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第四章《实数》提升卷—鲁教版（五四制）数学七（上）单元测
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1． 在0， ，，，，0.101101110…(每两个“0”之间依次多一个“1”)中，无理数的个数是 (　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2024七下·斗门期末）有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（　　）
A． B． C． D．
3．若a，b是有理数，且a>0，b>0，则 (　　)
A．a+b可以是无理数 B．a-b一定是负数
C．a÷b一定是有理数 D．一定是无理数
4．（2024七下·思明月考）关于，下列说法不正确的是（　　）
A．它是一个无理数
B．它可以用数轴上的一个点来表示
C．它可以表示体积为6的正方体的棱长
D．若，则
5．按下图所示的运算程序，能使输出的结果为5的是（　　）
A．a=0，b=5 B．a=9，b=4 C．a=16，b=1 D．a=36，b= 1
6．（2024七下·福清期中）若实数a，b满足，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与是关于6的“如意数”是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025七下·雨花期末）下列说法不正确的是（　　）
A．0.04 的平方根是土0.2 B．-4是16的一个平方根
C．9的立方根是3 D．-=3
8．（2025七上·苍南期末）面积为8的正方形的边长为，则的大致范围是（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．大于4
9．（2025七下·西昌期中）设，，，，则按由小到大顺序的排列为：（　　）
A． B． C． D．
10．（2024七下·昆明期中）如图，把两个边长为2的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（　　）
A． B．4 C． D．8
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.只要求填出最后结果.
11．（2024七上·宁阳期末）利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下：，则显示结果为　 　．
12．（2025七下·海淀月考）已知，，那么　 　.
13．（2025七下·永兴月考）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的时，输出的值是　 　．
14．（2024七下·平塘期末）若点A在数轴上的位置如图所示，则点A在数轴上表示的无理数可能是　 　．（只填一个）
15．（2024七下·凤凰期末）物体自由下落的高度h（单位：米）与下落时间t（单位：秒）的关系是．有一物体从米高的建筑物上自由落下，到达地面需要的时间为　 　秒．
16．有下列说法：①无理数就是开方开不尽的数；②满足· 的整数x有4个；③-3是 的一个平方根；④不带根号的数都是有理数；⑤不是有限小数的不是有理数；⑥对于任意实数a，都有 其中正确的说法有　 　.(填序号)
三、解答题：本大题共8小题，共72分.
17．（2025七下·中江月考）判定下列各数，并把下列各数前面的序号写入相应的集合中：
①②③④⑤0 ⑥⑦
正实数集合{_____________________________________________…}；
无理数集合{_____________________________________________…}；
整数集合{_______________________________________________…}；
分数集合{_______________________________________________…}．
18．（2024七下·衡阳期末）计算：
（1）；
（2）．
19． 在学习《实数》这一章时，我们利用“逐步逼近”的方法可以计算出 的近似值，得出 利用“逐步逼近”法，请回答下列问题：
（1）若 n精确到0.1，且m，n是连续的一位小数)，则 　 　.
（2）若a是 的小数部分，b是 的整数部分.
②求 的平方根.
20．（2024七上·玉环期中）教材上有这样一个合作学习活动：如图，依次连结方格四条边的中点，，，，得到一个阴影正方形，设每一小方格的边长为，得到阴影正方形面积为：
（1）发现图这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是_______，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法；
（2）如图，以个单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于，两点，则点表示的数为_______；
（3）如图，网格是由个边长为的小方格组成，画出面积是的正方形，使它的顶点在网格的格点上．
21．（2025七下·天河期末）天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离s（单位：千米）可用公式来估计，其中h（单位：米）是眼睛离海平面的高度．
（1）如果小天站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是1.6米时，能看到多远？
（2）若小天登上岸边的一个观望台A，已知小天眼睛离观望台地面的高度是1.6米，他想看到距离岸边大约10千米处的一个货轮B，则观望台至少离海平面高多少米才可以看得见？
22．（2025七下·金平期末） 阅读材料，完成下列任务：
【材料一】，，即 ， 的整数部分为 2，小数部分为 .
