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*§5　数学归纳法
1.用数学归纳法证明3n≥n3（n≥3，n∈N＋），第一步验证（　　）
A.n＝1　　　　　　　　 B.n＝2
C.n＝3 D.n＝4
2.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2时，若已假设n＝k（k≥2，k为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（　　）
A.n＝k＋1时等式成立
B.n＝k＋2时等式成立
C.n＝2k＋2时等式成立
D.n＝2（k＋2）时等式成立
3.某命题与自然数有关，如果当n＝k（k∈N＋）时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，则可推得（　　）
A.当n＝6时，该命题不成立
B.当n＝6时，该命题成立
C.当n＝4时，该命题不成立
D.当n＝4时，该命题成立
4.用数学归纳法证明“n3＋（n＋1）3＋（n＋2）3（n∈N＋）能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开（　　）
A.（k＋3）3 B.（k＋2）3
C.（k＋1）3 D.（k＋1）3＋（k＋2）3
5.（多选）对于不等式 ＜n＋1（n∈N＋），某学生使用数学归纳法证明的过程如下：
①当n＝1时， ＜1＋1，不等式成立.
②假设n＝k（k∈N＋）时，不等式成立，即 ＜k＋1，则n＝k＋1时， ＝＜＝＝（k＋1）＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，关于上述证明过程的说法正确的是（　　）
A.证明过程全都正确
B.当n＝1时的验证正确
C.归纳假设正确
D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
6.（多选）设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：当f（k）≥k＋1成立时，总有f（k＋1）≥k＋2成立.下列命题总成立的是（　　）
A.若f（6）＜7成立，则f（5）＜6成立
B.若f（3）≥4成立，则当k≥1时，均有f（k）≥k＋1成立
C.若f（2）＜3成立，则f（1）≥2成立
D.若f（4）≥5成立，则当k≥4时，均有f（k）≥k＋1成立
7.记凸k边形的内角和为f（k），则凸k＋1边形的内角和f（k＋1）＝f（k）＋　　　　.
8.用数学归纳法证明“当n∈N＋时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为　　　　　，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是　　　　　　　　.
9.用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f（n）部分，则f（n）＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f（k＋1）＝f（k）＋　　　　.
10.设f（n）＝1＋＋＋…＋（n∈N＋）.求证：f（1）＋f（2）＋…＋f（n－1）＝n[f（n）－1]（n≥2，n∈N＋）.
5　数学归纳法
1.C　由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3时不等式是否成立.
2.B　因为已知n为正偶数，故当n＝k时，下一个偶数为k＋2.
3.C　若n＝4时，该命题成立，由条件可推得n＝5时命题成立.所以若n＝5时该命题不成立，则n＝4时该命题也不成立.
4.A　假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋（k＋1）3＋（k＋2）3能被9整除.当n＝k＋1时，（k＋1）3＋（k＋2）3＋（k＋3）3为了能用上面的归纳假设，只需将（k＋3）3展开，让其出现k3即可.
5.BCD　n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求.故选B、C、D.
6.AD　若f（5）＜6不成立，则f（5）≥6，由题意知f（6）≥7，与f（6）＜7成立矛盾，所以f（5）＜6成立，A正确.B、C显然错误.若f（4）≥5成立，由题意，得当k≥4时，均有f（k）≥k＋1成立，故D正确.所以选A、D.
7.π　解析：由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f（k＋1）＝f（k）＋π.
8.1＋2＋22＋23＋24　25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4
解析：当n＝1时，原式应加到25×1－1＝24，所以原式为1＋2＋22＋23＋24，从n＝k到n＝k＋1时需添25k＋25k＋1＋…＋25（k＋1）－1.
9.k＋1　解析：f（k）＝1＋，f（k＋1）＝1＋，∴f（k＋1）－f（k）＝［1＋］－＝k＋1，
∴f（k＋1）＝f（k）＋（k＋1）.
10.证明：当n＝2时，左边＝f（1）＝1，
右边＝2×＝1，左边＝右边，等式成立.
假设n＝k（k≥2，k∈N＋）时，等式成立，即
f（1）＋f（2）＋…＋f（k－1）＝k[f（k）－1]，
那么，当n＝k＋1时，f（1）＋f（2）＋…＋f（k－1）＋f（k）＝k[f（k）－1]＋f（k）＝（k＋1）f（k）－k＝（k＋1）·－k＝（k＋1）f（k＋1）－（k＋1）＝（k＋1）[f（k＋1）－1]，
∴当n＝k＋1时等式仍然成立.
