[（－1） n－1]2＝0，所以
{（－1） n }是“等方差数列”；对于②，根据“等方差数列”和
等差数列的定义，易得{ }是等差数列；对于③，设 －
＝ p ，当 n ≥2， n ∈N＋时， － ＝ － ＋
－ ＋…＋ － ＝ kp ，为常数，故
{ akn }为“等方差数列”；对于④，数列{ an }满足 － ＝
p ， an － an－1＝ d （ p ， d 为常数， d 为数列{ an }的公差， n ≥2，
n ∈N＋），若 d ＝0，则{ an }为常数列.
若 d ≠0，则两式相除得 an ＋ an－1＝ （ n ≥2， n ∈N＋），所以 an ＝
，为常数，即{ an }为常数列.
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16. 有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有
销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价
为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20
元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某
单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？
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解：设某单位需购买电视机 n 台.
在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{ an }，
an ＝780＋（ n －1）×（－20）＝－20 n ＋800，
由 an ＝－20 n ＋800≥440，得 n ≤18，
即购买台数不超过18台时，每台售价（800－20 n ）元；
购买台数超过18台时，每台售价440元.
到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600（元）.
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比较在甲、乙两家家电商场的费用：
（800－20 n ） n －600 n ＝20 n （10－ n ）.
当 n ＜10时，（800－20 n ） n ＞600 n ，到乙商场购买花费较
少；
当 n ＝10时，（800－20 n ） n ＝600 n ，到甲、乙商场购买花
费相同；
当10＜ n ≤18时，（800－20 n ） n ＜600 n ，到甲商场购买花
费较少；
当 n ＞18时，440 n ＜600 n ，到甲商场购买花费较少.
因此，当购买电视机少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购
买电视机10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机多于
10台时，到甲商场购买花费较少.
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