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3.1　等比数列的概念及其通项公式
第一课时　等比数列的概念及其通项公式
1.在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4＝（　　）
A.108　 B.54
C.36 D.18
2.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为（　　）
A.4 B.8
C.6 D.32
3.已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝（　　）
A.4× B.4×
C.4× D.4×
4.数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为（　　）
A. B.4
C.2 D.
5.（多选）下列关于公比为q的等比数列{an}的叙述不正确的是（　　）
A.q＞1 {an}为递增数列
B.{an}为递增数列 q＞1
C.0＜q＜1 {an}为递减数列
D.q＞1 / {an}为递增数列且{an}为递增数列 / q＞1
6.（多选）已知数列{an}，下列选项不正确的是（　　）
A.若＝4n，n∈N＋，则{an}为等比数列
B.若anan＋2＝，n∈N＋，则{an}为等比数列
C.若aman＝2m＋n，m，n∈N＋，则{an}为等比数列
D.若anan＋3＝an＋1an＋2，n∈N＋，则{an}为等比数列
7.在等比数列{an}中，若a1＝2，a4＝4，则a7＝　　　　.
8.等比数列{an}中，a4＝2，a5＝4，则数列{lg an}的通项公式为　　　　.
9.三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，则这三个数是　　　　.
10.在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8.
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）若an＝，求n.
11.已知在单调递减的等比数列{an}中，a1＞0，则该数列的公比q的取值范围是（　　）
A.{1} B.（－∞，0）
C.（1，＋∞） D.（0，1）
12.（多选）已知等比数列{an}的公比为q，且a5＝1，则下列选项正确的是（　　）
A.a3＋a7≥2 B.a4＋a6≥2
C.a7－2a6＋1≥0 D.a3－2a4－1≥0
13.已知数列a1，，，…，是首项为4，公比为的等比数列，则a4＝　　　　.
14.已知数列{an}，{bn}满足下列条件：a1＝0，a2＝1，2an＋2＝an＋an＋1，bn＝an＋1－an.
（1）求证：{bn}是等比数列；
（2）求{bn}的通项公式.
15.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij（i，j∈N＋），则a53＝（　　）
，
，，
……
A.　　　B.　　　C.　　　D.
16.设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0（n＝1，2，3，…）有两实根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.
（1）试用an表示an＋1；
（2）求证：是等比数列；
（3）当a1＝时，求数列{an}的通项公式.
第一课时　等比数列的概念及其通项公式
1.B　因为an＋1＝3an，所以数列{an}是公比为3的等比数列，则a4＝33a1＝54.
2.C　设a1＝4，an＝128，q＝2，则an＝a1qn－1，即128＝4×2n－1＝2n＋1，故n＋1＝7，得n＝6.
3.C　由题意，知＝，即（a＋1）2＝（a－1）（a＋4），解得a＝5，所以＝＝.又a－1＝4，所以数列{an}是首项为4，公比为的等比数列，所以an＝4×.
4.C　因为a1，a3，a7为等比数列{bn}中的连续三项，所以＝，即＝a1a7，设数列{an}的公差为d，则d≠0，所以（a1＋2d）2＝a1（a1＋6d），所以a1＝2d，所以公比q＝＝＝2.
5.ABC　若a1＝－2，q＝2＞1，则{an}的各项为－2，－4，－8，…，是递减数列，A不正确；若等比数列{an}的各项为－16，－8，－4，－2，…，是递增数列，则q＝＜1，B不正确，D正确；若a1＝－16，q＝∈（0，1），则{an}的各项为－16，－8，－4，…，显然是递增数列，C不正确.
6.ABD　由＝4n知｜an｜＝2n，则数列{an}未必是等比数列；对于B、D选项，满足条件的数列中可以存在零项，故数列{an}不一定是等比数列；对于C选项，由aman＝2m＋n知，aman＋1＝2m＋n＋1，两式相除得＝2（n∈N＋），故数列{an}是等比数列.故选A、B、D.
7.8　解析：由a4＝a1q3得q3＝2，q＝，∴a7＝a1q6＝2×（）6＝8.
8.lg an＝（n－3）lg 2　解析：∵a5＝a4q，∴q＝2，∴a1＝＝，∴an＝·2n－1＝2n－3，∴lg an＝（n－3）lg 2.
9.8，4，2或2，4，8　解析：设这三个数所成等比数列中的项依次为，a，aq（aq≠0），则＋a＋aq＝14，·a·aq＝64，即a＝14，a3＝64，解得a＝4，q＝或2.故这三个数所成的等比数列为8，4，2或2，4，8.