∴f（1）＋f（2）＋…＋f（n－1）＝n[f（n）－1]（n≥2，n∈N＋）.
2 / 2*§5　数学归纳法
新课程标准解读 核心素养
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题 逻辑推理
清华大学数学系赵访熊教授（1908～1996）给大学一年级学生讲高等数学课时，总要先讲讲数学的基本概念和方法，他对数学归纳法所作的讲解极其生动，他讲了一个“公鸡归纳法”的故事：某主妇养小鸡十只，公母各半.她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐.每天早晨她拿米喂鸡.到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……，第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃.”这时，主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了.这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米，反而被杀了.虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃.赵先生把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法”.
【问题】　“公鸡归纳法”得到的结论一定正确吗？
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
知识点　数学归纳法
数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是：
（1）证明：当n取第一个值n0（n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等）时，命题成立；
（2）假设当n＝k（k∈N＋，k≥n0）时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题也成立.
根据（1）（2）可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.
提醒　（1）数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者是基础，后者是递推的依据；（2）运用数学归纳法时易犯的错误：①对项数估算错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化易弄错；②不利用归纳假设，归纳假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了；③步骤不严谨、不规范，在利用假设后，不作任何推导或计算而直接写出所要结论.
【想一想】
　用数学归纳法证明问题时，第一步一定要验证n＝1时成立吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.（　　）
（2）应用数学归纳法证明数学命题时n0＝1.（　　）
（3）用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，缺一不可.（　　）
（4）推证n＝k＋1时可以不用n＝k时的假设.（　　）
2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n（n－3）条时，第一步应验证n＝（　　）
A.1　　　　　　　　　　 B.2
C.3 D.4
题型一 用数学归纳法证明等式
【例1】　求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋（n∈N＋）.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
用数学归纳法证明等式的策略
　　应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：
（1）n＝n0时，等式的结构；
（2）n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构，n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加（或减少）的项.
这时一定要弄清三点：
①代数式从哪一项（哪一个数）开始，即第一项；
②代数式相邻两项之间的变化规律；
③代数式中最后一项（最后一个数）与n的关系.
【跟踪训练】
用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n（3n＋1）＝n（n＋1）2（其中n∈N＋）.
题型二 用数学归纳法证明不等式
【例2】　求证：＋＋…＋＞（n≥2，n∈N＋）.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
　　对于与正整数有关的不等式的证明问题，如果用其他方法比较困难，此时可考虑使用数学归纳法证明.使用数学归纳法的难点在第二个步骤上，这时除了一定要运用归纳假设外，还要较多地运用不等式证明的其他方法（如拆、添、并、放、缩），对所要证明的不等式加以变形，寻求其与归纳假设相联系的突破口.
【跟踪训练】
用数学归纳法证明：当n∈N＋时，1＋22＋33＋…＋nn＜（n＋1）n.
题型三 用数学归纳法证明几何问题
【例3】　求证：n棱柱中过侧棱的对角面（即过棱柱的两条不相邻的侧棱的截面）的个数是f（n）＝n（n－3），其中n≥4，n∈N＋.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
用数学归纳法证明几何问题的关键
　　在几何问题中，常有与正整数n有关的几何证明，其中有交点个数、对角线条数、内角和、将平面分成若干部分等问题，利用数学归纳法证明时，关键是“找增量”，即几何元素从k（k∈N＋）个变成（k＋1）个时，所证的几何量将增加多少个.解题时可以先用f（k＋1）－f（k）得出结果，再结合几何图形给予严谨的证明.
【跟踪训练】
已知点Pn（an，bn）满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝（n∈N＋），且点P1的坐标为（1，－1）.
（1）求过点P1，P2的直线l的方程；
（2）试用数学归纳法证明：对n∈N＋，点Pn都在（1）中的直线l上.
题型四 归纳—猜想—证明
【例4】　已知数列，，，…，，…，设Sn为数列的前n项和，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
“归纳—猜想—证明”模式的解题方法
（1）观察：由已知条件写出前几项；
（2）归纳：根据前几项的规律，找到项与项数的关系；
（3）猜想：猜想一般项的表达式；
（4）证明：用数学归纳法证明猜想的结论.
