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§4　数列在日常经济生活中的应用
1.随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2023年底，我国已累计开通5G基站超75万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G网络覆盖.2024年1月计划新建设5万个5G基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G基站时要到（　　）
A.2025年12月　　　　B.2026年2月
C.2026年4月 D.2026年6月
2.某市为鼓励全民健身，从2024年7月起向全市投放A，B两种型号的健身器材.已知7月投放A型健身器材300台、B型健身器材64台，计划8月起，A型健身器材每月的投放量均为a台，B型健身器材每月的投放量比上一月多50%，若12月底该市A，B两种健身器材投放总量不少于2 000台，则a的最小值为（　　）
A.243　 　B.172　 　C.122　 　D.74
3.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（　　）
A.1.5尺 B.2.5尺 C.3.5尺 D.4.5尺
4.（多选）参加工作5年的小郭，因工作需要向银行贷款A万元购买一台小汽车，与银行约定：这A万元银行贷款分10年还清，贷款的年利率为r，每年还一次款且还款数为X万元，则（　　）
A.X＝
B.小郭第3年还款的现值为万元
C.小郭选择的还款方式为“等额本金还款法”
D.小郭选择的还款方式为“等额本息还款法”
5.某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药物预防.规定每人每天早晚八时各服一次，现知每次药量为220毫克，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%.某人上午八时第一次服药，到第二天上午八时服完药时，这种药在他体内还残留　　　　毫克.
6.某企业年初有资金S万元，如果企业经过生产经营使每年资金增长率平均为25%，但每年年底却要扣除消费基金x万元，余下资金投入再生产，为实现经过2年资金增长50%（扣除消费基金后）的目标，那么每年应扣除消费基金　　　　万元.
7.小王每月除去所有日常开支，大约结余a元.小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年（存12次），到期取出本金和利息.假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息.那么，小王存款到期利息为　　　　元.
8.甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%，乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄.按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税.若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为　　　　元.（假定利率五年内保持不变，结果精确到分）
9.张先生2020年年底购买了一辆1.6 L排量的小轿车，为积极响应政府发展森林碳汇（指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中）的号召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金会购买了2亩荒山用于植树造林.科学研究表明：轿车每行驶3 000公里就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1立方米，平均可吸收1.8吨二氧化碳.
（1）若张先生第一年（即2021年）会用车1.2万公里，以后逐年增加1 000公里，则该轿车使用10年共要排放二氧化碳多少吨？
（2）若种植的林木第一年（即2021年）生长了1立方米，以后每年以10%的生长速度递增，问林木至少生长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量（参考数据： 1.114≈3.797 5，1.115≈4.177 2，1.116≈4.595 0）？
4　数列在日常经济生活中的应用
1.B　每个月开通5G基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数列，设预计我国累计开通500万个5G基站需要n个月，则75＋5n＋×1＝500，化简整理得，n2＋9n－850＝0，解得n＝25或n＝－34（舍负），所以预计我国累计开通500万个5G基站需要25个月，也就是到2026年2月.故选B.
2.D　设B型健身器材这6个月投放量构成数列{bn}，则数列{bn}是首项b1＝64，公比q＝的等比数列，其前6项的和S6＝＝1 330，∴5a＋300＋1 330≥2 000，解得a≥74，故选D.
3.C　从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{an}，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，∴解得a1＝13.5，d＝－1，∴小满日影长为a11＝13.5＋10×（－1）＝3.5（尺）.故选C.
4.BD　因为小郭与银行约定，每年还一次欠款，并且每年还款的钱数都相等，所以小郭选择的还款方式为“等额本息还款法”，故D正确，C错误；每年应还X元，还款10次，则小郭10年还款的本金与利息和为X[1＋（1＋r）＋（1＋r）2＋…＋（1＋r）9]，银行贷款A万元10年后的本利和为A（1＋r）10.所以X[1＋（1＋r）＋（1＋r）2＋…＋（1＋r）9]＝A（1＋r）10，所以X·＝A（1＋r）10，即X＝，故A错误；设小郭第三年还款的现值为y，则y·（1＋r）3＝X，所以y＝，故B正确；故选B、D.
5.343.2　解析：设第n次服药后，药在体内的残留量为an毫克，则a1＝220，a2＝220＋a1×（1－60%）＝220×1.4＝308，a3＝220＋a2×（1－60%）＝343.2.
6.S　解析：经过1年后拥有的资金：S×（1＋0.25）－x，经过2年后拥有的资金：[S×（1＋0.25）－x]（1＋0.25）－x，为实现经过2年资金增长50%（扣除消费基金后），有[S×（1＋0.25）－x]（1＋0.25）－x＝1.5S，解得x＝S.