10.解：（1）因为所以q2＝＝.
所以q＝±，a1＝128.
当q＝时，an＝a1qn－1＝128×＝28－n；
当q＝－时，an＝a1qn－1＝128×.
所以an＝28－n或an＝128×.
（2）当an＝时，28－n＝或128×＝，
解得n＝9.
11.D　因为等比数列{an}单调递减，a1＞0，所以q＞0，an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1（q－1）＜0，所以qn－1（q－1）＜0.又因为n≥1，所以qn－1＞0，q－1＜0，所以0＜q＜1，故选D.
12.AC　因为等比数列{an}的公比为q（q≠0），且a5＝a3q2＝1，所以a3＝，a4＝，a6＝q，a7＝q2.a3＋a7＝＋q2≥2，当且仅当q2＝1时取等号，故A正确；a4＋a6＝＋q，当q＜0时，a4＋a6＜0，故B错误；a7－2a6＋1＝q2－2q＋1＝（q－1）2≥0，故C正确；a3－2a4－1＝－－1＝（ －1）2－2，存在q使得a3－2a4－1＜0，故D错误.故选A、C.
13.4　解析：∵数列a1，，，…，是首项为4，公比为的等比数列，∴＝4×＝23－n，∴a4＝a1×××＝4×2×1×＝4.
14.解：（1）证明：由条件得＝＝＝－.∴{bn}是等比数列.
（2）∵b1＝a2－a1＝1，公比q＝－，
∴bn＝1×＝.
15.C　第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋（5－1）×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×（ ）2＝.
16.解：（1）由根与系数的关系，得
代入题设条件6（α＋β）－2αβ＝3，
得－＝3.所以an＋1＝an＋.
（2）证明：因为an＋1＝an＋，
所以an＋1－＝.
若an＝，则方程anx2－an＋1x＋1＝0，
可化为x2－x＋1＝0，即2x2－2x＋3＝0.
此时Δ＝（－2）2－4×2×3＜0，所以an≠，即an－≠0.
所以数列是以为公比的等比数列.
（3）当a1＝时， a1－＝，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以an－＝×＝，
所以an＝＋，n＝1，2，3，…，
即数列{an}的通项公式为an＝＋，n＝1，2，3，….
2 / 23.1　等比数列的概念及其通项公式
第一课时　等比数列的概念及其通项公式
新课程标准解读 核心素养
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义 数学抽象
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题 逻辑推理、数学运算
3.体会等比数列与指数函数的关系 数学抽象
我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”
【问题】　（1）你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？
（2）根据数列相邻两项的关系，上述数列有什么特点？
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是　　　　　　，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的　　　　，通常用字母　　　表示（q≠0）.
提醒　理解等比数列概念应注意3点：①“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；②“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；③“同一常数q”，q是等比数列的公比，即q＝（n≥2）或q＝.特别注意q不可以为零，当q＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列都是公比为1的等比数列，当q＝－1时，等比数列正负相间且相邻两项的和为零，等比数列的任何一项都不能为零.
知识点二　等比数列的通项公式
若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝　　　　（a1≠0，q≠0）.
知识点三　等比数列的函数特征
1.等比数列通项公式的函数解释
类比等差数列与一次函数的关系，等比数列与指数函数有以下关系：由an＝a1qn－1知它是指数型函数y＝a1qx中x≥2，x∈N＋的情形.其具有指数型函数的某些特征.
2.等比数列的增减性
根据指数函数的单调性，分析等比数列an＝a1qn－1（q＞0）的增减性：
a1 a1＞0 a1＜0
q的范围 0＜ q＜1 q＝1 q＞1 0＜q ＜1 q＝1 q＞1
数列{an} 的增减性 　 　 　 　 　 　
【想一想】
如果一个数列{an}的通项公式为an＝aqn，其中a，q都是不为0的常数，那么这个数列是等比数列吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）数列1，－1，1，－1，…是等比数列.（　　）
（2）若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列.（　　）
（3）等比数列的首项不能为零，但公比可以为零.（　　）
2.等比数列{an}中，a1＝3，公比q＝2，则a5＝（　　）
A.32　　　　　　　 B.－48
C.48 D.96
3.已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝　　　　.
题型一 等比数列基本量的运算
【例1】　在等比数列{an}中：
（1）若a4＝27，q＝－3，求a7；
（2）若a2＝18，a4＝8，求a1和q；
（3）若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
　　等比数列的通项公式an＝a1·qn－1中有四个量a1，q，n，an，一般已知其中的三个可求得第四个，我们将这类问题归结为公式的正用、逆用、变形用问题.当然对于等比数列来说，可能有时计算起来方法不当，会非常烦琐，所以方法的选取非常重要，一般来说，涉及列出方程组的问题，大多采用两式相比，消掉首项a1.