【跟踪训练】
已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an（n≥2，n∈N＋）.
（1）求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；
（2）用数学归纳法证明（1）的猜想.
1.用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋（n＋3）＝（n∈N＋），验证n＝1时，左边应取的项是（　　）
A.1　　　　　　　 B.1＋2
C.1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4
2.在数列{an}中，an＝1－＋－＋…＋－，则ak＋1＝（　　）
A.ak＋ B.ak＋－
C.ak＋ D.ak＋－
3.用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时，左端在n＝k时的左端加上　　　　.
4.观察下列不等式：1＞，1＋＋＞1，1＋＋＋…＋＞，1＋＋＋…＋＞2，1＋＋＋…＋＞，…，由此猜测第n个不等式为　　　　（n∈N＋）.
5　数学归纳法
【基础知识·重落实】
知识点
想一想
　提示：不一定.如：证明多边形内角和为（n－2）×180°时，第一步应验证n＝3.
自我诊断
1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）×
2.C　边数最少的凸n边形是三角形，故选C.
【典型例题·精研析】
【例1】　证明：（1）当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝.
左边＝右边，等式成立.
（2）假设当n＝k（k≥1）时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，
则当n＝k＋1时，
＋
＝＋
＝＋＋…＋＋
＝＋＋…＋＋.
即当n＝k＋1时，等式也成立.
综合（1）和（2）可知，对一切正整数n等式都成立.
跟踪训练
　证明：（1）当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立.
（2）假设当n＝k（k∈N＋）时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k（3k＋1）＝k（k＋1）2.
那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k（3k＋1）＋（k＋1）[3（k＋1）＋1]＝k（k＋1）2＋（k＋1）[3（k＋1）＋1]＝（k＋1）（k2＋4k＋4）＝（k＋1）[（k＋1）＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立.
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＋都成立.
【例2】　证明：（1）当n＝2时，
左边＝＋＋＋＞，不等式成立.
（2）假设当n＝k（k≥2，k∈N＋）时不等式成立，
即＋＋…＋＞，
则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋（＋＋－）＞＋＞＋＝，所以当n＝k＋1时不等式也成立.
由（1）（2）可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立.
跟踪训练
　证明：（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝2，1＜2，不等式成立.
（2）假设当n＝k（k∈N＋）时不等式成立，即1＋22＋33＋…＋kk＜（k＋1）k，那么，当n＝k＋1时，左边＝1＋22＋33＋…＋kk＋（k＋1）k＋1＜（k＋1）k＋（k＋1）k＋1＝（k＋1）k·（k＋2）＜（k＋2）k＋1＝[（k＋1）＋1]k＋1＝右边，即左边＜右边，
即当n＝k＋1时不等式也成立.
根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N＋都成立.
【例3】　证明：（1）当n＝4时，四棱柱有2个对角面，
此时f（4）＝×4×（4－3）＝2，命题成立.
（2）假设当n＝k（k≥4，k∈N＋）时，命题成立.
即k棱柱中过侧棱的对角面有f（k）＝k（k－3）个.
现在考虑n＝k＋1时的情形.
对于（k＋1）棱柱A1A2…Ak＋1-B1B2…Bk＋1，
棱Ak＋1Bk＋1与其余和它不相邻的（k－2）条棱共增加了（k－2）个对角面，而面A1B1BkAk变成了对角面.因此对角面的个数为f（k）＋（k－2）＋1＝k（k－3）＋k－1＝（k－2）（k＋1）＝（k＋1）[（k＋1）－3]，
即f（k＋1）＝（k＋1）[（k＋1）－3]成立.
由（1）和（2），可知原结论成立.
跟踪训练
　解：（1）由点P1的坐标为（1，－1）知a1＝1，b1＝－1，
∴b2＝＝，a2＝a1·b2＝，
∴点P2的坐标为，故直线l的方程为2x＋y＝1.
（2）证明：①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋（－1）＝1，命题成立.
②假设当n＝k（k∈N＋）时，2ak＋bk＝1成立，则当n＝k＋1时，2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝·（2ak＋1）＝＝＝1，
故当n＝k＋1时，命题也成立.
由①②知，对任何n∈N＋，都有2an＋bn＝1成立，即点Pn在直线l上.
