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2025年人教版九年级上册周测卷 （第二十二章 第1节） 基础卷
一、选择题
1．（2025九上·拱墅开学考）下列函数中，是二次函数的是（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝x2+1
C．y＝（x﹣1）2﹣x2 D．
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】A. y=2x+1是一次函数，A错误；
B.最高次数为2，且为整式函数，B正确；
C.函数化简后为y=-2x+1，是一次函数，C错误；
D.函数不是整式函数，属于分式函数，D错误。
故选：B
【分析】 根据二次函数的定义，判断各选项中函数的最高次数是否为2，且是否为整式函数。
2．（2025九上·鄞州期末）下列函数对应的抛物线中，形状与拋物线 相同的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线图象的形状只与的大小有关，
与抛物线 的形状形同.
故答案为： A.
【分析】对于二次函数 图象的形状只与|a|的大小有关，据此即可求得答案.
3．（2024九上·大足期中）抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为，
故选：A
【分析】根据二次函数顶点式性质即可求出答案.
4．（2025九上·义乌开学考） 二次函数的图象的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：二次函数 的图象的对称轴是x =x=
故答案为：D .
【分析】二次函数 的对称轴是： ，运用对称轴公式求解.
5．（2025九上·慈溪期末）将拋物线 向上平移 3 个单位后得到的拋物线的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线y=x2向上平移3个单位后得到的抛物线的函数表达式是y=x2+3.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数图象的平移变换规律，上加下减，左加右减，即可得出平移后的函数表达式.
6．（2022九上·平泉期末）函数数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：因为一次函数和二次函数都经过y轴上的，
所以两个函数图象交于y轴上的同一点，排除A；
当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除选项B；
当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除选项C；
故选：D．
【分析】根据题意，得到两个函数图象交于y轴上的同一点，再结合二次函数的开口方向，以及一次函数的性质，即可求解.
7．（2024九上·溧阳月考）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线，该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
∵，，，
而，，，
∴点离对称轴最近，点离对称轴最远，
∴；
故答案为：D．
【分析】根据二次函数二次项系数大于0，可得出抛物线开口向上，该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，再根据对称轴为x=1，即可得出。
8．（2025九上·湖州期末）已知二次函数，则下列说法中正确的是（　　）
①当时，则方程有两个不同的实数根；
②若二次函数的图象过点，则该图象的对称轴为直线；
③当时，若二次函数的图象与负半轴交于和，且，方程的解为，若，则有．
④当时，二次函数图象与一次函数图象有两个交点，，且，则．
A．①② B．①④ C．①③ D．③④
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①∵ac<0，
∴b2-4ac>0，
∴二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不同的实数根，故正确；
②∵x=0时，y=ax2+bx+c=c，
∴二次函数的图象过点(0，c)，
∵二次函数的图象过点(2，c)，
∴图象的对称轴为直线，故错误；
③当a>0时，二次函数的图象开口向上，
∵二次函数的图象与x轴负半轴交于A(m，0)和B(n，0)，且m∴二次函数的图象与直线y=-3x交点的横坐标为p、q，
如图，
由图象可知p④若a=-1，则二次函数为y=-x2+bx+c，
∴抛物线开口向下，
又图象与直线y=x有两个交点(x1，0)，(x2，0)，且x1<2∴当x=2时，y=-4+2b+c>0.
∴2b+c>4，故正确.
故答案为：B.
【分析】利用根的判别式即可判断①，利用二次函数的对称性即可判断②；根据题意画出图象，结合图象即可判断③；若a=-1，则二次函数为y=-x2+bx+c，可得抛物线开口向下，又图象与x轴有两个交点(x1，0)，(x2，0)，且x1<20，进而可以判断④.
9．（2025九上·海曙期末）为使抛物线C1：y=3（x-1）2+2与抛物线C2：y=3（x+1）2-2重合，下列平移能实现的是（　　）
A．把C1先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
B．把C1先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度
C．把C1先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
D．把C1先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标为(1，2)
抛物线 的顶点坐标为
∵点(1，2)先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可得到点(
∴把抛物线 先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可得到抛物线
故答案为：A.