【跟踪训练】
已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝（　　）
A.－　 　B.－2　 　C.2　 　D.
题型二 等比数列的通项公式
【例2】　已知{an}是等比数列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列，则数列{an}的通项公式为　　　　.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
　　已知数列为等比数列时，可利用条件构建方程（组）求出基本量a1与q，即可写出数列的通项公式.
【跟踪训练】
已知等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝　　　　.
题型三 等比数列的函数特征
【例3】　在等比数列{an}中，已知a1＞0，8a2－a5＝0，则数列{an}为（　　）
A.递增数列　　　　B.递减数列
C.常数列 D.无法确定单调性
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
等比数列的单调性
（1）根据指数函数的单调性，可分析当q＞0且q≠1时的单调性；
（2）等比数列{an}中，若公比q＜0，则数列{an}不具有单调性，是摆动数列.
【跟踪训练】
在等比数列{an}中，如果公比为q，且q＜1，那么等比数列{an}是（　　）
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.无法确定单调性
题型四 等比数列的判定与证明
【例4】　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，bn＝an＋1（n∈N＋）.
（1）求证：{bn}是等比数列；
（2）求{an}的通项公式.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
【母题探究】
（变条件）本例中把bn＝an＋1变为bn＝an＋1－an，其他不变，如何求解.
通性通法
判断一个数列是否是等比数列的常用方法
（1）定义法：若数列{an}满足＝q（n∈N＋，q为常数且不为零）或＝q（n≥2，n∈N＋，q为常数且不为零），则数列{an}是等比数列；
（2）通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1（a1≠0，q≠0），则数列{an}是等比数列.
提醒　（1）判定一个数列不是等比数列，只需说明其有连续三项不是等比数列即可；（2）证明一个数列是等比数列，必须证明满足等比数列的定义.
【跟踪训练】
已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝（an－1）（n∈N＋）.
（1）求a1，a2；
（2）求证：数列{an}是等比数列.
1.等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为（　　）
A.3　　 　B.4　　 　C.5　　 　D.6
2.已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝（　　）
A.64 B.81
C.128 D.243
3.（多选）下列说法正确的有（　　）
A.等比数列中的项不能为0
B.等比数列的公比的取值范围是R
C.若一个常数列是等比数列，则公比为1
D.22，42，62，82，…成等比数列
4.已知数列{an}中，a1＝4，an＋1＝2an－5，求证：{an－5}是等比数列.
第一课时　等比数列的概念及其通项公式
【基础知识·重落实】
知识点一
同一个常数　公比　q
知识点二
a1qn－1
知识点三
2.递减数列　常数列　递增数列　递增数列　常数列　递减数列
想一想
　提示：这个数列是等比数列，证明如下：
取数列{an}中的任意相邻两项an与an＋1，作商得＝＝q，由于a，q都是不为0的常数，所以数列{an}是等比数列，其公比为q，首项为aq.
自我诊断
1.（1）√　 （2）×　 （3）×
2.C　a5＝a1q4＝3×24＝48.
3.3×2n－3　解析：由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2.所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）由a4＝a1·q3，得27＝a1·（－3）3，得a1＝－1，
故a7＝a1·q6＝（－1）×（－3）6＝－729.
（2）由已知得
解得或
（3）由已知得
由得＝，故q＝或q＝2，
当q＝时，a1＝－16，a3＝a1q2＝－4；
当q＝2时，a1＝1，a3＝a1q2＝4.
跟踪训练
　D　∵a2＝a1q＝2①，a5＝a1q4＝②，∴②÷①得，q3＝，∴q＝.故选D.
【例2】　an＝　解析：法一　设等比数列{an}的公比为q，由a7＝a1q6＝1，得a1＝q－6，从而a4＝a1q3＝q－3，a5＝a1q4＝q－2，a6＝a1q5＝q－1.因为a4，a5＋1，a6成等差数列，所以a4＋a6＝2（a5＋1），即q－3＋q－1＝2（q－2＋1），q－1（q－2＋1）＝2（q－2＋1），所以q＝.故an＝a1qn－1＝q－6·qn－1＝qn－7＝.
法二　设等比数列{an}的公比为q，由已知a7＝1，则1＝a1q6，所以a1＝q－6，又a4，a5＋1，a6成等差数列，知a4，a5＋a7，a6成等差数列，则a4＋a6＝2（a5＋a7），即a4＋a6＝2q（a4＋a6）.注意到a4＋a6≠0，所以q＝，故an＝a1qn－1＝qn－7＝.
