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人教版八年级上同步分层训练16.3乘法公式
一、夯实基础
1．如图，将边长为a的大正方形剪去两个小正方形（图中阴影部分)，则通过计算图中阴影部分的面积可以得出的等式为 （　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题图可知，阴影部分的面积为b2+ 即
故答案为：B。
【分析】根据完全平方式的几何意义即可得出答案。
2．（2025八上·期末）若 且aA．4 B．-4 C．6 D．- 6
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用；解二元一次方程组；完全平方式；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵a∴a-b<0，
又∵
联立可得 解得
∴ab=（-4）×（-1）=4.
故答案为：A。
【分析】首先根据且 a3．已知 则代数式（a-2b)（a+2b)的值为 （　　)
A．- 2 B．- 1 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：根据平方差公式，得(a-2b)(a+2b)=
故答案为：A。
【分析】根据平方差公式展开，然后再整体代入，即可得出答案。
4．（2023八上·洪雅期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
5．（2024八上·增城期末）已知是完全平方式，则的值为（　　）
A．3 B． C．6 D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】，由完全平方式式的性质得k=.
故答案为：D.
【分析】根据“首平方尾平方，两倍乘积放中间”的规则，直接计算出k的值.
6．（2020八上·鲤城期中）若 ，且 ，则 　 　．
【答案】2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵m2-n2=（m+n）（m-n）=6，且m-n=3，
∴m+n=2．
故答案为：2．
【分析】利用平方差公式可得m2-n2=（m+n）（m-n），再整体代入计算即可。
7．（2024八上·肇源月考）计算：　 　．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
8．（2025·义乌开学考）
（1） 已知 ，，求 ab 与 的值；
（2） 已知 的三边分别是 a， b， c，化简代数式：.
【答案】（1）解：∵a+b=4，a2+b2=8.
∴(a+b)2=a2+2ab+b2=8+2ab=16.
∴ab=4
∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=16-16=0
（2）解：∵a、b、c是△ABC的三边
∴a+b>c，b+c>a，a+c>b，
∴|a+b-c|-|c-a+b|-|b-c-a|+|b-a-c|
=(a+b-c)-(c+b-a)+(b-c-a)-(b-a-c)
=a+b-c-c-b+a+b-c-a-b+a+c
=2a-2c.
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】(1)利用完全平方公式即可求解；
(2)根据三角形的三边关系定理得出a+b>c，b+c>a，a+c>b，再去掉绝对值符号后合并同类项即可.
9． 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：原式=4 x2 + 8 x + 4 4 ( x2 25 )
=4 x2 + 8 x + 4 4 x2 + 100
=
（2）解：原式= 3 y2 6 y z + 3 z2 4 y2 + z2
=
（3）解：原式=4 x4 + 4 x2 + 1 x4 + 16 =
（4）解：原式=（x3 y2 x 2 y x2 y + x3 y2 ）（3x2y）
=(2 x3 y2 2 x2 y)（3x2y）=
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；多项式除以单项式
【解析】【分析】
(1)根据完全平方公式展开4 ( x + 1 )2 得 4 x2 + 8 x + 4，再对后面的多项式乘法利用平方差公式计算2 ( x + 5 ) ( x 5 )得到2 x2 50，打开括号合并同类项化简即可解答；
（2）根据完全平方公式展开3 ( y z )2 得 3 y2 6 y z + 3 z2利用平方差公式计算 ( 2 y + z ) ( z + 2 y ) 得 ( 2 y + z ) ( 2 y z ) = ( 2 y )2 z2 = 4 y2 z2打开括号合并同类项化简即可解答；
（3）根据完全平方公式展开( 2 x2 + 1 )2 得 4 x4 + 4 x2 + 1
利用平方差公式先计算 ( x + 2 ) ( x 2 ) = x2 4 ，再乘以 ( x2 + 4 )，最后打开括号合并同类项化简即可解答；
（4）先根据单项式乘以多项式法则计算中括号里得代数式，再合并同类项化简得到2 x3 y2 2 x2 y，在进行多项式除法，计算即可解答.
二、能力提升
10．（2025八上·期末）已知a-b=8， ab=5，则 的值为(　　)
A．89 B．74 C．64 D．49
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵
故答案为：A
【分析】根据完全平方公式化简即可求出答案.
11．若a，b为有理数，且 则 （　　）.
A．-8 B．-16 C．8 D．16
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，即
∴a-b=0，a+2=0
解得：a=-2，b=-2
∴
故答案为： B
【分析】根据完全平方公式将等号坐标化简，再根据偶次方的非负性可得a，b值，再代入代数式即可求出答案.
12．（2025八上·市中区期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是（　　）
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：如图，
大正方形与小正方形的面积之差是8，
，
由图可知：
，
故答案为：B．
【分析】
如图，根据题意可得，再表出出阴影部分的面积，，根据三角形面积公式及平方差公式即可化简整理，最后得出答案.