【分析】根据平移规律“上加下减，左加右减”解题即可.
10．（2024九上·潮南期中）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：②、∵抛物线开口向上，则，
∵对称轴为直线，则，
∴，故②正确；
①、抛物线与轴交于负半轴，则，
∴，故①错误；
③、∵当时，取得小值，
∴，
当m为任意实数，则，故③正确，
④、∵抛物线关于对称，
∴和的函数值相同，
即：，
由图象知，当时，函数值大于0，
∴，故④正确；
⑤、当关于对称时：即：时，
对应的函数值相同，
即：，
∴
∴若，且，则；故⑤正确；
综上所述，正确的是②③④⑤，共4个，
故答案为：C．
【分析】
根据开口方向得，根据对称轴可得，与轴的交点位置交于负半轴，则，可判断 ①② ；利用最值当时，取得小值可判断③；根据对称性和图象上的点，可判断④；利用对称性可判断⑤；逐一判断即可解答．
二、填空题
11．（2025九上·丽水期末）二次函数的顶点坐标为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数的顶点坐标为，
故答案为：．
【分析】根据二次函数的顶点坐标为解题即可．
12．（2023九上·灵丘期末）将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的新抛物线解析式为，
故答案为：．
【分析】根据二次函数图象平移的法则“上加下减，左加右减”即可求出答案，
13．（2024九上·北京市期中）已知点在二次函数的图象上，则　 　．（填“>”“<”或“=”）
【答案】>
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：二次函数，
对称轴为，
∵，
∴与对称轴的距离较与对称轴的距离远．
而，
∴．
故答案为：
【分析】根据二次函数性质即可求出答案.
14．（2023九上·惠州月考）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以 的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是：，则小球运动中的最大高度是　 　m．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意得，，
t=2时，函数值最大，此时h=20，
∴小球运动中的最大高度是m，
故答案为．
【分析】根据二次函数的性质，求出最值，即可得到答案．
15．（2023九上·汉川月考）已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；翻折变换（折叠问题）；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵，
∴原函数图象的顶点坐标为：，
如图，根据折叠的性质，
可得新函数图象G的顶点坐标为：，即点D的坐标为，
当直线与新图象有4个交点时，根据图象可知：
m的取值范围是：．
故答案为：．
【分析】将解析式转换为顶点式，求出顶点坐标，根据折叠性质可得点D的坐标为，再结合函数图象信息即可求出答案.
三、解答题
16．（2022九上·襄州期中）已知函数是二次函数；
（1）求的值；
（2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】（1）解：由题意：，
解得：，
时，函数是二次函数．
（2）解：二次函数的解析式为，
这个二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为．
【知识点】二次函数的定义；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）根据二次函数的定义即可求出答案.
（2）将二次函数解析式转换为顶点式，再根据其性质即可求出答案.
（1）由题意：，
解得，
时，函数是二次函数．
（2）二次函数的解析式为，
这个二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为．
17．（2025九上·拱墅开学考）已知二次函数经过点（3，0），对称轴是直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大．
【答案】（1）解：依题意
解得b=-4，c=-6
∴二次函数的解析式为
（2）解：抛物线开口向上，对称轴为x=1
由图象及性质可知，当时，y随x增大为增大。
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)根据题意将点 （3，0） 代入解析式，将对称轴写为，就能求出b，c的值，从而得出抛物线的解析式；
(2)利用二次函数的图象和性质易知当时，y随x增大为增大。
18．（2024九上·武昌月考）如图，已知二次函数图象的顶点为，且过．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）观察图象，当时，的取值范围为_____(直接写出答案）．
【答案】（1）解：∵二次函数图象的顶点为，设二次函数的解析式为
∵过点，
∴
解得：，
∴二次函数的解析式为：
（2）或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】
解：（2）当时，，
解得：或
当时，
解得：或
观察函数图象可得当时，的取值范围为或，
故答案为：或．
【分析】
（1）根据顶点坐标为设二次函数的解析式为，将代入计算即可求解；
（2）先求得时与时的函数值，结合函数图象写出的取值范围 ，即可求解．
（1）解：∵二次函数图象的顶点为，
设二次函数的解析式为
∵过点，
∴
解得：，
∴二次函数的解析式为：
（2）解：当时，，
解得：或
当时，
解得：或
观察函数图象可得当时，的取值范围为或，
故答案为：或．
19．（2025九上·义乌开学考）已知二次函数的顶点坐标为(2，-1)，且图像经过点(-3，24).
