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浙教版数学九年级上学期重难点复习2:相似三角形(三)
一、三角形内接矩形相似模型
1．（2024九上·杭州期中）如图，正方形内接于，点在上，点分别在和边上，且上的高，，则正方形的边长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的性质-对应三线；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：设正方形边长为，则，
正方形内接于，上的高，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，即，
解得：，
正方形的边长为，
故答案为：C．
【分析】设正方形边长为，由正方形四边相等得，由有三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形EDNP是矩形，由矩形的对边相等得出，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得，由相似三角形对应边上的高之比等于相似比建立方程，解出的值即可.
2．（2025·梧州模拟）如图，当驾驶员的眼睛点与地面的距离为米时，是驾驶员的视觉盲区，车头近似的看成是矩形，且，若的长度为米，则车宽的长度大约是（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的实际应用；三角形内接矩形相似模型
【解析】【解答】解：如图，过点作，垂足为，交于点，
则米，
设米，由得，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
即，
，
，
，
解得，，
∴米
故答案为：D．
【分析】过点P作PM⊥BE于点M，交AF于点N，设FA=x米，则FD=x米，由矩形的性质得AF∥CD，AF=CD，由平行线的性质推出MN=DF=x米，由平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△PAF∽△PBE，由相似三角形对应边成比例建立方程求出PN=x，然后根据PN+MN=PM建立方程，求解得出x的值，从而即可得出CD的长.
3．如图，在直角三角形中放置边长分别为的三个正方形，则的值为　 　
【答案】7
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形内接矩形相似模型
【解析】【解答】解：如图，
在直角三角形中放置边长分别为的三个正方形，
，
，
．
，
，
，
解得(不符合题意，舍去)或．
故答案为：7.
【分析】利用余角的性质可证得，再通过相似三角形的性质得到，进而列出方程，解得.
4．（2024九上·温江期中）有一块直角边，的的铁片，现要将它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形内接矩形相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，，，
，
如图，过点B作，垂足为P，交于Q．
，
，
，
∵在正方形，，，，
，，
，
，
∵，
∴∠QPG=90°
又∵，
∴四边形为矩形，
∴，
设，则，
∴，
∵，
解得，
∴正方形的边长为：；
故答案为：．
【分析】如图，过点B作，垂足为P，交于Q，等积法求出的长，再证明，再证四边形为矩形，可推出，设DE=x，根据相似三角形对应边上的高线比等于相似比，列出比例式，进行求解即可．
5．（2025·鹿城模拟）小周要在一块三角形钢板中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点、在边上，顶点，分别在边、上，已知，，，则当矩形的面积最大时，　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用；二次函数的实际应用-几何问题；三角形内接矩形相似模型
【解析】【解答】解：过点作于点，交于点，
，
，
即，
解得，
四边形为矩形，
，
，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，即，
，
，
故当时，矩形面积最大，
，
此时，
故答案为：．
【分析】过点作于点，交于点，根据三角形ABC的面积等于40看求出的值，由“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，根据比例式可将DE用含DG的代数式表示出来，于是，将S矩形DEFG与DG之间的函数关系式配成顶点式，然后根据二次函数的性质可求解．
6．（2022九上·五华期末）如图，在中，点在上，点分别在、上，四边形是矩形，，是的高，，，那么的长为　 　．
【答案】6
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定；三角形内接矩形相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设与交于点R，
∵四边形是矩形，
∴，∠EFC=90°，
∴，
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，AR⊥EH，RD=EF，
∴，AR=AD-RD=AD-EF，
∵AD=5，
∴AR=5-EF，
∵EH=2EF，BC=15，
∴，
∴EF=3，
∴EH=6，
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质可得EH∥BC，进而得出，再结合AD是△ABC的高可得，最后通过比例关系求解EH的长度即可.
7．（2022九上·南山期末）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成一个正方形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上．则该正方形的边长是　 　m．
【答案】0.48
【知识点】三角形内接矩形相似模型
【解析】【解答】解：设与的交点为，如下图：
设，则，
由题意可得，，
∴，
∴，即
解得，即
故答案为：0.48．
【分析】设，则，，先证明，可得，即，再求出x的值即可。
8．（2024九上·瑞安期末）有一块三角形余料，它的边，高线要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．设，．
（1）求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围．
（2）当时，求加工成的矩形零件的周长．
【答案】（1）解：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，．
∴．
化简，得（）
（2）解：把代入，得，解得，则，
经检验，x，y的取值均符合题意，
∴加工成的矩形零件的周长．
【知识点】函数自变量的取值范围；矩形的性质；相似三角形的实际应用；三角形内接矩形相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【分析】（1）先证明，然后根据相似三角形的对应边上高的比等于相似比得到，代入数值化简即可；
（2）把代入求出x的值，进一步求得y，利用周长公式即可解题．
（1）解：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，．
∴．
化简，得（）
（2）解：把代入，得，解得，
则，
经检验，x，y的取值均符合题意，
∴加工成的矩形零件的周长．
9．（2024九上·义乌月考）张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高，张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点H．
（1）当点P恰好为中点时，______；
（2）当四边形为正方形时，求出这个零件的边长；
（3）若这个零件的边．则这个零件的长、宽各是多少？
【答案】（1）60
（2）解：∵四边形为正方形，∴，，
设正方形的边长为，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
答：这个零件的边长为；
（3）解：设矩形宽为，则长为，同理，
∴，
∴，
解得，，
故矩形的长为，宽为．
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的实际应用；三角形内接矩形相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
，
∴；
故答案为：60；
【分析】本题考查了相似三角形的应用．
（1）根据矩形的性质可得：，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得，代入数据可列出方程，解方程可求出PQ的值；
（2）设正方形的边长为，根据， 利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质对应高之比等于相似比，，代入数据可列出方程，解方程可求出a的值，进而可求出答案；
（3）设矩形的宽为，则长为，根据相似三角形的性质可得：，代入数据可列出方程，解方程可求出x的值，据此可求出答案.