【材料二】若正方形面积为 105，则它的边长为 . 我们可以按照以下方法求得 近似值：
，，即 ，
设，其中 ，
如图 1，画出边长为 的正方形，根据图中面积，得 ，
较小，
忽略，得：，解得 ，.
【探究问题】
（1） 利用材料一中的方法， 的整数部分是　 　，小数部分是　 　；
（2） 利用材料二中的方法，探究的近似值（要求写出求解过程，结果精确到 0.01）；
（3）【思维拓展】
a是的小数部分，b是的小数部分，则 的值是多少？
（4） 探究 的近似值，直接写出结果：　 　（结果精确到 0.01）
23．（2024七上·宁波期中）魔方又叫鲁比克方块，与华容道、独立钻石棋一同被称为智力游戏界的三大不可思议、如图（1）是一个4阶魔方，由四层完全相同的64个小正方体组成，体积为．
（1）求组成这个4阶魔方的小正方体的棱长．
（2）若图（1）中的四边形是一个正方形，求该正方形的面积及边长．
（3）若把图（1）中正方形放在数轴上，如图（2），使得点A与表示1的点重合，那么点D在数轴上表示的数为________，这个数的绝对值是 ．
24．（2024七下·临海期中） 跟华罗庚学猜数：
据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：
①∵，，又∵，
∴，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9，又∵，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数46656，按这种方法求立方根，请完成下列填空：
①它的立方根是　 　位数；②它的立方根的个位数字是　 　；
③46656的立方根是　 　；
（2）求195112的立方根．（过程可按题目中的步骤写）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：由题意得：
无理数有：，，0.101101110…(每两个“0”之间依次多一个“1”)，
共3个；
故答案为：B .
【分析】根据无理数的概念：无限不循环小数，判断即可.
2．【答案】B
【知识点】计算器在数的开方中的应用
【解析】【解答】解：A、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意；
B、，一共才8位，这样第十位的数字就会出现，故此选项符合题意；
C、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意；
D、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】分别求出每个选项中的结果，再逐项分析判断即可.
3．【答案】C
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：A.∵a，b是有理数，且a>0，b>0
∴a+b一定是有理数，故A错误，不符合题意；
B.∵a，b是有理数，且a>0，b>0
∴a-b不一定是负数，如a=3，b=2时，a-b=1，故B错误，不符合题意；
C.∵a，b是有理数，且a>0，b>0
∴a÷b一定是有理数，故C正确，符合题意；
D.∵a，b是有理数，且a>0，b>0，
∴不一定是无理数，如a=4，b=9时，=6，故D错误，不符合题意；
故答案为：C .
【分析】根据有理数的定义和性质，再根据题目中的条件，判断出正确的选项即可.
有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式.
有理数的性质包括：①有理数的加法和减法；
②有理数的乘法和除法；
③有理数的乘方和开方；
④有理数的绝对值和相反数；
⑤有理数的大小比较.
4．【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的估值；无理数的概念；立方根的实际应用
【解析】【解答】解：A、不能完全开立方，所以是无理数，选项A正确，故不符合题意；
B、是一个实数，而实数与数轴上的点一一对应，故可以用数轴上的一个点表示，选项B正确，故不符合题意；
C、正方体的体积等于棱长的立方，，选项C正确，故不符合题意；
D、，即，所以n=1，选项D错误，故符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据无理数和立方根的概念，估算立方根的大小及正方体体积与棱长之间的关系对四个选项逐一进行判断即可．
5．【答案】D
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：A、当a=0，b=5时，=，故不符合题意；
B、当a=9，b=4时，=3-2=1，故不符合题意；
C、当a=16，b=1时，=4-1=3，故不符合题意；
D、当a=36，b=1时，=6-1=5，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据运算程序将各选项分别代入，先计算算术平方根，再求和差后判断即可.
6．【答案】A
【知识点】实数运算的实际应用
【解析】【解答】解：∵
∴与是关于6的“如意数”．
故答案为：A．
【分析】根据“如意数”的概念：a+b=6，然后对各个选项进行逐一验证即可求解
7．【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、0.04的平方根是土0.2，A不符合题意；
B、-9是81的一个平方根，B不符合题意；
C、9的算术平方根是3，C符合题意；
D、 -=3 ，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】依据平方根、算术平方根、立方根的性质解答即可.