【例4】　解：S1＝＝，S2＝＋＝，
S3＝＋＝，S4＝＋＝，
可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致，分母可用项数n表示为3n＋1，可以猜想Sn＝.
下面用数学归纳法证明：
（1）显然当n＝1时，S1＝＝，猜想成立.
（2）假设当n＝k（k∈N＋）时，等式成立，即Sk＝.
则当n＝k＋1时，
Sk＋1＝Sk＋
＝＋＝
＝＝，
即当n＝k＋1时，猜想也成立.
根据（1）和（2）可知，猜想对任何n∈N＋都成立.
跟踪训练
　解：（1）a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，
a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，
猜想an＝5×2n－2（n≥2，n∈N＋）.
（2）证明：①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，猜想成立.
②假设n＝k（k∈N＋，且k≥2）时成立，即ak＝5×2k－2（k≥2，k∈N＋），
则当n＝k＋1时，由已知条件和假设有
ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2＝5＋＝5×2k－1＝5×2k＋1－2，故n＝k＋1时，猜想也成立.
由①②可知，对n≥2，n∈N＋有an＝5×2n－2.
随堂检测
1.D　当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4.
2.D　a1＝1－，a2＝1－＋－，…，an＝1－＋－＋…＋－，ak＝1－＋－＋…＋－，所以ak＋1＝ak＋－.
3.（k2＋1）＋（k2＋2）＋…＋（k＋1）2　解析：n＝k时，左端为1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋（k2＋1）＋（k2＋2）＋…＋（k＋1）2.
4.1＋＋＋…＋＞
4 / 4(共52张PPT)
*§5　数学归纳法
新课程标准解读 核心素养
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数
列中的一些简单命题 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
清华大学数学系赵访熊教授（1908～1996）给大学一年
级学生讲高等数学课时，总要先讲讲数学的基本概念和
方法，他对数学归纳法所作的讲解极其生动，他讲了一
个“公鸡归纳法”的故事：某主妇养小鸡十只，公母各
半.她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就
陆续杀以佐餐.每天早晨她拿米喂鸡.到第一百天的早晨，
其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……，第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃.”这时，主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了.这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米，反而被杀了.虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃.赵先生把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法”.
【问题】　“公鸡归纳法”得到的结论一定正确吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知识点　数学归纳法
数学归纳法是用来证明某些与正整数 n 有关的数学命题的一种方法.它
的基本步骤是：
（1）证明：当 n 取第一个值 n0（ n0是一个确定的正整数，如 n0＝1或2
等）时，命题成立；
（2）假设当 n ＝ k （ k ∈N＋， k ≥ n0）时命题成立，证明当 n ＝ k ＋1
时，命题也成立.
根据（1）（2）可以断定命题对一切从 n0开始的正整数 n 都
成立.
提醒　（1）数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者是基础，后者是
递推的依据；（2）运用数学归纳法时易犯的错误：①对项数估算错
误，特别是寻找 n ＝ k 与 n ＝ k ＋1的关系时，项数发生什么变化易弄
错；②不利用归纳假设，归纳假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不
过去了；③步骤不严谨、不规范，在利用假设后，不作任何推导或计
算而直接写出所要结论.
【想一想】
　用数学归纳法证明问题时，第一步一定要验证 n ＝1时成立吗？
提示：不一定.如：证明多边形内角和为（ n －2）×180°时，第一步
应验证 n ＝3.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）与正整数 n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.
（　×　）
（2）应用数学归纳法证明数学命题时 n0＝1. （　×　）
（3）用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，缺一不可.
（　√　）
（4）推证 n ＝ k ＋1时可以不用 n ＝ k 时的假设. （　×　）
×
×
√
×
2. 在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n （ n －3）条时，第
一步应验证 n ＝（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析： 　边数最少的凸 n 边形是三角形，故选C.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 用数学归纳法证明等式
【例1】　求证：1－ ＋ － ＋…＋ － ＝ ＋ ＋…＋
（ n ∈N＋）.
证明：（1）当 n ＝1时，左边＝1－ ＝ ，右边＝ ＝ .
左边＝右边，等式成立.
（2）假设当 n ＝ k （ k ≥1）时等式成立，即1－ ＋ － ＋…＋
－ ＝ ＋ ＋…＋ ，
则当 n ＝ k ＋1时，
＋
＝ ＋
＝ ＋ ＋…＋ ＋
＝ ＋ ＋…＋ ＋ .