跟踪训练
　－2n或（－2）n　解析：设公比为q，则a3＝a1q2，∴q2＝＝4，
∴q＝±2.∴an＝（－2）×2n－1＝－2n或an＝（－2）×（－2）n－1＝（－2）n.
【例3】　A　由8a2－a5＝0，可知＝q3＝8，解得q＝2.又a1＞0，所以数列{an}为递增数列.
跟踪训练
　D　如等比数列{（－1）n}的公比为－1，是摆动数列，不具有单调性；等比数列{（ ）n}的公比为，是递减数列；等比数列{－（ ）n}的公比为，是递增数列.
【例4】　解：（1）证明：∵an＋1＝3an＋2，bn＝an＋1，
∴bn＋1＝an＋1＋1＝3an＋3＝3（an＋1）＝3bn，
又∵b1＝a1＋1＝2，
∴数列{bn}是以2为首项，3为公比的等比数列.
（2）由（1）知，an＋1＝2·3n－1，
∴an＝2·3n－1－1.
母题探究
解：（1）证明：∵an＋1＝3an＋2，
∴an＝3an－1＋2（n≥2），
∴bn＝an＋1－an＝3an＋2－（3an－1＋2）＝3（an－an－1）＝3bn－1（n≥2），∴＝3（n≥2），
∴{bn}是首项b1＝a2－a1＝3a1＋2－a1＝4，公比为3的等比数列.
（2）由（1）知bn＝4·3n－1，即an＋1－an＝3an＋2－an＝2an＋2＝4·3n－1，
∴an＝2·3n－1－1.
跟踪训练
　解：（1）由S1＝（a1－1），得a1＝（a1－1），所以a1＝－.
又S2＝（a2－1），即a1＋a2＝（a2－1），得a2＝.
（2）证明：当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝（an－1）－（an－1－1），
得＝－.又a1＝－，
所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列.
随堂检测
1.B　∵＝·，∴＝，即＝，∴n－1＝3，∴n＝4.
2.A　∵{an}为等比数列，∴＝q＝2.又a1＋a2＝3，∴a1＝1.故a7＝1·26＝64.
3.AC　A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错；C显然正确；由于≠，故不是等比数列，D错.
4.证明：由an＋1＝2an－5得an＋1－5＝2（an－5）.
又a1－5＝－1≠0，故数列{an－5}是首项为－1，公比为2的等比数列.
4 / 4(共67张PPT)
第一课时　
等比数列的概念及其通项公式
新课程标准解读 核心素养
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公
式的意义 数学抽象
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并
解决相应的问题 逻辑推理、
数学运算
3.体会等比数列与指数函数的关系 数学抽象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九
堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九
禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”
【问题】　（1）你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？
（2）根据数列相邻两项的关系，上述数列有什么特点？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知识点一　等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是
，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列
的 ，通常用字母 表示（ q ≠0）.
同一个
常数　
公比　
q 　
提醒　理解等比数列概念应注意3点：①“从第2项起”，也就是说等
比数列中至少含有三项；②“每一项与它的前一项的比”不可理解为
“每相邻两项的比”；③“同一常数 q ”， q 是等比数列的公比，即 q
＝ （ n ≥2）或 q ＝ .特别注意 q 不可以为零，当 q ＝1时，等
比数列为常数列，非零的常数列都是公比为1的等比数列，当 q ＝－1
时，等比数列正负相间且相邻两项的和为零，等比数列的任何一项都
不能为零.
知识点二　等比数列的通项公式
若首项是 a1，公比是 q ，则等比数列{ an }的通项公式为 an ＝
（ a1≠0， q ≠0）.
a1 qn－
1　
知识点三　等比数列的函数特征
1. 等比数列通项公式的函数解释
类比等差数列与一次函数的关系，等比数列与指数函数有以下关
系：由 an ＝ a1 qn－1知它是指数型函数 y ＝ a1 qx 中 x ≥2， x ∈N＋的情
形.其具有指数型函数的某些特征.
