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第三章《勾股定理》提升卷—苏科版（2024）数学八（上）单元测
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．（2024八上·沐川期末）如图，在中，，，点A恰好落在数轴上表示的点上，以原点O为圆心，的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵中，，，，
∴，
又∵，
∴，
又∵点P在原点的左边，
∴点P表示的数为，
故答案为：A．
【分析】
根据及实数与数轴的关系：任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数，因而先依据勾股定理即可得到的长，进而得出的长，即可得到点P所表示的数，解答即可．
2．（2020八上·南山月考）等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形底边上的高为（　　）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，
当2为腰时，二腰长为4，底长为10-4=6，由于6>2+2，不能构成三角形，
当2为底时，腰为（10-2）÷2=4，4+4>2，可以构成三角形，则AB=AC=4，BC=2，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD= BC=1，
在Rt△ABD中，由勾股定理的AD= ．
故答案为：C．
【分析】由等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，没有说明是腰还是底，分类讨论，只有一种成立，2为底，由等腰三角形底边上的高具有三线合一性质，可求出BD，再由勾股定理可求AD即可．
3．（2024八上·深圳期中）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：根据题意得，中间小正方形的边长为，
∵小正方形面积为5，
∴，即①，
∵，
∴②，
①②得，
∴，
∴大正方形的面积为13，
故答案为：B．
【分析】由题意可知中间小正方形的边长，然后由正方形的面积、利用完全平方公式、勾股定理即可求出大正方形的面积为．
4．（2023八上·砀山月考）如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B． C． D．25
【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：，
∵AB2=AC2+BC2=25，
∴AB2+AC2+BC2=50，
∴S阴影=×50=25．
故答案为：D．
【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：AB2=AC2+BC2，据此求解．
5．（2024八上·双流期末）下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．2，，2 D．8，15，16
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A：因为32+42=52，所以A能构成直角三角形；
B：因为42+52≠62，所以B不能构成直角三角形；
C：因为2=2＞，所以C不能构成直角三角形；
D：82+152≠162，所以D不能构成直角三角形。
故答案为：A。
【分析】根据勾股定理的逆定理即可得出答案。
6．（2024八上·深圳期中）已知△中，、、分别是、、的对边，下列条件中不能判断△是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、由，得，
是直角三角形，故A不符合题意；
B、，
，
∵∠C是最大角，
不是直角三角形，故B符合题意；
C、，
，
，
∴，
，
是直角三角形，故C不符合题意；
D、设，，，
，
，
是直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】本题考查三角形内角和定理及勾股定理的逆定理的应用，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否等于即可判断是否为直角三角形.
7．（2025八上·兰州期末）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（　　）
A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺
【答案】C
【知识点】风吹树折模型；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设折断处离地面的高度为尺，则尺，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
即折断处离地面的高度为4.2尺，
故选：C．
【分析】设折断处离地面的高度为尺，即可得到尺，在中，根据勾股定理列方程解答即可．
8．（2024八上·宝安开学考）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是（　　）
A．17 B．24 C．26 D．28
【答案】C
【知识点】平行线之间的距离；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设
根据题意可知，，，，，
在中，
，即
解得：，即钟摆AD的长度是26cm.
故答案为：C．
【分析】设，根据平行线间的距离处处相等得，然后根据线段的和差可推出，然后在中利用勾股定理列方程求解即可．
二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.只要求填出最后结果.
9．（2024八上·成都期中）已知中，，，，且满足．则边上的高为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
又∵
∴，
解得，
∵，
，
∴，即，
∴是直角三角形，∠C＝90°，
设斜边上的高为，
∴，
∴；
故答案为： ．
【分析】根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性、平方的非负性可得出a，b，c的值，利用勾股定理的逆定理可推出△ABC是直角三角形，再根据三角形面积即可求解边上的高 .
10．为了比较、 与 的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D 在BC 上且BD=AC=1，通过计算可得 　 　(填“>”“<”或“=”).
【答案】>
【知识点】三角形三边关系；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
故答案为： >.
【分析】先求出，然后利用勾股定理得，，最后根据三角形两边之和大于第三边即可得到答案.
11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC= ，将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°，得到△MNC，连接 BM，则 BM 的长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：连结CM，设BM与AC相交于点F，如下图所示，
∵Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°
∴∠BCA=∠BAC=45°
∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°与Rt△ANM重合，
∴∠BAC=∠NAM=45°，AC=AM
又∵旋转角为60°，
∴∠BAN=∠CAM=60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AC=CM=AM=4，
在△ABM与△CBM中，
∴△ABM≌△CBM(SSS)
∴∠ABM=∠CBM=45°，∠CMB=∠AMB=30°
∴在△ABF中，∠BFA=180°-45°-45°=90°
∴∠AFB=∠AFM=90°
在Rt△ABE中，由勾股定理得，
在Rt△AFM中，∠AMF=30°，∠AFM=90°
∴
故答案为：.