7.78ar　解析：由题意知，小王存款到期利息为12ar＋11ar＋10ar＋…＋2ar＋ar＝ar＝78ar.
8.219.01　解析：甲所得本息之和为104·（1＋2.88%·0.8×5），乙所得本息之和为104·（1＋2.25%·0.8）5，差为219.01元.
9.解：（1）设第n年小轿车排出的二氧化碳的吨数为an，
则a1＝＝4，a2＝＝，a3＝＝，…，
显然其构成首项为a1＝4，公差为d＝a2－a1＝的等差数列，
记其前n项和为Sn，则S10＝10×4＋×＝55，
所以该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨.
（2）记第n年林木吸收二氧化碳的吨数为bn（n∈N＋ ），
则b1＝1×1.8，b2＝1×（1＋10%）×1.8，b3＝1×（1＋10%）2×1.8，…，
显然其构成首项为b1＝1.8，公比为q＝1.1的等比数列，
记其前n项和为Tn，
由题意，有Tn＝＝18×（1.1n－1）≥55，
即1.1n≥1＋≈4.06，结合参考数据解得n≥15.
所以林木至少生长15年，其吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量.
2 / 2§4　数列在日常经济生活中的应用
新课程标准解读 核心素养
了解并掌握等差数列，等比数列在日常经济生活中的应用 数学建模、数学运算
　　一位中国老太太与一位美国老太太在路上相遇.美国老太太说，她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住房贷款，而中国老太太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买房的钱攒足.我国现代都市人的消费观念正在变迁——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生；贷款购物，分期付款已深入我们生活.
【问题】　面对商家和银行提供的各种分期付款服务，你知道选择什么样的方式更好吗？
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
知识点　单利、复利
1.单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息　　　　　　，其公式为：利息＝　　　　　　　　.以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和，则有　　　　.
2.复利：复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法.复利的计算公式是　　　　　.
1.一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为（　　）
A.na（1－b%）　　　　 B.a（1－nb%）
C.a[1－（b%）n] D.a（1－b%）n
2.甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动.甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前一分钟多走1 m，乙每分钟走5 m，如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m.那么从开始运动几分钟后第二次相遇（　　）
A.5 B.7
C.15 D.18
3.银行一年定期的存款利率为p，如果将a元存入银行一年定期，到期后将本利再存一年定期，到期后再存一年定期，……，则10年后到期本利共　　　　元.
题型一 零存整取模型（单利计算问题）
【例1】　有一种零存整取的储蓄项目，它是每月定时存入一笔相同的金额，这是零存；到约定日期，可以提出全部本金及利息，这是整取.它的本利和公式如下：本利和＝每期存入金额×［存期＋存期×（存期＋1）×利率］.
（1）试解释这个本利和公式；
（2）若每月初存入100元，月利率5.1‰，到第12个月底的本利和是多少？
（3）若每月初存入一笔金额，月利率是5.1‰，希望到第12个月底取得本利和2 000元，那么每月应存入多少金额？
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
　　单利的计算问题是等差数列模型的应用，求解时按照等差数列模型确立相应的基本量.
【跟踪训练】
王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”，已知“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.
（1）欲在3年后一次支取本息合计2万元，王先生每月大约存入多少元？
（2）若教育储蓄存款总额不超过2万元，零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少元？ （精确到1元）
题型二 定期自动转存模型（复利计算问题）
【例2】　用10 000元购买某个理财产品一年.
（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到10－5）？
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
　　复利的计算问题是等比数列问题的实际应用，求解时注意建立等比数列模型.
【跟踪训练】
某人从2019年起，每年7月1日到银行新存入a元（一年定期），若年利率r保持不变，且每年到期存款自动转为新的一年定期，到2024年7月1日，将所有存款及利息全部取回，试求他可以得到的总钱数.
题型三 分期付款模型
【例3】　用分期付款的方式购买一件家用电器， 其价格为1 150元.购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%，分20次付完.若交付150元以后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问：分期付款的第10个月需交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花了多少钱？
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
　　解题时务必要注意第一次付款的利息是1 000元欠款的利息，而不是950元的利息，而最后一次付款的利息是50元欠款的利息.
