资源简介

第二课时　等比数列的性质
1.“m＝4”是“m为2与8的等比中项”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.在等比数列{an}中，a2，a18是方程x2＋6x＋4＝0的两根，则a4a16＋a10＝（　　）
A.6　　　　　　　　　　 B.2
C.2或6 D.－2
3.在正项等比数列{an}中，a2a7＝4，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝（　　）
A.2 B.4
C.6 D.8
4.十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，则插入的第8个数为（　　）
A. B.
C. D.
5.（多选）已知等比数列{an}，则下面式子对任意正整数k都成立的是（　　）
A.ak·ak＋1＞0
B.ak·ak＋2＞0
C.ak·ak＋1·ak＋2＞0
D.ak·ak＋1·ak＋2·ak＋3＞0
6.（多选）已知等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝－2，则（　　）
A.数列{2an＋an＋1}是等比数列
B.数列{an＋1－an}是等比数列
C.数列{anan＋1}是等比数列
D.数列{log2｜an｜}是递减数列
7.等比数列{an}中，a1＝1，a9＝9，则a5＝　　　　.
8.如图，已知△ABC的面积为4，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2 025个三角形的面积为　　　　.
9.在数列{an}中，a2＝，a3＝，且bn＝nan＋1，若{bn}是等比数列，则数列{bn}的公比是　　　　，an＝　　　　.
10.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.
11.已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1，2，…，且a5·a2n－5＝22n（n≥3），则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝（　　）
A.n（2n－1） B.（n＋1）2
C.n2 D.（n－1）2
12.（多选）设{an}（n∈N＋）是各项均为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列选项中成立的是（　　）
A.0＜q＜1
B.a7＝1
C.K9＞K5
D.K6与K7均为Kn的最大值
13.已知数列{an}为等比数列，数列{bn}为等差数列，若a2a7a12＝3，b1＋b7＋b13＝6π，则tan＝　　　.
14.2022年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比上年递增25%，而乙林场木材存量每年比上年递减20%.
（1）哪一年两林场木材的总存量相等？
（2）问两林场木材的总量到2026年能否翻一番？
15.若数列{an}满足an＋1＝3an＋2，则称数列{an}为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且b1＝2，则b4＝（　　）
A. B.
C. D.
16.在等比数列{an}（n∈N＋）中，a1＞1，公比q＞0.设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.
（1）求证：数列{bn}是等差数列；
（2）求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an.
第二课时　等比数列的性质
1.A　若m是两个正数2和8的等比中项，则m＝±＝±4.故m＝4是m＝±4的充分不必要条件，即“m＝4”是“m为2与8的等比中项”的充分不必要条件，故选A.
2.B　由题知a2＋a18＝－6，a2·a18＝4，所以a2＜0，a18＜0，故a10＜0，所以a10＝－＝－2，因此a4·a16＋a10＝＋a10＝2，故选B.
3.D　原式＝log2（a1a2a3…a8）＝log2（a2a7）4＝4log24＝8.
4.B　由题意，设这13个数构成的等比数列的公比为q，则2＝1×q12，即q＝，则插入的第8个数为1×q8＝1×（ ）8＝＝，故选B.
5.BD　对于A，当q＜0时，ak·ak＋1＜0，A不一定成立；对于B，ak·ak＋2＝（akq）2＞0，B成立；对于C，ak·ak＋1·ak＋2＝（ak＋1）3＞0不一定成立，C不一定成立；对于D，ak·ak＋1·ak＋2·ak＋3＝（ak＋1·ak＋2）2＞0一定成立，故选B、D.
6.BC　∵等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝－2，∴an＝1×（－2）n－1＝（－2）n－1.由此可得2an＋an＋1＝2·（－2）n－1＋（－2）n＝0，故A错误；an＋1－an＝（－2）n－（－2）n－1＝－3·（－2）n－1，故数列{an＋1－an}是等比数列，故B正确；anan＋1＝（－2）n－1（－2）n＝（－2）2n－1，故数列{anan＋1}是等比数列，故C正确；log2｜an｜＝log22n－1＝n－1，故数列{log2｜an｜}是递增数列，故D错误.故选B、C.
7.3　解析：由＝a1·a9，∴＝9，∴a5＝±3.而a1，a9均为正值，故a5也为正值，∴a5＝3.
8.　解析：观察题图知，后一个三角形的面积是前一个的，设第n个三角形的面积为an，则数列{an}是首项为a1＝4，公比为的等比数列，所以an＝4×（ ）n－1＝（ ）n－2，所以第2 025个三角形的面积为a2 025＝（ ）2 023＝.