8．【答案】B
【知识点】无理数的估值；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：∵面积为8的正方形的边长为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴a的值在2和3之间，
故选：B．
【分析】
由于正方形的面积介于两个连续自然数2和3的平方之间，则正方形的边长a介于2和3之间．
9．【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法；有理数的大小比较-直接比较法；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，，，，
，
故答案为：A．
【分析】首先根据二次根式的性质，有理数的平方，立方根的性质以及绝对值的性质，分别进行化简，然后再进行大小比较，即可得出答案。
10．【答案】C
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：由图形可得，
∵小正方形的对角线=，
∴，
故答案为：C．
【分析】小正方形的对角线就是大正方形的边长，利用勾股定理求出对角线的长即可得到答案.
11．【答案】4
【知识点】计算器在数的开方中的应用
【解析】【解答】解：根据按键顺序可知：．
故答案为：8．
【分析】第一个 “2ndF” 键是第二功能键，按下它之后，再按其他键，就会执行该键的第二功能， 按下 “2ndF” 键后再按 “” 键，接着按 “6”“4”“=”，此时计算器执行的运算是求的平方根。 在计算器中，一般默认先显示正数结果，所以显示结果为。
12．【答案】
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解∶ ∵，
==10×1.414=14.14，
故答案为∶．
【分析】
本题考查了算术平方根的概念，根据计算即可。
13．【答案】
【知识点】求算术平方根；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：当时，
则，是有理数，
，是有理数，
，是有理数，
是无理数，
所以输出的值是；
故答案为：．
【分析】将代入程序框图进行运算，即可求解．
14．【答案】(答案不唯一)
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：设点A在数轴上表示的数为，观察数轴可得，
∵
∴点A在数轴上表示的无理数可能是.
故答案为：(答案不唯一)．
【分析】根据数轴可以得到的取值范围，再结合a为无理数，即可得到满足条件的解．
15．【答案】5
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：把代入中可得：，则，
∵25的算术平方根为5，即，
∴到达地面需要的时间为5秒．
故答案为：5．
【分析】把代入求得t的值即可求出答案.
16．【答案】②③
【知识点】无理数的估值；无理数的概念；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：①开方开不尽的数是无理数，但是有的数不开方也是无理数.例如，π，π/3等，因此①不正确，不符合题意；
②满足 的整数x有-1，0，1，2，共4个，因此②正确，符合题意；
③-3是9的一个平方根，而 ，因此③正确，符合题意；
④π就是无理数，不带根号的数也不一定是有理数，因此④不正确，不符合题意；
⑤无限循环小数是有理数，因此⑤不正确，不符合题意；
⑥若a<0，则 因此⑥不正确，不符合题意.因此正确的说法有②③.
【分析】根据有理数、无理数、实数的意义逐项进行判断即可.
17．【答案】②，④；③，④；②，⑤，⑦；①，⑥
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：，，
∴正实数集合{②，④，…}；
无理数集合{③，④，…}；
整数集合{②，⑤，⑦，…}；
分数集合{①，⑥，…}．
故答案为：②，④；③，④；②，⑤，⑦；①，⑥．
【分析】实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无限不循环小数称为无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数．据此进行分类即可.
18．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；化简含绝对值有理数；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据绝对值，立方根，算术平方根，有理数的乘方化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据平方根、立方根定义化简，再计算加减即可求出答案.
19．【答案】（1）3.8
（2）解：由题意可得：
∴，b=2
②由①可得：
∴25的平方根为±5
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
由“逐步逼近”的方法可得
∴
∴m=3.8，n=3.9
故答案为：3.8
【分析】（1）根据“逐步逼近”的方法估算无理数的范围即可求出答案.
（2）估算无理数的范围可得a，b值，再代入代数式，结合平方根的性质即可求出答案.