2. 等比数列的增减性
根据指数函数的单调性，分析等比数列 an ＝ a1 qn－1（ q ＞0）的增
减性：
a1 a1＞0 a1＜0
q 的范围 0＜ q ＜1 q ＝1 q ＞1 0＜ q ＜1 q ＝1 q ＞1
数列{ an } 的增减性

递减　
数列　
常数列　　
递增　
数列　
递增　
数列　
常数　
列　
递减　
数列
【想一想】
如果一个数列{ an }的通项公式为 an ＝ aqn ，其中 a ， q 都是不为0的
常数，那么这个数列是等比数列吗？
提示：这个数列是等比数列，证明如下：
取数列{ an }中的任意相邻两项 an 与 an＋1，作商得 ＝ ＝
q ，由于 a ， q 都是不为0的常数，所以数列{ an }是等比数列，其公
比为 q ，首项为 aq .
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）数列1，－1，1，－1，…是等比数列. （　√　）
（2）若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列
为等比数列. （　×　）
（3）等比数列的首项不能为零，但公比可以为零. （　×　）
√
×
×
2. 等比数列{ an }中， a1＝3，公比 q ＝2，则 a5＝（　　）
A. 32 B. －48
C. 48 D. 96
解析： 　 a5＝ a1 q4＝3×24＝48.
3. 已知等比数列{ an }中， a3＝3， a10＝384，则该数列的通项 an
＝ .
解析：由已知得 ＝ ＝ q7＝128＝27，故 q ＝2.所以 an ＝ a1 qn
－1＝ a1 q2· qn－3＝ a3· qn－3＝3×2 n－3.
3×2 n－3
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 等比数列基本量的运算
【例1】　在等比数列{ an }中：
（1）若 a4＝27， q ＝－3，求 a7；
解： 由 a4＝ a1· q3，得27＝ a1·（－3）3，得 a1＝－1，
故 a7＝ a1· q6＝（－1）×（－3）6＝－729.
（2）若 a2＝18， a4＝8，求 a1和 q ；
解： 由已知得
解得或
（3）若 a5－ a1＝15， a4－ a2＝6，求 a3.
解： 由已知得
由 得 ＝ ，故 q ＝ 或 q ＝2，
当 q ＝ 时， a1＝－16， a3＝ a1 q2＝－4；
当 q ＝2时， a1＝1， a3＝ a1 q2＝4.
通性通法
　　等比数列的通项公式 an ＝ a1· qn－1中有四个量 a1， q ， n ， an ，一
般已知其中的三个可求得第四个，我们将这类问题归结为公式的正
用、逆用、变形用问题.当然对于等比数列来说，可能有时计算起来
方法不当，会非常烦琐，所以方法的选取非常重要，一般来说，涉及
列出方程组的问题，大多采用两式相比，消掉首项 a1.
【跟踪训练】
已知{ an }是等比数列， a2＝2， a5＝ ，则公比 q ＝（　　）
A. － B. －2
C. 2 D.
解析： 　∵ a2＝ a1 q ＝2①， a5＝ a1 q4＝ ②，∴②÷①得， q3＝ ，
∴ q ＝ .故选D.
题型二 等比数列的通项公式
【例2】　已知{ an }是等比数列，其中 a7＝1，且 a4， a5＋1， a6成等
差数列，则数列{ an }的通项公式为 .
an ＝
解析：法一　设等比数列{ an }的公比为 q ，由 a7＝ a1 q6＝1，得 a1＝ q
－6，从而 a4＝ a1 q3＝ q－3， a5＝ a1 q4＝ q－2， a6＝ a1 q5＝ q－1.因为 a4，
a5＋1， a6成等差数列，所以 a4＋ a6＝2（ a5＋1），即 q－3＋ q－1＝2
（ q－2＋1）， q－1（ q－2＋1）＝2（ q－2＋1），所以 q ＝ .故 an ＝ a1
qn－1＝ q－6· qn－1＝ qn－7＝ .
法二　设等比数列{ an }的公比为 q ，由已知 a7＝1，则1＝ a1 q6，所以
a1＝ q－6，又 a4， a5＋1， a6成等差数列，知 a4， a5＋ a7， a6成等差数
列，则 a4＋ a6＝2（ a5＋ a7），即 a4＋ a6＝2 q （ a4＋ a6）.注意到 a4＋
a6≠0，所以 q ＝ ，故 an ＝ a1 qn－1＝ qn－7＝ .
通性通法
　　已知数列为等比数列时，可利用条件构建方程（组）求出基本量
a1与 q ，即可写出数列的通项公式.
【跟踪训练】
已知等比数列{ an }中， a1＝－2， a3＝－8，则 an ＝
.
解析：设公比为 q ，则 a3＝ a1 q2，
∴ q2＝ ＝4，
∴ q ＝±2.
∴ an ＝（－2）×2 n－1＝－2 n 或 an ＝（－2）×（－2） n－1＝（－2）
n .