9.2　　解析：因为在数列{an}中，a2＝，a3＝，且数列{bn}是等比数列，b2＝2a2＋1＝3＋1＝4，b3＝3a3＋1＝7＋1＝8，所以数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，所以bn＝nan＋1＝2n，解得an＝.
10.解：法一　设前三个数依次为a－d，a，a＋d，则第四个数为，
由题意得解得或
所以当a＝4，d＝4时，这四个数为0，4，8，16；
当a＝9，d＝－6时，这四个数为15，9，3，1.
法二　设后三个数依次为，a，aq，因为前三个数成等差数列，所以第一个数为－a.
由题意得解得或
所以当a＝8，q＝2时，这四个数为0，4，8，16；
当a＝3，q＝时，这四个数为15，9，3，1.
11.C　法一　由a5·a2n－5＝22n得a1q4·a1q2n－6＝q2n－2＝22n，所以（a1qn－1）2＝（2n）2.又an＞0，所以a1qn－1＝2n.故log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2（a1a3…a2n－1）＝log2（q2＋4＋…＋2n－2）＝log2[qn（n－1）]＝log2（a1qn－1）n＝log2（2n）n＝n2.
法二　由等比中项的性质，得a5·a2n－5＝（an）2＝22n，注意到an＞0，所以an＝2n.利用特殊值法，如令n＝2，则log2a1＋log2a3＝log2（2·23）＝log224＝4.只有C选项符合.
12.ABD　根据题意，分析选项.对于B，若K6＝K7，则a7＝＝1，B正确；对于A，由K5＜K6可得，a6＝＞1，则q＝∈（0，1），故A正确；对于C，由{an}是各项均为正数的等比数列且q∈（0，1）可得数列单调递减，则有K9＜K5，故C错误；对于D，结合K5＜K6，K6＝K7＞K8，可得D正确.故选A、B、D.
13.　解析：由等比数列性质知a2a7a12＝＝3，解得a7＝，又数列{bn}为等差数列，b1＋b7＋b13＝3b7＝6π，解得b7＝2π，又b2＋b12＝2b7＝4π，a3a11＝＝3，所以tan＝tan＝tan＝.
14.解：（1）由题意可得16a（1＋25%）n－1＝25a（1－20%）n－1，解得n＝2.
故到2023年两林场木材的总存量相等.
（2）令n＝5，
则a5＝16a＋25a＜2（16a＋25a），
故到2026年不能翻一番.
15.B　若为“梦想数列”，则有－1＝3＋2，即－1＝－1，即＝，且b1＝2，所以数列{bn}为以2为首项，以为公比的等比数列.则b4＝2×＝.故选B.
16.解：（1）证明：（1）因为bn＝log2an，
所以bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an
＝log2＝log2q（q＞0）为常数，
所以数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q.
（2）因为b1＋b3＋b5＝6，
所以（b1＋b5）＋b3＝2b3＋b3＝3b3＝6，即b3＝2.
又因为a1＞1，
所以b1＝log2a1＞0，
又因为b1·b3·b5＝0，
所以b5＝0，
即即解得
因此Sn＝4n＋×（－1）＝.
又因为d＝log2q＝－1，
所以q＝，b1＝log2a1＝4，
即a1＝16，所以an＝25－n（n∈N＋）.
2 / 2第二课时　等比数列的性质
新课程标准解读 核心素养
1.理解等比中项的含义，并利用它解决一些问题 数学抽象、数学运算
2.掌握等比数列的实际应用问题 数学建模、数学运算
　　1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）创造了一个美妙的“艺术品”，被人们称为谢尔宾斯基三角形，如图所示.如果我们来看一看图中那些白色三角形的个数，并把它们按面积大小，从小到大依次排列起来，可以得到一列数：1，3，9，27，81，……
【问题】　你能看出这个数列有什么特殊的性质吗？
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　等比中项
如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成　　　　，称G为a，b的等比中项，此时，G2＝　　　.
提醒　理解等比中项应注意2点：①G是a与b的等比中项，G＝±，即等比中项有两个，且互为相反数；②当G2＝ab时，G不一定是a与b的等比中项.例如02＝5×0，但0，0，5不是等比数列.
【想一想】
　任何两个非零实数都有等比中项吗？
知识点二　等比数列的性质
（1）通项公式的推广：an＝am·　　　　（m，n∈N＋）；
（2）公比为q的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m，所得数列是　　　　　　， 公比为　　　；
（3）若{an}是等比数列，且m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N＋，则　　　　　　　　；
（4）若等比数列{an}的公比为q，则是以　　　　为公比的等比数列；
（5）等比数列{an}中，下标成等差数列的项构成　　　　　　；
（6）若{an}与{bn}均为等比数列，则{anbn}为　　　　　　.
