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培优课　等差数列的综合问题
1.在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0.若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，则k＝（　　）
A.22　 B.23
C.24 D.25
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3，a14是方程x2－4x＋3＝0的两根，则S16＝（　　）
A.32 B.30
C.28 D.26
3.已知x≠y，数列x，a1，a2，y与x，b1，b2，b3，y都是等差数列，则的值是（　　）
A. B.
C. D.
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝3，Sn－4＝12，Sn＝17，则n＝（　　）
A.17 B.15
C.13 D.11
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝1，且数列{an}从第6项开始为负数，则S7的取值范围是（　　）
A.[2，3） B.
C. D.
6.已知数列{an}的各项为互异正数，且其倒数构成公差为3的等差数列，则＝（　　）
A. B.
C.3 D.6
7.等差数列{an}中，a3＝5，a7＝9，设bn＝，则数列{bn}的前61项和为（　　）
A.7－ B.7
C.8－ D.8
8.在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，nSn＋1＞（n＋1）Sn（n∈N＋），且＜－1，则在Sn中（　　）
A.最小值是S7 B.最小值是S8
C.最大值是S8 D.最大值是S7
9.（多选）下列说法正确的是（　　）
A.给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式
B.若等差数列{an}的公差d＞0，则{an}是递增数列
C.若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列
D.若数列{an}是等差数列，则数列{an＋2an＋1}不一定是等差数列
10.（多选）等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝＋1且a1＝3，则（　　）
A.an＝2n＋1 B.an＝n＋1
C.Sn＝n2＋2n D.Sn＝4n2－n
11.（多选）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.关于这个问题，下列说法正确的是（　　）
A.甲得钱是戊得钱的2倍
B.乙得钱比丁得钱多钱
C.甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍
D.丁、戊得钱的和比甲得钱多钱
12.（多选）已知Sn是数列{an}的前n项和，若a1＝1，an≠0（n∈N＋），anan＋1＝3Sn－1（n∈N＋），则下列结论正确的是（　　）
A.a2＝2
B.数列{an}为等差数列
C.an＋an＋4＝2an＋2
D.S20＝300
13.等差数列{an}的前7项和等于前2项和，若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝　　　　 　.
14.一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了瓦片19层，共铺瓦片　　　　块.
15.两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则＝　　　　.
16.已知数列{an}的前n项和为Sn，点在直线y＝x上.若bn＝（－1）nan，数列{bn}的前n项和为Tn，则满足｜Tn｜≤20的n的最大值为　　　　.
17.等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知a3＝6，S10＝－15.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求n为何值时Sn的值最大.
18.已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝an＋，求数列的前n项和Tn.
培优课　等差数列的综合问题
1.A　由已知得a1＋（k－1）d＝7a1＋d，即k－1＝21，所以k＝22.
2.A　因a3，a14是方程x2－4x＋3＝0的两根，所以a3＋a14＝4，又Sn是等差数列{an}的前n项和，于是得S16＝×16＝8（a3＋a14）＝32，所以S16＝32.故选A.
3.A　∵数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各自都成等差数列，∴y＝x＋3（a2－a1），y＝x＋4（b2－b1），∴3（a2－a1）＝4（b2－b1），∴＝.故选A.
4.A　∵Sn－Sn－4＝an－3＋an－2＋an－1＋an＝5，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝3，∴（an－3＋a4）＋（an－2＋a3）＋（an－1＋a2）＋（an＋a1）＝4（a1＋an）＝8，∴a1＋an＝2，∴Sn＝＝17，解得n＝17.故选A.
5.D　设数列{an}的公差为d，因为数列{an}从第6项开始为负数，所以即所以－≤d＜－，S7＝＝（a2－d＋a2＋5d）＝7（1＋2d）＝7＋14d∈.故选D.
6.C　由题意，得－＝3（n≥2，n∈N＋），则an－1－an＝3an－1an，即an－1an＝，所以
＝＝3·＝3.