【分析】首先考虑到BM所在的三角形并不是特殊三角形，所以猜想到要求BM，可能需要构造直角三角形，由旋转的性质可知，AC=AM，∠CAM=60°，故△ACM是等边三角形，可证明△ABM与△CBM全等，可得到∠ABM=45°，∠AMB=30°，再证△AFB和△AFM是直角三角形，然后在根据勾股定理求解.
12．（2024八上·东营期中）如图，中，，，则其内部五个小直角三角形的周长之和为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；平移的性质
【解析】【解答】解：由图形可知，内部小直角三角形直角边是由直角直角边平移得到的，
∵在中，，，
∴，
由图形可知，内部小直角三角形直角边通过平移与直角直角边重合，
内部五个小直角三角形的周长等于直角的周长，
内部五个小直角三角形的周长为：．
故答案为：24．
【分析】由图形可知，内部小直角三角形直角边通过平移与直角直角边重合，于是内部五个小直角三角形的周长等于直角的周长，用勾股定理得到的长度，然后计算周长即可求解．
13．（2024八上·宝安开学考）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S4分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为　 　
【答案】55
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：进行如下图所示标注，
由题意得，，，，，，
∴
，
故答案为：55．
【分析】根据勾股定理及正方形的面积公式可得，，，，，，然后整体代入待求式子即可算出答案.
14．（2024八上·临泽期中）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为　 　．
【答案】20
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，
如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和，
∵底面周长约为6米，柱身高约16米，
∴，，
在中
，
∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米．
故答案为：20．
【分析】根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，再根据勾股定理即可求出答案.
15．（2025八上·成都期末）等腰直角中，，若点为边，上动点，且，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：过A作，且，连接，，
则，又，
∴，
∴，
∴，当C、F、P共线时取等号，
则最小值为的长度，
过C作交延长线于Q，
则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
由得，
在中，，
∴，
即的最小值为．
故答案为：．
【分析】
过A作，且，则可证明得到，所以有，当C、F、P共线时取等号，最小值为的长度，此时可过C作交延长线于Q，则利用等腰三角形的性质和判定证明，然后利用勾股定理求得，即可．
16．（2024八上·绍兴期中）如图，在中，，，，点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接，，如图所示：
根据旋转可知：，，，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当、O、E、D在同一直线上时，最小，即最小，
∴的最小值为的长，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴．
故答案为：．
【分析】先将绕着点A逆时针旋转，得到，根据旋转的性质得到，，进而得到为等边三角形，再根据当、O、E、D在同一直线上时，长度最短进行计算即可.
17．（2024八上·江山期中）如图，点P是在正内一点．，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接、，四边形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：由旋转的性质可知，，，
是等边三角形，
，，
如图，过点作于点，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，，，
，
，
，
四边形的面积为，
故答案为：．
【分析】由旋转的性质可得， ，从而根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△APP'是等边三角形；过点作于点，由等边三角形的三线合一得AD=DP'=3，然后根据勾股定理算出PD的长，进而根据三角面积公式计算出△APP'得面积；由等边三角形性质得AB=AC，∠BAC=∠PAP'=60°，根据角的构成及等式性质推出∠BAP=∠CAP'，从而由SAS判断出△ABP≌△ACP'，得到PB=CP'=8，利用勾股定理逆定理得出∠CP'P=90°，再根据S四边形APCP'=S△APP'+S△CPP'求解．
18．（2024八上·龙岗月考）科技改变生活，小莹计划购买一台圆形扫地机器人，有以下6种不同的尺寸可供选择，直径（单位：cm）分别是：34，34.5，37，39.5，40，42．如图是小莹家衣帽间的平面示意图，扫地机器人放置在该房间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机器人能从底座脱离后打扫全屋地面，小莹可选择的扫地机器人尺寸最多有　 　种．
【答案】2
【知识点】勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图，
连接AC，构建如图所示直角三角形，则 cm ， cm，
在中，由勾股定理得：
cm .
∴小莹可选择的扫地机器人尺寸不能超过35 cm.
∴小莹可选择的扫地机器人尺寸最多有2种．
故答案为：2.
【分析】扫地机器人要能出去，尺寸要小于等于AC，故只需要求出AC的长即可，要求AC就得构建直角三角形由勾股定理求解，于是构建如图直角三角形便可求解.
三、解答题：本大题10小题，共96分.