【想一想】
如何推导an＝am·qn－m（m，n∈N＋）？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）知道等比数列的某一项和公比，可以计算等比数列的任意一项.（　　）
（2）若{an}为等比数列，且m＋n＝p（m，n，p∈N＋），则am·an＝ap.（　　）
（3）若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列.（　　）
（4）若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列.（　　）
2.已知等比数列{an}中，a1＝1，a3＝，则a5＝（　　）
A.±　　B.－　　C.　　D.±
3.（多选）若数列{an}是等比数列，则下面四个数列中也一定是等比数列的有（　　）
A.{can}（c为常数） B.{an＋an＋1}
C.{an·an＋1} D.
题型一 等比中项的应用
【例1】　如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝　　　　，ac＝　　　　.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
1.由等比中项的定义可知＝ G2＝ab G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项.
2.在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项.
3.a，G，b成等比数列 G2＝ab（ab＞0）.
【跟踪训练】
在等比数列{an}中，a1＝－16，a4＝8，则a7＝（　　）
A.－4　　　　　　　　　　B.±4
C.－2 D.±2
题型二 等比数列的性质
【例2】　已知{an}为等比数列：
（1）若an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
（2）若an＞0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
【母题探究】
1.（变条件、变设问）在本例（1）中，添加条件a1a7＝4，求an.
2.（变条件）把本例（2）的条件改为“公比为3，a1a2a3…a30＝3300”，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
通性通法
巧用等比数列的性质解题
（1）解答等比数列问题的基本方法——基本量法
①基本思路：运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，解出a1和q，然后利用通项公式求解；
②优缺点：适用面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁.
（2）利用等比数列的性质解题
①基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；
②优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量.
【跟踪训练】
1.在等比数列{an}中，a6·a12＝6，a4＋a14＝5，则＝（　　）
A.或　　　　　　　　B.
C.或 D.或
2.公差不为零的等差数列{an}中，2a3－＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝　　　　.
题型三 等比数列的实际应用
【例3】　我国古代某数学著作中有一题：“今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗.羊主曰：‘我羊食半马.’马主曰：‘我马食半牛.’今欲衰偿之，问：各出几何？”其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”，打算按此比例偿还，问牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿的粟为（　　）
A.斗 B.斗
C.斗 D.斗
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
　　数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：（1）构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式求解；（2）通过归纳得到结论，再用数列知识求解.
【跟踪训练】
画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于　　　　平方厘米.
1.在等比数列{an}中，若a3＝8，a6＝64，则公比q为（　　）
A.2 B.3
C.4 D.8
2.在等比数列{an}中，a4＝6，a8＝18，则a12＝（　　）
A.24 B.30
C.54 D.108
3.已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝（　　）
A.6 B.－6
C.±6 D.±12
4.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为　　　　.
5.在等比数列{an}中，已知a4＋a7＝2，a5a6＝－8，求a1＋a10.
第二课时　等比数列的性质
【基础知识·重落实】
知识点一
等比数列　ab
想一想
　提示：不一定，当两个实数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项.
知识点二
（1）qn－m　（2）等比数列　q　（3）am·an＝ap·aq　（4）　
（5）等比数列　（6）等比数列
想一想
　提示：由＝＝qn－m，∴an＝am·qn－m.
自我诊断
1.（1）√　（2）×　（3）×　（4）×
2.C　根据等比数列的性质可知a1a5＝ a5＝＝.
3.CD　当c＝0时，can＝0，{can}不是等比数列，故A错；当an＝（－1）n时，an＋an＋1＝0，{an＋an＋1}不是等比数列，故B错；设{an}的公比为q，则＝＝q2，＝（ ）3＝q3，故{anan＋1}和{}都是等比数列，故C、D正确.
【典型例题·精研析】
【例1】　－3　9　解析：因为b是－1，－9的等比中项，所以b2＝9，b＝±3.又等比数列奇数项符号相同，得b＜0，故b＝－3，而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，即ac＝9.
跟踪训练
　A　因为a4是a1与a7的等比中项，所以＝a1a7，即64＝－16a7，故a7＝－4.
【例2】　解：（1）a2a4＋2a3a5＋a4a6＝＋2a3a5＋
＝（a3＋a5）2＝25，
∵an＞0，∴a3＋a5＞0，∴a3＋a5＝5.