20．【答案】（1）
（2）
（3）解：∵大正方形的面积是，
∴大正方形的边长为，
可得小长方形的对角线长为，
作图如下：
阴影部分即为面积是的正方形．
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】（1）解：∵阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，
∴小方格对角线长等于，
故答案为：；
（2）解：如图，小正方形的对角线长为，
∴原点与之间的距离为，
∴点表示的数为，
故答案为：；
【分析】（）根据小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，可得小正方形的对角线长；
（）由小正方形对角线长为可得，原点与之间的距离为，从而可得到点表示的数；
（）根据大正方形的面积为，作边长为的正方形即可．
（1）解：∵阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，
∴小方格对角线长等于，
故答案为：；
（2）解：如图，小正方形的对角线长为，
∴原点与之间的距离为，
∴点表示的数为，
故答案为：；
（3）解：∵大正方形的面积是，
∴小长方形的对角线长为，
作图如下：
阴影部分即为面积是的正方形．
21．【答案】（1）解：因为，
所以25，
所以s＝﹣5（舍）或s＝5，
答：能看到5千米远；
（2）解：当s＝10时，可得102h，
解得h＝6.4，
6.4﹣1.6＝4.8（米）．
则观望台至少离海平面高为4.8米．
【知识点】求算术平方根；算术平方根的实际应用
【解析】【分析】（1）将h=1.6代入 后算出其算数平方根即可
（2）将s=10代入 后算出h后减去小天眼睛离观望台的高度即可
22．【答案】（1）5；
（2）解：当正方形面积为149，则它的边长为.
，
，
，
，，
如图，作边长为的正方形，
由图得：，
，
较小，
忽略，得：，
解得：，
.
（3）解：，
，
，
，，
，.
（4）14.93
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1），
的整数部分为：5，小数部分为：．
故答案为：5；
（4），
，
，
，，
如图，作边长为的正方形，
由图得：，
，
较小，
忽略，得：，
解得：，
，
，，，，
故答案为：14.93
【分析】（1）根据材料一的信息，认真观察解答过程，然后对比方法便可以求解．
（2）本题考查阅读材料，分析材料，提取材料信息解题的能力，根据材料的解题方法便可以求解．
（3）根据材料一的方法求出的范围，在结合不等式性质就可以求出、的值，代式子可解得答案．
（4）综合材料一、二的方法，可求得，但是通过验证发现，所以逐个验证14.96以下的数值，可得到，本题考查探究能力，要求比较高．
23．【答案】（1）解：，∴组成这个4阶魔方的小正方体的棱长为；
（2）解：由勾股定理得，
∴正方形的边长为，
∴正方形的面积为；
（3），
【知识点】实数在数轴上表示；数轴上两点之间的距离；立方根的实际应用
【解析】【解答】（3）解：∵，点A表示的数为1，
∴点D表示的数为．
这个数的绝对值是．
故答案为：，．
【分析】（1）根据小正方体的个数先求出体积，然后求出棱长即可；
（2）运用勾股定理得到边长，再利用正方形面积公式解题；
（3）根据（2）所求的正方形的边长，然后根据数轴上两点距离公式得到点D 表示得数并求绝对值．
（1）解：，
∴组成这个4阶魔方的小正方体的棱长为；
（2）解：由勾股定理得，
∴正方形的边长为，
∴正方形的面积为；
（3）解：∵，点A表示的数为1，
∴点D表示的数为．
这个数的绝对值是．
故答案为：，．
24．【答案】（1）两；6；36
（2）解：，又，
，
能确定195112的立方根是个两位数
的个位数是2，又，
能确定195112的立方根的个位数是8．
如果划去195112后面的三位112得到数195，
而，则，可得，
由此能确定195112的立方根的十位数是5，
因此195112的立方根是58．
【知识点】开立方（求立方根）；立方根的实际应用
【解析】【解答】解：（1）①，，
又，
，
能确定46656的立方根是个两位数．
②的个位数是6，
又，
能确定46656的立方根的个位数是6．
③如果划去46656后面的三位656得到数46，
而，则，可得，
由此能确定46656的立方根的十位数是3
因此46656的立方根是36．
故答案为：①两，②6，③36；
【分析】（1）根据题意先确定两位数，再确定各位数字和十位数字，即可得出结论；
（2）先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得出结论．
1 / 1第四章《实数》提升卷—鲁教版（五四制）数学七（上）单元测
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1． 在0， ，，，，0.101101110…(每两个“0”之间依次多一个“1”)中，无理数的个数是 (　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：由题意得：
无理数有：，，0.101101110…(每两个“0”之间依次多一个“1”)，
共3个；
故答案为：B .