【跟踪训练】
某人在2024年年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，月利率为3.375‰， 按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷.如果10年还清，那么每月应还贷多少元？（参考数据： 1.003 375120≈1.498 28）
1.某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1 000元，假设银行的月利率为5‰（按单利计算），则到第二年的元月10日，此项存款一年的利息之和是（　　）
A.5（1＋2＋3＋…＋12）元
B.5（1＋2＋3＋…＋11）元
C.1 000元
D.1 000元
2.某工厂购买一台机器价格为a万元，实行分期付款，每期付款b万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5‰，每月复利一次，则a，b满足（　　）
A.b＝　　　　　 B.b＝
C.b＝ D.＜b＜
3.若某政府增加环境治理费用a亿元，每个受惠的居民会将50%的额外收入用于国内消费，经过10轮影响之后，最后的国内消费总额为400亿元，则a≈　　　 （最初政府支出也算是国内消费，结果精确到1，1－0.511≈0.999 5）.
4.某厂2024年的产值为a万元，预计产值每年以n%递增，则该厂到2035年末的产值（单位：万元）是　　　　　　.
5.某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.
（1）用一个式子表示第n（n∈N＋）年这辆车的价值；
（2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
4　数列在日常经济生活中的应用
【基础知识·重落实】
知识点
1.不再计算利息　本金×利率×存期　S＝P（1＋nr）　2.S＝P（1＋r）n
自我诊断
1.D　依题意可知第一年后的价值为a（1－b%），第二年后的价值为a（1－b%）2，依此类推可知每年后的价值成等比数列，其首项为a（1－b%），公比为1－b%，所以n年后这批设备的价值为a（1－b%）n.故选D.
2.C　设n分钟后第2次相遇，依题意：2n＋＋5n＝3×70，整理得n2＋13n－6×70＝0，解得n＝15，n＝－28（舍去）.故第2次相遇是在开始运动后15分钟.故选C.
3.a（1＋p）10　解析：由题意知，第一年本利和为：a（1＋p）元，第二年本利和为：a（1＋p）（1＋p）＝a（1＋p）2元，第三年本利和为：a（1＋p）2（1＋p）＝a（1＋p）3元，以此类推，第十年本利和为：a（1＋p）10元.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）设每期存入金额A， 每期利率P，存入期数为n，则各期利息之和为AP＋2AP＋3AP＋…＋nAP＝n（n＋1）AP.
连同本金，就得：本利和＝nA＋n（n＋1）AP＝A.
（2）当A＝100， p＝5.1‰， n＝12时，本利和＝100×＝1 239.78（元）.
（3）将（1）中公式变形得A＝
＝≈161.32（元）.
即每月应存入161.32元.
跟踪训练
　解：（1）设王先生每月存入A元，则有A（1＋2.7‰）＋A（1＋2×2.7‰）＋…＋A（1＋36×2.7‰）＝20 000，利用等差数列前n项和公式，得A＝20 000，解得A≈529元.
（2）由于教育储蓄的存款总额不超过2万元，所以3年期教育储蓄每月至多存入≈555（元），此时3年后的本息和为：555（1＋2.7‰）＋555（1＋2.7‰）＋…＋555（1＋36×2.7‰）＝555≈20 978（元）.
【例2】　解：（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列{an}， 则{an}是等比数列，首项a1＝104（1＋0.400%），公比q＝1＋0.400%， 所以a12＝ 104（1＋0.400%）12≈10 490.7.
所以12个月后的利息为10 490.7－104≈491（元） .
（2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列{bn}，则{bn}也是一个等比数列，首项b1＝ 104（1＋r），公比为1＋r，于是b4＝ 104（1＋r）4.
因此以季度复利计息，存4个季度后的利息为元.
解不等式104（1＋r）4－104≥491，
所以（1＋r）4－1≥0.0491，所以（1＋r）4≥1.049 1，所以1＋r≥，所以r≥1.206%.
所以当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.
跟踪训练
　解：依题意每一年的本息和构成数列{an}，则2019年7月1日存入的a元钱到2020年6月30日所得本息和为a1＝a（1＋r）.
同理，到2021年6月30日所得本息和为a2＝[a（1＋r）＋a]（1＋r）＝a（1＋r）2＋a（1＋r），
到2022年6月30日所得本息和为[a（1＋r）2＋a（1＋r）＋a]（1＋r）＝a（1＋r）3＋a（1＋r）2＋a（1＋r），
到2023年6月30日所得本息和为[a（1＋r）3＋a（1＋r）2＋a（1＋r）＋a]（1＋r）＝a（1＋r）4＋a（1＋r）3＋a（1＋r）2＋a（1＋r），
到2024年6月30日所得本息和为[a（1＋r）4＋a（1＋r）3＋a（1＋r）2＋a（1＋r）＋a]（1＋r）＝a（1＋r）5＋a（1＋r）4＋a（1＋r）3＋a（1＋r）2＋a（1＋r），
所以2024年7月1日他可取回的钱数为a（1＋r）5＋a（1＋r）4＋a（1＋r）3＋a（1＋r）2＋a（1＋r）＝a·＝（元）.