19．（2024八上·长春期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）网格中的形状是______；
（2）在图①中确定一点，连接、，使与全等；
（3）在图②中的边上确定一点，连接，使与的面积比．
【答案】（1）直角三角形
（2）解：如图①，即为所求；
（3）解：如图②，点即为所求．
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-SSS；利用三角形的中线求面积；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】（1）解：由图可知，∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
【分析】（1）先根据勾股定理求出，，，再根据勾股定理的逆定理得出答案；
（2）根据全等三角形的判定作图即可；
（3）根据网格取的中点P，连接，则为的中线，可得与面积相等，则与的面积比是．
（1）解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
（2）解：如图①，即为所求；
（3）解：如图②，点即为所求．
20．（2023八上·邛崃月考）阅读材料，解决问题：
我们可以在网格纸中通过构造三角形的方法来比较无理数的大小，例如在图1中，正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，线段AB的长度为，线段BC的长度为，显然，．
（1）试比较与的大小，并说明理由；
（2）请在图2中尝试用构造图形的方法比较与的大小，在图3中尝试用构造图形的方法比较与的大小；
（3）请运用以上的构图思想，在图4中构图，并求出的最小值．
【答案】（1）解：由图1可知：，在中，
（2）解：如图2可知：如图3可知：
（3）解：如图4，取线段BD=10，分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，且AB=2，DE=4，连接AE，则AE为（x≥0）的最小值，过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F．则四边形ABDF是矩形，
∴AF=BD=10，AB=DF=2，∵DE=4，∴EF=6，∴AE=．
【知识点】勾股定理；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出BC和AB的长度，结合三角形的三边关系比较大小；
（2）同理，结合（1）的方法，构造三角形比较无理数的大小；
（3）根据题意，由勾股定理将式子的最小值转化为求AC+CE长度的最小值，计算得到答案。
21．（2024八上·南明期末）小明将要组织策划社区龙年春节联欢活动，活动需要准备一块会场背景板，形状如图所示．具体要求如下：在四边形中，连接，，米，米，米，米．
（1）求线段的长；
（2）若该背景板制作成本为10元/平方米，制作这样一块背景板需花费多少元？
【答案】（1）解：，米，米，
（米，
即线段的长为5米；
（2）解：，米，米，米，
，
是直角三角形，且，
（平方米），
（元，
答：制作这样一块背景板需花费360元．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，然后由三角形面积公式求出四边形的面积，即可解决问题．
22．探究：
（1）图（1）是由四个全等的直角三角形紧密拼接形成的飞镖状图形，若AB+AC=20，OC=5，求该飞镖状图形的面积.
（2）图（2）是由八个全等的直角三角形紧密拼接形成的大正方形ABCD，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT 的面积分别为 S1，S2，S3.若 求 的值.
【答案】（1）解：由题意得OB=OC=5.因为AB+AC=20，OC=5，所以 ，所以AB=25-OA，所以 ，解得 OA=12，所以该飞镖状图形的面积为
（2）解：设直角三角形的长直角边长为 a，短直角边长为b，斜边长为c，则 由题意得 所以 所以
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】(1)根据周长公式和勾股定理求出OA的长，分割法求出面积即可；
(2)利用勾股定理结合正方形的面积公式以及面积关系，求解即可.
23．（2024八上·章丘期中）如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为．
（1）台风中心经过多长时间从点移到点？
（2）如果在距台风中心的的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？
【答案】（1）解：由题意可知，，，，
在中，，
∴，
答：台风中心经过从点移到点；
（2）解：如图，在射线上取点，使得，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：市受到台风影响的时间持续．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得BD，再根据时间=路程÷速度即可求出答案.
（2）在射线上取点，使得，根据勾股定理可得ED，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：由题意可知，，，，
在中，，
∴，
答：台风中心经过从点移到点；
（2）解：如图，在射线上取点，使得，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：市受到台风影响的时间持续．
24．（2024八上·龙岗月考）数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
活动课题 风筝离地面垂直高度探究
问题背景 风筝由我国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成本鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．
测量数据抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离BC的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．
该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以下问题．
（1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度．
（2）如果想要风筝沿DA方向再上升12米，且BC长度不变，则应该再放出多少米线
【答案】（1）解：在中， 米 ， 米 ，米，
由勾股定理得： 米 ，
∴ 风筝离地面的垂直高度为：米，
∴ 风筝离地面的垂直高度为9.5米.
（2）解：如图，
延长CA到E，则米，由（1）得：米， 米 ，
∴米，
在中，由勾股定理得： 米.
∴ 应该再放出的线为： 米.
∴ 应该再放出8米线 .
【知识点】勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1）在中由勾股定理求出AC的长，再根据便可求出风筝离地面的垂直高度.
（2）延长CA到E，在中，由勾股定理得 的长，再由可求得 应该再放出的线长度.
25．（2024八上·南宁期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．
（1）如图，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积．
方法：　 　；方法：　 　；根据以上信息，可以得到的等式是　 　；
（2）如图，大正方形是由四个边长分别为的直角三角形（为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到之间的数量关系；
（3）在（）的条件下，若，求斜边的值．
【答案】（1）；；
（2）解：方法：，
方法：，
∴，
∴；
（3）解：把代入得，
，
∴．
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：（1）用方法一得到大正方形面积为：
用方法二得到大正方形面积为：
得到的等式为：，
故答案为：，，；
【分析】（1）从整体看得到大正方形的边长，进而得到其面积；然后从组成来看即可得到大正方形的面积为四部分面积之和，进而即可得到等式；
（2）分别从整体看和从组成来看得到大正方形的面积的两种表示方法，整理后即可求解；
（3）把相关数值代入（2）得到的等式即可求出c的值.