【分析】根据无理数的概念：无限不循环小数，判断即可.
2．（2024七下·斗门期末）有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】计算器在数的开方中的应用
【解析】【解答】解：A、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意；
B、，一共才8位，这样第十位的数字就会出现，故此选项符合题意；
C、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意；
D、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】分别求出每个选项中的结果，再逐项分析判断即可.
3．若a，b是有理数，且a>0，b>0，则 (　　)
A．a+b可以是无理数 B．a-b一定是负数
C．a÷b一定是有理数 D．一定是无理数
【答案】C
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：A.∵a，b是有理数，且a>0，b>0
∴a+b一定是有理数，故A错误，不符合题意；
B.∵a，b是有理数，且a>0，b>0
∴a-b不一定是负数，如a=3，b=2时，a-b=1，故B错误，不符合题意；
C.∵a，b是有理数，且a>0，b>0
∴a÷b一定是有理数，故C正确，符合题意；
D.∵a，b是有理数，且a>0，b>0，
∴不一定是无理数，如a=4，b=9时，=6，故D错误，不符合题意；
故答案为：C .
【分析】根据有理数的定义和性质，再根据题目中的条件，判断出正确的选项即可.
有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式.
有理数的性质包括：①有理数的加法和减法；
②有理数的乘法和除法；
③有理数的乘方和开方；
④有理数的绝对值和相反数；
⑤有理数的大小比较.
4．（2024七下·思明月考）关于，下列说法不正确的是（　　）
A．它是一个无理数
B．它可以用数轴上的一个点来表示
C．它可以表示体积为6的正方体的棱长
D．若，则
【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的估值；无理数的概念；立方根的实际应用
【解析】【解答】解：A、不能完全开立方，所以是无理数，选项A正确，故不符合题意；
B、是一个实数，而实数与数轴上的点一一对应，故可以用数轴上的一个点表示，选项B正确，故不符合题意；
C、正方体的体积等于棱长的立方，，选项C正确，故不符合题意；
D、，即，所以n=1，选项D错误，故符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据无理数和立方根的概念，估算立方根的大小及正方体体积与棱长之间的关系对四个选项逐一进行判断即可．
5．按下图所示的运算程序，能使输出的结果为5的是（　　）
A．a=0，b=5 B．a=9，b=4 C．a=16，b=1 D．a=36，b= 1
【答案】D
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：A、当a=0，b=5时，=，故不符合题意；
B、当a=9，b=4时，=3-2=1，故不符合题意；
C、当a=16，b=1时，=4-1=3，故不符合题意；
D、当a=36，b=1时，=6-1=5，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据运算程序将各选项分别代入，先计算算术平方根，再求和差后判断即可.
6．（2024七下·福清期中）若实数a，b满足，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与是关于6的“如意数”是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数运算的实际应用
【解析】【解答】解：∵
∴与是关于6的“如意数”．
故答案为：A．
【分析】根据“如意数”的概念：a+b=6，然后对各个选项进行逐一验证即可求解
7．（2025七下·雨花期末）下列说法不正确的是（　　）
A．0.04 的平方根是土0.2 B．-4是16的一个平方根
C．9的立方根是3 D．-=3
【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、0.04的平方根是土0.2，A不符合题意；
B、-9是81的一个平方根，B不符合题意；
C、9的算术平方根是3，C符合题意；
D、 -=3 ，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】依据平方根、算术平方根、立方根的性质解答即可.