（2）根据等比数列的性质，得
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝（a5a6）5＝95，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10
＝log3（a1a2…a9a10）
＝log395＝10.
母题探究
1.解：由等比数列的性质得a1a7＝a3a5＝4，又由本例（1）知a3＋a5＝5，解得a3＝1，a5＝4或a3＝4，a5＝1，
若a3＝1，a5＝4，则q＝2，an＝2n－3；
若a3＝4，a5＝1，则q＝，an＝25－n.
2.解：a1a2a3…a30＝（a1a2a3…a10）·q100（a1a2a3…a10）·q200（a1a2a3…a10）＝q300（a1a2a3…a10）3＝3300，
即a1a2a3…a10＝1，
则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3（a1a2…a10）＝log31＝0.
跟踪训练
1.A　由a6·a12＝a4·a14＝6，且a4＋a14＝5，
解得a4＝2，a14＝3或a4＝3，a14＝2，若a4＝2，a14＝3，则q10＝，即＝；若a4＝3，a14＝2，则q10＝，即＝.
2.16　解析：由a3＋a11＝2a7，且2a3－＋2a11＝0，得4a7－＝0得a7＝4（a7＝0不合题意，舍去），所以b6b8＝＝＝16.
【例3】　B　由题意，羊、马、牛的主人需赔偿的粟依次构成等比数列{an}，且公比q＝2.因为一共赔偿五斗粟，所以a1＋a2＋a3＝5，即a1＋a1q＋a1q2＝5，7a1＝5，所以a1＝.因为a3＝4a1＝，所以a3－a1＝，即牛主人比羊主人多赔偿斗粟.故选B.
跟踪训练
　2 048　解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}（1≤n≤10，n∈N＋），则第10个正方形的面积S＝＝（）2＝211＝2 048.
随堂检测
1.A　由a6＝a3q3，得q3＝8，所以q＝2.
2.C　由＝a4a12得a12＝＝54.
3.C　∵a＝＝，b2＝（－1）×（－16）＝16，b＝±4，∴ab＝±6.
4.　解析：设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得，28，28q石，∴＋28＋28q＝98，∴q＝2或.又0＜q＜1，∴q＝.
5.解：因为数列{an}为等比数列，
所以a5a6＝a4a7＝－8.
联立可解得或
当时，q3＝－，故a1＋a10＝＋a7q3＝－7；
当时，q3＝－2，故a1＋a10＝－7.
所以a1＋a10＝－7.
3 / 3(共59张PPT)
第二课时　
等比数列的性质
新课程标准解读 核心素养
1.理解等比中项的含义，并利用它解决一些问题 数学抽象、
数学运算
2.掌握等比数列的实际应用问题 数学建模、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W. Sierpinski）创造了一个美
妙的“艺术品”，被人们称为谢尔宾斯基三角形，如图所示.如果我
们来看一看图中那些白色三角形的个数，并把它们按面积大小，从小
到大依次排列起来，可以得到一列数：1，3，9，27，81，……
【问题】　你能看出这个数列有什么特殊的性质吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知识点一　等比中项
如果在 a 与 b 之间插入一个数 G ，使 a ， G ， b 成 ，称 G
为 a ， b 的等比中项，此时， G2＝ .
提醒　理解等比中项应注意2点：① G 是 a 与 b 的等比中项， G ＝±
，即等比中项有两个，且互为相反数；②当 G2＝ ab 时， G 不一定
是 a 与 b 的等比中项.例如02＝5×0，但0，0，5不是等比数列.
等比数列　
ab 　
【想一想】
任何两个非零实数都有等比中项吗？
提示：不一定，当两个实数同号时才有等比中项，异号时不存在等比
中项.
知识点二　等比数列的性质
（1）通项公式的推广： an ＝ am · （ m ， n ∈N＋）；
（2）公比为 q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数 m ，所得数列
是 ， 公比为 ；
（3）若{ an }是等比数列，且 m ＋ n ＝ p ＋ q ， m ， n ， p ， q ∈N＋，
则 ；
（4）若等比数列{ an }的公比为 q ，则 是以 　 　为公比的等
比数列；
（5）等比数列{ an }中，下标成等差数列的项构成 ；
（6）若{ an }与{ bn }均为等比数列，则{ anbn }为 .
qn－ m 　
等比数列　
q 　
am · an ＝ ap · aq 　
　
等比数列　
等比数列　
【想一想】
如何推导 an ＝ am · qn－ m （ m ， n ∈N＋）？
提示：由 ＝ ＝ qn－ m ，∴ an ＝ am · qn－ m .