26．（2024八上·浙江期中）某校八年级同学测量池塘两端A，B的距离，测量方案如下表：
课题 测量池塘两端A，B的距离
测量工具 皮尺，标杆
测量方案示意图
测量步骤及数据 （1）利用标杆确定A，M，F在同一直线上，量得，然后找到了点N，且，； （2）测得，再在的延长线方向确定点E，测得； （3）在的延长线方向确定点D，使得； （4）确定点C、点A和点E三点共线，测得；（5）测得．
任务一 请你根据上述测量方案及数据，求出的长；
任务二 请你证明．
【答案】解：任务一：∵，，，且，即，
∴，
∵，，
∴；
任务二：在和中，
，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】任务一：勾股定理逆定理求出，再利用勾股定理即可求出的长．
任务二：证明，即可解答．
27．（2023八上·渠县期中）已知，点是平面内任意一点（不与点，，重合），若点与，，中的某两点的连线的夹角为直角，则称点为的一个“勾股点”．
（1）如图（1），若点是内一点，，，，试说明点是的一个“勾股点”；
（2）如图（2），已知点是的一个“勾股点”，，且，若，，求的长；
（3）如图（3），在中，，，点为外一点，，，，点能否是的“勾股点”，若能，求出的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵在中，，∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点P是的一个“勾股点”.
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
在中，，
∴在中，.
（3）解：点D可以是的“勾股点”．由题意可知，分三种情况讨论．
①当时，点D是的“勾股点”．如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为点E，F．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
又∵在中，，
∴，
∴，
∴；
②当时，点D是的“勾股点”．
由题可知，
∴．
又∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴此种情况不成立．
③当时，点D是的“勾股点”．
∵在中，，
∴是锐角，
∴此种情况不成立．
综上，点D可以是的“勾股点”，的长是．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用三角形内角和求出，再结合已知角的度数，推导出，从而证明点是‘勾股点’，体现了“角度和差推导直角”的思路.
（2）通过角的等量代换得出，再利用勾股定理依次计算、的长度，体现了“勾股定理在直角三角形中的直接应用”.
（3）分三种直角情况讨论，利用全等三角形、等腰直角三角形性质与勾股定理，分析每种情况的可行性并计算的长，体现了“分类讨论+几何性质综合应用”的解题策略.
（1）证明：∵在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点P是的一个“勾股点”；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
在中，，
∴在中，；
（3）解：点D可以是的“勾股点”．
由题意可知，分三种情况讨论．
①当时，点D是的“勾股点”．如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为点E，F．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
又∵在中，，
∴，
∴，
∴；
②当时，点D是的“勾股点”．
由题可知，
∴．
又∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴此种情况不成立．
③当时，点D是的“勾股点”．
∵在中，，
∴是锐角，
∴此种情况不成立．
综上，点D可以是的“勾股点”，的长是．
28．（2024八上·南海期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则______（用含有a，b和c的式子表示三者之间的等量关系）；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；
②如图7所示，分别以直角三角形两直角边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）则：
①______．
②b与c的关系为______，a与d的关系为______．
【答案】（1）解：①；
②选择图1，证明过程如下：
证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简，得
（2）解：①3；
证明：②结论；
，
（3）①；②，
【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么；
（2）①根据题意，
在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，
由勾股定理，得，
∴；
在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，
则，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，
则，，，（等边三角形面积公式：，a为边长）
∵，，
∴，
∴；
∴满足的有3个，
（3）解：①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，
由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：，，，
∴，，，
∴
②作于点N，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，．
同理可证：，，
∴b与c的关系为，a与d的关系为．
故答案为：；3；；，．
【分析】（1）①根据勾股定理的定义，写出即可；
②选择图1，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，然后再根据正方形和三角形的面积公式，代入数据即可证明；
（2）①在图4中，根据勾股定理，易得 ；在图5中，利用扇形的面积公式，分别求出S1、S2和S3的值，即可证明；在图6中，根据等边三角形的面积公式，分别求出S1、S2和S3的值，即可证明。
②观察图形可知，三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后再减去1个大半圆的面积，代入圆的面积公式，即可求解；
（3）①根据（1）（2），可知，最后再结合勾股定理，即可求解；
②作于点N，根据， ，易得 ，再根据， ，易证，可得，，同理可证，，进而即可求解。
（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么；
②（以下过程，选择其一解答即可，不必三个皆证．）
若选择图1，证明过程如下：
证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简，得．
若选择图2，证明过程如下：
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简，得．
若选择图3，证明过程如下：
证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，
即，
化简，得．
（2）①根据题意，在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，
由勾股定理，得，
∴；
在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，
则，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，
则，，，（等边三角形面积公式：，a为边长）
∵，，
∴，
∴；
∴满足的有3个，
故答案为：3；
②结论；
，
；
故答案为：．
（3）解：①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，
由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：，，，
∴，，，
∴
故答案为：．
②作于点N，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，．
同理可证：，，
∴b与c的关系为，a与d的关系为．
故答案为：，．
1 / 1第三章《勾股定理》提升卷—苏科版（2024）数学八（上）单元测
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．（2024八上·沐川期末）如图，在中，，，点A恰好落在数轴上表示的点上，以原点O为圆心，的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2020八上·南山月考）等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形底边上的高为（　　）
A． B． C． D． 或
3．（2024八上·深圳期中）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
4．（2023八上·砀山月考）如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B． C． D．25
5．（2024八上·双流期末）下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．2，，2 D．8，15，16
6．（2024八上·深圳期中）已知△中，、、分别是、、的对边，下列条件中不能判断△是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025八上·兰州期末）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（　　）
A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺
8．（2024八上·宝安开学考）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是（　　）
A．17 B．24 C．26 D．28
二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.只要求填出最后结果.