8．（2025七上·苍南期末）面积为8的正方形的边长为，则的大致范围是（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．大于4
【答案】B
【知识点】无理数的估值；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：∵面积为8的正方形的边长为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴a的值在2和3之间，
故选：B．
【分析】
由于正方形的面积介于两个连续自然数2和3的平方之间，则正方形的边长a介于2和3之间．
9．（2025七下·西昌期中）设，，，，则按由小到大顺序的排列为：（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法；有理数的大小比较-直接比较法；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，，，，
，
故答案为：A．
【分析】首先根据二次根式的性质，有理数的平方，立方根的性质以及绝对值的性质，分别进行化简，然后再进行大小比较，即可得出答案。
10．（2024七下·昆明期中）如图，把两个边长为2的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（　　）
A． B．4 C． D．8
【答案】C
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：由图形可得，
∵小正方形的对角线=，
∴，
故答案为：C．
【分析】小正方形的对角线就是大正方形的边长，利用勾股定理求出对角线的长即可得到答案.
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.只要求填出最后结果.
11．（2024七上·宁阳期末）利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下：，则显示结果为　 　．
【答案】4
【知识点】计算器在数的开方中的应用
【解析】【解答】解：根据按键顺序可知：．
故答案为：8．
【分析】第一个 “2ndF” 键是第二功能键，按下它之后，再按其他键，就会执行该键的第二功能， 按下 “2ndF” 键后再按 “” 键，接着按 “6”“4”“=”，此时计算器执行的运算是求的平方根。 在计算器中，一般默认先显示正数结果，所以显示结果为。
12．（2025七下·海淀月考）已知，，那么　 　.
【答案】
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解∶ ∵，
==10×1.414=14.14，
故答案为∶．
【分析】
本题考查了算术平方根的概念，根据计算即可。
13．（2025七下·永兴月考）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的时，输出的值是　 　．
【答案】
【知识点】求算术平方根；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：当时，
则，是有理数，
，是有理数，
，是有理数，
是无理数，
所以输出的值是；
故答案为：．
【分析】将代入程序框图进行运算，即可求解．
14．（2024七下·平塘期末）若点A在数轴上的位置如图所示，则点A在数轴上表示的无理数可能是　 　．（只填一个）
【答案】(答案不唯一)
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：设点A在数轴上表示的数为，观察数轴可得，
∵
∴点A在数轴上表示的无理数可能是.
故答案为：(答案不唯一)．
【分析】根据数轴可以得到的取值范围，再结合a为无理数，即可得到满足条件的解．
15．（2024七下·凤凰期末）物体自由下落的高度h（单位：米）与下落时间t（单位：秒）的关系是．有一物体从米高的建筑物上自由落下，到达地面需要的时间为　 　秒．
【答案】5
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：把代入中可得：，则，
∵25的算术平方根为5，即，
∴到达地面需要的时间为5秒．
故答案为：5．
【分析】把代入求得t的值即可求出答案.
16．有下列说法：①无理数就是开方开不尽的数；②满足· 的整数x有4个；③-3是 的一个平方根；④不带根号的数都是有理数；⑤不是有限小数的不是有理数；⑥对于任意实数a，都有 其中正确的说法有　 　.(填序号)
【答案】②③
【知识点】无理数的估值；无理数的概念；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：①开方开不尽的数是无理数，但是有的数不开方也是无理数.例如，π，π/3等，因此①不正确，不符合题意；
②满足 的整数x有-1，0，1，2，共4个，因此②正确，符合题意；
③-3是9的一个平方根，而 ，因此③正确，符合题意；
④π就是无理数，不带根号的数也不一定是有理数，因此④不正确，不符合题意；
⑤无限循环小数是有理数，因此⑤不正确，不符合题意；
⑥若a<0，则 因此⑥不正确，不符合题意.因此正确的说法有②③.
【分析】根据有理数、无理数、实数的意义逐项进行判断即可.
三、解答题：本大题共8小题，共72分.