7.C　因为等差数列{an}满足a3＝5，a7＝9，所以公差d＝＝1，所以an＝a3＋（n－3）d＝n＋2，所以bn＝＝－.设数列{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝－＋－＋…＋－＝－，所以S61＝8－.故选C.
8.A　设等差数列{an}的公差为d，由nSn＋1＞（n＋1）Sn，得＞，即－＞0.而－＝，所以d＞0.因为＜－1，所以＜0，即a7（a7＋a8）＜0.由于d＞0，因此数列{an}是递增数列，所以a7＜0，a7＋a8＞0，所以a7＜0，a8＞0，所以在Sn中最小值是S7.
9.BC　A选项，给出数列的有限项不一定可以确定数列的通项公式，故A不正确；B选项，由等差数列性质知，若公差d＞0，则{an}必是递增数列，故B正确；C选项，当a＝b＝c＝1时，＝＝＝1，则，，是等差数列，故C正确；D选项，数列{an}是等差数列，设其公差为d，则an＋2an＋1＝a1＋（n－1）d＋2a1＋2nd＝3a1＋（3n－1）d＝3a1＋2d＋（n－1）3d，{an＋2an＋1}也是等差数列，故D不正确.故选B、C.
10.AC　设{an}的公差为d，∵Sn＝na1＋d，∴＝a1＋·d＝·n＋a1－，即为等差数列，公差为，由－＝1知＝1 d＝2，故an＝2n＋1，Sn＝＝n2＋2n.故选A、C.
11.AC　依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，且a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，即a＝－6d，又a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，∴a＝1，d＝－，即a－2d＝1－2×＝，a－d＝1－＝，a＋d＝1＋＝，a＋2d＝1＋2×＝，∴甲得钱，乙得钱，丙得1钱，丁得钱，戊得钱，则有如下结论：甲得钱是戊得钱的2倍，故A正确；乙得钱比丁得钱多－＝钱，故B错误；甲、丙得钱的和是乙得钱的＝2倍，故C正确；丁、戊得钱的和比甲得钱多＋－＝钱，故D错误.故选A、C.
12.ACD　anan＋1＝3Sn－1，n∈N＋，当n≥2时，an－1an＝3Sn－1－1，两式相减得，an（an＋1－an－1）＝3an，又an≠0，则an＋1－an－1＝3.当n＝1时，a1a2＝3S1－1＝3a1－1＝2，则a2＝2，A正确；因为a3＝a1＋3＝4，a2－a1＝1，a3－a2＝2，即a3－a2≠a2－a1，所以数列{an}不是等差数列，B不正确；因为a3－a1＝3，所以an＋2－an＝3，n∈N＋，所以an＋4－an＋2＝3，即有an＋4－an＋2＝an＋2－an，an＋an＋4＝2an＋2成立，C正确；由C可知，数列{an}的奇数项是以a1＝1为首项，3为公差的等差数列，数列{an}的偶数项是以a2＝2为首项，3为公差的等差数列，所以S20＝（a1＋a3＋…＋a19）＋（a2＋a4＋…＋a20）＝（10a1＋45×3）＋（10a2＋45×3）＝300，D正确.故选A、C、D.
13.6　解析：设等差数列{an}的公差为d，由S7＝S2，则7a1＋21d＝2a1＋d，即a1＝－4d，因为a1＝1，所以d＝－，因为ak＋a4＝0，即1＋（k－1）×＋1＋3×＝0，解得k＝6.
14.570　解析：根据题意可知，每一层所铺瓦片由上至下依次构成一个等差数列.设数列为{an}，则a1＝21，d＝1，n＝19，∴S19＝＝570，即该斜面共铺了570块瓦片.
15.4　解析：∵＝，∴＝＝＝＝＝＝4.
16.13　解析：由题意知：＝，则Sn＝，当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1，而a1＝3×1－1＝2符合上式，∴an＝3n－1，n∈N＋，∴bn＝（－1）nan＝（－1）n（3n－1），∴Tn＝－2＋5－8＋11－…＋（－1）n（3n－1），当n为奇数时，Tn＝－（3n－1）＝－，当n为偶数时，Tn＝，∴要使｜Tn｜≤20，即≤20且≤20，解得n≤13且n∈N＋.