－2 n 或（－2）
n
题型三 等比数列的函数特征
【例3】　在等比数列{ an }中，已知 a1＞0，8 a2－ a5＝0，则数列{ an }
为（　　）
A. 递增数列
B. 递减数列
C. 常数列
D. 无法确定单调性
解析： 　由8 a2－ a5＝0，可知 ＝ q3＝8，解得 q ＝2.又 a1＞0，所
以数列{ an }为递增数列.
通性通法
等比数列的单调性
（1）根据指数函数的单调性，可分析当 q ＞0且 q ≠1时的单调性；
（2）等比数列{ an }中，若公比 q ＜0，则数列{ an }不具有单调性，是
摆动数列.
【跟踪训练】
在等比数列{ an }中，如果公比为 q ，且 q ＜1，那么等比数列{ an }是
（　　）
A. 递增数列
B. 递减数列
C. 常数列
D. 无法确定单调性
解析： 　如等比数列{（－1） n }的公比为－1，是摆动数列，不具有
单调性；等比数列{（ ） n }的公比为 ，是递减数列；等比数列{－
（ ） n }的公比为 ，是递增数列.
题型四 等比数列的判定与证明
【例4】　已知数列{ an }满足 a1＝1， an＋1＝3 an ＋2， bn ＝ an ＋1（ n
∈N＋）.
（1）求证：{ bn }是等比数列；
解： 证明：∵ an＋1＝3 an ＋2， bn ＝ an ＋1，
∴ bn＋1＝ an＋1＋1＝3 an ＋3＝3（ an ＋1）＝3 bn ，
又∵ b1＝ a1＋1＝2，
∴数列{ bn }是以2为首项，3为公比的等比数列.
（2）求{ an }的通项公式.
解： 由（1）知， an ＋1＝2·3 n－1，
∴ an ＝2·3 n－1－1.
【母题探究】
（变条件）本例中把 bn ＝ an ＋1变为 bn ＝ an＋1－ an ，其他不变，如何
求解.
解：（1）证明：∵ an＋1＝3 an ＋2，
∴ an ＝3 an－1＋2（ n ≥2），
∴ bn ＝ an＋1－ an ＝3 an ＋2－（3 an－1＋2）＝3（ an － an－1）＝3 bn－1
（ n ≥2），∴ ＝3（ n ≥2），
∴{ bn }是首项 b1＝ a2－ a1＝3 a1＋2－ a1＝4，公比为3的等比数列.
（2）由（1）知 bn ＝4·3 n－1，即 an＋1－ an ＝3 an ＋2－ an ＝2 an ＋2＝4·3
n－1，
∴ an ＝2·3 n－1－1.
通性通法
判断一个数列是否是等比数列的常用方法
（1）定义法：若数列{ an }满足 ＝ q （ n ∈N＋， q 为常数且不为
零）或 ＝ q （ n ≥2， n ∈N＋， q 为常数且不为零），则数
列{ an }是等比数列；
（2）通项公式法：若数列{ an }的通项公式为 an ＝ a1 qn－1（ a1≠0， q
≠0），则数列{ an }是等比数列.
提醒　（1）判定一个数列不是等比数列，只需说明其有连续三
项不是等比数列即可；（2）证明一个数列是等比数列，必须证
明满足等比数列的定义.
【跟踪训练】
已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ， Sn ＝ （ an －1）（ n ∈N＋）.
（1）求 a1， a2；
解： 由 S1＝ （ a1－1），得 a1＝ （ a1－1），
所以 a1＝－ .
又 S2＝ （ a2－1），即 a1＋ a2＝ （ a2－1），
得 a2＝ .
（2）求证：数列{ an }是等比数列.
解： 证明：当 n ≥2时，
an ＝ Sn － Sn－1＝ （ an －1）－ （ an－1－1），
得 ＝－ .又 a1＝－ ，
所以{ an }是首项为－ ，
公比为－ 的等比数列.
1. 等比数列的首项为 ，末项为 ，公比为 ，则这个数列的项数为
（　　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析： 　∵ ＝ · ，∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴ n －1＝3，∴ n ＝4.
2. 已知等比数列{ an }满足 a1＋ a2＝3， a2＋ a3＝6，则 a7＝（　　）
A. 64 B. 81
C. 128 D. 243
解析： 　∵{ an }为等比数列，∴ ＝ q ＝2.又 a1＋ a2＝3，
∴ a1＝1.故 a7＝1·26＝64.