即当 n ＝ k ＋1时，等式也成立.
综合（1）和（2）可知，对一切正整数 n 等式都成立.
通性通法
用数学归纳法证明等式的策略
　　应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：
（1） n ＝ n0时，等式的结构；
（2） n ＝ k 到 n ＝ k ＋1时，两个式子的结构， n ＝ k ＋1时的代数式比
n ＝ k 时的代数式增加（或减少）的项.
这时一定要弄清三点：
①代数式从哪一项（哪一个数）开始，即第一项；
②代数式相邻两项之间的变化规律；
③代数式中最后一项（最后一个数）与 n 的关系.
【跟踪训练】
用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋ n （3 n ＋1）＝ n （ n
＋1）2（其中 n ∈N＋）.
证明：（1）当 n ＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右
边，等式成立.
（2）假设当 n ＝ k （ k ∈N＋）时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10
＋…＋ k （3 k ＋1）＝ k （ k ＋1）2.
那么，当 n ＝ k ＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋ k （3 k ＋1）＋（ k
＋1）[3（ k ＋1）＋1]＝ k （ k ＋1）2＋（ k ＋1）[3（ k ＋1）＋1]＝
（ k ＋1）（ k2＋4 k ＋4）＝（ k ＋1）[（ k ＋1）＋1]2，即当 n ＝ k ＋1
时等式也成立.
根据（1）和（2），可知等式对任何 n ∈N＋都成立.
题型二 用数学归纳法证明不等式
【例2】　求证： ＋ ＋…＋ ＞ （ n ≥2， n ∈N＋）.
证明：（1）当 n ＝2时，
左边＝ ＋ ＋ ＋ ＞ ，不等式成立.
（2）假设当 n ＝ k （ k ≥2， k ∈N＋）时不等式成立，
即 ＋ ＋…＋ ＞ ，
则当 n ＝ k ＋1时， ＋ ＋…＋ ＋ ＋ ＋
＝ ＋ ＋…＋ ＋（ ＋ ＋ － ）＞
＋ ＞
＋ ＝ ，
所以当 n ＝ k ＋1时不等式也成立.
由（1）（2）可知，原不等式对一切 n ≥2， n ∈N＋均成立.
通性通法
　　对于与正整数有关的不等式的证明问题，如果用其他方法比较困
难，此时可考虑使用数学归纳法证明.使用数学归纳法的难点在第二
个步骤上，这时除了一定要运用归纳假设外，还要较多地运用不等式
证明的其他方法（如拆、添、并、放、缩），对所要证明的不等式加
以变形，寻求其与归纳假设相联系的突破口.
【跟踪训练】
用数学归纳法证明：当 n ∈N＋时，1＋22＋33＋…＋ nn ＜（ n ＋1） n .
证明：（1）当 n ＝1时，左边＝1，右边＝2，1＜2，不等式成立.
（2）假设当 n ＝ k （ k ∈N＋）时不等式成立，即1＋22＋33＋…＋ kk ＜
（ k ＋1） k ，那么，当 n ＝ k ＋1时，左边＝1＋22＋33＋…＋ kk ＋（ k
＋1） k＋1＜（ k ＋1） k ＋（ k ＋1） k＋1＝（ k ＋1） k ·（ k ＋2）＜（ k ＋
2） k＋1＝[（ k ＋1）＋1] k＋1＝右边，即左边＜右边，
即当 n ＝ k ＋1时不等式也成立.
根据（1）和（2），可知不等式对任意 n ∈N＋都成立.
题型三 用数学归纳法证明几何问题
【例3】　求证： n 棱柱中过侧棱的对角面（即过棱柱的两条不相邻的
侧棱的截面）的个数是 f （ n ）＝ n （ n －3），其中 n ≥4， n ∈N＋.
证明：（1）当 n ＝4时，四棱柱有2个对角面，
此时 f （4）＝ ×4×（4－3）＝2，命题成立.
（2）假设当 n ＝ k （ k ≥4， k ∈N＋）时，命题成立.
即 k 棱柱中过侧棱的对角面有 f （ k ）＝ k （ k －3）个.
现在考虑 n ＝ k ＋1时的情形.