17.解：（1）设等差数列的公差为d，因为a3＝6，S10＝－15，
所以有
an＝12＋（n－1）·（－3）＝－3n＋15，
即an＝－3n＋15.
（2）由（1）可得a1＝12，d＝－3，
所以Sn＝n×12＋×（－3）＝－n2＋n.
由Sn＝－n2＋n＝－＋，n∈N＋得，当n＝4或n＝5时Sn的值最大.
18.解：（1）由Sn＝n2＋n可得，a1＝S1＝，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－（n－1）2－（n－1）＝2n－，式子对n＝1时也成立.
故数列{an}的通项公式为an＝2n－（n∈N＋）.
（2）由（1）得，bn＝2n，＝＝，
所以Tn＝（ 1－＋－＋…＋－）
＝＝.
1 / 2培优课　等差数列的综合问题
题型一 数列中的数学文化
【例1】　《张丘建算经》中有一道题：“今有十等人，大官甲等十人（即每等一人），官赐金，依等次差（即等差）降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？”根据题意，可得每等人比其下一等人多得金（　　）
A.斤　　B.斤　　C.斤　　D.斤
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
　　以数学文化为背景的等差数列问题的求解关键是：（1）会脱去数学文化的背景，读懂题意；（2）构建模型，即由题意构建等差数列的模型；（3）解模，即把文字语言转化为求等差数列的相关问题，如求指定项、公差或项数、通项公式或前n项和等.
【跟踪训练】
我国古代数学名著《张丘建算经》有“分钱问题”如下：“今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还数聚与均分之，人得一百钱，问人几何.”则分钱问题中的人数为　　　　.
题型二 数列中的公共项问题
【例2】　在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们的公共项从小到大依次排列构成的数列的通项公式及公共项的个数.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
　　有关两个等差数列公共项的问题，处理办法一般有两种：一是先利用两数列的公共项组成的新等差数列的公差为两个等差数列公差的最小公倍数求新数列的公差，然后找到第一项后用通项公式解决；二是从通项公式入手，建立am＝bn这样的方程，利用n＝f（m），借助n，m均为正整数，得到n（或m）可取的整数形式，再求一定范围内的整数解，从而解决问题.
【跟踪训练】
已知数列{an}，{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1与b1，且b1∈N＋，a1＋b2 023＝－2.设cn＝（n∈N＋），则数列{cn}的通项公式为　　　　.
题型三 等差数列前n项和与不等式的综合
【例3】　记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9＝－a5.
（1）若a3＝4，求{an}的通项公式；
（2）若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
　　数列经常与不等式相结合，数列的通项公式是数列的核心问题，抓住方程、不等式之间的关系灵活处理.
【跟踪训练】
（2021·新高考Ⅱ卷）记Sn是公差不为0的等差数列的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4.
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）求使Sn＞an成立的n的最小值.
培优课　等差数列的综合问题
【典型例题·精研析】
【例1】　B　设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列{an}为等差数列，设公差为d（d＞0），则每等人比下一等人多得d斤金，由题意得即解得d＝，故每等人比其下一等人多得金斤.
跟踪训练
　195　解析：设人数为n，则由题意可知，每人分得钱数构成公差为1，首项为3的等差数列，且前n项和Sn＝100n，又Sn＝＋3n，所以＋3n＝100n，解得n＝195.
【例2】　解：法一　由题可知，第一个数列是首项为2，公差为3的等差数列，记为{an}，则其通项公式为an＝3n－1；
第二个数列是首项为2，公差为5的等差数列，记为{bm}，则其通项公式为bm＝5m－3.
若数列{an}的第n项与数列{bm}的第m项相同，
即an＝bm，则3n－1＝5m－3，∴n＝＝m＋.
又n∈N＋，∴必有m－1＝3k，即m＝3k＋1（k为非负整数），
又2≤5m－3≤197，∴1≤m≤40，∴m＝1，4，7，…，40.
∴两数列的公共项为2，17，32，…，197.
