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广安加德学校2024—2025学年度上期高2024级期中测试
数 学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M = { x︱1＜x＜4}，集合N = { 1，2 }，则M∩N =（ ）
A．{ x︱1＜x＜4 } B．{ 1，2，3，4 } C．{ 1，2 } D．{ 2 }
2．命题“ x∈R，x + 1＞0”的否定为（ ）
A． x0∈R，x0 + 1＜0 B． x0∈R，x0 + 1≤0
C．xR，x + 1≤0 D． x0R，x0 + 1≤0
3．函数的定义域为（ ）
A．[ 1，+∞） B．（2，+∞） C．[ 1，2）∪（2，+∞） D．（1，2）∪（2，+∞）
4．已知，则f（6）的值为（ ）
A．17 B．15 C．11 D．9
5．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
6．任给u∈[－2，0 ]，对应关系f使方程u2 + v = 0的解v与u对应，则使v = f（u）是函数的一个充分条件是（ ）
A．v∈[－4，4 ] B．v∈（－4，2 ] C．v∈[－2，2 ] D．v∈[－4，－2 ]
7．若函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．（，1） B．[，1） C．（，+∞） D．（，]
8．已知函数，若对任意的x1，x2，x3∈（0，+∞），都有f（x1）+ f（x2）－
f（x3）＞0成立，则实数k的取值范围为（ ）
A．[，2 ] B．[－2，4 ] C．[，6 ] D．[－1，8 ]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．下列各组函数中，是相同函数的是（ ）
A．y =∣2x + 1∣与 B．与y = x－1
C．y = 3x2 + 2x + 1与u = 3v2 + 2v + 1 D．与
A．不等式有解 B．若，则
C．若1＜a＜b，a+b=4，则ab＜4
D．函数的值域为[,]
A.存在实数b，使得f（-x）= - f（x）；
B. 存在实数x1，x2，当x1≠x2时，有f（x1）= f（x2）成立；
C. 对任意实数x1，x2，当x1≠x2时，都有成立；
D. 若，则实数a的取值范围为（，+∞）．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．2026年广安加德学校将迎来10周年校庆，学校向全校师生征集诗歌与散文两种题材的校庆文章，每人可提交一篇或两篇文章（题材不一样）．高一某班学生共提交了诗歌32篇，散文28篇，其中有12名学生都提交了两篇．已知该班共有学生50人，则两种题材的文章都没有提交的学生人数为 ．
13．已知，则 .
14．关于x的不等式≤，对满足m + n = 1的任意正实数m，n都成立，则实数x的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分）
已知集合M = { x｜1＜x＜4 }，集合N = { x｜3＜x＜5 }．
（1）求 M∩N 和 M∪（RN）；
（2）设A = { x｜a≤x≤a + 3 }，若A∪（RN）= R，求实数a的取值范围．
16．（本题满分15分）
已知函数，x∈（0，+∞）．
（1）判断函数f（x）的单调性，并利用定义证明；
（2）若f（2m－1）＞f（1－m），求实数m的取值范围．
17．（本题满分15分）
（1）求不等式2x2-3x+1＜0解集；
（2）若a，b为正实数，且ab+a+b=8, 求ab的最大值及a+b的最小值.
18．（本题满分17分）
已知最高次项系数为a的二次函数f（x）的两个零点为－3和1．
（1）若f（x）与y轴的交点为（0，－3），求f（x）在[－2，2 ]上的最小值；
（2）若f（x）在[－2，2 ]上的最大值为20，求a的值．
（3）若a=,函数g（x）= f（x）－（k + 1）x在 [ 2k－1，3k + 3 ] 上单调，求实数k的取值范围.
19．（本题满分17分）
已知函数．
（1）若f(x)＞0恒成立，求实数的取值范围；
（2）我们在教材79页例3曾学习研究过函数的有关性质，尝试解决有关函数的以下问题：
①求g(x)在[1,2]上的最大值；
②若，对有恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
1—8 DBCAB ADC 9.AC 10. ACD 11.ACD
12 2 ．
13．解：令，则，故.
故答案为：
14．解：≥5 + 4 = 9，
当且仅当m =，n =时取等号，所以x2－8x≤9，解得－1≤x≤9，故x的最大值为9．
15．解：（1）由题意，可得RN = { x｜x≤3或x≥5 }，
所以M∩N = { x｜3＜x＜4 }，……………………………………………………………… 4分
M∪（RN）= { x｜x＜4或x≥5 }． ……………………………………………………8分
（2）因为A = { x｜a≤x≤a + 3 }，若A∪（RN）= R，
所以 解得2≤a≤3，所以a的取值范围是[ 2，3 ]．………………………… 13分
16．证明：（1），x∈（0，+∞）．
任取0＜x1＜x2，可知．
因为0＜x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1 + 1＞0，x2 + 1＞0，
所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
故f（x）在（0，+∞）上单调递增．…………………………………………………………7分
（2）由（1）知，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以根据f（2m－1）＞f（1－m），可得 解得 ＜m＜1．
故实数m的取值范围是（，1）． ………………………………………………… 15分
17.解：（1）2x2-3x+1＜0（2x-1）(x-1)＜0{x|＜x＜1}………………………………5分
（2）因为，当且仅当时取等号，
解不等式得，即，故的最大值为;……………………… 10分
由，当且仅当时等号成立，
即，解得，即的最小值为4……………15分
反思：第（1）问要求学生具备解含参二次不等式ax2-(a+1)x+1＜0的能力;（2）问将问题转化为二次不等式.
18．解：（1）由已知设 f（x）=a(x+3)(x-1)，则，得a = 1．…………… 2分
∴ f（x）= x2 + 2x－3 =（x + 1）2－4， …………………………………………… 3分
抛物线开口向上，对称轴x =－1∈[－2，2 ]，偏左边，
故f（x）在[－2，2 ]上的最小值为f（x）min = f（－1）=－4． …………………………5分
（2）f（x）= a（x2 + 2x－3）= a（x + 1）2－4a，抛物线的对称轴x =－1∈[－2，2 ]
当a＞0时，f（x）在[－2，－1 ]上单调递减，在[－1，2 ]上单调递增，……………… 7分
∴ f（x）max = f（2）= 5a = 20 a = 4． ………………………………………… 8分
同理，当a＜0时，f（x）max = f（－1）=－4a = 20 a =－5．
综上，a的值为－5或4． ………………………………………………………… 11分
（3）首先k应满足 2k－1＜3k + 3，得k＞－4．………………………………………12分
又因为g (x) ==
在 [ 2k－1，3k + 3 ] 上单调，所以k≤2k－1或 k≥3k + 3， …………………………… 15分
解得k≥1或k≤． …………………………………………………… 16分
综上，实数k的取值范围是（－4，]∪[ 1，+∞）．……………………………… 17分
19．解：（1）由题意知m2+4m＜0，解得-4＜m＜0，故实数的取值范围为（-4,0）．………4分
（2）①设，，
当时，，易知，；………………………………………… 5分
当时，，根据对勾函数的单调性易知，
在上递减，在上递增，………………………………………… 7分
而，所以，，
即．……………………………………9分
当时，根据函数单调性的运算可知，在上单调递增，……10分
即，所以，，…………………… 11分
因为，所以，
，…………………………………… 13分
综上，.……………………………………………………14分
②根据①可知，，…………………………………………15分
所以依题可得，恒成立，……………………………………………………16分
解得： 或，即实数的取值范围为．………………… 17分

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