对于（ k ＋1）棱柱 A1 A2… Ak＋1- B1 B2… Bk＋1，
棱 Ak＋1 Bk＋1与其余和它不相邻的（ k －2）条棱共增加了（ k －2）个
对角面，而面 A1 B1 BkAk 变成了对角面.因此对角面的个数为 f （ k ）＋
（ k －2）＋1＝ k （ k －3）＋ k －1＝ （ k －2）（ k ＋1）＝ （ k ＋
1）[（ k ＋1）－3]，
即 f （ k ＋1）＝ （ k ＋1）[（ k ＋1）－3]成立.
由（1）和（2），可知原结论成立.
通性通法
用数学归纳法证明几何问题的关键
　　在几何问题中，常有与正整数 n 有关的几何证明，其中有交点个
数、对角线条数、内角和、将平面分成若干部分等问题，利用数学归
纳法证明时，关键是“找增量”，即几何元素从 k （ k ∈N＋）个变成
（ k ＋1）个时，所证的几何量将增加多少个.解题时可以先用 f （ k ＋
1）－ f （ k ）得出结果，再结合几何图形给予严谨的证明.
【跟踪训练】
已知点 Pn （ an ， bn ）满足 an＋1＝ an · bn＋1， bn＋1＝ （ n ∈N
＋），且点 P1的坐标为（1，－1）.
（1）求过点 P1， P2的直线 l 的方程；
解： 由点 P1的坐标为（1，－1）知 a1＝1，
b1＝－1，∴ b2＝ ＝ ， a2＝ a1· b2＝ ，
∴点 P2的坐标为 ，故直线 l 的方程为2 x ＋ y ＝1.
（2）试用数学归纳法证明：对 n ∈N＋，点 Pn 都在（1）中的直线
l 上.
解： 证明：①当 n ＝1时，2 a1＋ b1＝2×1＋（－1）＝1，
命题成立.
②假设当 n ＝ k （ k ∈N＋）时，2 ak ＋ bk ＝1成立，则当 n ＝ k ＋1
时，2 ak＋1＋ bk＋1＝2 ak · bk＋1＋ bk＋1＝ ·（2 ak ＋1）＝
＝ ＝1，
故当 n ＝ k ＋1时，命题也成立.
由①②知，对任何 n ∈N＋，都有2 an ＋ bn ＝1成立，即点 Pn 在直
线 l 上.
题型四 归纳—猜想—证明
【例4】　已知数列 ， ， ，…， ，…，设 Sn
为数列的前 n 项和，计算 S1， S2， S3， S4，根据计算结果，猜想 Sn 的
表达式，并用数学归纳法证明.
解： S1＝ ＝ ， S2＝ ＋ ＝ ，
S3＝ ＋ ＝ ， S4＝ ＋ ＝ ，
可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致，分母可用
项数 n 表示为3 n ＋1，可以猜想 Sn ＝ .
下面用数学归纳法证明：
（1）显然当 n ＝1时， S1＝ ＝ ，猜想成立.
（2）假设当 n ＝ k （ k ∈N＋）时，等式成立，
即 Sk ＝ .
则当 n ＝ k ＋1时，
Sk＋1＝ Sk ＋
＝ ＋
＝ ＝ ＝ ，
即当 n ＝ k ＋1时，猜想也成立.
根据（1）和（2）可知，猜想对任何 n ∈N＋都成立.
通性通法
“归纳—猜想—证明”模式的解题方法
（1）观察：由已知条件写出前几项；
（2）归纳：根据前几项的规律，找到项与项数的关系；
（3）猜想：猜想一般项的表达式；
（4）证明：用数学归纳法证明猜想的结论.
【跟踪训练】
已知数列{ an }的第一项 a1＝5且 Sn－1＝ an （ n ≥2， n ∈N＋）.
（1）求 a2， a3， a4，并由此猜想 an 的表达式；
解： a2＝ S1＝ a1＝5， a3＝ S2＝ a1＋ a2＝10，
a4＝ S3＝ a1＋ a2＋ a3＝5＋5＋10＝20，
猜想 an ＝5×2 n－2（ n ≥2， n ∈N＋）.
（2）用数学归纳法证明（1）的猜想.
解： 证明：①当 n ＝2时， a2＝5×22－2＝5，猜想成立.