17．（2025七下·中江月考）判定下列各数，并把下列各数前面的序号写入相应的集合中：
①②③④⑤0 ⑥⑦
正实数集合{_____________________________________________…}；
无理数集合{_____________________________________________…}；
整数集合{_______________________________________________…}；
分数集合{_______________________________________________…}．
【答案】②，④；③，④；②，⑤，⑦；①，⑥
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：，，
∴正实数集合{②，④，…}；
无理数集合{③，④，…}；
整数集合{②，⑤，⑦，…}；
分数集合{①，⑥，…}．
故答案为：②，④；③，④；②，⑤，⑦；①，⑥．
【分析】实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无限不循环小数称为无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数．据此进行分类即可.
18．（2024七下·衡阳期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；化简含绝对值有理数；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据绝对值，立方根，算术平方根，有理数的乘方化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据平方根、立方根定义化简，再计算加减即可求出答案.
19． 在学习《实数》这一章时，我们利用“逐步逼近”的方法可以计算出 的近似值，得出 利用“逐步逼近”法，请回答下列问题：
（1）若 n精确到0.1，且m，n是连续的一位小数)，则 　 　.
（2）若a是 的小数部分，b是 的整数部分.
②求 的平方根.
【答案】（1）3.8
（2）解：由题意可得：
∴，b=2
②由①可得：
∴25的平方根为±5
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
由“逐步逼近”的方法可得
∴
∴m=3.8，n=3.9
故答案为：3.8
【分析】（1）根据“逐步逼近”的方法估算无理数的范围即可求出答案.
（2）估算无理数的范围可得a，b值，再代入代数式，结合平方根的性质即可求出答案.
20．（2024七上·玉环期中）教材上有这样一个合作学习活动：如图，依次连结方格四条边的中点，，，，得到一个阴影正方形，设每一小方格的边长为，得到阴影正方形面积为：
（1）发现图这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是_______，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法；
（2）如图，以个单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于，两点，则点表示的数为_______；
（3）如图，网格是由个边长为的小方格组成，画出面积是的正方形，使它的顶点在网格的格点上．
【答案】（1）
（2）
（3）解：∵大正方形的面积是，
∴大正方形的边长为，
可得小长方形的对角线长为，
作图如下：
阴影部分即为面积是的正方形．
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】（1）解：∵阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，
∴小方格对角线长等于，
故答案为：；
（2）解：如图，小正方形的对角线长为，
∴原点与之间的距离为，
∴点表示的数为，
故答案为：；
【分析】（）根据小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，可得小正方形的对角线长；
（）由小正方形对角线长为可得，原点与之间的距离为，从而可得到点表示的数；
（）根据大正方形的面积为，作边长为的正方形即可．
（1）解：∵阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，
∴小方格对角线长等于，
故答案为：；
（2）解：如图，小正方形的对角线长为，
∴原点与之间的距离为，
∴点表示的数为，
故答案为：；
（3）解：∵大正方形的面积是，
∴小长方形的对角线长为，
作图如下：
阴影部分即为面积是的正方形．
21．（2025七下·天河期末）天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离s（单位：千米）可用公式来估计，其中h（单位：米）是眼睛离海平面的高度．
（1）如果小天站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是1.6米时，能看到多远？
（2）若小天登上岸边的一个观望台A，已知小天眼睛离观望台地面的高度是1.6米，他想看到距离岸边大约10千米处的一个货轮B，则观望台至少离海平面高多少米才可以看得见？
【答案】（1）解：因为，
所以25，
所以s＝﹣5（舍）或s＝5，
答：能看到5千米远；
（2）解：当s＝10时，可得102h，
解得h＝6.4，
6.4﹣1.6＝4.8（米）．
则观望台至少离海平面高为4.8米．
【知识点】求算术平方根；算术平方根的实际应用
【解析】【分析】（1）将h=1.6代入 后算出其算数平方根即可
（2）将s=10代入 后算出h后减去小天眼睛离观望台的高度即可
22．（2025七下·金平期末） 阅读材料，完成下列任务：
【材料一】，，即 ， 的整数部分为 2，小数部分为 .
【材料二】若正方形面积为 105，则它的边长为 . 我们可以按照以下方法求得 近似值：
，，即 ，
设，其中 ，
如图 1，画出边长为 的正方形，根据图中面积，得 ，
较小，
忽略，得：，解得 ，.