9．（2024八上·成都期中）已知中，，，，且满足．则边上的高为　 　．
10．为了比较、 与 的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D 在BC 上且BD=AC=1，通过计算可得 　 　(填“>”“<”或“=”).
11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC= ，将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°，得到△MNC，连接 BM，则 BM 的长为　 　.
12．（2024八上·东营期中）如图，中，，，则其内部五个小直角三角形的周长之和为　 　．
13．（2024八上·宝安开学考）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S4分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为　 　
14．（2024八上·临泽期中）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为　 　．
15．（2025八上·成都期末）等腰直角中，，若点为边，上动点，且，则的最小值为　 　．
16．（2024八上·绍兴期中）如图，在中，，，，点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是　 　．
17．（2024八上·江山期中）如图，点P是在正内一点．，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接、，四边形的面积为　 　．
18．（2024八上·龙岗月考）科技改变生活，小莹计划购买一台圆形扫地机器人，有以下6种不同的尺寸可供选择，直径（单位：cm）分别是：34，34.5，37，39.5，40，42．如图是小莹家衣帽间的平面示意图，扫地机器人放置在该房间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机器人能从底座脱离后打扫全屋地面，小莹可选择的扫地机器人尺寸最多有　 　种．
三、解答题：本大题10小题，共96分.
19．（2024八上·长春期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）网格中的形状是______；
（2）在图①中确定一点，连接、，使与全等；
（3）在图②中的边上确定一点，连接，使与的面积比．
20．（2023八上·邛崃月考）阅读材料，解决问题：
我们可以在网格纸中通过构造三角形的方法来比较无理数的大小，例如在图1中，正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，线段AB的长度为，线段BC的长度为，显然，．
（1）试比较与的大小，并说明理由；
（2）请在图2中尝试用构造图形的方法比较与的大小，在图3中尝试用构造图形的方法比较与的大小；
（3）请运用以上的构图思想，在图4中构图，并求出的最小值．
21．（2024八上·南明期末）小明将要组织策划社区龙年春节联欢活动，活动需要准备一块会场背景板，形状如图所示．具体要求如下：在四边形中，连接，，米，米，米，米．
（1）求线段的长；
（2）若该背景板制作成本为10元/平方米，制作这样一块背景板需花费多少元？
22．探究：
（1）图（1）是由四个全等的直角三角形紧密拼接形成的飞镖状图形，若AB+AC=20，OC=5，求该飞镖状图形的面积.
（2）图（2）是由八个全等的直角三角形紧密拼接形成的大正方形ABCD，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT 的面积分别为 S1，S2，S3.若 求 的值.
23．（2024八上·章丘期中）如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为．
（1）台风中心经过多长时间从点移到点？
（2）如果在距台风中心的的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？
24．（2024八上·龙岗月考）数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
活动课题 风筝离地面垂直高度探究
问题背景 风筝由我国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成本鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．
测量数据抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离BC的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．
该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以下问题．
（1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度．
（2）如果想要风筝沿DA方向再上升12米，且BC长度不变，则应该再放出多少米线
25．（2024八上·南宁期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．
（1）如图，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积．
方法：　 　；方法：　 　；根据以上信息，可以得到的等式是　 　；
（2）如图，大正方形是由四个边长分别为的直角三角形（为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到之间的数量关系；
（3）在（）的条件下，若，求斜边的值．
26．（2024八上·浙江期中）某校八年级同学测量池塘两端A，B的距离，测量方案如下表：
课题 测量池塘两端A，B的距离
测量工具 皮尺，标杆
测量方案示意图
测量步骤及数据 （1）利用标杆确定A，M，F在同一直线上，量得，然后找到了点N，且，； （2）测得，再在的延长线方向确定点E，测得； （3）在的延长线方向确定点D，使得； （4）确定点C、点A和点E三点共线，测得；（5）测得．
任务一 请你根据上述测量方案及数据，求出的长；
任务二 请你证明．
27．（2023八上·渠县期中）已知，点是平面内任意一点（不与点，，重合），若点与，，中的某两点的连线的夹角为直角，则称点为的一个“勾股点”．
（1）如图（1），若点是内一点，，，，试说明点是的一个“勾股点”；
（2）如图（2），已知点是的一个“勾股点”，，且，若，，求的长；
（3）如图（3），在中，，，点为外一点，，，，点能否是的“勾股点”，若能，求出的长；若不能，请说明理由．
28．（2024八上·南海期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则______（用含有a，b和c的式子表示三者之间的等量关系）；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；
②如图7所示，分别以直角三角形两直角边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）则：
①______．