（1）解：∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
，
∴；
故答案为：60；
（2）解：∵四边形为正方形，
∴，，
设正方形的边长为，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
答：这个零件的边长为；
（3）解：设矩形宽为，则长为，
同理，
∴，
∴，
解得，，
故矩形的长为，宽为．
10．（2024·吉安模拟）一块材料的形状是锐角三角形ABC，下面分别对这块材料进行课题探究：
（1）课本再现
在图1中，若边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少
（2）类比探究
如图2，若这块锐角三角形ABC材料可以加工成3个相同大小的正方形零件，请你探究高AD与边BC的数量关系，并说明理由．
（3）拓展延伸
①如图3，若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件，则的值为 ▲ （直接写出结果）；
②如图4，若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的相同大小的正方形零件，求的值．
【答案】（1）解：设正方形零件的边长为xmm，则，
∵，∴．
∴，∴，解得．
∴正方形零件的边长为
（2）解：．理由如下：如图．
设每个正方形的边长为a
∵
∴
∴，∴
∴
∴
又∵
∴．，
∴
∴
∴
（3）解：①；
②如图，设每个正方形的边长为a．
∵，∴．
∴
∴，∴
∵，∴．
∴，
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的实际应用；三角形内接矩形相似模型；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：（3）①如图所示，设小正方形边长为2a，
∴EF=MN=ND=2a
由（2）中结论可知，
∴
∴
∴AM=a
∴
∴AD=5AM=5a
由（1）中结论可知，
∴
∴BC=5EF=10a
∴
【分析】（1）通过设正方形零件边长，分别表示出，在证明，根据相似三角形的高之比等于相似比，列出等式，即可求出边长；
（2）通过设正方形边长为a，先证明，得到边长，在表示出AD长为3a，继而得到边之比：，在证明，得到边之比：，在表示出BC长为3a，最后得到AD=BC；
（3）①设小正方形边长为2a，即EF=MN=ND=2a，结合（1）、（2）问可知，先证明，得到边长比：，则，则AM=a，可知，则AD=5a，在证明，得到边长比：，则BC=10a，则；②设小正方形边长为a，根据，得到相似比为：，继而得到关系式：，再根据，得到边之比：，则。
二、梅涅劳斯定理模型
11．（2020九上·翼城期末）梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（ ）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：
如图（1），如果一条直线与 的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有 ．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作 ，交DF的延长线于点G，则有 ．
任务：
（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；
（2）如图（3），在 中， ， ，点D为BC的中点，点F在AB上，且 ，CF与AD交于点E，则 　 　．
【答案】（1）解：补充的证明过程如下：
，
，
（2）6
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；定义新运算
【解析】【解答】解：（2）根据梅涅劳斯定理得 ，
∵点D为BC的中点， ，
， ，
，
∵ ， ，
∴AD⊥BC，BD=5，
∴在 中， ，
．
故答案为6．
【分析】（1）先求出 ， 再证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ， ，再求出AD⊥BC，BD=5，最后利用勾股定理计算求解即可。
12．（2024·平湖自主招生）如图，在中，于点.，则的面积为（　　）
A．60 B．120 C．50 D．100
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；梅涅劳斯定理模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图， 过点B作BF⊥AC， 交AC于点F， 交AE于点G，
∵BF⊥AC， ∠BAC =45°，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴AF =BF，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AFG=90°，
∵∠AGF =∠BGE，
∴∠FBC =∠FAG，
∴△AGF≌△BCF(ASA)，
∴AG=BC = BE+CE=10，
∵∠AEB=∠AEC=90°， ∠FBC=∠FAG，
∴△BEG∽△AEC，
即
∴EG=2，
∴AE=12，
故答案为： B.
【分析】过点B作BF⊥AC， 交AC于点F， 交AE于点G，可知△ABF为等腰直角三角形，可推出△AGF≌△BCF和△BEG∽△AEC， 由全等得AG = 10， 由相似的性质可得EG =2， 故AE=12， 即可求得面积.
13．（2024八上·深圳期中）如图，在中，，点，分别在，边上，连接，将沿翻折，点的对应点恰好落在的延长线上，且，连接，若，，则　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；梅涅劳斯定理模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°，
∵CD＝，AD＝，
∴利用勾股定理，得AC＝，
∵∠MDN是由∠MAN折叠得到的，
∴∠MDN＝∠MAN，MA＝MD，
∵∠BDM＝∠NDM，
∴∠BDM＝∠MAN，
∵∠AMD＝∠ACD＝90°，
∴MD2＋MA2＝AD2，即2MD2＝AD2，
∴MD＝AD，
∵AD＝，
∴MD＝AD＝×=，
∵∠BDM＝∠BAC，∠DBM＝∠ABC，
∴△BDM∽△BAC，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理及等量代换可得MD＝AD，再求出MD＝AD＝×=，再证出△BDM∽△BAC，利用相似三角形的性质可得，从而得解.