【例3】　解：购买时付款150元，欠1 000元，以后每月付款50元，分20次付清.设每月付款数顺次构成数列{an}，则a1＝50＋1 000×1%＝60，
a2＝50＋（1 000－50）×1%＝59.5＝60－0.5×1，
a3＝50＋（1 000－50×2）×1%＝59＝60－0.5×2，
……
a10＝50＋（1 000－50×9）×1%＝55.5＝60－0.5×9，
则an＝60－0.5（n－1）＝－0.5n＋60.5（1≤n≤20）.
所以数列{an}是以60为首项，－0.5为公差的等差数列，
所以付款总数为S20＋150＝20×60＋×（－0.5）＋150＝1 255（元）.
所以第10个月需交55.5元，全部付清实际花了1 255元.
跟踪训练
　解：法一　由题意知借款总额a＝200 000元，还款次数n＝12×10＝120，
还款期限m＝10年＝120个月，月利率r＝3.375‰.
代入公式得，每月还款数额为：
≈2 029.66.
故如果10年还清，每月应还贷约2 029.66元.
法二　设每月应还贷x元，共还款12×10＝120（次），
则有x[1＋（1＋0.003 375）＋（1＋0.003 375）2＋…＋（1＋0.003 375）119]＝200 000×（1＋0.003 375）120，解方程得x≈2 029.66.故每月应还贷约2 029.66元.
随堂检测
1.A　存款利息是以5为首项，5为公差的等差数列，12个月的存款利息之和为5（1＋2＋3＋…＋12）元，故选A.
2.D　因为b（1＋1.005＋1.0052＋…＋1.00511）＝a（1＋0.005）12，所以12b＜a（1＋0.005）12，所以b＜，显然12b＞a，即＜b＜.
3.200　解析：由题意可知，a＋a×50%＋a×（50%）2＋…＋a×（50%）10＝＝400，解得a≈200.
4.a·（1＋n%）11　解析：∵2024年的产值为a万元，预计产值每年以n%递增，则每一年的产值构成以a为首项，以1＋n%为公比的等比数列，∴a2 035＝a2 024·（1＋n%）11＝a·（1＋n%）11.
5.解：（1）从第一年起，每年车的价值（万元）依次设为：a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5（1－10%），
a3＝13.5（1－10%）2，….
由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，
∴an＝a1·＝13.5×（0.9）n－1.
∴第n年车的价值为an＝13.5×（0.9）n－1万元.
（2）当他用满4年时，车的价值为a5＝13.5×（0.9）5－1≈8.857.
∴用满4年卖掉时，他大概能得到8.857万元.
3 / 3(共54张PPT)
§4　
数列在日常经济生活中的应用
新课程标准解读 核心素养
了解并掌握等差数列，等比数列在日常经济生
活中的应用 数学建模、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　一位中国老太太与一位美国老太太在路上相遇.美国老太太说，
她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住
房贷款，而中国老太太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买
房的钱攒足.我国现代都市人的消费观念正在变迁——花明天的钱圆
今天的梦对我们已不再陌生；贷款购物，分期付款已深入我们生活.
【问题】　面对商家和银行提供的各种分期付款服务，你知道选择什
么样的方式更好吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知识点　单利、复利
1. 单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利
息 ，其公式为：利息＝ .
以符号 P 代表本金， n 代表存期， r 代表利率， S 代表本利和，则
有 .
2. 复利：复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期
内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法.复利的
计算公式是 .
不再计算利息　
本金×利率×存期　
S ＝ P （1＋ nr ）　
S ＝ P （1＋ r ） n 　
1. 一批设备价值 a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低 b
%，则 n 年后这批设备的价值为（　　）
A. na （1－ b %） B. a （1－ nb %）
C. a [1－（ b %） n ] D. a （1－ b %） n
解析： 　依题意可知第一年后的价值为 a （1－ b %），第二年后
的价值为 a （1－ b %）2，依此类推可知每年后的价值成等比数
列，其首项为 a （1－ b %），公比为1－ b %，所以 n 年后这批设备
的价值为 a （1－ b %） n .故选D.
