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2025年全国普通高等学校运动训练、武术与民族传统体育专业
单独统一招生考试
数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
已知集合 ，则
A.
B.
C.
D.
函数 的定义域为( )
A. (-3,3)
B. (-2,3)
C. (-2,0)
D. (0,3)
已知直线 和圆 ，设甲：，乙：直线 与圆 相切，则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充分条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
下列函数中，在区间 为增函数的是( )
A.
B.
C.
D.
记 为等差数列 的前 n 项和，若 ，则 的公差为( )
A. -3
B. -2
C. 2
D. 3
4 名女队员和 2 名男队员排成一排，则 2 名男队员相邻的不同排法共有( )
A. 240
B. 180
C. 120
D. 60
若 ，则 ( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题8分，共32分）
设 是平面向量，，则 和 的夹角是______。
设四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形，PA⊥平面 ，PA=AB=3，则该四棱锥体积是______。
已知 F 是抛物线 的焦点，PQ 是直线 与 C 的两个交点，则 ______。
长方体 中, AB=BC=1, AA =3, 则直线 与 AC 所成角的余弦值为 ______。
三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 18 分，共 54 分）
记 的内角 的对边分别为 ，已知 。
(1) 若 ，求 ；
(2) 若 ，求 的面积。
已知椭圆 的离心率为 ， 分别为 C 的左、右焦点，点 P 在 C 上
(1) 若 ，求 ；
(2) 设 O 是坐标原点，点 P 在第一象限, 直线 OP 斜率为 ，，求 C 方程。
已知函数 ，曲线 在点 (1, f(1)) 处的切线在 x 轴上的截距为 2。
(1) 求 ；
(2) 求 在区间 [0, 1] 的最大值。2025年全国普通高等学校运动训练、武术与民族传统体育专业
单独统一招生考试
数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
已知集合 ，则
A.
B.
C.
D.
【答案】：A
解析：本题考察集合的基本运算
将两个集合在数轴上表示为：
阴影部分即为所求：即，答案为A
函数 的定义域为( )
A. (-3,3)
B. (-2,3)
C. (-2,0)
D. (0,3)
【答案】：B
解析：本题考查定义域和不等式的运算
①由对数定义得：
②根据分式和根式的定义得：
综上所述：，答案为B
已知直线 和圆 ，设甲：，乙：直线 与圆 相切，则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充分条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
解析：本题考察直线与圆相切得概念以及充要条件的判断
根据题意得：甲：为条件，乙：直线 与圆 相切为结论
由直线 与圆 相切得：圆心到直线的距离等于半径
利用点到直线的距离公式得：，，
故：甲 乙，所以甲是乙的充分条件但不是必要条件，答案为A
下列函数中，在区间 为增函数的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
解析：本题考察函数得单调性
A：由三角函数的性质得，余弦函数为周期函数，在 上不单调，故A错误
B：对B选项求导得：，故函数在 单调递减，在上单调递增，故B错误
C：对C选项求导得：，故在 上单调递增，是的子集，故在 上单调递增，故C正确
D：对D选项求导得：，原函数定义域为，故函数在单调递增，故D错误
记 为等差数列 的前 项和，若 ，则 的公差为( )
A. -3
B. -2
C. 2
D. 3
【答案】D
解析：本题考察等差数列前项和公式和公差的计算
计算：，公差
故D正确
4 名女队员和 2 名男队员排成一排，则 2 名男队员相邻的不同排法共有( )
A. 240
B. 180
C. 120
D. 60
【答案】A
解析：本题考察排列组合中的捆绑法
假设：4名女队员为A,B,C,D，2名男队员为a,b
①2名男队员捆绑，有顺序：有种排列方式
②4名女队员和捆绑到一起的2名男队员，5个元素全排列：有种排列方式
综上所述：共有=240种不同的排列方式
【答案】B
解析：本题考察立体几何中平行、垂直的判定定理和性质定理
A：直线 可能异面，故A错误
B：直线间平行的传递性，故B正确
C：如果与相交，那么以交点为对称，在上对称的两个点到的距离相等，此时与不平行
D：例如：空间直角坐标系的三条坐标轴两两相交，三条直线异面
若 ，则 ( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
解析：本题考察三角函数的诱导公式
设：，则，则，
二、填空题（本大题共4小题，每小题8分，共32分）
设 是平面向量，，则 和 的夹角是______。
【答案】
解析：本题考察平面向量的数量积
已知：，，，
所以=，，所以
设四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形，PA⊥平面 ，PA=AB=3，则该四棱锥体积是______。
【答案】9
解析：本题考察棱锥的体积公式
由题意得：四棱锥 P-ABCD的高h为PA =3，底面为正方形，面积为S=9
棱锥的体积为：
已知 F 是抛物线 的焦点，P，Q 是直线 与 C 的两个交点，则 ______。
【答案】8
解析：
抛物线 的焦点为 。
设点 、点 是直线与抛物线的交点
联立直线和抛物线方程求关系
直线方程：
抛物线方程：
从直线方程解出 ：
代入抛物线方程：
简化得：
该二次方程的根为 和 ，由韦达定理：
对应的 坐标：
由坐标得：
所以：
计算第一项：
计算第二项 :
展开分子：
代入韦达定理结果：
所以：
故
长方体 中, AB=BC=1, AA =3, 则直线 与 所成角的余弦值为 ______。
【答案】
解析：
以点A为坐标原点，方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系
由题意得：
， ， ，
， 。
所以：
因此，直线 与 所成角的余弦值为
三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 18 分，共 54 分）
记 的内角 的对边分别为 ，已知 。
(1) 若 ，求 ；
(2) 若 ，求 的面积。
解析：
（1）由正弦定理：
给定 ，代入得：
代入 ：
使用余弦定理求 ：
代入 ，，：
所以：
（2）由于 ，三角形 ABC 是等腰三角形。
使用余弦定理：
代入 ：
代入 和 （即 ）：
解方程：
得 ，且 。
求 ：
计算面积：
已知椭圆 的离心率为 ， 分别为 C 的左、右焦点，点 P 在 C 上
(1) 若 ，求 ；
(2) 设 O 是坐标原点，点 P 在第一象限, 直线 OP 斜率为 ，，求 C 方程。
解析：
由椭圆定义：
设 ，则 ，代入得：
所以：
焦点距离
在三角形 中，由余弦定理：
代入值：
所以，.
（2）直线 的斜率为 ，即 ，
所以：点 在椭圆上，代入椭圆方程 （因为 )：
所以：
代入 得:
所以点 的坐标为 .
焦点 为左焦点，坐标为 ，其中 . 计算 :
代入 , ，
所以：
所以：
给定 ，所以：
则：
因此，椭圆方程为：
已知函数 ，曲线 在点 (1, f(1)) 处的切线在 x 轴上的截距为 2。
(1) 求 ；
(2) 求 在区间 [0, 1] 的最大值。
解析：
（1）首先，求函数 的导数：
在点 处，切线斜率为：
点 在曲线上，有：
切线方程为：
切线在 轴上的截距为 2，即当 时 。
代入切线方程：
简化得：
解得：
（2）由 (1) 知 ，所以 。求导数：
令 ：
由于 ，有 ，即
所以：当 时， ， 单调递增，时， ， 单调递减
所以：

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