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章末检测（一）　数列
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知数列1，，，，3，，…，，…，则是这个数列的（　　）
A.第10项　 B.第11项
C.第12项 D.第21项
2.各项均为正数的等比数列{an}中，每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q＝（　　）
A. B.
C. D.
3.在等差数列{an}中，若a2＋a3＝4，a4＋a5＝6，则a9＋a10＝（　　）
A.9 B.10
C.11 D.12
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＋a4＝，S6＝9S3.若bn＝log2an，则数列{bn}的前10项和是（　　）
A.－35 B.－25
C.25 D.35
5.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝（　　）
A.3∶4 B.2∶3
C.1∶2 D.1∶3
6.已知数列{an}满足递推关系：an＋1＝，a1＝，则a2 023＝（　　）
A. B.
C. D.
7.设Sn是公差d不为0的等差数列{an}的前n项和，S3＝，且S1，S2，S4成等比数列，则a10＝（　　）
A.15 B.19
C.21 D.30
8.已知数列{an}满足a1＝2，4a3＝a6，是等差数列，则数列{（－1）nan}的前10项的和S10＝（　　）
A.220 B.110
C.99 D.55
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9.在等比数列{an}中，已知a1＝3，a3＝27，则数列{an}的通项公式可能是（　　）
A.an＝3n，n∈N＋ B.an＝3n－1，n∈N＋
C.an＝（－1）n－13n，n∈N＋ D.an＝2n－1，n∈N＋
10.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正确的是（　　）
A.a4＝0 B.Sn的最大值为S3
C.S1＝S6 D.｜a3｜＜｜a5｜
11.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝Sn＋2an＋1，数列的前n项和为Tn，n∈N＋，则下列说法正确的是（　　）
A.数列{an＋1}是等差数列 B.数列{an＋1}是等比数列
C.数列{an}的通项公式为an＝2n－1 D.Tn＜1
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.（2023·全国甲卷13题）记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6＝7S3，则{an}的公比为　　　　.
13.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F（1）＝F（2）＝1，F（n）＝F（n－1）＋F（n－2）（n≥3，n∈N＋）.此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2 023项的和为　　　　.
14.已知数列{an}满足（n＋2）an＋1＝nan，a1＝1，则an＝　　　　；若bn＝an，Tn为数列{bn}的前n项和，则T3＝　　　　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知数列{an}满足a1＝，且an＋1＝an＋，n∈N＋.
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式.
16.（本小题满分15分）在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知等差数列{an}的公差为d（d＞1），前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，　　　　.
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
17.（本小题满分15分）已知公差不为零的等差数列{an}满足S5＝35，且a2，a7，a22成等比数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝，且数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜.
18.（本小题满分17分）某公司一下属企业负责某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金的年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.
（1）用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；
（2）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.
19.（本小题满分17分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝55，S20＝210.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝，是否存在m，k（k＞m≥2，m，k∈N＋）使得b1，bm，bk成等比数列？若存在，求出符合条件的m，k的值；若不存在，请说明理由.
章末检测（一）　数列
1.B　2.C　3.C　4.C　5.A　
6.D　由an＋1＝得＝＋1，所以数列是等差数列，首项＝2，公差为1，所以＝2＋（2 023－1）×1＝2 024，则a2 023＝.
7.B　由S3＝得3a2＝，故a2＝0或a2＝3.由S1，S2，S4成等比数列可得＝S1·S4，又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，故（2a2－d）2＝（a2－d）（4a2＋2d），化简得3d2＝2a2d，又d≠0，∴a2＝3，d＝2，a1＝1，∴an＝1＋2（n－1）＝2n－1，∴a10＝19.
8.B　因为是等差数列，所以可设＝an＋b.所以an＝an2＋bn.因为a1＝2，4a3＝a6，所以a＋b＝2，且4（9a＋3b）＝36a＋6b，解得a＝2，b＝0，所以an＝2n2.所以S10＝2[（－12＋22）＋（－32＋42）＋…＋（－92＋102）]＝2×（1＋2＋3＋…＋10）＝110.
9.AC　由a3＝a1q2，得q2＝9，即q＝±3.∴an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n或an＝a1qn－1＝3×（－3）n－1＝（－1）n－13n.故数列的通项公式是an＝3n（n∈N＋）或an＝（－1）n－13n，n∈N＋.