14．（2024九上·瑞安期末）如图，在圆内接中，，弦，延长至点E，延长至点F，连接，使，延长交于点G，使，延长交于点H．
（1）若，为直径，求的度数．
（2）求证：．
（3）求证：．
【答案】（1）解：连接，
∵四边形内接于圆，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴；

（2）证明：∵四边形内接于圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：∵，
∴.
∵
∴，
∴，
∴.
又∵，
∴.
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；梅涅劳斯定理模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补得到，再根据可得，然后利用直径所对圆周角是直角解得；
（2）先得到，即可得到，然后证明，即可得到结论；
（3）先证明，得到，然后结合，即可得到结论．
（1）解：连接，
∵四边形内接于圆，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形内接于圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴.
∵
∴，
∴，
∴.
又∵，
∴.
15．（2024九上·上海市月考）梅涅劳斯（）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与的三边或它们的延长线交于三点，那么一定有．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点作，交的延长线于点，则有，，．类似的，如图（3），三边的延长线分别交直线于三点，则有：．请利用上述定理的证明方法或结论完成下面问题：
（1）如图（4），等边的边长为，点为的中点，点在上，且，与交于点，求的长．（写出求解过程）
（2）如图（5），的面积为，为中点，延长至，使，连接交于，则四边形的面积为 ．（直接写出答案）
【答案】（1）
（2）
【知识点】相似三角形的判定与性质
16．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设，，依次是的三边，，或其延长线上的点，且这三点共线，则满足．
这个定理的证明步骤如下：情况①：如图1，直线交的边于点，交边于点，交边的延长线与点．过点作交于点，则，（依据），
∴，∴，即．
情况②：如图2，直线分别交的边，，的延长线于点，，．…
（1）情况①中的依据指：　 　；
（2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；
（3）如图3，，分别是的边，上的点，且，连接并延长，交的延长线于点，那么　 　
【答案】（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
（2）证明：过点C作CG//DF交AB的延长线于点G，
则，，
∴，
∴BF·AD·EC=BD·AE·FC，
即
（3）25：16
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：(1)情况①中的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
(3)如图3中，，
AD：DB=CE：EA=4：5，
∴BF：CF=25：16.
故答案为：25：16.
【分析】(1)根据平行线分线段成比例定理解决问题即可；
(2)如图2中，过点C作CG//DF交AB的延长线于点G，模仿情况①的方法解决问题即可；
(3)利用结论解决问题即可.
17．（2023九上·运城期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯是公元世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍梅涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交交点不能是三角形的顶点，可以得到六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理．
如图，直线交线段于点，交线段于点，交延长线于点，可截得六条线段、、、、、，则这六条线段满足．
下面是该定理的一部分证明过程：
证明：如图，过点作，交延长线于点，则有依据，
（1）上述过程中的依据指的是　 　 ；
（2）请将该定理的证明过程补充完整；
（3）在图中，若点是的中点，，则的值为　 　 ；
（4）在图中，若，，则的值为　 　 ．
【答案】（1）平行线分线段成比例
（2）解：该定理的证明过程补充完整如下：
，
，
，
，
即；
（3）3
（4）
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质；线段的中点
【解析】【解答】解：（3）点是的中点，，
，
，
，
即，
，
，
；
（4）如图，过点作交的延长线于点，
，，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
．
【分析】（1）分析题意可得 的依据是平行线分线段成比例；
（2）利用平行线分线段成比例得到，进一步得到， 从而求解；
（3）由中点的性质结合已知条件得到，利用线段的和差关系得到，根据（2）中的结论代入条件即可求解；
（4）过点作交的延长线于点，根据，， 得到，证明∽，得到，再证明∽，得到，由线段的和差关系得到，从而求解.
三、相似的实际应用
18．（2024九上·义乌月考）高的旗杆在水平地面上的影长为，此时测得附近一个建筑物的影子长，则该建筑物的高度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
19．（2025九上·温州期末）图 1 是捣谷物的＂碓＂，图 2 是其示意图，为转动支点， 于点 与水平线 夹角 ， ．当点 绕点 旋转下落到 上时，点 上升（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：将 和OA绕点O旋转到 和 使点C的对应点为 落在OM上，
设 上升的高度为h，
过点B作 于点F，过 作 于点E， 于点G，
则四边形 是矩形，
于点B，
，
故答案为： D.
【分析】将 和OA绕点O旋转到 和 使点C的对应点为 落在OM上， 设 上升的高度为h，过点B作 于点F，过 作 于点E， 于点G， 则 ， 得. 求出证明. 得 求出 长，即可得到 长，然后根据 解题即可
20．（2024九上·泉州期末）小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的实际应用
21．（2024九上·山东月考）如图1所示，小明发现乒乓球正上方的灯泡发出的光线照射乒乓球后，在地面上形成圆形的影子，它的简化示意图（如图2所示，点表示灯泡）．已知乒乓球的直径为，如果乒乓球的球心距离地面（即），若灯泡距离地面（即），则地面上阴影部分的面积（即的面积）为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
22．（2024九上·锦江期中）如图，小明为了测量树的高度，在离点米的处水平放置一个平面镜，小明沿直线方向后退米到点，此时从镜子中恰好看到树梢（点），已知小明的眼睛（点）到地面的高度是米，则树的高度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得：，，
，
由光的反射原理可得：，
，
，
米，米，米，
，
米．
故答案为：B．
【分析】由垂直定义得，由光的反射原理可得，根据有两组角对应相等的两个三角形相似得，再利用相似三角形的对应边成比例建立方程，求解即可.