13．（2024八上·衡阳月考）小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为13，则阴影部分的面积为　 　．
【答案】6
【知识点】完全平方公式的几何背景
14．运用平方差公式计算：
（1）
（2）
（3）（2a-3b)（3b+2a)；
（4）（-2b-5)（2b-5)；
（5）100.5×99.5；
（6） 998×1 002.
【答案】（1）解：原式=(x )2 y2 =
（2）解：原式=( y2 )2 12 =
（3）解：原式=( 2 a )2 ( 3 b )2 =4a2-9b2
（4）解：原式=( 5 )2 ( 2 b )2 =25-4b2
（5）解：原式=( 100+0.5 ) (100 0.5) = 1002 0.52 = 9999.75
（6）解：原式=(1000 2 ) (1000+2 ) =10002 22 = 999996
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】
（1）原式符合平方差公式 ( a b ) ( a + b )=a2 b2 ，其中 a = x ， b = y，利用公式计算即可解答；
（2）原式符合平方差公式 ( a b ) ( a + b )=a2 b2 ，其中a = y2 ， b = 1 ，利用公式计算即可解答；
（3）原式符合平方差公式 ( a b ) ( a + b )=a2 b2 ，其中 a = 2 a ， b = 3 b ，利用公式计算即可解答；
（4）原式符合平方差公式 ( a b ) ( a + b )=a2 b2 ，其中a = 5 ， b = 2 b ，利用公式计算即可解答；
（5）原式变形为( 100 + 0.5 ) ( 100 0.5 ) ， 符合平方差公式 ( a b ) ( a + b )=a2 b2 ，其中 a =100 ， b =0.5，利用公式计算即可解答；
（6）原式变形为( 1000 2 ) ( 1000 + 2 ) 符合平方差公式 ( a b ) ( a + b )=a2 b2 ，其中 a = 1000 ， b = 2，利用公式计算即可解答；
15．（2025八上·番禺期中）如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图②的正方形．
（1）由图②可以直接写出，，之间的一个等量关系式是________；
（2）根据（1）中的结论，解决下列问题：，，求的值；
（3）两个正方形，，如图③摆放，边长分别为x，y．若，，求图中阴影部分的面积和．
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
三、拓展创新
16．已知 则 的值为（　　）
A．64 B．63 C．62 D．61
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
即
故答案为：D
【分析】由题意可得 ，根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
17． 216-1能分解成 n 个质因数的乘积，n的值是(　　).
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： 216-1
=(28+1)(28-1)
=(28+1)(24+1)(24-1)
=(28+1)(24+1)(22+1)(22-1)
=(28+1)(24+1)(22+1)(2+1)(2-1)
=257×17×5×3×1，
其中257，17，5，3是质因数，
∴n=4.
故答案为：C。
【分析】利用平方差公式进行分解.
18．若，，则　 　．
【答案】9
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴
，
故答案为：9．
【分析】先根据已知条件求出a+b与ab的值，再利用完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，通过变形得到a2+b2=(a+b)2-2ab，最后代入求值.
19．（2023八上·东坡月考）已知，则的值为　 　；的值为　 　．
【答案】2；6
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴
=2；
∵
∴，即
∴
∴，解得：．
故答案为：2，6．
【分析】由移项，可得，，再将变形为，整体代入化简可得，进而将该式变形为，从而再整体代入即可求解；在方程的两边同时除以x可得，然后左右平方，将作为一个整体求解即可．
20．（2024八上·青山期末）已知，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有　 　．（请填写序号）
【答案】①②③
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，，结论①正确；
∵，，
∴，结论②正确；
∵，，
∴，结论③正确；
∵，
∴，，
∴
结论④错误；
正确的有 ①②③.
故答案为：①②③.
【分析】①把原式两边同时除以x，再整理后看是否与一致即可；
②根据，据此判断②是否正确；
③根据，据此判断③是否正确；
④把x3分成把代入后进行整理，再把代入即可求得的值，即可判断出④是否正确.
21．（2024八上·长沙月考）求值：　 　．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
=
=
=
=
=
=
=
故答案为：.
【分析】先将原式变形为，再利用平方差公式计算即可.