【探究问题】
（1） 利用材料一中的方法， 的整数部分是　 　，小数部分是　 　；
（2） 利用材料二中的方法，探究的近似值（要求写出求解过程，结果精确到 0.01）；
（3）【思维拓展】
a是的小数部分，b是的小数部分，则 的值是多少？
（4） 探究 的近似值，直接写出结果：　 　（结果精确到 0.01）
【答案】（1）5；
（2）解：当正方形面积为149，则它的边长为.
，
，
，
，，
如图，作边长为的正方形，
由图得：，
，
较小，
忽略，得：，
解得：，
.
（3）解：，
，
，
，，
，.
（4）14.93
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1），
的整数部分为：5，小数部分为：．
故答案为：5；
（4），
，
，
，，
如图，作边长为的正方形，
由图得：，
，
较小，
忽略，得：，
解得：，
，
，，，，
故答案为：14.93
【分析】（1）根据材料一的信息，认真观察解答过程，然后对比方法便可以求解．
（2）本题考查阅读材料，分析材料，提取材料信息解题的能力，根据材料的解题方法便可以求解．
（3）根据材料一的方法求出的范围，在结合不等式性质就可以求出、的值，代式子可解得答案．
（4）综合材料一、二的方法，可求得，但是通过验证发现，所以逐个验证14.96以下的数值，可得到，本题考查探究能力，要求比较高．
23．（2024七上·宁波期中）魔方又叫鲁比克方块，与华容道、独立钻石棋一同被称为智力游戏界的三大不可思议、如图（1）是一个4阶魔方，由四层完全相同的64个小正方体组成，体积为．
（1）求组成这个4阶魔方的小正方体的棱长．
（2）若图（1）中的四边形是一个正方形，求该正方形的面积及边长．
（3）若把图（1）中正方形放在数轴上，如图（2），使得点A与表示1的点重合，那么点D在数轴上表示的数为________，这个数的绝对值是 ．
【答案】（1）解：，∴组成这个4阶魔方的小正方体的棱长为；
（2）解：由勾股定理得，
∴正方形的边长为，
∴正方形的面积为；
（3），
【知识点】实数在数轴上表示；数轴上两点之间的距离；立方根的实际应用
【解析】【解答】（3）解：∵，点A表示的数为1，
∴点D表示的数为．
这个数的绝对值是．
故答案为：，．
【分析】（1）根据小正方体的个数先求出体积，然后求出棱长即可；
（2）运用勾股定理得到边长，再利用正方形面积公式解题；
（3）根据（2）所求的正方形的边长，然后根据数轴上两点距离公式得到点D 表示得数并求绝对值．
（1）解：，
∴组成这个4阶魔方的小正方体的棱长为；
（2）解：由勾股定理得，
∴正方形的边长为，
∴正方形的面积为；
（3）解：∵，点A表示的数为1，
∴点D表示的数为．
这个数的绝对值是．
故答案为：，．
24．（2024七下·临海期中） 跟华罗庚学猜数：
据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：
①∵，，又∵，
∴，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9，又∵，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数46656，按这种方法求立方根，请完成下列填空：
①它的立方根是　 　位数；②它的立方根的个位数字是　 　；
③46656的立方根是　 　；
（2）求195112的立方根．（过程可按题目中的步骤写）
【答案】（1）两；6；36
（2）解：，又，
，
能确定195112的立方根是个两位数
的个位数是2，又，
能确定195112的立方根的个位数是8．
如果划去195112后面的三位112得到数195，
而，则，可得，
由此能确定195112的立方根的十位数是5，
因此195112的立方根是58．
【知识点】开立方（求立方根）；立方根的实际应用
【解析】【解答】解：（1）①，，
又，
，
能确定46656的立方根是个两位数．
②的个位数是6，
又，
能确定46656的立方根的个位数是6．
③如果划去46656后面的三位656得到数46，
而，则，可得，
由此能确定46656的立方根的十位数是3
因此46656的立方根是36．
故答案为：①两，②6，③36；
【分析】（1）根据题意先确定两位数，再确定各位数字和十位数字，即可得出结论；
（2）先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得出结论．
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