2. 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动.甲第1分钟走2
m，以后每分钟比前一分钟多走1 m，乙每分钟走5 m，如果甲、乙
到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1 m，乙
继续每分钟走5 m.那么从开始运动几分钟后第二次相遇（　　）
A. 5 B. 7 C. 15 D. 18
解析： 　设 n 分钟后第2次相遇，依题意：2 n ＋ ＋5 n ＝
3×70，整理得 n2＋13 n －6×70＝0，解得 n ＝15， n ＝－28（舍
去）.故第2次相遇是在开始运动后15分钟.故选C.
3. 银行一年定期的存款利率为 p ，如果将 a 元存入银行一年定期，到
期后将本利再存一年定期，到期后再存一年定期，……，则10年后
到期本利共 元.
解析：由题意知，第一年本利和为： a （1＋ p ）元，第二年本利和
为： a （1＋ p ）（1＋ p ）＝ a （1＋ p ）2元，第三年本利和为： a
（1＋ p ）2（1＋ p ）＝ a （1＋ p ）3元，以此类推，第十年本利和
为： a （1＋ p ）10元.
a （1＋ p ）10
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 零存整取模型（单利计算问题）
【例1】　有一种零存整取的储蓄项目，它是每月定时存入一笔相同
的金额，这是零存；到约定日期，可以提出全部本金及利息，这是整
取.它的本利和公式如下：本利和＝每期存入金额×［存期＋ 存期×
（存期＋1）×利率］.
（1）试解释这个本利和公式；
解： 设每期存入金额 A ， 每期利率 P ，存入期数为 n ，则
各期利息之和为 AP ＋2 AP ＋3 AP ＋…＋ nAP ＝ n （ n ＋1）
AP .
连同本金，就得：本利和＝ nA ＋ n （ n ＋1） AP ＝ A
.
（2）若每月初存入100元，月利率5.1‰，到第12个月底的本利和是
多少？
解： 当 A ＝100， p ＝5.1‰， n ＝12时，本利和＝100×
＝1 239.78（元）.
（3）若每月初存入一笔金额，月利率是5.1‰，希望到第12个月底取
得本利和2 000元，那么每月应存入多少金额？
解： 将（1）中公式变形得 A ＝
＝ ≈161.32（元）.
即每月应存入161.32元.
通性通法
　　单利的计算问题是等差数列模型的应用，求解时按照等差数列模
型确立相应的基本量.
【跟踪训练】
王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”，已知“教育储蓄”
存款的月利率是2.7‰.
（1）欲在3年后一次支取本息合计2万元，王先生每月大约存入多
少元？
解： 设王先生每月存入 A 元，则有 A （1＋2.7‰）＋ A （1
＋2×2.7‰）＋…＋ A （1＋36×2.7‰）＝20 000，利用等差数
列前 n 项和公式，得 A （ 36＋36×2.7‰ ＋ ×2.7‰）＝20
000，解得 A ≈529元.
（2）若教育储蓄存款总额不超过2万元，零存整取3年期教育储蓄每
月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少元？ （精确到
1元）
解： 由于教育储蓄的存款总额不超过2万元，所以3年期教
育储蓄每月至多存入 ≈555（元），此时3年后的本息和
为：555（1＋2.7‰）＋555（1＋2.7‰）＋…＋555（1＋
36×2.7‰）＝555（ 36 ＋ 36×2.7‰ ＋ ×2.7‰）≈20 978
（元）.
题型二 定期自动转存模型（复利计算问题）
【例2】　用10 000元购买某个理财产品一年.
（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确
到1元）？
解： 设这笔钱存 n 个月以后的本利和组成一个数列{ an }，
则{ an }是等比数列，首项 a1＝104（1＋0.400%），公比 q ＝1＋
0.400%， 所以 a12＝ 104（1＋0.400%）12≈10 490.7.
所以12个月后的利息为10 490.7－104≈491（元） .
（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按
季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到10－5）？
解： 设季度利率为 r ，这笔钱存 n 个季度以后的本利和组
成一个数列{ bn }，则{ bn }也是一个等比数列，首项 b1＝ 104（1
＋ r ），公比为1＋ r ，于是 b4＝ 104（1＋ r ）4.
因此以季度复利计息，存4个季度后的利息为
元.
解不等式104（1＋ r ）4－104≥491，
所以（1＋ r ）4－1≥0.0491，所以（1＋ r ）4≥1.049 1，所以1
＋ r ≥ ，所以 r ≥1.206%.
所以当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月
结算的利息.