23．（2024·金华月考）数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：(1) AC=15米，∠ACB=60° (2) EF=6米、DE=2米、AD=10米(3) CD=12米，∠ACB=60°，∠ADB=45°其中能根据所测数据求得A、B两树距离的有（　　）
A．0组 B．一组 C．二组 D．三组
【答案】D
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：①：已知AC， ∠ACB，通过这一组数据，可以构建Rt△ACB，，从而求得AB的长度，因此，第①组数据是有效的；
②：已知EF、DE、AD，因为∠A = ∠EFD，∠ADB=∠FDE，因此△ABD∽△EFD，可以利用的相似比例关系求出AB的长度，故这组数据可以提供解算AB长度的信息；
③：已知CD， ∠ACB， ∠ADB，这一组数据可以利用∠ACB和∠ADB来构建直角三角形，并且由于∠ADB和∠ACB共同参与，可以构建出Rt△ACB和Rt△ADB，使用正切值或三角形的相似性来求解AB的长度，具体来说，可以先使用∠ACB求解出AB的长度，再通过∠ADB验证或辅助求解AB的长度，确保准确性，
故答案为：D.
【分析】第一组数据：在直角三角形ACB中，已知AC和∠ACB，利用，可得AB的长，故结论（1）满足题意；
第二组数据：已知EF、DE、AD，因为∠A = ∠EFD，∠ADB=∠FDE，因此△ABD∽△EFD，然后利用相似三角形的性质，可得到AB的长，故结第二组数据满足题意；
第三组数据：已知CD， ∠ACB， ∠ADB，在Rt△ACB中，，可得，在Rt△ADB，AB=AD，所以得到，进而得到AB的长，
24．（2024九上·通州期中）“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具．一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边长分别为a、b．中国古老的天文和数学著作（周髀算经）中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度．如图2，从“矩”的一端E处望向一根杆子的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得米，米，若“矩”的边米，米，则这根杆子的长为　 　米．
【答案】3
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的实际应用；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】 【解答】解：由题意可得：为矩形，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴(米)，
故答案为：3．
【分析】首先根据，可得出，可得出，即可得出，进而得出(米)，
25．（2024九上·成华期末）如图，小明同学用木棍制成的测量旗杆的高度．他调整自己的位置，使斜边保持与地面平行，直角边与点在同一直线上．已知米，米，斜边离地面的高度米，米，则旗杆的高度　 　米．
【答案】12
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：延长交于H，
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，米，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（米），
即旗杆的高度米．
故答案为：12．
【分析】
延长交于H，则四边形ACDH为矩形，则可判定，由相似比可求得BH，再由矩形的对边相等即AH=CD即可．
26．（2024九上·山东月考）中国古人发明利用物体的影子确定四季的工具——土圭，具体方法是在平台中央竖立一根杆子，尺，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角．和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第二时刻的影长为24尺，则第一时刻的影长为　 　尺．
【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用
27．（2024九上·深圳期中）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（，，与相交于点O），已知米，米，米，米，则汽车从A处前行的距离　 　米时，才能发现C处的儿童．
【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】在中，，，
，
，，
，
，
，
，
在中，米，
，
，
汽车从处前行米，才能发现处的儿童，
故答案为：．
【分析】首先明确当B，O，C在同一直线上的时候，才能最早发现C处的儿童。此时，，然后只需先根据勾股定理求得CM的长度，再通过AA得出，求得BD的长度，进而根据AD-BD即可得出AB的长度。
28．（2024九上·宁波月考）如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶点F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此测量人员的头顶距地面的高为1.4m，标杆的长为2.8m，且测量人员与标杆的距离为3.5m，标杆与电视塔的距离为6.5m，，，，求电视塔的高．
【答案】解：过点作，交于点，交于，由题意，得：四边形，四边形均为矩形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
答：电视塔的高的长为
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的实际应用
【解析】【分析】过点作，交于点，交于，易得，，，证明，列出比例式求出的长，进而求出的长即可．
29．（2024九上·万源期末）如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部G；当他向前再步行12米到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部D．已知小华的身高是1.6米，两个路灯的高度都是9.6米，且．
（1）求两个路灯之间的距离；
（2）当小华走到路灯B的底部D时，他在路灯A下的影长是多少
【答案】（1）解：设.
∵，
∴，
∴，即，
解得，
经检验，是原分式方程的解，并且符合实际意义，
∴，
即两个路灯之间的距离．
（2）解：设小华走到路灯B的底部时头的顶部为E，连接，并延长交的延长线于点F，则即为此时他在路灯A下的影子长，
设 ，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
经检验，是原分式方程的解，并且符合实际意义，
所以当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影子长是．
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）设，根据直线平行性质及相似三角形判定定理可得，再根据其相似比性质代入相应值计算即可求出答案；
（2）设小华走到路灯B的底部时头的顶部为E，则即为此时他在路灯A下的影子长，连接，并延长交的延长线于点F，设 ，根据直线平行性质及相似三角形判定定理可得，再根据其相似比性质代入相应值计算即可求出答案.