设公共项从小到大依次排列构成的数列为{cp}，则其通项公式为cp＝15p－13，公共项有＋1＝14（个）.
法二　设两数列的公共项从小到大依次排列构成的数列为{cp}，则c1＝2.
∵两数列为等差数列，且易知它们的公差分别为3，5，∴数列{cp}仍为等差数列，且公差d＝15.∴cp＝c1＋（p－1）d＝2＋（p－1）×15＝15p－13.
令2≤15p－13≤197，知1≤p≤14.∴两数列共有14个公共项.
跟踪训练
　cn＝n－2 026　解析：由题意知，bn＝b1＋（n－1）×1＝b1＋n－1.由b1∈N＋及n∈N＋知，bn∈N＋.于是cn＝＝a1＋（bn－1）×1＝a1＋bn－1＝a1＋[b2 023＋（n－2 023）×1]－1＝（a1＋b2 023）＋n－2 024＝n－2 026.
【例3】　解：（1）设{an}的公差为d.由S9＝－a5得a1＋4d＝0.
由a3＝4得a1＋2d＝4.
于是a1＝8，d＝－2.因此{an}的通项公式为an＝10－2n.
（2）由S9＝－a5得a1＝－4d，故an＝（n－5）d，Sn＝.
由a1＞0知d＜0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10.
故n的取值范围是{n｜1≤n≤10，n∈N}.
跟踪训练
　解：（1）设公差为d.
∵S5＝5a3＝a3 a3＝0，∴S4＝2（a2＋a3）＝2a2.
∴a2a4＝S4 a2a4＝2a2.
由公差d≠0及a3＝0知a2≠0，∴a4＝2，d＝2，则an＝a3＋2（n－3）＝2n－6.
（2）Sn＝＝＝n2－5n，
由Sn＞an n2－5n＞2n－6 （n－1）（n－6）＞0 n＜1或n＞6.
∵n∈N＋，∴n的最小值为7.
2 / 2(共49张PPT)
培优课　
等差数列的综合问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 数列中的数学文化
【例1】　《张丘建算经》中有一道题：“今有十等人，大官甲等十
人（即每等一人），官赐金，依等次差（即等差）降之，上三人先
入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三斤，持出，中间三人未到
者，亦依等次更给，问各得金几何？”根据题意，可得每等人比其下
一等人多得金（　　）
A. 斤 B. 斤
C. 斤 D. 斤
解析： 　设第十等人得金 a1斤，第九等人得金 a2斤，以此类推，第
一等人得金 a10斤，则数列{ an }为等差数列，设公差为 d （ d ＞0），
则每等人比下一等人多得 d 斤金，由题意得即
解得 d ＝ ，故每等人比其下一等人多得金 斤.
通性通法
　　以数学文化为背景的等差数列问题的求解关键是：（1）会脱去
数学文化的背景，读懂题意；（2）构建模型，即由题意构建等差数
列的模型；（3）解模，即把文字语言转化为求等差数列的相关问
题，如求指定项、公差或项数、通项公式或前 n 项和等.
【跟踪训练】
我国古代数学名著《张丘建算经》有“分钱问题”如下：“今有与人
钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多
一钱，与讫，还数聚与均分之，人得一百钱，问人几何.”则分钱问
题中的人数为 .
解析：设人数为 n ，则由题意可知，每人分得钱数构成公差为1，首项
为3的等差数列，且前 n 项和 Sn ＝100 n ，又 Sn ＝ ＋3 n ，所以
＋3 n ＝100 n ，解得 n ＝195.
195
题型二 数列中的公共项问题
【例2】　在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197
中，求它们的公共项从小到大依次排列构成的数列的通项公式及公共
项的个数.
解：法一　由题可知，第一个数列是首项为2，公差为3的等差数列，
记为{ an }，则其通项公式为 an ＝3 n －1；
第二个数列是首项为2，公差为5的等差数列，记为{ bm }，则其通项公
式为 bm ＝5 m －3.
若数列{ an }的第 n 项与数列{ bm }的第 m 项相同，
即 an ＝ bm ，则3 n －1＝5 m －3，∴ n ＝ ＝ m ＋ .