通性通法
　　复利的计算问题是等比数列问题的实际应用，求解时注意建立等
比数列模型.
【跟踪训练】
某人从2019年起，每年7月1日到银行新存入 a 元（一年定期），若年
利率 r 保持不变，且每年到期存款自动转为新的一年定期，到2024年7
月1日，将所有存款及利息全部取回，试求他可以得到的总钱数.
解：依题意每一年的本息和构成数列{ an }，则2019年7月1日存入的 a
元钱到2020年6月30日所得本息和为 a1＝ a （1＋ r ）.
同理，到2021年6月30日所得本息和为 a2＝[ a （1＋ r ）＋ a ]（1＋ r ）
＝ a （1＋ r ）2＋ a （1＋ r ），
到2022年6月30日所得本息和为[ a （1＋ r ）2＋ a （1＋ r ）＋ a ]（1＋
r ）＝ a （1＋ r ）3＋ a （1＋ r ）2＋ a （1＋ r ），
到2023年6月30日所得本息和为[ a （1＋ r ）3＋ a （1＋ r ）2＋ a （1＋
r ）＋ a ]（1＋ r ）＝ a （1＋ r ）4＋ a （1＋ r ）3＋ a （1＋ r ）2＋ a （1
＋ r ），
到2024年6月30日所得本息和为[ a （1＋ r ）4＋ a （1＋ r ）3＋ a （1＋
r ）2＋ a （1＋ r ）＋ a ]（1＋ r ）＝ a （1＋ r ）5＋ a （1＋ r ）4＋ a （1
＋ r ）3＋ a （1＋ r ）2＋ a （1＋ r ），
所以2024年7月1日他可取回的钱数为 a （1＋ r ）5＋ a （1＋ r ）4＋ a
（1＋ r ）3＋ a （1＋ r ）2＋ a （1＋ r ）
＝ a ·
＝ （元）.
题型三 分期付款模型
【例3】　用分期付款的方式购买一件家用电器， 其价格为1 150元.
购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利
息，月利率为1%，分20次付完.若交付150元以后的第1个月开始算分
期付款的第1个月，问：分期付款的第10个月需交付多少钱？全部贷
款付清后，买这件家电实际花了多少钱？
解：购买时付款150元，欠1 000元，以后每月付款50元，分20次付清.
设每月付款数顺次构成数列{ an }，则 a1＝50＋1 000×1%＝60，
a2＝50＋（1 000－50）×1%＝59.5＝60－0.5×1，
a3＝50＋（1 000－50×2）×1%＝59＝60－0.5×2，
……
a10＝50＋（1 000－50×9）×1%＝55.5＝60－0.5×9，
则 an ＝60－0.5（ n －1）＝－0.5 n ＋60.5（1≤ n ≤20）.
所以数列{ an }是以60为首项，－0.5为公差的等差数列，
所以付款总数为 S20＋150＝20×60＋ ×（－0.5）＋150＝1 255
（元）.
所以第10个月需交55.5元，全部付清实际花了1 255元.
通性通法
　　解题时务必要注意第一次付款的利息是1 000元欠款的利息，而不
是950元的利息，而最后一次付款的利息是50元欠款的利息.
【跟踪训练】
某人在2024年年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，
月利率为3.375‰， 按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的
次月初开始还贷.如果10年还清，那么每月应还贷多少元？（参考数
据： 1.003 375120≈1.498 28）
解：法一　由题意知借款总额 a ＝200 000元，还款次数 n ＝12×10＝
120，
还款期限 m ＝10年＝120个月，月利率 r ＝3.375‰.
代入公式得，每月还款数额为：
≈2 029.66.
故如果10年还清，每月应还贷约2 029.66元.
法二　设每月应还贷 x 元，共还款12×10＝120（次），
则有 x [1＋（1＋0.003 375）＋（1＋0.003 375）2＋…＋（1＋0.003
375）119]＝200 000×（1＋0.003 375）120，解方程得 x ≈2 029.66.
故每月应还贷约2 029.66元.
1. 某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1 000元，假设银行的
月利率为5‰（按单利计算），则到第二年的元月10日，此项存款
一年的利息之和是（　　）
A. 5（1＋2＋3＋…＋12）元
B. 5（1＋2＋3＋…＋11）元
C. 1 000 元
D. 1 000 元
解析： 　存款利息是以5为首项，5为公差的等差数列，12个月的
存款利息之和为5（1＋2＋3＋…＋12）元，故选A.