1 / 1浙教版数学九年级上学期重难点复习2:相似三角形(三)
一、三角形内接矩形相似模型
1．（2024九上·杭州期中）如图，正方形内接于，点在上，点分别在和边上，且上的高，，则正方形的边长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2025·梧州模拟）如图，当驾驶员的眼睛点与地面的距离为米时，是驾驶员的视觉盲区，车头近似的看成是矩形，且，若的长度为米，则车宽的长度大约是（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
3．如图，在直角三角形中放置边长分别为的三个正方形，则的值为　 　
4．（2024九上·温江期中）有一块直角边，的的铁片，现要将它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为　 　．
5．（2025·鹿城模拟）小周要在一块三角形钢板中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点、在边上，顶点，分别在边、上，已知，，，则当矩形的面积最大时，　 　．
6．（2022九上·五华期末）如图，在中，点在上，点分别在、上，四边形是矩形，，是的高，，，那么的长为　 　．
7．（2022九上·南山期末）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成一个正方形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上．则该正方形的边长是　 　m．
8．（2024九上·瑞安期末）有一块三角形余料，它的边，高线要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．设，．
（1）求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围．
（2）当时，求加工成的矩形零件的周长．
9．（2024九上·义乌月考）张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高，张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点H．
（1）当点P恰好为中点时，______；
（2）当四边形为正方形时，求出这个零件的边长；
（3）若这个零件的边．则这个零件的长、宽各是多少？
10．（2024·吉安模拟）一块材料的形状是锐角三角形ABC，下面分别对这块材料进行课题探究：
（1）课本再现
在图1中，若边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少
（2）类比探究
如图2，若这块锐角三角形ABC材料可以加工成3个相同大小的正方形零件，请你探究高AD与边BC的数量关系，并说明理由．
（3）拓展延伸
①如图3，若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件，则的值为 ▲ （直接写出结果）；
②如图4，若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的相同大小的正方形零件，求的值．
二、梅涅劳斯定理模型
11．（2020九上·翼城期末）梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（ ）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：
如图（1），如果一条直线与 的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有 ．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作 ，交DF的延长线于点G，则有 ．
任务：
（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；
（2）如图（3），在 中， ， ，点D为BC的中点，点F在AB上，且 ，CF与AD交于点E，则 　 　．
12．（2024·平湖自主招生）如图，在中，于点.，则的面积为（　　）
A．60 B．120 C．50 D．100
13．（2024八上·深圳期中）如图，在中，，点，分别在，边上，连接，将沿翻折，点的对应点恰好落在的延长线上，且，连接，若，，则　 　.
14．（2024九上·瑞安期末）如图，在圆内接中，，弦，延长至点E，延长至点F，连接，使，延长交于点G，使，延长交于点H．
（1）若，为直径，求的度数．
（2）求证：．
（3）求证：．
15．（2024九上·上海市月考）梅涅劳斯（）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与的三边或它们的延长线交于三点，那么一定有．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点作，交的延长线于点，则有，，．类似的，如图（3），三边的延长线分别交直线于三点，则有：．请利用上述定理的证明方法或结论完成下面问题：
（1）如图（4），等边的边长为，点为的中点，点在上，且，与交于点，求的长．（写出求解过程）
（2）如图（5），的面积为，为中点，延长至，使，连接交于，则四边形的面积为 ．（直接写出答案）
16．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设，，依次是的三边，，或其延长线上的点，且这三点共线，则满足．
这个定理的证明步骤如下：情况①：如图1，直线交的边于点，交边于点，交边的延长线与点．过点作交于点，则，（依据），
∴，∴，即．
情况②：如图2，直线分别交的边，，的延长线于点，，．…
（1）情况①中的依据指：　 　；
（2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；
（3）如图3，，分别是的边，上的点，且，连接并延长，交的延长线于点，那么　 　
17．（2023九上·运城期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯是公元世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍梅涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交交点不能是三角形的顶点，可以得到六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理．
如图，直线交线段于点，交线段于点，交延长线于点，可截得六条线段、、、、、，则这六条线段满足．
下面是该定理的一部分证明过程：
证明：如图，过点作，交延长线于点，则有依据，
（1）上述过程中的依据指的是　 　 ；
（2）请将该定理的证明过程补充完整；
（3）在图中，若点是的中点，，则的值为　 　 ；
（4）在图中，若，，则的值为　 　 ．
三、相似的实际应用
18．（2024九上·义乌月考）高的旗杆在水平地面上的影长为，此时测得附近一个建筑物的影子长，则该建筑物的高度是（　　）
A． B． C． D．
19．（2025九上·温州期末）图 1 是捣谷物的＂碓＂，图 2 是其示意图，为转动支点， 于点 与水平线 夹角 ， ．当点 绕点 旋转下落到 上时，点 上升（ ）
A． B． C． D．
20．（2024九上·泉州期末）小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（　　）
A． B． C． D．
21．（2024九上·山东月考）如图1所示，小明发现乒乓球正上方的灯泡发出的光线照射乒乓球后，在地面上形成圆形的影子，它的简化示意图（如图2所示，点表示灯泡）．已知乒乓球的直径为，如果乒乓球的球心距离地面（即），若灯泡距离地面（即），则地面上阴影部分的面积（即的面积）为（　　）
A． B． C． D．