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）知道等比数列的某一项和公比，可以计算等比数列的任意一
项. （　√　）
（2）若{ an }为等比数列，且 m ＋ n ＝ p （ m ， n ， p ∈N＋），则
am · an ＝ ap . （　×　）
（3）若{ an }，{ bn }都是等比数列，则{ an ＋ bn }是等比数列.
（　×　）
（4）若数列{ an }的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相
同，则{ an }是等比数列. （　×　）
√
×
×
×
2. 已知等比数列{ an }中， a1＝1， a3＝ ，则 a5＝（　　）
A. ± B. －
C. D. ±
解析： 　根据等比数列的性质可知 a1 a5＝ a5＝ ＝ .
3. （多选）若数列{ an }是等比数列，则下面四个数列中也一定是等
比数列的有（　　）
A. { can }（ c 为常数） B. { an ＋ an＋1}
C. { an · an＋1} D.
解析： 　当 c ＝0时， can ＝0，{ can }不是等比数列，故A错；当
an ＝（－1） n 时， an ＋ an＋1＝0，{ an ＋ an＋1}不是等比数列，故B
错；设{ an }的公比为 q ，则 ＝ ＝ q2， ＝（ ）3
＝ q3，故{ anan＋1}和{ }都是等比数列，故C、D正确.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 等比中项的应用
【例1】　如果－1， a ， b ， c ，－9成等比数列，那么 b ＝ ，
ac ＝ .
解析：因为 b 是－1，－9的等比中项，所以 b2＝9， b ＝±3.又等比数
列奇数项符号相同，得 b ＜0，故 b ＝－3，而 b 又是 a ， c 的等比中
项，故 b2＝ ac ，即 ac ＝9.
－3
9
通性通法
1. 由等比中项的定义可知 ＝ G2＝ ab G ＝± ，所以只有
a ， b 同号时， a ， b 的等比中项有两个，异号时，没有等比中项.
2. 在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）
都是它的前一项和后一项的等比中项.
3. a ， G ， b 成等比数列 G2＝ ab （ ab ＞0）.
【跟踪训练】
在等比数列{ an }中， a1＝－16， a4＝8，则 a7＝（　　）
A. －4 B. ±4
C. －2 D. ±2
解析： 　因为 a4是 a1与 a7的等比中项，所以 ＝ a1 a7，即64＝－16
a7，故 a7＝－4.
题型二 等比数列的性质
【例2】　已知{ an }为等比数列：
（1）若 an ＞0， a2 a4＋2 a3 a5＋ a4 a6＝25，求 a3＋ a5；
解： a2 a4＋2 a3 a5＋ a4 a6＝ ＋2 a3 a5＋
＝（ a3＋ a5）2＝25，
∵ an ＞0，∴ a3＋ a5＞0，∴ a3＋ a5＝5.
（2）若 an ＞0， a5 a6＝9，求log3 a1＋log3 a2＋…＋log3 a10的值.
解： 根据等比数列的性质，得
a5 a6＝ a1 a10＝ a2 a9＝ a3 a8＝ a4 a7＝9，
∴ a1 a2… a9 a10＝（ a5 a6）5＝95，
∴log3 a1＋log3 a2＋…＋log3 a10
＝log3（ a1 a2… a9 a10）
＝log395＝10.
【母题探究】
1. （变条件、变设问）在本例（1）中，添加条件 a1 a7＝4，求 an .
解：由等比数列的性质得 a1 a7＝ a3 a5＝4，又由本例（1）知 a3＋ a5
＝5，解得 a3＝1， a5＝4或 a3＝4， a5＝1，
若 a3＝1， a5＝4，则 q ＝2， an ＝2 n－3；
若 a3＝4， a5＝1，则 q ＝ ， an ＝25－ n .
2. （变条件）把本例（2）的条件改为“公比为3， a1 a2 a3… a30＝
3300”，求log3 a1＋log3 a2＋…＋log3 a10的值.
解： a1 a2 a3… a30＝（ a1 a2 a3… a10）· q100（ a1 a2 a3… a10）· q200（ a1
a2 a3… a10）＝ q300（ a1 a2 a3… a10）3＝3300，
即 a1 a2 a3… a10＝1，
则log3 a1＋log3 a2＋…＋log3 a10＝log3（ a1 a2… a10）＝log31＝0.
通性通法
巧用等比数列的性质解题
（1）解答等比数列问题的基本方法——基本量法
①基本思路：运用方程思想列出基本量 a1和 q 的方程组，解出 a1
和 q ，然后利用通项公式求解；
②优缺点：适用面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁.