②b与c的关系为______，a与d的关系为______．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵中，，，，
∴，
又∵，
∴，
又∵点P在原点的左边，
∴点P表示的数为，
故答案为：A．
【分析】
根据及实数与数轴的关系：任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数，因而先依据勾股定理即可得到的长，进而得出的长，即可得到点P所表示的数，解答即可．
2．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，
当2为腰时，二腰长为4，底长为10-4=6，由于6>2+2，不能构成三角形，
当2为底时，腰为（10-2）÷2=4，4+4>2，可以构成三角形，则AB=AC=4，BC=2，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD= BC=1，
在Rt△ABD中，由勾股定理的AD= ．
故答案为：C．
【分析】由等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，没有说明是腰还是底，分类讨论，只有一种成立，2为底，由等腰三角形底边上的高具有三线合一性质，可求出BD，再由勾股定理可求AD即可．
3．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：根据题意得，中间小正方形的边长为，
∵小正方形面积为5，
∴，即①，
∵，
∴②，
①②得，
∴，
∴大正方形的面积为13，
故答案为：B．
【分析】由题意可知中间小正方形的边长，然后由正方形的面积、利用完全平方公式、勾股定理即可求出大正方形的面积为．
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：，
∵AB2=AC2+BC2=25，
∴AB2+AC2+BC2=50，
∴S阴影=×50=25．
故答案为：D．
【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：AB2=AC2+BC2，据此求解．
5．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A：因为32+42=52，所以A能构成直角三角形；
B：因为42+52≠62，所以B不能构成直角三角形；
C：因为2=2＞，所以C不能构成直角三角形；
D：82+152≠162，所以D不能构成直角三角形。
故答案为：A。
【分析】根据勾股定理的逆定理即可得出答案。
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、由，得，
是直角三角形，故A不符合题意；
B、，
，
∵∠C是最大角，
不是直角三角形，故B符合题意；
C、，
，
，
∴，
，
是直角三角形，故C不符合题意；
D、设，，，
，
，
是直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】本题考查三角形内角和定理及勾股定理的逆定理的应用，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否等于即可判断是否为直角三角形.
7．【答案】C
【知识点】风吹树折模型；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设折断处离地面的高度为尺，则尺，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
即折断处离地面的高度为4.2尺，
故选：C．
【分析】设折断处离地面的高度为尺，即可得到尺，在中，根据勾股定理列方程解答即可．
8．【答案】C
【知识点】平行线之间的距离；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设
根据题意可知，，，，，
在中，
，即
解得：，即钟摆AD的长度是26cm.
故答案为：C．
【分析】设，根据平行线间的距离处处相等得，然后根据线段的和差可推出，然后在中利用勾股定理列方程求解即可．
9．【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
又∵
∴，
解得，
∵，
，
∴，即，
∴是直角三角形，∠C＝90°，
设斜边上的高为，
∴，
∴；
故答案为： ．
【分析】根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性、平方的非负性可得出a，b，c的值，利用勾股定理的逆定理可推出△ABC是直角三角形，再根据三角形面积即可求解边上的高 .
10．【答案】>
【知识点】三角形三边关系；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
故答案为： >.
【分析】先求出，然后利用勾股定理得，，最后根据三角形两边之和大于第三边即可得到答案.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：连结CM，设BM与AC相交于点F，如下图所示，
∵Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°
∴∠BCA=∠BAC=45°
∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°与Rt△ANM重合，
∴∠BAC=∠NAM=45°，AC=AM
又∵旋转角为60°，
∴∠BAN=∠CAM=60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AC=CM=AM=4，
在△ABM与△CBM中，
∴△ABM≌△CBM(SSS)
∴∠ABM=∠CBM=45°，∠CMB=∠AMB=30°
∴在△ABF中，∠BFA=180°-45°-45°=90°
∴∠AFB=∠AFM=90°
在Rt△ABE中，由勾股定理得，
在Rt△AFM中，∠AMF=30°，∠AFM=90°
∴
故答案为：.
【分析】首先考虑到BM所在的三角形并不是特殊三角形，所以猜想到要求BM，可能需要构造直角三角形，由旋转的性质可知，AC=AM，∠CAM=60°，故△ACM是等边三角形，可证明△ABM与△CBM全等，可得到∠ABM=45°，∠AMB=30°，再证△AFB和△AFM是直角三角形，然后在根据勾股定理求解.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；平移的性质
【解析】【解答】解：由图形可知，内部小直角三角形直角边是由直角直角边平移得到的，
∵在中，，，
∴，
由图形可知，内部小直角三角形直角边通过平移与直角直角边重合，
内部五个小直角三角形的周长等于直角的周长，
内部五个小直角三角形的周长为：．
故答案为：24．
【分析】由图形可知，内部小直角三角形直角边通过平移与直角直角边重合，于是内部五个小直角三角形的周长等于直角的周长，用勾股定理得到的长度，然后计算周长即可求解．
13．【答案】55
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：进行如下图所示标注，
由题意得，，，，，，
∴
，
故答案为：55．
【分析】根据勾股定理及正方形的面积公式可得，，，，，，然后整体代入待求式子即可算出答案.