22．（2024九上·锦江期中）如图，小明为了测量树的高度，在离点米的处水平放置一个平面镜，小明沿直线方向后退米到点，此时从镜子中恰好看到树梢（点），已知小明的眼睛（点）到地面的高度是米，则树的高度为（　　）
A． B． C． D．
23．（2024·金华月考）数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：(1) AC=15米，∠ACB=60° (2) EF=6米、DE=2米、AD=10米(3) CD=12米，∠ACB=60°，∠ADB=45°其中能根据所测数据求得A、B两树距离的有（　　）
A．0组 B．一组 C．二组 D．三组
24．（2024九上·通州期中）“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具．一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边长分别为a、b．中国古老的天文和数学著作（周髀算经）中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度．如图2，从“矩”的一端E处望向一根杆子的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得米，米，若“矩”的边米，米，则这根杆子的长为　 　米．
25．（2024九上·成华期末）如图，小明同学用木棍制成的测量旗杆的高度．他调整自己的位置，使斜边保持与地面平行，直角边与点在同一直线上．已知米，米，斜边离地面的高度米，米，则旗杆的高度　 　米．
26．（2024九上·山东月考）中国古人发明利用物体的影子确定四季的工具——土圭，具体方法是在平台中央竖立一根杆子，尺，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角．和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第二时刻的影长为24尺，则第一时刻的影长为　 　尺．
27．（2024九上·深圳期中）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（，，与相交于点O），已知米，米，米，米，则汽车从A处前行的距离　 　米时，才能发现C处的儿童．
28．（2024九上·宁波月考）如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶点F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此测量人员的头顶距地面的高为1.4m，标杆的长为2.8m，且测量人员与标杆的距离为3.5m，标杆与电视塔的距离为6.5m，，，，求电视塔的高．
29．（2024九上·万源期末）如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部G；当他向前再步行12米到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部D．已知小华的身高是1.6米，两个路灯的高度都是9.6米，且．
（1）求两个路灯之间的距离；
（2）当小华走到路灯B的底部D时，他在路灯A下的影长是多少
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的性质-对应三线；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：设正方形边长为，则，
正方形内接于，上的高，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，即，
解得：，
正方形的边长为，
故答案为：C．
【分析】设正方形边长为，由正方形四边相等得，由有三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形EDNP是矩形，由矩形的对边相等得出，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得，由相似三角形对应边上的高之比等于相似比建立方程，解出的值即可.
2．【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的实际应用；三角形内接矩形相似模型
【解析】【解答】解：如图，过点作，垂足为，交于点，
则米，
设米，由得，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
即，
，
，
，
解得，，
∴米
故答案为：D．
【分析】过点P作PM⊥BE于点M，交AF于点N，设FA=x米，则FD=x米，由矩形的性质得AF∥CD，AF=CD，由平行线的性质推出MN=DF=x米，由平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△PAF∽△PBE，由相似三角形对应边成比例建立方程求出PN=x，然后根据PN+MN=PM建立方程，求解得出x的值，从而即可得出CD的长.
3．【答案】7
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形内接矩形相似模型
【解析】【解答】解：如图，
在直角三角形中放置边长分别为的三个正方形，
，
，
．
，
，
，
解得(不符合题意，舍去)或．
故答案为：7.
【分析】利用余角的性质可证得，再通过相似三角形的性质得到，进而列出方程，解得.
4．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形内接矩形相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，，，
，
如图，过点B作，垂足为P，交于Q．
，
，
，
∵在正方形，，，，
，，
，
，
∵，
∴∠QPG=90°
又∵，
∴四边形为矩形，
∴，
设，则，
∴，
∵，
解得，
∴正方形的边长为：；
故答案为：．
【分析】如图，过点B作，垂足为P，交于Q，等积法求出的长，再证明，再证四边形为矩形，可推出，设DE=x，根据相似三角形对应边上的高线比等于相似比，列出比例式，进行求解即可．
5．【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用；二次函数的实际应用-几何问题；三角形内接矩形相似模型
【解析】【解答】解：过点作于点，交于点，
，
，
即，
解得，
四边形为矩形，
，
，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，即，
，
，
故当时，矩形面积最大，
，
此时，
故答案为：．
【分析】过点作于点，交于点，根据三角形ABC的面积等于40看求出的值，由“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，根据比例式可将DE用含DG的代数式表示出来，于是，将S矩形DEFG与DG之间的函数关系式配成顶点式，然后根据二次函数的性质可求解．
6．【答案】6
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定；三角形内接矩形相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设与交于点R，
∵四边形是矩形，
∴，∠EFC=90°，
∴，
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，AR⊥EH，RD=EF，
∴，AR=AD-RD=AD-EF，
∵AD=5，
∴AR=5-EF，
∵EH=2EF，BC=15，
∴，
∴EF=3，
∴EH=6，
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质可得EH∥BC，进而得出，再结合AD是△ABC的高可得，最后通过比例关系求解EH的长度即可.