2. 某工厂购买一台机器价格为 a 万元，实行分期付款，每期付款 b 万
元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5‰，每月复利一
次，则 a ， b 满足（　　）
A. b ＝ B. b ＝
C. b ＝ D. ＜ b ＜
解析： 　因为 b （1＋1.005＋1.0052＋…＋1.00511）＝ a （1＋
0.005）12，所以12 b ＜ a （1＋0.005）12，所以 b ＜
，显然12 b ＞ a ，即 ＜ b ＜ .
3. 若某政府增加环境治理费用 a 亿元，每个受惠的居民会将50%的额
外收入用于国内消费，经过10轮影响之后，最后的国内消费总额为
400亿元，则 a ≈ （最初政府支出也算是国内消费，结果精确
到1，1－0.511≈0.999 5）.
解析：由题意可知， a ＋ a ×50%＋ a ×（50%）2＋…＋ a ×
（50%）10＝ ＝400，解得 a ≈200.
200　
4. 某厂2024年的产值为 a 万元，预计产值每年以 n %递增，则该厂到
2035年末的产值（单位：万元）是 .
解析：∵2024年的产值为 a 万元，预计产值每年以 n %递增，则每
一年的产值构成以 a 为首项，以1＋ n %为公比的等比数列，∴ a2 035
＝ a2 024·（1＋ n %）11＝ a ·（1＋ n %）11.
a ·（1＋ n %）11
5. 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的
速度贬值.
（1）用一个式子表示第 n （ n ∈N＋）年这辆车的价值；
解： 从第一年起，每年车的价值（万元）依次设为：
a1， a2， a3，…， an ，
由题意，得 a1＝13.5， a2＝13.5（1－10%），
a3＝13.5（1－10%）2，….
由等比数列定义，知数列{ an }是等比数列，首项 a1＝13.5，
公比 q ＝1－10%＝0.9，
∴ an ＝ a1· ＝13.5×（0.9） n－1.
∴第 n 年车的价值为 an ＝13.5×（0.9） n－1万元.
（2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
解： 当他用满4年时，车的价值为 a5＝13.5×（0.9）5－
1≈8.857.
∴用满4年卖掉时，他大概能得到8.857万元.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智
能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关
注.5G基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2023年底，
我国已累计开通5G基站超75万个，未来将进一步完善基础网络体
系，稳步推进5G网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G网络
覆盖.2024年1月计划新建设5万个5G基站，以后每个月比上一个月
多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G基站时要到（　　）
A. 2025年12月 B. 2026年2月
C. 2026年4月 D. 2026年6月
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解析： 　每个月开通5G基站的个数是以5为首项，1为公差的等差
数列，设预计我国累计开通500万个5G基站需要 n 个月，则75＋5 n
＋ ×1＝500，化简整理得， n2＋9 n －850＝0，解得 n ＝
25或 n ＝－34（舍负），所以预计我国累计开通500万个5G基站需
要25个月，也就是到2026年2月.故选B.
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2. 某市为鼓励全民健身，从2024年7月起向全市投放 A ， B 两种型号
的健身器材.已知7月投放 A 型健身器材300台、 B 型健身器材64
台，计划8月起， A 型健身器材每月的投放量均为 a 台， B 型健身器
材每月的投放量比上一月多50%，若12月底该市 A ， B 两种健身器
材投放总量不少于2 000台，则 a 的最小值为（　　）
A. 243 B. 172
C. 122 D. 74
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解析： 　设 B 型健身器材这6个月投放量构成数列{ bn }，则数列
{ bn }是首项 b1＝64，公比 q ＝ 的等比数列，其前6项的和 S6＝
＝1 330，∴5 a ＋300＋1 330≥2 000，解得 a
≥74，故选D.
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3. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立
春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个
节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为
31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为
（　　）
A. 1.5尺 B. 2.5尺
C. 3.5尺 D. 4.5尺
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解析： 　从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春
分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依
次成等差数列{ an }，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，
前九个节气日影长之和为85.5尺，
∴解得 a1＝13.5， d
＝－1，∴小满日影长为 a11＝13.5＋10×（－1）＝3.5（尺）.
故选C.