10.AC　设等差数列{an}的公差为d，则a1＋3（a1＋4d）＝7a1＋21d，解得a1＝－3d，所以an＝a1＋（n－1）d＝（n－4）d，所以a4＝0，故A正确；因为S6－S1＝5a4＝0，所以S1＝S6，故C正确；由于d的正负不清楚，故S3可能为最大值或最小值，故B不正确；因为a3＋a5＝2a4＝0，所以a3＝－a5，即｜a3｜＝｜a5｜，故D不正确.故选A、C.
11.BCD　由Sn＋1＝Sn＋2an＋1，即an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1，可化为an＋1＋1＝2（an＋1）.由a1＝1，可得数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，则an＋1＝2n，即an＝2n－1，又＝＝－，可得Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＜1，故A错误，B、C、D正确.
12.－　解析：设等比数列{an}的公比为q（q≠1）.由8S6＝7S3，得8×＝7×.整理，得8q6－7q3－1＝0，解得q＝－.
13.1 349　解析：由于{an}是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以2的余数，故{an}为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，…，所以{an}是周期为3的周期数列，且一个周期中的三项之和为1＋1＋0＝2.因为2 023＝674×3＋1，所以数列{an}的前2 023项的和为674×2＋1＝1 349.
14.　　解析：由＝可得，···…·＝×××…×，得an＝，n≥2，又a1＝1＝，也满足，所以an＝，n∈N＋，bn＝·＝＝－，所以T3＝b1＋b2＋b3＝－＝－＝.
15.解：（1）证明：由已知得an＋1－＝an－＝.
因为a1＝，所以a1－＝，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知是以为首项，为公比的等比数列，
所以an－＝×，所以an＝×＋.
16.解：选条件①：
（1）∵a3＝5，a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q，d＞1，
∴解得或（舍去）.∴
∴an＝a1＋（n－1）d＝2n－1，n∈N＋，bn＝b1qn－1＝2n－1，n∈N＋.
（2）∵cn＝，∴cn＝＝（2n－1）×，
∴Tn＝1＋3×＋5×＋…＋（2n－3）×＋（2n－1）×，　（ⅰ）
∴Tn＝＋3×＋5×＋…＋（2n－3）×＋（2n－1）×，　（ⅱ）
（ⅰ）－（ⅱ）得Tn＝1＋2［＋＋…＋］－（2n－1）×＝1＋2×－（2n－1）×＝3－（2n＋3）×，
∴Tn＝6－（2n＋3）×，n∈N＋.
选条件②：
（1）∵b2＝2，a3＋a4＝3b3，a1＝b1，d＝q，d＞1，
∴∴
解得或（舍去），
∴∴an＝a1＋（n－1）d＝2n－1，n∈N＋，
bn＝b1qn－1＝2n－1，n∈N＋.
（2）同条件①.
选条件③：
（1）∵S3＝9，a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q，d＞1，
∴解得或（舍去），
∴∴an＝a1＋（n－1）d＝2n－1，n∈N＋，
bn＝b1qn－1＝2n－1，n∈N＋.
（2）同条件①.
17.解：（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0）.
由题意得则
化简得解得所以an＝3＋2（n－1）＝2n＋1.
（2）证明：bn＝＝＝＝，所以Tn＝（－＋－＋－＋…＋－＋－）＝（1＋－－）＝－＜.
18.解：（1）由题意得a1＝2 000×（1＋50%）－d＝3 000－d，a2＝a1（1＋50%）－d＝a1－d＝4 500－d，an＋1＝an（1＋50%）－d＝an－d.
（2）由（1）得an＝an－1－d＝（ an－2－d）－d＝（ ）2·an－2－d－d＝…＝（ ）n－1a1－d［1＋＋（ ）2＋…＋（ ）n－2］，
整理得an＝（ ）n－1（3 000－d）－2d［（ ）n－1－1］＝（ ）n－1·（3 000－3d）＋2d.
由题意知am＝4 000，所以（ ）m－1（3 000－3d）＋2d＝4 000，解得d＝.
故该企业每年上缴资金d的值为万元时，经过m（m≥3）年企业的剩余资金为4 000万元.
19.解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.
由已知，得即解得
所以an＝a1＋（n－1）d＝n（n∈N＋）.
（2）假设存在m，k（k＞m≥2，m，k∈N＋）使得b1，bm，bk成等比数列，则＝b1bk.
因为bn＝＝，
所以b1＝，bm＝，bk＝，
所以＝×.整理，得k＝.
因为k＞0，所以－m2＋2m＋1＞0，
解得1－＜m＜1＋.
因为m≥2，m∈N＋，所以m＝2，此时k＝8.
故存在m＝2，k＝8使得b1，bm，bk成等比数列.
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