3. （多选）下列说法正确的有（　　）
A. 等比数列中的项不能为0
B. 等比数列的公比的取值范围是R
C. 若一个常数列是等比数列，则公比为1
D. 22，42，62，82，…成等比数列
解析： 　A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错；C显然
正确；由于 ≠ ，故不是等比数列，D错.
4. 已知数列{ an }中， a1＝4， an＋1＝2 an －5，求证：{ an －5}是等比
数列.
证明：由 an＋1＝2 an －5得 an＋1－5＝2（ an －5）.
又 a1－5＝－1≠0，
故数列{ an －5}是首项为－1，
公比为2的等比数列.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在数列{ an }中，若 an＋1＝3 an ， a1＝2，则 a4＝（　　）
A. 108 B. 54
C. 36 D. 18
解析： 　因为 an＋1＝3 an ，所以数列{ an }是公比为3的等比数列，
则 a4＝33 a1＝54.
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2. 若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数
为（　　）
A. 4 B. 8
C. 6 D. 32
解析： 　设 a1＝4， an ＝128， q ＝2，则 an ＝ a1 qn－1，即128＝
4×2 n－1＝2 n＋1，故 n ＋1＝7，得 n ＝6.
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3. 已知等比数列{ an }的前三项依次为 a －1， a ＋1， a ＋4，则 an ＝
（　　）
A. 4× B. 4×
C. 4× D. 4×
解析： 　由题意，知 ＝ ，即（ a ＋1）2＝（ a －1）（ a ＋
4），解得 a ＝5，所以 ＝ ＝ .又 a －1＝4，所以数列{ an }是
首项为4，公比为 的等比数列，所以 an ＝4× .
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4. 数列{ an }是公差不为0的等差数列，且 a1， a3， a7为等比数列{ bn }
的连续三项，则数列{ bn }的公比为（　　）
A. B. 4
C. 2 D.
解析： 　因为 a1， a3， a7为等比数列{ bn }中的连续三项，所以
＝ ，即 ＝ a1 a7，设数列{ an }的公差为 d ，则 d ≠0，所以（ a1
＋2 d ）2＝ a1（ a1＋6 d ），所以 a1＝2 d ，所以公比 q ＝ ＝ ＝2.
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5. （多选）下列关于公比为 q 的等比数列{ an }的叙述不正确的是
（　　）
A. q ＞1 { an }为递增数列
B. { an }为递增数列 q ＞1
C. 0＜ q ＜1 { an }为递减数列
D. q ＞1 /{ an }为递增数列且{ an }为递增数列 / q ＞1
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解析： 　若 a1＝－2， q ＝2＞1，则{ an }的各项为－2，－4，
－8，…，是递减数列，A不正确；若等比数列{ an }的各项为－
16，－8，－4，－2，…，是递增数列，则 q ＝ ＜1，B不正确，D
正确；若 a1＝－16， q ＝ ∈（0，1），则{ an }的各项为－16，－
8，－4，…，显然是递增数列，C不正确.
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6. （多选）已知数列{ an }，下列选项不正确的是（　　）
A. 若 ＝4 n ， n ∈N＋，则{ an }为等比数列
B. 若 anan＋2＝ ， n ∈N＋，则{ an }为等比数列
C. 若 aman ＝2 m＋ n ， m ， n ∈N＋，则{ an }为等比数列
D. 若 anan＋3＝ an＋1 an＋2， n ∈N＋，则{ an }为等比数列
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解析： 　由 ＝4 n 知｜ an ｜＝2 n ，则数列{ an }未必是等比数
列；对于B、D选项，满足条件的数列中可以存在零项，故数列
{ an }不一定是等比数列；对于C选项，由 aman ＝2 m＋ n 知， aman＋1＝
2 m＋ n＋1，两式相除得 ＝2（ n ∈N＋），故数列{ an }是等比数
列.故选A、B、D.
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7. 在等比数列{ an }中，若 a1＝2， a4＝4，则 a7＝ .
解析：由 a4＝ a1 q3得 q3＝2， q ＝ ，∴ a7＝ a1 q6＝2×
（ ）6＝8.
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8. 等比数列{ an }中， a4＝2， a5＝4，则数列{lg an }的通项公式为
.
解析：∵ a5＝ a4 q ，∴ q ＝2，∴ a1＝ ＝ ，∴ an ＝ ·2 n－1＝2 n－
3，∴lg an ＝（ n －3）lg 2.
lg
an ＝（ n －3）lg 2
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9. 三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，则这三个
数是 .
解析：设这三个数所成等比数列中的项依次为 ， a ， aq （ aq
≠0），则 ＋ a ＋ aq ＝14， · a · aq ＝64，即 a ＝14，
a3＝64，解得 a ＝4， q ＝ 或2.故这三个数所成的等比数列为8，
4，2或2，4，8.