又 n ∈N＋，∴必有 m －1＝3 k ，即 m ＝3 k ＋1（ k 为非负整数），
又2≤5 m －3≤197，∴1≤ m ≤40，∴ m ＝1，4，7，…，40.
∴两数列的公共项为2，17，32，…，197.
设公共项从小到大依次排列构成的数列为{ cp }，则其通项公式为 cp ＝
15 p －13，公共项有 ＋1＝14（个）.
法二　设两数列的公共项从小到大依次排列构成的数列为{ cp }，则 c1
＝2.
∵两数列为等差数列，且易知它们的公差分别为3，5，∴数列{ cp }仍
为等差数列，且公差 d ＝15.∴ cp ＝ c1＋（ p －1） d ＝2＋（ p －1）
×15＝15 p －13.
令2≤15 p －13≤197，知1≤ p ≤14.∴两数列共有14个公共项.
通性通法
　　有关两个等差数列公共项的问题，处理办法一般有两种：一是先
利用两数列的公共项组成的新等差数列的公差为两个等差数列公差的
最小公倍数求新数列的公差，然后找到第一项后用通项公式解决；二
是从通项公式入手，建立 am ＝ bn 这样的方程，利用 n ＝ f （ m ），借
助 n ， m 均为正整数，得到 n （或 m ）可取的整数形式，再求一定范
围内的整数解，从而解决问题.
【跟踪训练】
已知数列{ an }，{ bn }都是公差为1的等差数列，其首项分别为 a1与
b1，且 b1∈N＋， a1＋ b2 023＝－2.设 cn ＝ （ n ∈N＋），则数列{ cn }
的通项公式为 .
解析：由题意知， bn ＝ b1＋（ n －1）×1＝ b1＋ n －1.由 b1∈N＋及 n
∈N＋知， bn ∈N＋.于是 cn ＝ ＝ a1＋（ bn －1）×1＝ a1＋ bn －1＝
a1＋[ b2 023＋（ n －2 023）×1]－1＝（ a1＋ b2 023）＋ n －2 024＝ n －2
026.
cn ＝ n －2 026
题型三 等差数列前 n 项和与不等式的综合
【例3】　记 Sn 为等差数列{ an }的前 n 项和.已知 S9＝－ a5.
（1）若 a3＝4，求{ an }的通项公式；
解： 设{ an }的公差为 d .
由 S9＝－ a5得 a1＋4 d ＝0.
由 a3＝4得 a1＋2 d ＝4.
于是 a1＝8， d ＝－2.
因此{ an }的通项公式为 an ＝10－2 n .
（2）若 a1＞0，求使得 Sn ≥ an 的 n 的取值范围.
解： 由 S9＝－ a5得 a1＝－4 d ，故 an ＝（ n －5） d ， Sn ＝
.
由 a1＞0知 d ＜0，故 Sn ≥ an 等价于 n2－11 n ＋10≤0，解得1≤ n
≤10.
故 n 的取值范围是{ n ｜1≤ n ≤10， n ∈N}.
通性通法
　　数列经常与不等式相结合，数列的通项公式是数列的核心问题，
抓住方程、不等式之间的关系灵活处理.
【跟踪训练】
（2021·新高考Ⅱ卷）记 Sn 是公差不为0的等差数列 的前 n 项和，
若 a3＝ S5， a2 a4＝ S4.
（1）求数列{ an }的通项公式 an ；
解： 设公差为 d .
∵ S5＝5 a3＝ a3 a3＝0，∴ S4＝2（ a2＋ a3）＝2 a2.
∴ a2 a4＝ S4 a2 a4＝2 a2.
由公差 d ≠0及 a3＝0知 a2≠0，∴ a4＝2， d ＝2，则 an ＝ a3＋2
（ n －3）＝2 n －6.
（2）求使 Sn ＞ an 成立的 n 的最小值.
解： Sn ＝ ＝ ＝ n2－5 n ，
由 Sn ＞ an n2－5 n ＞2 n －6 （ n －1）（ n －6）＞0 n ＜1或 n
＞6.