22．（2024八上·富顺月考）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例、如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，在三角形中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数．
（1）根据上面的规律不难发现，的展开式共有______项，请写出它的展开式______；
（2）的展开式第四项的系数是______；
（3）的展开式共有______项，系数和为______；
（4）运用：若今天是星期二，经过天后是星期______．
【答案】（1）6，
（2）560
（3），
（4）三
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
1 / 1人教版八年级上同步分层训练16.3乘法公式
一、夯实基础
1．如图，将边长为a的大正方形剪去两个小正方形（图中阴影部分)，则通过计算图中阴影部分的面积可以得出的等式为 （　　)
A． B．
C． D．
2．（2025八上·期末）若 且aA．4 B．-4 C．6 D．- 6
3．已知 则代数式（a-2b)（a+2b)的值为 （　　)
A．- 2 B．- 1 C．1 D．2
4．（2023八上·洪雅期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024八上·增城期末）已知是完全平方式，则的值为（　　）
A．3 B． C．6 D．
6．（2020八上·鲤城期中）若 ，且 ，则 　 　．
7．（2024八上·肇源月考）计算：　 　．
8．（2025·义乌开学考）
（1） 已知 ，，求 ab 与 的值；
（2） 已知 的三边分别是 a， b， c，化简代数式：.
9． 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
二、能力提升
10．（2025八上·期末）已知a-b=8， ab=5，则 的值为(　　)
A．89 B．74 C．64 D．49
11．若a，b为有理数，且 则 （　　）.
A．-8 B．-16 C．8 D．16
12．（2025八上·市中区期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是（　　）
A．8 B．4 C．2 D．1
13．（2024八上·衡阳月考）小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为13，则阴影部分的面积为　 　．
14．运用平方差公式计算：
（1）
（2）
（3）（2a-3b)（3b+2a)；
（4）（-2b-5)（2b-5)；
（5）100.5×99.5；
（6） 998×1 002.
15．（2025八上·番禺期中）如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图②的正方形．
（1）由图②可以直接写出，，之间的一个等量关系式是________；
（2）根据（1）中的结论，解决下列问题：，，求的值；
（3）两个正方形，，如图③摆放，边长分别为x，y．若，，求图中阴影部分的面积和．
三、拓展创新
16．已知 则 的值为（　　）
A．64 B．63 C．62 D．61
17． 216-1能分解成 n 个质因数的乘积，n的值是(　　).
A．6 B．5 C．4 D．3
18．若，，则　 　．
19．（2023八上·东坡月考）已知，则的值为　 　；的值为　 　．
20．（2024八上·青山期末）已知，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有　 　．（请填写序号）
21．（2024八上·长沙月考）求值：　 　．
22．（2024八上·富顺月考）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例、如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，在三角形中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数．
（1）根据上面的规律不难发现，的展开式共有______项，请写出它的展开式______；
（2）的展开式第四项的系数是______；
（3）的展开式共有______项，系数和为______；
（4）运用：若今天是星期二，经过天后是星期______．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题图可知，阴影部分的面积为b2+ 即
故答案为：B。
【分析】根据完全平方式的几何意义即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用；解二元一次方程组；完全平方式；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵a∴a-b<0，
又∵
联立可得 解得
∴ab=（-4）×（-1）=4.
故答案为：A。
【分析】首先根据且 a3．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：根据平方差公式，得(a-2b)(a+2b)=
故答案为：A。
【分析】根据平方差公式展开，然后再整体代入，即可得出答案。
4．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
5．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】，由完全平方式式的性质得k=.
故答案为：D.
【分析】根据“首平方尾平方，两倍乘积放中间”的规则，直接计算出k的值.
6．【答案】2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵m2-n2=（m+n）（m-n）=6，且m-n=3，
∴m+n=2．
故答案为：2．
【分析】利用平方差公式可得m2-n2=（m+n）（m-n），再整体代入计算即可。
7．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
8．【答案】（1）解：∵a+b=4，a2+b2=8.
∴(a+b)2=a2+2ab+b2=8+2ab=16.
∴ab=4
∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=16-16=0
（2）解：∵a、b、c是△ABC的三边
∴a+b>c，b+c>a，a+c>b，
∴|a+b-c|-|c-a+b|-|b-c-a|+|b-a-c|
=(a+b-c)-(c+b-a)+(b-c-a)-(b-a-c)
=a+b-c-c-b+a+b-c-a-b+a+c
=2a-2c.
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】(1)利用完全平方公式即可求解；
(2)根据三角形的三边关系定理得出a+b>c，b+c>a，a+c>b，再去掉绝对值符号后合并同类项即可.