（2）利用等比数列的性质解题
①基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数
列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；
②优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量.
【跟踪训练】
1. 在等比数列{ an }中， a6· a12＝6， a4＋ a14＝5，则 ＝（　　）
A. 或 B.
C. 或 D. 或
解析： 　由 a6· a12＝ a4· a14＝6，且 a4＋ a14＝5，
解得 a4＝2， a14＝3或 a4＝3， a14＝2，若 a4＝2， a14＝3，则 q10＝
，即 ＝ ；若 a4＝3， a14＝2，则 q10＝ ，即 ＝ .
2. 公差不为零的等差数列{ an }中，2 a3－ ＋2 a11＝0，数列{ bn }是
等比数列，且 b7＝ a7，则 b6 b8＝ .
解析：由 a3＋ a11＝2 a7，且2 a3－ ＋2 a11＝0，得4 a7－ ＝0得 a7
＝4（ a7＝0不合题意，舍去），所以 b6 b8＝ ＝ ＝16.
16
题型三 等比数列的实际应用
【例3】　我国古代某数学著作中有一题：“今有牛、马、羊食人
苗，苗主责之粟五斗.羊主曰：‘我羊食半马.’马主曰：‘我马食半
牛.’今欲衰偿之，问：各出几何？”其意：今有牛、马、羊吃了别
人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗
只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”，打
算按此比例偿还，问牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题
中，牛主人比羊主人多赔偿的粟为（　　）
A. 斗 B. 斗 C. 斗 D. 斗
解析： 　由题意，羊、马、牛的主人需赔偿的粟依次构成等比数列
{ an }，且公比 q ＝2.因为一共赔偿五斗粟，所以 a1＋ a2＋ a3＝5，即 a1
＋ a1 q ＋ a1 q2＝5，7 a1＝5，所以 a1＝ .因为 a3＝4 a1＝ ，所以 a3－
a1＝ ，即牛主人比羊主人多赔偿 斗粟.故选B.
通性通法
　　数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，
建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：（1）构造等
差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式求解；
（2）通过归纳得到结论，再用数列知识求解.
【跟踪训练】
画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个
正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了
10个正方形，则第10个正方形的面积等于 平方厘米.
解析：这10个正方形的边长构成以2为首项， 为公比的等比数列
{ an }（1≤ n ≤10， n ∈N＋），则第10个正方形的面积 S ＝ ＝
（ ）2＝211＝2 048.
2 048
1. 在等比数列{ an }中，若 a3＝8， a6＝64，则公比 q 为（　　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 8
解析： 　由 a6＝ a3 q3，得 q3＝8，所以 q ＝2.
2. 在等比数列{ an }中， a4＝6， a8＝18，则 a12＝（　　）
A. 24 B. 30
C. 54 D. 108
解析： 　由 ＝ a4 a12得 a12＝ ＝54.
3. 已知 a 是1，2的等差中项， b 是－1，－16的等比中项，则 ab ＝
（　　）
A. 6 B. －6 C. ±6 D. ±12
解析： 　∵ a ＝ ＝ ， b2＝（－1）×（－16）＝16， b ＝
±4，∴ ab ＝±6.
4. 在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98
石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为 .
解析：设衰分比例为 q ，则甲、乙、丙各分得 ，28，28 q 石，
∴ ＋28＋28 q ＝98，∴ q ＝2或 .又0＜ q ＜1，∴ q ＝ .

5. 在等比数列{ an }中，已知 a4＋ a7＝2， a5 a6＝－8，求 a1＋ a10.
解：因为数列{ an }为等比数列，
所以 a5 a6＝ a4 a7＝－8.
联立可解得或
当时， q3＝－ ，故 a1＋ a10＝ ＋ a7 q3＝－7；
当时， q3＝－2，故 a1＋ a10＝－7.
所以 a1＋ a10＝－7.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. “ m ＝4”是“ m 为2与8的等比中项”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 　若 m 是两个正数2和8的等比中项，则 m ＝± ＝
±4.故 m ＝4是 m ＝±4的充分不必要条件，即“ m ＝4”是“ m 为2
与8的等比中项”的充分不必要条件，故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 在等比数列{ an }中， a2， a18是方程 x2＋6 x ＋4＝0的两根，则 a4 a16
＋ a10＝（　　）
A. 6 B. 2
C. 2或6 D. －2
解析： 　由题知 a2＋ a18＝－6， a2· a18＝4，所以 a2＜0， a18＜0，
故 a10＜0，所以 a10＝－ ＝－2，因此 a4· a16＋ a10＝ ＋ a10
＝2，故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. 在正项等比数列{ an }中， a2 a7＝4，则log2 a1＋log2 a2＋…＋log2 a8
＝（　　）
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
解析： 　原式＝log2（ a1 a2 a3… a8）＝log2（ a2 a7）4＝4log24＝8.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. 十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.十二平