∵ n ∈N＋，∴ n 的最小值为7.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 在等差数列{ an }中，首项 a1＝0，公差 d ≠0.若 ak ＝ a1＋ a2＋ a3
＋…＋ a7，则 k ＝（　　）
A. 22 B. 23 C. 24 D. 25
解析： 　由已知得 a1＋（ k －1） d ＝7 a1＋ d ，即 k －1＝21，
所以 k ＝22.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2. 设等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若 a3， a14是方程 x2－4 x ＋3＝0
的两根，则 S16＝（　　）
A. 32 B. 30 C. 28 D. 26
解析： 因 a3， a14是方程 x2－4 x ＋3＝0的两根，所以 a3＋ a14＝
4，又 Sn 是等差数列{ an }的前 n 项和，于是得 S16＝ ×16＝8
（ a3＋ a14）＝32，所以 S16＝32.故选A.
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3. 已知 x ≠ y ，数列 x ， a1， a2， y 与 x ， b1， b2， b3， y 都是等差数
列，则 的值是（　　）
A. B. C. D.
解析： 　∵数列 x ， a1， a2， y 和 x ， b1， b2， b3， y 各自都成等
差数列，∴ y ＝ x ＋3（ a2－ a1）， y ＝ x ＋4（ b2－ b1），∴3（ a2
－ a1）＝4（ b2－ b1），∴ ＝ .故选A.
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4. 已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ， S4＝3， Sn－4＝12， Sn ＝17，
则 n ＝（　　）
A. 17 B. 15 C. 13 D. 11
解析： 　∵ Sn － Sn－4＝ an－3＋ an－2＋ an－1＋ an ＝5， S4＝ a1＋ a2
＋ a3＋ a4＝3，∴（ an－3＋ a4）＋（ an－2＋ a3）＋（ an－1＋ a2）＋
（ an ＋ a1）＝4（ a1＋ an ）＝8，∴ a1＋ an ＝2，∴ Sn ＝
＝17，解得 n ＝17.故选A.
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5. 设等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若 a2＝1，且数列{ an }从第6项开
始为负数，则 S7的取值范围是（　　）
A. [2，3） B.
C. D.
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解析： 　设数列{ an }的公差为 d ，因为数列{ an }从第6项开始为
负数，所以即所以－ ≤ d ＜－
， S7＝ ＝ （ a2－ d ＋ a2＋5 d ）＝7（1＋2 d ）＝7＋
14 d ∈ .故选D.
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6. 已知数列{ an }的各项为互异正数，且其倒数构成公差为3的等差数
列，则 ＝（　　）
A. B. C. 3 D. 6
解析： 　由题意，得 － ＝3（ n ≥2， n ∈N＋），则 an－1－
an ＝3 an－1 an ，即 an－1 an ＝ ，所以
＝ ＝3· ＝3.
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7. 等差数列{ an }中， a3＝5， a7＝9，设 bn ＝ ，则数列{ bn }
的前61项和为（　　）
A. 7－ B. 7 C. 8－ D. 8
解析： 　因为等差数列{ an }满足 a3＝5， a7＝9，所以公差 d ＝
＝1，所以 an ＝ a3＋（ n －3） d ＝ n ＋2，所以 bn ＝
＝ － .设数列{ bn }的前 n 项和为 Sn ，则 Sn
＝ － ＋ － ＋…＋ － ＝ － ，所
以 S61＝8－ .故选C.
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8. 在等差数列{ an }中，其前 n 项和为 Sn ， nSn＋1＞（ n ＋1） Sn （ n
∈N＋），且 ＜－1，则在 Sn 中（　　）
A. 最小值是 S7 B. 最小值是 S8
C. 最大值是 S8 D. 最大值是 S7
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解析： 设等差数列{ an }的公差为 d ，由 nSn＋1＞（ n ＋1） Sn ，
得 ＞ ，即 － ＞0.而 － ＝ ，所以 d ＞0.因为
＜－1，所以 ＜0，即 a7（ a7＋ a8）＜0.由于 d ＞0，因此数
列{ an }是递增数列，所以 a7＜0， a7＋ a8＞0，所以 a7＜0， a8＞0，
所以在 Sn 中最小值是 S7.