14．【答案】20
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，
如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和，
∵底面周长约为6米，柱身高约16米，
∴，，
在中
，
∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米．
故答案为：20．
【分析】根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，再根据勾股定理即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：过A作，且，连接，，
则，又，
∴，
∴，
∴，当C、F、P共线时取等号，
则最小值为的长度，
过C作交延长线于Q，
则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
由得，
在中，，
∴，
即的最小值为．
故答案为：．
【分析】
过A作，且，则可证明得到，所以有，当C、F、P共线时取等号，最小值为的长度，此时可过C作交延长线于Q，则利用等腰三角形的性质和判定证明，然后利用勾股定理求得，即可．
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接，，如图所示：
根据旋转可知：，，，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当、O、E、D在同一直线上时，最小，即最小，
∴的最小值为的长，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴．
故答案为：．
【分析】先将绕着点A逆时针旋转，得到，根据旋转的性质得到，，进而得到为等边三角形，再根据当、O、E、D在同一直线上时，长度最短进行计算即可.
17．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：由旋转的性质可知，，，
是等边三角形，
，，
如图，过点作于点，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，，，
，
，
，
四边形的面积为，
故答案为：．
【分析】由旋转的性质可得， ，从而根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△APP'是等边三角形；过点作于点，由等边三角形的三线合一得AD=DP'=3，然后根据勾股定理算出PD的长，进而根据三角面积公式计算出△APP'得面积；由等边三角形性质得AB=AC，∠BAC=∠PAP'=60°，根据角的构成及等式性质推出∠BAP=∠CAP'，从而由SAS判断出△ABP≌△ACP'，得到PB=CP'=8，利用勾股定理逆定理得出∠CP'P=90°，再根据S四边形APCP'=S△APP'+S△CPP'求解．
18．【答案】2
【知识点】勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图，
连接AC，构建如图所示直角三角形，则 cm ， cm，
在中，由勾股定理得：
cm .
∴小莹可选择的扫地机器人尺寸不能超过35 cm.
∴小莹可选择的扫地机器人尺寸最多有2种．
故答案为：2.
【分析】扫地机器人要能出去，尺寸要小于等于AC，故只需要求出AC的长即可，要求AC就得构建直角三角形由勾股定理求解，于是构建如图直角三角形便可求解.
19．【答案】（1）直角三角形
（2）解：如图①，即为所求；
（3）解：如图②，点即为所求．
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-SSS；利用三角形的中线求面积；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】（1）解：由图可知，∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
【分析】（1）先根据勾股定理求出，，，再根据勾股定理的逆定理得出答案；
（2）根据全等三角形的判定作图即可；
（3）根据网格取的中点P，连接，则为的中线，可得与面积相等，则与的面积比是．
（1）解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
（2）解：如图①，即为所求；
（3）解：如图②，点即为所求．
20．【答案】（1）解：由图1可知：，在中，
（2）解：如图2可知：如图3可知：
（3）解：如图4，取线段BD=10，分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，且AB=2，DE=4，连接AE，则AE为（x≥0）的最小值，过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F．则四边形ABDF是矩形，
∴AF=BD=10，AB=DF=2，∵DE=4，∴EF=6，∴AE=．
【知识点】勾股定理；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出BC和AB的长度，结合三角形的三边关系比较大小；
（2）同理，结合（1）的方法，构造三角形比较无理数的大小；
（3）根据题意，由勾股定理将式子的最小值转化为求AC+CE长度的最小值，计算得到答案。
21．【答案】（1）解：，米，米，
（米，
即线段的长为5米；
（2）解：，米，米，米，
，
是直角三角形，且，
（平方米），
（元，
答：制作这样一块背景板需花费360元．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，然后由三角形面积公式求出四边形的面积，即可解决问题．
22．【答案】（1）解：由题意得OB=OC=5.因为AB+AC=20，OC=5，所以 ，所以AB=25-OA，所以 ，解得 OA=12，所以该飞镖状图形的面积为
（2）解：设直角三角形的长直角边长为 a，短直角边长为b，斜边长为c，则 由题意得 所以 所以
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】(1)根据周长公式和勾股定理求出OA的长，分割法求出面积即可；
(2)利用勾股定理结合正方形的面积公式以及面积关系，求解即可.
23．【答案】（1）解：由题意可知，，，，
在中，，
∴，
答：台风中心经过从点移到点；
（2）解：如图，在射线上取点，使得，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：市受到台风影响的时间持续．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得BD，再根据时间=路程÷速度即可求出答案.
（2）在射线上取点，使得，根据勾股定理可得ED，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：由题意可知，，，，
在中，，
∴，
答：台风中心经过从点移到点；
（2）解：如图，在射线上取点，使得，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：市受到台风影响的时间持续．
24．【答案】（1）解：在中， 米 ， 米 ，米，
由勾股定理得： 米 ，
∴ 风筝离地面的垂直高度为：米，
∴ 风筝离地面的垂直高度为9.5米.