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4. （多选）参加工作5年的小郭，因工作需要向银行贷款 A 万元购买
一台小汽车，与银行约定：这 A 万元银行贷款分10年还清，贷款的
年利率为 r ，每年还一次款且还款数为 X 万元，则（　　）
A. X ＝
B. 小郭第3年还款的现值为 万元
C. 小郭选择的还款方式为“等额本金还款法”
D. 小郭选择的还款方式为“等额本息还款法”
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解析： 　因为小郭与银行约定，每年还一次欠款，并且每年还
款的钱数都相等，所以小郭选择的还款方式为“等额本息还款
法”，故D正确，C错误；每年应还 X 元，还款10次，则小郭10年
还款的本金与利息和为 X [1＋（1＋ r ）＋（1＋ r ）2＋…＋（1＋
r ）9]，银行贷款 A 万元10年后的本利和为 A （1＋ r ）10.所以 X [1
＋（1＋ r ）＋（1＋ r ）2＋…＋（1＋ r ）9]＝ A （1＋ r ）10，所以
X · ＝ A （1＋ r ）10，即 X ＝ ，故A错误；
设小郭第三年还款的现值为 y ，则 y ·（1＋ r ）3＝ X ，所以 y ＝
，故B正确；故选B、D.
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5. 某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药
物预防.规定每人每天早晚八时各服一次，现知每次药量为220毫
克，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%.某人上午八时
第一次服药，到第二天上午八时服完药时，这种药在他体内还残
留 毫克.
解析：设第 n 次服药后，药在体内的残留量为 an 毫克，则 a1＝
220， a2＝220＋ a1×（1－60%）＝220×1.4＝308， a3＝220＋
a2×（1－60%）＝343.2.

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6. 某企业年初有资金 S 万元，如果企业经过生产经营使每年资金增长
率平均为25%，但每年年底却要扣除消费基金 x 万元，余下资金投
入再生产，为实现经过2年资金增长50%（扣除消费基金后）的目
标，那么每年应扣除消费基金 万元.
解析：经过1年后拥有的资金： S ×（1＋0.25）－ x ，经过2年后拥
有的资金：[ S ×（1＋0.25）－ x ]（1＋0.25）－ x ，为实现经过2
年资金增长50%（扣除消费基金后），有[ S ×（1＋0.25）－ x ]
（1＋0.25）－ x ＝1.5 S ，解得 x ＝ S .
S
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7. 小王每月除去所有日常开支，大约结余 a 元.小王决定采用零存整
取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行 a 元，存期1年（存12
次），到期取出本金和利息.假设一年期零存整取的月利率为 r ，
每期存款按单利计息.那么，小王存款到期利息为 元.
解析：由题意知，小王存款到期利息为12 ar ＋11 ar ＋10 ar ＋…＋2
ar ＋ ar ＝ ar ＝78 ar .
78 ar
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8. 甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存五年期定期
储蓄，年利率为2.88%，乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，
并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄.按规定每次计息时，
储户须交纳利息的20%作为利息税.若存满五年后两人同时从银行
取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为 元.（假定利
率五年内保持不变，结果精确到分）
解析：甲所得本息之和为104·（1＋2.88%·0.8×5），乙所得本息
之和为104·（1＋2.25%·0.8）5，差为219.01元.
219.01
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9. 张先生2020年年底购买了一辆1.6 L排量的小轿车，为积极响应政
府发展森林碳汇（指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在
植被或土壤中）的号召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基
金会购买了2亩荒山用于植树造林.科学研究表明：轿车每行驶3
000公里就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1立方米，平均可吸收
1.8吨二氧化碳.
（1）若张先生第一年（即2021年）会用车1.2万公里，以后逐年增
加1 000公里，则该轿车使用10 年共要排放二氧化碳多少吨？
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解： 设第 n 年小轿车排出的二氧化碳的吨数为 an
，
则 a1＝ ＝4， a2＝ ＝ ， a3＝ ＝ ，…，
显然其构成首项为 a1＝4，公差为 d ＝ a2－ a1＝ 的等差数
列，
记其前 n 项和为 Sn ，则 S10＝10×4＋ × ＝55，
所以该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨.
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（2）若种植的林木第一年（即2021年）生长了1立方米，以后每年
以10%的生长速度递增，问林木至少生长多少年，吸收的二
氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量（参考数
据： 1.114≈3.797 5，1.115≈4.177 2，1.116≈4.595 0）？
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解： 记第 n 年林木吸收二氧化碳的吨数为 bn （ n ∈N＋ ），
则 b1＝1×1.8， b2＝1×（1＋10%）×1.8， b3＝1×（1＋10%）2×1.8，…，
显然其构成首项为 b1＝1.8，公比为 q ＝1.1的等比数列，记其前 n 项和为 Tn ，
由题意，有 Tn ＝ ＝18×（1.1 n －1）≥55，即1.1 n ≥1＋ ≈4.06，结合参考数据解得 n ≥15.
所以林木至少生长15年，其吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排
出的二氧化碳的量.
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