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9. （多选）下列说法正确的是（　　）
A. 给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式
B. 若等差数列{ an }的公差 d ＞0，则{ an }是递增数列
C. 若 a ， b ， c 成等差数列，则 ， ， 可能成等差数列
D. 若数列{ an }是等差数列，则数列{ an ＋2 an＋1}不一定是等差数列
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解析： 　A选项，给出数列的有限项不一定可以确定数列的通项
公式，故A不正确；B选项，由等差数列性质知，若公差 d ＞0，则
{ an }必是递增数列，故B正确；C选项，当 a ＝ b ＝ c ＝1时， ＝
＝ ＝1，则 ， ， 是等差数列，故C正确；D选项，数列{ an }是
等差数列，设其公差为 d ，则 an ＋2 an＋1＝ a1＋（ n －1） d ＋2 a1＋
2 nd ＝3 a1＋（3 n －1） d ＝3 a1＋2 d ＋（ n －1）3 d ，{ an ＋2 an＋1}
也是等差数列，故D不正确.故选B、C.
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10. （多选）等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若 ＝ ＋1且 a1
＝3，则（　　）
A. an ＝2 n ＋1 B. an ＝ n ＋1
C. Sn ＝ n2＋2 n D. Sn ＝4 n2－ n
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解析： 　设{ an }的公差为 d ，∵ Sn ＝ na1＋ d ，∴
＝ a1＋ · d ＝ · n ＋ a1－ ，即 为等差数列，公差为 ，由
－ ＝1知 ＝1 d ＝2，故 an ＝2 n ＋1， Sn ＝
＝ n2＋2 n .故选A、C.
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11. （多选）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问
题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几
何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两
人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得
依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重
量单位）.关于这个问题，下列说法正确的是（　　）
A. 甲得钱是戊得钱的2倍
B. 乙得钱比丁得钱多 钱
C. 甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍
D. 丁、戊得钱的和比甲得钱多 钱
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解析： 　依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a －2
d ， a － d ， a ， a ＋ d ， a ＋2 d ，且 a －2 d ＋ a － d ＝ a ＋ a ＋ d ＋
a ＋2 d ，即 a ＝－6 d ，又 a －2 d ＋ a － d ＋ a ＋ a ＋ d ＋ a ＋2 d ＝5
a ＝5，∴ a ＝1， d ＝－ ，即 a －2 d ＝1－2× ＝ ， a － d ＝
1－ ＝ ， a ＋ d ＝1＋ ＝ ， a ＋2 d ＝1＋2× ＝
，∴甲得 钱，乙得 钱，丙得1钱，丁得 钱，戊得 钱，则有
如下结论：甲得钱是戊得钱的2倍，故A正确；
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乙得钱比丁得钱多 － ＝ 钱，故B错误；甲、丙得钱的和是乙得钱
的 ＝2倍，故C正确；丁、戊得钱的和比甲得钱多 ＋ － ＝ 钱，
故D错误.故选A、C.
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12. （多选）已知 Sn 是数列{ an }的前 n 项和，若 a1＝1， an ≠0（ n ∈N
＋）， anan＋1＝3 Sn －1（ n ∈N＋），则下列结论正确的是
（　　）
A. a2＝2 B. 数列{ an }为等差数列
C. an ＋ an＋4＝2 an＋2 D. S20＝300
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解析： 　 anan＋1＝3 Sn －1， n ∈N＋，当 n ≥2时， an－1 an ＝3
Sn－1－1，两式相减得， an （ an＋1－ an－1）＝3 an ，又 an ≠0，则 an
＋1－ an－1＝3.当 n ＝1时， a1 a2＝3 S1－1＝3 a1－1＝2，则 a2＝2，
A正确；因为 a3＝ a1＋3＝4， a2－ a1＝1， a3－ a2＝2，即 a3－ a2≠
a2－ a1，所以数列{ an }不是等差数列，B不正确；因为 a3－ a1＝
3，所以 an＋2－ an ＝3， n ∈N＋，所以 an＋4－ an＋2＝3，即有 an＋4－
an＋2＝ an＋2－ an ， an ＋ an＋4＝2 an＋2成立，C正确；
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由C可知，数列{ an }的奇数项是以 a1＝1为首项，3为公差的等差数列，
数列{ an }的偶数项是以 a2＝2为首项，3为公差的等差数列，所以 S20
＝（ a1＋ a3＋…＋ a19）＋（ a2＋ a4＋…＋ a20）＝（10 a1＋45×3）＋
（10 a2＋45×3）＝300，D正确.故选A、C、D.