7．【答案】0.48
【知识点】三角形内接矩形相似模型
【解析】【解答】解：设与的交点为，如下图：
设，则，
由题意可得，，
∴，
∴，即
解得，即
故答案为：0.48．
【分析】设，则，，先证明，可得，即，再求出x的值即可。
8．【答案】（1）解：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，．
∴．
化简，得（）
（2）解：把代入，得，解得，则，
经检验，x，y的取值均符合题意，
∴加工成的矩形零件的周长．
【知识点】函数自变量的取值范围；矩形的性质；相似三角形的实际应用；三角形内接矩形相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【分析】（1）先证明，然后根据相似三角形的对应边上高的比等于相似比得到，代入数值化简即可；
（2）把代入求出x的值，进一步求得y，利用周长公式即可解题．
（1）解：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，．
∴．
化简，得（）
（2）解：把代入，得，解得，
则，
经检验，x，y的取值均符合题意，
∴加工成的矩形零件的周长．
9．【答案】（1）60
（2）解：∵四边形为正方形，∴，，
设正方形的边长为，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
答：这个零件的边长为；
（3）解：设矩形宽为，则长为，同理，
∴，
∴，
解得，，
故矩形的长为，宽为．
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的实际应用；三角形内接矩形相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
，
∴；
故答案为：60；
【分析】本题考查了相似三角形的应用．
（1）根据矩形的性质可得：，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得，代入数据可列出方程，解方程可求出PQ的值；
（2）设正方形的边长为，根据， 利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质对应高之比等于相似比，，代入数据可列出方程，解方程可求出a的值，进而可求出答案；
（3）设矩形的宽为，则长为，根据相似三角形的性质可得：，代入数据可列出方程，解方程可求出x的值，据此可求出答案.
（1）解：∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
，
∴；
故答案为：60；
（2）解：∵四边形为正方形，
∴，，
设正方形的边长为，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
答：这个零件的边长为；
（3）解：设矩形宽为，则长为，
同理，
∴，
∴，
解得，，
故矩形的长为，宽为．
10．【答案】（1）解：设正方形零件的边长为xmm，则，
∵，∴．
∴，∴，解得．
∴正方形零件的边长为
（2）解：．理由如下：如图．
设每个正方形的边长为a
∵
∴
∴，∴
∴
∴
又∵
∴．，
∴
∴
∴
（3）解：①；
②如图，设每个正方形的边长为a．
∵，∴．
∴
∴，∴
∵，∴．
∴，
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的实际应用；三角形内接矩形相似模型；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：（3）①如图所示，设小正方形边长为2a，
∴EF=MN=ND=2a
由（2）中结论可知，
∴
∴
∴AM=a
∴
∴AD=5AM=5a
由（1）中结论可知，
∴
∴BC=5EF=10a
∴
【分析】（1）通过设正方形零件边长，分别表示出，在证明，根据相似三角形的高之比等于相似比，列出等式，即可求出边长；
（2）通过设正方形边长为a，先证明，得到边长，在表示出AD长为3a，继而得到边之比：，在证明，得到边之比：，在表示出BC长为3a，最后得到AD=BC；
（3）①设小正方形边长为2a，即EF=MN=ND=2a，结合（1）、（2）问可知，先证明，得到边长比：，则，则AM=a，可知，则AD=5a，在证明，得到边长比：，则BC=10a，则；②设小正方形边长为a，根据，得到相似比为：，继而得到关系式：，再根据，得到边之比：，则。
11．【答案】（1）解：补充的证明过程如下：
，
，
（2）6
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；定义新运算
【解析】【解答】解：（2）根据梅涅劳斯定理得 ，
∵点D为BC的中点， ，
， ，
，
∵ ， ，
∴AD⊥BC，BD=5，
∴在 中， ，
．
故答案为6．
【分析】（1）先求出 ， 再证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ， ，再求出AD⊥BC，BD=5，最后利用勾股定理计算求解即可。
12．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；梅涅劳斯定理模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图， 过点B作BF⊥AC， 交AC于点F， 交AE于点G，
∵BF⊥AC， ∠BAC =45°，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴AF =BF，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AFG=90°，
∵∠AGF =∠BGE，
∴∠FBC =∠FAG，
∴△AGF≌△BCF(ASA)，
∴AG=BC = BE+CE=10，
∵∠AEB=∠AEC=90°， ∠FBC=∠FAG，
∴△BEG∽△AEC，
即
∴EG=2，
∴AE=12，
故答案为： B.
【分析】过点B作BF⊥AC， 交AC于点F， 交AE于点G，可知△ABF为等腰直角三角形，可推出△AGF≌△BCF和△BEG∽△AEC， 由全等得AG = 10， 由相似的性质可得EG =2， 故AE=12， 即可求得面积.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；梅涅劳斯定理模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°，
∵CD＝，AD＝，
∴利用勾股定理，得AC＝，
∵∠MDN是由∠MAN折叠得到的，
∴∠MDN＝∠MAN，MA＝MD，
∵∠BDM＝∠NDM，
∴∠BDM＝∠MAN，
∵∠AMD＝∠ACD＝90°，
∴MD2＋MA2＝AD2，即2MD2＝AD2，
∴MD＝AD，
∵AD＝，
∴MD＝AD＝×=，
∵∠BDM＝∠BAC，∠DBM＝∠ABC，
∴△BDM∽△BAC，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理及等量代换可得MD＝AD，再求出MD＝AD＝×=，再证出△BDM∽△BAC，利用相似三角形的性质可得，从而得解.
14．【答案】（1）解：连接，
∵四边形内接于圆，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴；

（2）证明：∵四边形内接于圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：∵，
∴.
∵
∴，
∴，
∴.
又∵，
∴.
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；梅涅劳斯定理模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补得到，再根据可得，然后利用直径所对圆周角是直角解得；
（2）先得到，即可得到，然后证明，即可得到结论；
（3）先证明，得到，然后结合，即可得到结论．
（1）解：连接，
∵四边形内接于圆，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形内接于圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴.
∵
∴，
∴，
∴.
又∵，
∴.