8，4，2或2，4，8
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10. 在等比数列{ an }中， a3＝32， a5＝8.
（1）求数列{ an }的通项公式 an ；
解： 因为所以 q2＝ ＝ .
所以 q ＝± ， a1＝128.
当 q ＝ 时， an ＝ a1 qn－1＝128× ＝28－ n ；
当 q ＝－ 时， an ＝ a1 qn－1＝128× .
所以 an ＝28－ n 或 an ＝128× .
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（2）若 an ＝ ，求 n .
解： 当 an ＝ 时，28－ n ＝ 或128× ＝ ，
解得 n ＝9.
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11. 已知在单调递减的等比数列{ an }中， a1＞0，则该数列的公比 q 的
取值范围是（　　）
A. {1} B. （－∞，0）
C. （1，＋∞） D. （0，1）
解析： 　因为等比数列{ an }单调递减， a1＞0，所以 q ＞0，
an＋1－ an ＝ a1 qn － a1 qn－1＝ a1 qn－1（ q －1）＜0，所以 qn－1
（ q －1）＜0.又因为 n ≥1，所以 qn－1＞0， q －1＜0，所以0
＜ q ＜1，故选D.
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12. （多选）已知等比数列{ an }的公比为 q ，且 a5＝1，则下列选项正
确的是（　　）
A. a3＋ a7≥2 B. a4＋ a6≥2
C. a7－2 a6＋1≥0 D. a3－2 a4－1≥0
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解析： 　因为等比数列{ an }的公比为 q （ q ≠0），且 a5＝ a3 q2
＝1，所以 a3＝ ， a4＝ ， a6＝ q ， a7＝ q2. a3＋ a7＝ ＋
q2≥2，当且仅当 q2＝1时取等号，故A正确； a4＋ a6＝ ＋ q ，当 q
＜0时， a4＋ a6＜0，故B错误； a7－2 a6＋1＝ q2－2 q ＋1＝（ q －
1）2≥0，故C正确； a3－2 a4－1＝ － －1＝（ －1）2－2，存
在 q 使得 a3－2 a4－1＜0，故D错误.故选A、C.
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13. 已知数列 a1， ， ，…， 是首项为4，公比为 的等比数
列，则 a4＝ .
解析：∵数列 a1， ， ，…， 是首项为4，公比为 的等比
数列，∴ ＝4× ＝23－ n ，∴ a4＝ a1× × × ＝
4×2×1× ＝4.
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14. 已知数列{ an }，{ bn }满足下列条件： a1＝0， a2＝1，2 an＋2＝ an
＋ an＋1， bn ＝ an＋1－ an .
（1）求证：{ bn }是等比数列；
解： 证明：由条件得 ＝ ＝
＝－ .∴{ bn }是等比数列.
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（2）求{ bn }的通项公式.
解： ∵ b1＝ a2－ a1＝1，公比 q ＝－ ，
∴ bn ＝1× ＝ .
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15. 如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从
第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记
第 i 行第 j 列的数为 aij （ i ， j ∈N＋），则 a53＝（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　第一列构成首项为 ，公差为 的等差数列，所以 a51＝
＋（5－1）× ＝ .又因为从第三行起每一行数成等比数列，而
且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为 ，公比为 的等
比数列，所以 a53＝ ×（ ）2＝ .
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16. 设关于 x 的二次方程 anx2－ an＋1 x ＋1＝0（ n ＝1，2，3，…）有两
实根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.
（1）试用 an 表示 an＋1；
解： 由根与系数的关系，得
代入题设条件6（α＋β）－2αβ＝3，
得 － ＝3.
所以 an＋1＝ an ＋ .
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（2）求证： 是等比数列；
解： 证明：因为 an＋1＝ an ＋ ，
所以 an＋1－ ＝ .
若 an ＝ ，则方程 anx2－ an＋1 x ＋1＝0，
可化为 x2－ x ＋1＝0，
即2 x2－2 x ＋3＝0.
此时Δ＝（－2）2－4×2×3＜0，
所以 an ≠ ，即 an － ≠0.
所以数列 是以 为公比的等比数列.
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（3）当 a1＝ 时，求数列{ an }的通项公式.
解： 当 a1＝ 时， a1－ ＝ ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
所以 an － ＝ × ＝ ，
所以 an ＝ ＋ ， n ＝1，2，3，…，
即数列{ an }的通项公式为 an ＝ ＋ ， n ＝1，2，3，….
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