②假设 n ＝ k （ k ∈N＋，且 k ≥2）时成立，即 ak ＝5×2 k－2
（ k ≥2， k ∈N＋），
则当 n ＝ k ＋1时，由已知条件和假设有
ak＋1＝ Sk ＝ a1＋ a2＋…＋ ak ＝5＋5＋10＋…＋5×2 k－2＝5
＋ ＝5×2 k－1＝5×2 k＋1－2，故 n ＝ k ＋1时，猜
想也成立.
由①②可知，对 n ≥2， n ∈N＋有 an ＝5×2 n－2.
1. 用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋（ n ＋3）＝
（ n ∈N＋），验证 n ＝1时，左边应取的项是（　　）
A. 1 B. 1＋2
C. 1＋2＋3 D. 1＋2＋3＋4
解析： 　当 n ＝1时，左边＝1＋2＋3＋4.
2. 在数列{ an }中， an ＝1－ ＋ － ＋…＋ － ，则 ak＋1＝
（　　）
A. ak ＋ B. ak ＋ －
C. ak ＋ D. ak ＋ －
解析： 　 a1＝1－ ， a2＝1－ ＋ － ，…， an ＝1－ ＋ －
＋…＋ － ， ak ＝1－ ＋ － ＋…＋ － ，所以 ak＋1＝
ak ＋ － .
3. 用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋ n2＝ ，则当 n ＝ k ＋1
时，左端在 n ＝ k 时的左端加上
.
解析： n ＝ k 时，左端为1＋2＋3＋…＋ k2， n ＝ k ＋1时，左端为1
＋2＋3＋…＋ k2＋（ k2＋1）＋（ k2＋2）＋…＋（ k ＋1）2.
（ k2＋1）＋（ k2＋2）＋…＋（ k
＋1）2
4. 观察下列不等式：1＞ ，1＋ ＋ ＞1，1＋ ＋ ＋…＋ ＞ ，1
＋ ＋ ＋…＋ ＞2，1＋ ＋ ＋…＋ ＞ ，…，由此猜测第 n
个不等式为 （ n ∈N
1＋ ＋ ＋…＋ ＞
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 用数学归纳法证明3 n ≥ n3（ n ≥3， n ∈N＋），第一步验证
（　　）
A. n ＝1 B. n ＝2 C. n ＝3 D. n ＝4
解析： 　由题知， n 的最小值为3，所以第一步验证 n ＝3时不等
式是否成立.
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2. 已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明1－ ＋ － ＋…＋ － ＝
2 时，若已假设 n ＝ k （ k ≥2， k 为偶数）时
命题为真，则还需要用归纳假设再证（　　）
A. n ＝ k ＋1时等式成立 B. n ＝ k ＋2时等式成立
C. n ＝2 k ＋2时等式成立 D. n ＝2（ k ＋2）时等式成立
解析： 　因为已知 n 为正偶数，故当 n ＝ k 时，下一个偶数为
k ＋2.
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3. 某命题与自然数有关，如果当 n ＝ k （ k ∈N＋）时该命题成立，则
可推得 n ＝ k ＋1时该命题也成立，现已知当 n ＝5时该命题不成
立，则可推得（　　）
A. 当 n ＝6时，该命题不成立
B. 当 n ＝6时，该命题成立
C. 当 n ＝4时，该命题不成立
D. 当 n ＝4时，该命题成立
解析： 　若 n ＝4时，该命题成立，由条件可推得 n ＝5时命题成
立.所以若 n ＝5时该命题不成立，则 n ＝4时该命题也不成立.
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4. 用数学归纳法证明“ n3＋（ n ＋1）3＋（ n ＋2）3（ n ∈N＋）能被9
整除”，要利用归纳假设证 n ＝ k ＋1时的情况，只需展开（　　）
A. （ k ＋3）3 B. （ k ＋2）3
C. （ k ＋1）3 D. （ k ＋1）3＋（ k ＋2）3
解析： 　假设当 n ＝ k 时，原式能被9整除，即 k3＋（ k ＋1）3＋
（ k ＋2）3能被9整除.当 n ＝ k ＋1时，（ k ＋1）3＋（ k ＋2）3＋
（ k ＋3）3为了能用上面的归纳假设，只需将（ k ＋3）3展开，让
其出现 k3即可.
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5. （多选）对于不等式 ＜ n ＋1（ n ∈N＋），某学生使用数学
归纳法证明的过程如下：
①当 n ＝1时， ＜1＋1，不等式成立.