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13. 等差数列{ an }的前7项和等于前2项和，若 a1＝1， ak ＋ a4＝0，则
k ＝ .
解析：设等差数列{ an }的公差为 d ，由 S7＝ S2，则7 a1＋21 d ＝2 a1
＋ d ，即 a1＝－4 d ，因为 a1＝1，所以 d ＝－ ，因为 ak ＋ a4＝0，
即1＋（ k －1）× ＋1＋3× ＝0，解得 k ＝6.
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14. 一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了瓦片21块，往
下每一层多铺1块，斜面上铺了瓦片19层，共铺瓦片 块.
解析：根据题意可知，每一层所铺瓦片由上至下依次构成一个等
差数列.设数列为{ an }，则 a1＝21， d ＝1， n ＝19，∴ S19＝
＝570，即该斜面共铺了570块瓦片.
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15. 两个等差数列{ an }和{ bn }的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn ，若 ＝
，则 ＝ .
解析：∵ ＝ ，∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝
＝4.
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16. 已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，点 在直线 y ＝ x 上.若
bn ＝（－1） nan ，数列{ bn }的前 n 项和为 Tn ，则满足｜ Tn ｜≤20
的 n 的最大值为 .
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解析：由题意知： ＝ ，则 Sn ＝ ，当 n ＝1时， a1＝ S1
＝2；当 n ≥2时， an ＝ Sn － Sn－1＝3 n －1，而 a1＝3×1－1＝2符
合上式，∴ an ＝3 n －1， n ∈N＋，∴ bn ＝（－1） nan ＝（－1） n
（3 n －1），∴ Tn ＝－2＋5－8＋11－…＋（－1） n （3 n －1），
当 n 为奇数时， Tn ＝ －（3 n －1）＝－ ，当 n 为偶
数时， Tn ＝ ，∴要使｜ Tn ｜≤20，即 ≤20且 ≤20，解
得 n ≤13且 n ∈N＋.
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17. 等差数列{ an }的前 n 项和记为 Sn ，已知 a3＝6， S10＝－15.
（1）求{ an }的通项公式；
解： 设等差数列的公差为 d ，因为 a3＝6， S10＝－15，
所以有
an ＝12＋（ n －1）·（－3）＝－3 n ＋15，
即 an ＝－3 n ＋15.
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（2）求 Sn ，并求 n 为何值时 Sn 的值最大.
解： 由（1）可得 a1＝12， d ＝－3，
所以 Sn ＝ n ×12＋ ×（－3）
＝－ n2＋ n .
由 Sn ＝－ n2＋ n ＝－ ＋ ， n ∈N＋得，当 n
＝4或 n ＝5时 Sn 的值最大.
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18. 已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ＝ n2＋ n .
（1）求数列{ an }的通项公式；
解： 由 Sn ＝ n2＋ n 可得， a1＝ S1＝ ，
当 n ≥2时， an ＝ Sn － Sn－1＝ n2＋ n －（ n －1）2－ （ n －
1）＝2 n － ，式子对 n ＝1时也成立.
故数列{ an }的通项公式为 an ＝2 n － （ n ∈N＋）.
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（2）设 bn ＝ an ＋ ，求数列 的前 n 项和 Tn .
解： 由（1）得， bn ＝2 n ， ＝ ＝
，
所以 Tn ＝ （ 1－ ＋ － ＋…＋ － ）＝ ＝
.
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