均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个
数依次成递增的等比数列，则插入的第8个数为（　　）
A. B.
C. D.
解析： 由题意，设这13个数构成的等比数列的公比为 q ，则2＝
1× q12，即 q ＝ ，则插入的第8个数为1× q8＝1×（ ）8＝
＝ ，故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. （多选）已知等比数列{ an }，则下面式子对任意正整数 k 都成立的
是（　　）
A. ak · ak＋1＞0
B. ak · ak＋2＞0
C. ak · ak＋1· ak＋2＞0
D. ak · ak＋1· ak＋2· ak＋3＞0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 　对于A，当 q ＜0时， ak · ak＋1＜0，A不一定成立；对于
B， ak · ak＋2＝（ akq ）2＞0，B成立；对于C， ak · ak＋1· ak＋2＝（ ak＋
1）3＞0不一定成立，C不一定成立；对于D， ak · ak＋1· ak＋2· ak＋3＝
（ ak＋1· ak＋2）2＞0一定成立，故选B、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. （多选）已知等比数列{ an }中， a1＝1，公比 q ＝－2，则（　　）
A. 数列{2 an ＋ an＋1}是等比数列
B. 数列{ an＋1－ an }是等比数列
C. 数列{ anan＋1}是等比数列
D. 数列{log2｜ an ｜}是递减数列
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 　∵等比数列{ an }中， a1＝1，公比 q ＝－2，∴ an ＝1×
（－2） n－1＝（－2） n－1.由此可得2 an ＋ an＋1＝2·（－2） n－1＋
（－2） n ＝0，故A错误； an＋1－ an ＝（－2） n －（－2） n－1＝－
3·（－2） n－1，故数列{ an＋1－ an }是等比数列，故B正确； anan＋1
＝（－2） n－1（－2） n ＝（－2）2 n－1，故数列{ anan＋1}是等比数
列，故C正确；log2｜ an ｜＝log22 n－1＝ n －1，故数列{log2｜ an ｜}
是递增数列，故D错误.故选B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 等比数列{ an }中， a1＝1， a9＝9，则 a5＝ .
解析：由 ＝ a1· a9，∴ ＝9，∴ a5＝±3.而 a1， a9均为正值，
故 a5也为正值，∴ a5＝3.
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. 如图，已知△ ABC 的面积为4，连接△ ABC 三边的中点构成第二个
三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类
推，第2 025个三角形的面积为 .

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：观察题图知，后一个三角形的面积是前一个的 ，设第 n 个
三角形的面积为 an ，则数列{ an }是首项为 a1＝4，公比为 的等比
数列，所以 an ＝4×（ ） n－1＝（ ） n－2，所以第2 025个三角形的
面积为 a2 025＝（ ）2 023＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9. 在数列{ an }中， a2＝ ， a3＝ ，且 bn ＝ nan ＋1，若{ bn }是等比数
列，则数列{ bn }的公比是 ， an ＝ .
解析：因为在数列{ an }中， a2＝ ， a3＝ ，且数列{ bn }是等比数
列， b2＝2 a2＋1＝3＋1＝4， b3＝3 a3＋1＝7＋1＝8，所以数列{ bn }
是首项为2，公比为2的等比数列，所以 bn ＝ nan ＋1＝2 n ，解得 an
＝ .
2

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并
且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是
12，求这四个数.
解：法一　设前三个数依次为 a － d ， a ， a ＋ d ，则第四个数为
，由题意得
解得或
所以当 a ＝4， d ＝4时，这四个数为0，4，8，16；
当 a ＝9， d ＝－6时，这四个数为15，9，3，1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
法二　设后三个数依次为 ， a ， aq ，因为前三个数成等差数列，所
以第一个数为 － a .
