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【2025.10.10】初四上月考数学试卷-临淄益中外语
一．选择题（共10小题）
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，cosA，则AC的长为（　　）
A．5 B．8 C．12 D．13
4．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣1（k≠0）和的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，双曲线y的一个分支为（　　）
A．① B．② C．③ D．④
小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（　　）
A．（6）米 B．12米 C．（4+2）米 D．6米
7．下面四个图中反比例函数的表达式均为，则阴影部分的图形的面积为3的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y（x＜0），y（x＞0）的图象上，则sin∠ABO的值为（　　）
A． B． C． D．
8 9 10
9．如图是由全等的含60°角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点A，B，C在格点上，则tan∠CAB的值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图所示，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点M，N分别在边BC，AD上．连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tan∠AMN的值是（　　）
A．2 B． C． D．
二．填空题（共5小题）
11．若函数y＝16x与y的图象有一个交点是，则另一个交点坐标是　 　 ．
12．在△ABC中，∠C＝90°，tanA，则cosB＝　 　 ．
13．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C都在格点上，则tan∠BAC的值为　 　 ．
13 14 15
14．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在线段BC上，且BD＝3CD，函数的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，顺次连结点D、O、M，若△ODM的面积为4.5，则k的值为　 　 ．
15．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B在双曲线y（x＞0）上，BC与x轴交于点D．若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为　 　 ．
三．解答题（共8小题）
16．计算：（1）；
（2）．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝3，，求BC的长．
18．如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西60°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？
19．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y（m≠0）的图象相交于点A（1，2），B（a，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）请直接写出不等式kx+b0的解集．
（3）x轴上是否存在一点P，使S△ABP＝S△AOB？
若存在，请求出点P坐标；若不存在，说明理由．
20．如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B两点．
（1）求此反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点C使△ABC 的周长最小，求点C坐标；
（3）在y轴上是否存在一点P，使A、O、P的三点围成等腰三角形，若存在直接写出点P坐标；若不存在请说明理由．
21．某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度，BE＝6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°．
（1）求点B离水平地面的高度AB．
（2）求电线塔CD的高度（结果保留根号）．
22．某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）这个恒温系统设定的恒定温度为多少℃；
（2）求全天的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系式；
（3）若大棚内的温度低于12℃时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？
23．矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y（k＞0）的图象与边AC交于点E．
（1）当点F运动到边BC的中点时，点E的坐标为　 　 ．
（2）连接EF，求∠EFC的正切值；
（3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求BG的长度．
参考答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C A C A A B D B A B
二．填空题（共5小题）
11．（，﹣4）．
12．．
13．．
14．6．
15．（4，）．
三．解答题（共8小题）
16．计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式
．
（2）原式
＝4
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝3，，求BC的长．
【解答】解：∵，
∴，
∴设AC＝、BC＝3x，
而BD＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝3x﹣3，
∵∠ADC＝45°，
∴∠DAC＝45°，
∴CD＝CA，
∴3x﹣3＝，
∴x＝，
∴BC＝．
18．如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西60°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于D，