9．【答案】（1）解：原式=4 x2 + 8 x + 4 4 ( x2 25 )
=4 x2 + 8 x + 4 4 x2 + 100
=
（2）解：原式= 3 y2 6 y z + 3 z2 4 y2 + z2
=
（3）解：原式=4 x4 + 4 x2 + 1 x4 + 16 =
（4）解：原式=（x3 y2 x 2 y x2 y + x3 y2 ）（3x2y）
=(2 x3 y2 2 x2 y)（3x2y）=
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；多项式除以单项式
【解析】【分析】
(1)根据完全平方公式展开4 ( x + 1 )2 得 4 x2 + 8 x + 4，再对后面的多项式乘法利用平方差公式计算2 ( x + 5 ) ( x 5 )得到2 x2 50，打开括号合并同类项化简即可解答；
（2）根据完全平方公式展开3 ( y z )2 得 3 y2 6 y z + 3 z2利用平方差公式计算 ( 2 y + z ) ( z + 2 y ) 得 ( 2 y + z ) ( 2 y z ) = ( 2 y )2 z2 = 4 y2 z2打开括号合并同类项化简即可解答；
（3）根据完全平方公式展开( 2 x2 + 1 )2 得 4 x4 + 4 x2 + 1
利用平方差公式先计算 ( x + 2 ) ( x 2 ) = x2 4 ，再乘以 ( x2 + 4 )，最后打开括号合并同类项化简即可解答；
（4）先根据单项式乘以多项式法则计算中括号里得代数式，再合并同类项化简得到2 x3 y2 2 x2 y，在进行多项式除法，计算即可解答.
10．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵
故答案为：A
【分析】根据完全平方公式化简即可求出答案.
11．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，即
∴a-b=0，a+2=0
解得：a=-2，b=-2
∴
故答案为： B
【分析】根据完全平方公式将等号坐标化简，再根据偶次方的非负性可得a，b值，再代入代数式即可求出答案.
12．【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：如图，
大正方形与小正方形的面积之差是8，
，
由图可知：
，
故答案为：B．
【分析】
如图，根据题意可得，再表出出阴影部分的面积，，根据三角形面积公式及平方差公式即可化简整理，最后得出答案.
13．【答案】6
【知识点】完全平方公式的几何背景
14．【答案】（1）解：原式=(x )2 y2 =
（2）解：原式=( y2 )2 12 =
（3）解：原式=( 2 a )2 ( 3 b )2 =4a2-9b2
（4）解：原式=( 5 )2 ( 2 b )2 =25-4b2
（5）解：原式=( 100+0.5 ) (100 0.5) = 1002 0.52 = 9999.75
（6）解：原式=(1000 2 ) (1000+2 ) =10002 22 = 999996
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】
（1）原式符合平方差公式 ( a b ) ( a + b )=a2 b2 ，其中 a = x ， b = y，利用公式计算即可解答；
（2）原式符合平方差公式 ( a b ) ( a + b )=a2 b2 ，其中a = y2 ， b = 1 ，利用公式计算即可解答；
（3）原式符合平方差公式 ( a b ) ( a + b )=a2 b2 ，其中 a = 2 a ， b = 3 b ，利用公式计算即可解答；
（4）原式符合平方差公式 ( a b ) ( a + b )=a2 b2 ，其中a = 5 ， b = 2 b ，利用公式计算即可解答；
（5）原式变形为( 100 + 0.5 ) ( 100 0.5 ) ， 符合平方差公式 ( a b ) ( a + b )=a2 b2 ，其中 a =100 ， b =0.5，利用公式计算即可解答；
（6）原式变形为( 1000 2 ) ( 1000 + 2 ) 符合平方差公式 ( a b ) ( a + b )=a2 b2 ，其中 a = 1000 ， b = 2，利用公式计算即可解答；
15．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
16．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
即
故答案为：D
【分析】由题意可得 ，根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
17．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： 216-1
=(28+1)(28-1)
=(28+1)(24+1)(24-1)
=(28+1)(24+1)(22+1)(22-1)
=(28+1)(24+1)(22+1)(2+1)(2-1)
=257×17×5×3×1，
其中257，17，5，3是质因数，
∴n=4.
故答案为：C。
【分析】利用平方差公式进行分解.
18．【答案】9
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴
，
故答案为：9．
【分析】先根据已知条件求出a+b与ab的值，再利用完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，通过变形得到a2+b2=(a+b)2-2ab，最后代入求值.
19．【答案】2；6
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴
=2；
∵
∴，即
∴
∴，解得：．
故答案为：2，6．
【分析】由移项，可得，，再将变形为，整体代入化简可得，进而将该式变形为，从而再整体代入即可求解；在方程的两边同时除以x可得，然后左右平方，将作为一个整体求解即可．
20．【答案】①②③
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，，结论①正确；
∵，，
∴，结论②正确；
∵，，
∴，结论③正确；
∵，
∴，，
∴
结论④错误；
正确的有 ①②③.
故答案为：①②③.
【分析】①把原式两边同时除以x，再整理后看是否与一致即可；
②根据，据此判断②是否正确；
③根据，据此判断③是否正确；
④把x3分成把代入后进行整理，再把代入即可求得的值，即可判断出④是否正确.
21．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
=
=
=
=
=
=
=
故答案为：.
【分析】先将原式变形为，再利用平方差公式计算即可.
22．【答案】（1）6，
（2）560
（3），
（4）三
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
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