由题意得
解得或
所以当 a ＝8， q ＝2时，这四个数为0，4，8，16；
当 a ＝3， q ＝ 时，这四个数为15，9，3，1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. 已知等比数列{ an }满足 an ＞0， n ＝1，2，…，且 a5· a2 n－5＝22 n
（ n ≥3），则当 n ≥1时，log2 a1＋log2 a3＋…＋log2 a2 n－1＝
（　　）
A. n （2 n －1） B. （ n ＋1）2
C. n2 D. （ n －1）2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 　法一　由 a5· a2 n－5＝22 n 得 a1 q4· a1 q2 n－6＝ q2 n－2＝22
n ，所以（ a1 qn－1）2＝（2 n ）2.又 an ＞0，所以 a1 qn－1＝2 n .故log2
a1＋log2 a3＋…＋log2 a2 n－1＝log2（ a1 a3… a2 n－1）＝log2（ q2＋4
＋…＋2 n－2）＝log2[ qn（ n－1）]＝log2（ a1 qn－1） n ＝log2（2 n ） n ＝
n2.
法二　由等比中项的性质，得 a5· a2 n－5＝（ an ）2＝22 n ，注意到 an ＞
0，所以 an ＝2 n .利用特殊值法，如令 n ＝2，则log2 a1＋log2 a3＝log2
（2·23）＝log224＝4.只有C选项符合.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. （多选）设{ an }（ n ∈N＋）是各项均为正数的等比数列， q 是其
公比， Kn 是其前 n 项的积，且 K5＜ K6， K6＝ K7＞ K8，则下列选
项中成立的是（　　）
A. 0＜ q ＜1
B. a7＝1
C. K9＞ K5
D. K6与 K7均为 Kn 的最大值
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 　根据题意，分析选项.对于B，若 K6＝ K7，则 a7＝
＝1，B正确；对于A，由 K5＜ K6可得， a6＝ ＞1，则 q ＝ ∈
（0，1），故A正确；对于C，由{ an }是各项均为正数的等比数列
且 q ∈（0，1）可得数列单调递减，则有 K9＜ K5，故C错误；对
于D，结合 K5＜ K6， K6＝ K7＞ K8，可得D正确.故选A、B、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13. 已知数列{ an }为等比数列，数列{ bn }为等差数列，若 a2 a7 a12＝3
， b1＋ b7＋ b13＝6π，则tan ＝ 　 　.
解析：由等比数列性质知 a2 a7 a12＝ ＝3 ，解得 a7＝ ，又
数列{ bn }为等差数列， b1＋ b7＋ b13＝3 b7＝6π，解得 b7＝2π，又
b2＋ b12＝2 b7＝4π， a3 a11＝ ＝3，所以tan ＝tan ＝tan
＝ .

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. 2022年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16 a 和25 a ，
甲林场木材存量每年比上年递增25%，而乙林场木材存量每年比
上年递减20%.
（1）哪一年两林场木材的总存量相等？
解： 由题意可得16 a （1＋25%） n－1＝25 a （1－
20%） n－1，解得 n ＝2.
故到2023年两林场木材的总存量相等.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）问两林场木材的总量到2026年能否翻一番？
解： 令 n ＝5，
则 a5＝16 a ＋25 a ＜2（16 a ＋25 a ），
故到2026年不能翻一番.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. 若数列{ an }满足 an＋1＝3 an ＋2，则称数列{ an }为“梦想数列”，
已知正项数列 为“梦想数列”，且 b1＝2，则 b4＝
（　　）
A. B.
C. D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 若 为“梦想数列”，则有 －1＝3
＋2，即 －1＝ －1，即 ＝ ，且 b1＝2，所以数
列{ bn }为以2为首项，以 为公比的等比数列.则 b4＝2×
＝ .故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 在等比数列{ an }（ n ∈N＋）中， a1＞1，公比 q ＞0.设 bn ＝log2
an ，且 b1＋ b3＋ b5＝6， b1 b3 b5＝0.
（1）求证：数列{ bn }是等差数列；
解： 证明：（1）因为 bn ＝log2 an ，
所以 bn＋1－ bn ＝log2 an＋1－log2 an
＝log2 ＝log2 q （ q ＞0）为常数，
所以数列{ bn }为等差数列且公差 d ＝log2 q .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）求{ bn }的前 n 项和 Sn 及{ an }的通项 an .
解： 因为 b1＋ b3＋ b5＝6，
所以（ b1＋ b5）＋ b3＝2 b3＋ b3＝3 b3＝6，即 b3＝2.
又因为 a1＞1，所以 b1＝log2 a1＞0，
又因为 b1· b3· b5＝0，所以 b5＝0，
即即解得
因此 Sn ＝4 n ＋ ×（－1）＝ .
又因为 d ＝log2 q ＝－1，所以 q ＝ ， b1＝log2 a1＝4，
即 a1＝16，所以 an ＝25－ n （ n ∈N＋）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
谢 谢 观 看！

展开更多......

收起↑