（2）解：如图，
延长CA到E，则米，由（1）得：米， 米 ，
∴米，
在中，由勾股定理得： 米.
∴ 应该再放出的线为： 米.
∴ 应该再放出8米线 .
【知识点】勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1）在中由勾股定理求出AC的长，再根据便可求出风筝离地面的垂直高度.
（2）延长CA到E，在中，由勾股定理得 的长，再由可求得 应该再放出的线长度.
25．【答案】（1）；；
（2）解：方法：，
方法：，
∴，
∴；
（3）解：把代入得，
，
∴．
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：（1）用方法一得到大正方形面积为：
用方法二得到大正方形面积为：
得到的等式为：，
故答案为：，，；
【分析】（1）从整体看得到大正方形的边长，进而得到其面积；然后从组成来看即可得到大正方形的面积为四部分面积之和，进而即可得到等式；
（2）分别从整体看和从组成来看得到大正方形的面积的两种表示方法，整理后即可求解；
（3）把相关数值代入（2）得到的等式即可求出c的值.
26．【答案】解：任务一：∵，，，且，即，
∴，
∵，，
∴；
任务二：在和中，
，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】任务一：勾股定理逆定理求出，再利用勾股定理即可求出的长．
任务二：证明，即可解答．
27．【答案】（1）证明：∵在中，，∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点P是的一个“勾股点”.
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
在中，，
∴在中，.
（3）解：点D可以是的“勾股点”．由题意可知，分三种情况讨论．
①当时，点D是的“勾股点”．如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为点E，F．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
又∵在中，，
∴，
∴，
∴；
②当时，点D是的“勾股点”．
由题可知，
∴．
又∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴此种情况不成立．
③当时，点D是的“勾股点”．
∵在中，，
∴是锐角，
∴此种情况不成立．
综上，点D可以是的“勾股点”，的长是．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用三角形内角和求出，再结合已知角的度数，推导出，从而证明点是‘勾股点’，体现了“角度和差推导直角”的思路.
（2）通过角的等量代换得出，再利用勾股定理依次计算、的长度，体现了“勾股定理在直角三角形中的直接应用”.
（3）分三种直角情况讨论，利用全等三角形、等腰直角三角形性质与勾股定理，分析每种情况的可行性并计算的长，体现了“分类讨论+几何性质综合应用”的解题策略.
（1）证明：∵在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点P是的一个“勾股点”；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
在中，，
∴在中，；
（3）解：点D可以是的“勾股点”．
由题意可知，分三种情况讨论．
①当时，点D是的“勾股点”．如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为点E，F．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
又∵在中，，
∴，
∴，
∴；
②当时，点D是的“勾股点”．
由题可知，
∴．
又∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴此种情况不成立．
③当时，点D是的“勾股点”．
∵在中，，
∴是锐角，
∴此种情况不成立．
综上，点D可以是的“勾股点”，的长是．
28．【答案】（1）解：①；
②选择图1，证明过程如下：
证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简，得
（2）解：①3；
证明：②结论；
，
（3）①；②，
【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么；
（2）①根据题意，
在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，
由勾股定理，得，
∴；
在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，
则，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，
则，，，（等边三角形面积公式：，a为边长）
∵，，
∴，
∴；
∴满足的有3个，
（3）解：①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，
由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：，，，
∴，，，
∴
②作于点N，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，．
同理可证：，，
∴b与c的关系为，a与d的关系为．
故答案为：；3；；，．
【分析】（1）①根据勾股定理的定义，写出即可；
②选择图1，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，然后再根据正方形和三角形的面积公式，代入数据即可证明；
（2）①在图4中，根据勾股定理，易得 ；在图5中，利用扇形的面积公式，分别求出S1、S2和S3的值，即可证明；在图6中，根据等边三角形的面积公式，分别求出S1、S2和S3的值，即可证明。
②观察图形可知，三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后再减去1个大半圆的面积，代入圆的面积公式，即可求解；
（3）①根据（1）（2），可知，最后再结合勾股定理，即可求解；
②作于点N，根据， ，易得 ，再根据， ，易证，可得，，同理可证，，进而即可求解。
（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么；
②（以下过程，选择其一解答即可，不必三个皆证．）
若选择图1，证明过程如下：
证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简，得．
若选择图2，证明过程如下：
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简，得．
若选择图3，证明过程如下：
证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，
即，
化简，得．
（2）①根据题意，在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，
由勾股定理，得，
∴；
在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，
则，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，
则，，，（等边三角形面积公式：，a为边长）
∵，，
∴，
∴；
∴满足的有3个，
故答案为：3；
②结论；
，
；
故答案为：．
（3）解：①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，
由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：，，，
∴，，，
∴
故答案为：．
②作于点N，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，．
同理可证：，，
∴b与c的关系为，a与d的关系为．
故答案为：，．
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