15．【答案】（1）
（2）
【知识点】相似三角形的判定与性质
16．【答案】（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
（2）证明：过点C作CG//DF交AB的延长线于点G，
则，，
∴，
∴BF·AD·EC=BD·AE·FC，
即
（3）25：16
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：(1)情况①中的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
(3)如图3中，，
AD：DB=CE：EA=4：5，
∴BF：CF=25：16.
故答案为：25：16.
【分析】(1)根据平行线分线段成比例定理解决问题即可；
(2)如图2中，过点C作CG//DF交AB的延长线于点G，模仿情况①的方法解决问题即可；
(3)利用结论解决问题即可.
17．【答案】（1）平行线分线段成比例
（2）解：该定理的证明过程补充完整如下：
，
，
，
，
即；
（3）3
（4）
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质；线段的中点
【解析】【解答】解：（3）点是的中点，，
，
，
，
即，
，
，
；
（4）如图，过点作交的延长线于点，
，，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
．
【分析】（1）分析题意可得 的依据是平行线分线段成比例；
（2）利用平行线分线段成比例得到，进一步得到， 从而求解；
（3）由中点的性质结合已知条件得到，利用线段的和差关系得到，根据（2）中的结论代入条件即可求解；
（4）过点作交的延长线于点，根据，， 得到，证明∽，得到，再证明∽，得到，由线段的和差关系得到，从而求解.
18．【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
19．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：将 和OA绕点O旋转到 和 使点C的对应点为 落在OM上，
设 上升的高度为h，
过点B作 于点F，过 作 于点E， 于点G，
则四边形 是矩形，
于点B，
，
故答案为： D.
【分析】将 和OA绕点O旋转到 和 使点C的对应点为 落在OM上， 设 上升的高度为h，过点B作 于点F，过 作 于点E， 于点G， 则 ， 得. 求出证明. 得 求出 长，即可得到 长，然后根据 解题即可
20．【答案】C
【知识点】相似三角形的实际应用
21．【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
22．【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得：，，
，
由光的反射原理可得：，
，
，
米，米，米，
，
米．
故答案为：B．
【分析】由垂直定义得，由光的反射原理可得，根据有两组角对应相等的两个三角形相似得，再利用相似三角形的对应边成比例建立方程，求解即可.
23．【答案】D
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：①：已知AC， ∠ACB，通过这一组数据，可以构建Rt△ACB，，从而求得AB的长度，因此，第①组数据是有效的；
②：已知EF、DE、AD，因为∠A = ∠EFD，∠ADB=∠FDE，因此△ABD∽△EFD，可以利用的相似比例关系求出AB的长度，故这组数据可以提供解算AB长度的信息；
③：已知CD， ∠ACB， ∠ADB，这一组数据可以利用∠ACB和∠ADB来构建直角三角形，并且由于∠ADB和∠ACB共同参与，可以构建出Rt△ACB和Rt△ADB，使用正切值或三角形的相似性来求解AB的长度，具体来说，可以先使用∠ACB求解出AB的长度，再通过∠ADB验证或辅助求解AB的长度，确保准确性，
故答案为：D.
【分析】第一组数据：在直角三角形ACB中，已知AC和∠ACB，利用，可得AB的长，故结论（1）满足题意；
第二组数据：已知EF、DE、AD，因为∠A = ∠EFD，∠ADB=∠FDE，因此△ABD∽△EFD，然后利用相似三角形的性质，可得到AB的长，故结第二组数据满足题意；
第三组数据：已知CD， ∠ACB， ∠ADB，在Rt△ACB中，，可得，在Rt△ADB，AB=AD，所以得到，进而得到AB的长，
24．【答案】3
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的实际应用；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】 【解答】解：由题意可得：为矩形，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴(米)，
故答案为：3．
【分析】首先根据，可得出，可得出，即可得出，进而得出(米)，
25．【答案】12
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：延长交于H，
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，米，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（米），
即旗杆的高度米．
故答案为：12．
【分析】
延长交于H，则四边形ACDH为矩形，则可判定，由相似比可求得BH，再由矩形的对边相等即AH=CD即可．
26．【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用
27．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】在中，，，
，
，，
，
，
，
，
在中，米，
，
，
汽车从处前行米，才能发现处的儿童，
故答案为：．
【分析】首先明确当B，O，C在同一直线上的时候，才能最早发现C处的儿童。此时，，然后只需先根据勾股定理求得CM的长度，再通过AA得出，求得BD的长度，进而根据AD-BD即可得出AB的长度。
28．【答案】解：过点作，交于点，交于，由题意，得：四边形，四边形均为矩形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
答：电视塔的高的长为
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的实际应用
【解析】【分析】过点作，交于点，交于，易得，，，证明，列出比例式求出的长，进而求出的长即可．
29．【答案】（1）解：设.
∵，
∴，
∴，即，
解得，
经检验，是原分式方程的解，并且符合实际意义，
∴，
即两个路灯之间的距离．
（2）解：设小华走到路灯B的底部时头的顶部为E，连接，并延长交的延长线于点F，则即为此时他在路灯A下的影子长，
设 ，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
经检验，是原分式方程的解，并且符合实际意义，
所以当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影子长是．
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）设，根据直线平行性质及相似三角形判定定理可得，再根据其相似比性质代入相应值计算即可求出答案；
（2）设小华走到路灯B的底部时头的顶部为E，则即为此时他在路灯A下的影子长，连接，并延长交的延长线于点F，设 ，根据直线平行性质及相似三角形判定定理可得，再根据其相似比性质代入相应值计算即可求出答案.
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