②假设 n ＝ k （ k ∈N＋）时，不等式成立，即 ＜ k ＋1，则 n
＝ k ＋1时， ＝ ＜
＝ ＝（ k ＋1）＋1，∴
当 n ＝ k ＋1时，不等式成立，关于上述证明过程的说法正确的是
（　　）
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A. 证明过程全都正确
B. 当 n ＝1时的验证正确
C. 归纳假设正确
D. 从 n ＝ k 到 n ＝ k ＋1的推理不正确
解析： 　 n ＝1的验证及归纳假设都正确，但从 n ＝ k 到 n ＝ k
＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证
明，不符合数学归纳法的证题要求.故选B、C、D.
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6. （多选）设 f （ x ）是定义在正整数集上的函数，且 f （ x ）满足：
当 f （ k ）≥ k ＋1成立时，总有 f （ k ＋1）≥ k ＋2成立.下列命题总
成立的是（　　）
A. 若 f （6）＜7成立，则 f （5）＜6成立
B. 若 f （3）≥4成立，则当 k ≥1时，均有 f （ k ）≥ k ＋1成立
C. 若 f （2）＜3成立，则 f （1）≥2成立
D. 若 f （4）≥5成立，则当 k ≥4时，均有 f （ k ）≥ k ＋1成立
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解析： 　若 f （5）＜6不成立，则 f （5）≥6，由题意知 f （6）
≥7，与 f （6）＜7成立矛盾，所以 f （5）＜6成立，A正确.B、C
显然错误.若 f （4）≥5成立，由题意，得当 k ≥4时，均有 f （ k ）
≥ k ＋1成立，故D正确.所以选A、D.
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7. 记凸 k 边形的内角和为 f （ k ），则凸 k ＋1边形的内角和 f （ k ＋1）
＝ f （ k ）＋ .
解析：由凸 k 边形变为凸 k ＋1边形时，增加了一个三角形图形，故
f （ k ＋1）＝ f （ k ）＋π.
π
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8. 用数学归纳法证明“当 n ∈N＋时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25 n－1
是31的倍数”时，当 n ＝1时，原式为 ，从 n
＝ k 到 n ＝ k ＋1时需增添的项是
.
解析：当 n ＝1时，原式应加到25×1－1＝24，所以原式为1＋2＋22＋
23＋24，从 n ＝ k 到 n ＝ k ＋1时需添25 k ＋25 k＋1＋…＋25（ k＋1）－1.
1＋2＋22＋23＋24
25 k ＋25 k＋1＋25 k＋2＋25 k＋3＋25 k＋
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9. 用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的 n 条直线把平面分为 f
（ n ）部分，则 f （ n ）＝1＋ .”证明第二步归纳递推
时，用到 f （ k ＋1）＝ f （ k ）＋ .
解析： f （ k ）＝1＋ ， f （ k ＋1）＝1＋ ，
∴ f （ k ＋1）－ f （ k ）＝［1＋ ］－ ＝
k ＋1，∴ f （ k ＋1）＝ f （ k ）＋（ k ＋1）.
k ＋1
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10. 设 f （ n ）＝1＋ ＋ ＋…＋ （ n ∈N＋）.求证： f （1）＋ f （2）
＋…＋ f （ n －1）＝ n [ f （ n ）－1]（ n ≥2， n ∈N＋）.
证明：当 n ＝2时，左边＝ f （1）＝1，
右边＝2× ＝1，左边＝右边，等式成立.
假设 n ＝ k （ k ≥2， k ∈N＋）时，等式成立，即
f （1）＋ f （2）＋…＋ f （ k －1）＝ k [ f （ k ）－1]，
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那么，当 n ＝ k ＋1时， f （1）＋ f （2）＋…＋ f （ k －1）＋ f
（ k ）＝ k [ f （ k ）－1]＋ f （ k ）＝（ k ＋1） f （ k ）－ k ＝（ k ＋
1）· － k ＝（ k ＋1） f （ k ＋1）－（ k ＋1）＝
（ k ＋1）[ f （ k ＋1）－1]，
∴当 n ＝ k ＋1时等式仍然成立.
∴ f （1）＋ f （2）＋…＋ f （ n －1）＝ n [ f （ n ）－1]（ n ≥2， n
∈N＋）.
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