设AD＝x海里，
由题意得，∠ABD＝30°，∠ACD＝45°，BC＝6海里，
在Rt△ACD中，∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴AD＝CD＝x海里，
在Rt△ABD中，tan∠ABD，
∴BD6+x，
解得，x＝，
∵，
∴9＞，
∴如果船不改变航线继续向西航行，有触礁危险．
19．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y（m≠0）的图象相交于点A（1，2），B（a，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）请直接写出不等式kx+b0的解集．
（3）x轴上是否存在一点P，使S△ABP＝S△AOB？若存在，请求出点P坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）把点A（1，2）代入y得，2，
∴m＝2，
∴反比例函数的解析式为y；
把B（a，﹣1）代入y得，a＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣1），
把点A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b得，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝x+1；
（2）kx+b0变形得，
kx+b，
由图象可知，x＜﹣2或0＜x＜1时，kx+b0；
（3）∵A（1，2），B（﹣2，﹣1）
∴直线AB解析式为：y＝x+1
∴直线AB与y轴交点坐标为（0，1）
∴S△AOB（1+2）
∴S△AOBS△ABP
当y＝0时，0＝x+1，
解得：x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
设P（x，0），
∴S△ABP，
∴x＝0或x＝﹣2，
∴P（0，0）或（﹣2，0）．
20．如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B两点．
（1）求此反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点C使△ABC 的周长最小，求点C坐标；
（3）在y轴上是否存在一点P，使A、O、P的三点围成等腰三角形，若存在直接写出点P坐标；若不存在请说明理由．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，a）在一次函数y＝x+4的图象上，
∴a＝﹣1+4＝3，
∴点A的坐标为（﹣1，3）．
∵点A（﹣1，3）在反比例函数y（k为常数且k≠0）的图象上，
∴k＝﹣1×3＝﹣3，
∴反比例函数的表达式为y．
联立直线AB与反比例函数的表达式，得：，
解得：或，
∴点B的坐标为（﹣3，1）．
（2）
（3）
21．某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度，BE＝6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°．
（1）求点B离水平地面的高度AB．
（2）求电线塔CD的高度（结果保留根号）．
【解答】解：（1）由题意得：BA⊥AE，
∵斜坡BE的坡度，
∴，
在Rt△ABE中，tan∠BEA，
∴∠BEA＝30°，
∵BE＝6m，
∴ABBE＝3（m），AEAB＝3（m），
∴点B离水平地面的高度AB为3m；
（2）过点B作BF⊥CD，垂足为F，
由题意得：AB＝CF＝3m，BF＝AC，
设EC＝x米，
∵AE＝3米，
∴BF＝AC＝AE+CE＝（x+3）米，
在Rt△CDE中，∠DEC＝60°，
∴CD＝CE tan60°x（米），
在Rt△BDF中，∠DBF＝45°，
∴DF＝BF tan45°＝（x+3）米，
∵DF+CF＝CD，
∴x+33x，
解得：x＝6+3，
∴CDx＝（69）米，
∴电线塔CD的高度为（69）米．
22．某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）这个恒温系统设定的恒定温度为多少℃；
（2）求全天的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系式；
（3）若大棚内的温度低于12℃时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？
【解答】解：（1）设直线AB的函数解析式为：y＝kx+b（k≠0），根据题意，可得，
解得，
∴直线y＝2x+10，
当x＝5时，y＝2×5+10＝20，
∴恒定温度为：20℃；
（2）由（1）可知：正比例函数解析式为y＝2x+10（0≤x≤5），
根据图象可知：y＝20（5＜x≤10），
设10＜x≤24小时内函数解析式为：，
根据题意，可得方程：，
∴k＝200，
∴函数解析式为：，
∴24小时函数解析式为：y；
（3）当0≤x≤5时，12＝2x+10，
∴x＝1，
∵当10＜x≤24时，12，
∴x，
∴（h），
∴这天内恒温系统最多可以关闭小时，才能避免水果生长受到影响．
23．矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y（k＞0）的图象与边AC交于点E．
（1）当点F运动到边BC的中点时，点E的坐标为　（2，3）　 ．
（2）连接EF，求∠EFC的正切值；
（3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求BG的长度．
【解答】解：（1）∵OB＝4，OA＝3，
∴点A、B、C的坐标分别为：（0，3）、（4，0）、（4，3），
点F运动到边BC的中点时，点F（4，），
将点F的坐标代入y并解得：k＝6，
故反比例函数的表达式为：y，
当y＝3时，x2，故E（2，3），
故答案为：（2，3）；
（2）∵F点的横坐标为4，点F在反比例函数上，
∴F（4，），
∴CF＝BC﹣BF＝3，
∵E的纵坐标为3，
∴E（，3），
∴CE＝AC﹣AE＝4，
在Rt△CEF中，tan∠EFC；
（3）如图，由（2）知，CF，CE，，
过点E作EH⊥OB于H，
∴EH＝OA＝3，∠EHG＝∠GBF＝90°，
∴∠EGH+∠HEG＝90°，
由折叠知，EG＝CE，FG＝CF，∠EGF＝∠C＝90°，
∴∠EGH+∠BGF＝90°，
∴∠HEG＝∠BGF，
∵∠EHG＝∠GBF＝90°，
∴△EHG∽△GBF，
∴，
∴，
∴BG．

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