（1）求函数解析式；
（2）求函数图象与坐标轴交点坐标.
【答案】（1）解： 设二次函数的解析式为
将点(-3，24)代入 中，
得24=a
解得a=1，
∴函数解析式解析式为
（2）解：令y=0，则 得
∴函数图象与x轴交点坐标为(1，0)， (3，0)；
令x=0，则
∴函数图象与y轴的交点坐标为(0，3).
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)设二次函数的解析式为 将点(-3，24)代入求出(a=1，即得答案；
(2)令y=0，得求解方程得 1， 即得函数图象与x轴交点坐标，令x=0， 则y=3，图象与y轴的交点坐标.
20．（2025九上·杭州开学考）已知二次函数的图象经过点，．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个图象的顶点坐标和对称轴．
【答案】（1）解：已知二次函数的图象经过点，，
，
，
；
（2）解：，
顶点坐标，对称轴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）将点(-1，8)与(2，-1)分别代入y=x2+bx+c可得关于字母b、c的方程组，求解得出b、c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）将其表达式变成顶点式，然后根据，其对称轴为，顶点坐标为解题即可．
（1）解：已知二次函数的图象经过点，，
，
，
；
（2）解：，
顶点坐标，对称轴．
21．（2025九上·金华竞赛）已知二次函数 .
（1）当 时，函数的最大值与最小值之差为 2，求 的值；
（2）若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）解： ，对称轴 ，
分类讨论： ① 当 时，即 ，
当 时， ； 当 时， ，即 ，解得 ，
不符合题意， 舍去.
② 当 时，即 ，
当 时， ； 当 时， ，即 ，解得 ，
不符合题意， 舍去.
③当 时，即 ，
当 时， ； 当 时， ，即 ，解得 或 不符合题意，舍去.
④当 时，即 ，
当 时， ； 当 时， ，即 ，
解得 或 不符合题意，舍去.
综上， 或 .
（2）解：分类讨论：
① 当 时，即 ，当 时， ，即 ，解得 ，故 .
② 当 时，即 ，
当 时， ，即 ，解得 ，不符合题意，舍去.
③当 时，即 ，
当 时， ，即 ，解得 ，故 .
综上，
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用函数解析式可求出抛物线的对称轴，再分情况讨论：① 当 时，即 ，分别求出当x=-1时y的最小值和x=1时y的最大值，然后根据函数的最大值与最小值之差为 2，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，再作出判断；② 当 时，即 ，分别求出当x=1时y的最小值和x=-1时y的最大值，然后根据函数的最大值与最小值之差为 2，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，利用a的取值范围作出判断；③当 时，即 ，分别求出当 时y的最小值和x=1时y的最大值，然后根据函数的最大值与最小值之差为 2，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，利用a的取值范围作出判断；④当 时，即 ，分别求出当 时y的最小值和x=-1时y的最大值，然后根据函数的最大值与最小值之差为 2，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，利用a的取值范围作出判断；综上所述可得到符合题意的a的值.
（2）分类讨论： 当 时，可求出当x=1时y的最小值，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集；② 当 时，求出当x=2时y的最小值，据此可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集；③当 时，可求出当 时y的最小值，据此可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集，综上所述可得到 恒成立的a的取值范围.
22．（2024九上·温州月考）已知：二次函数
（1）求这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）若，在抛物线上，且，求n的取值范围．
【答案】（1）解：∵
，
∴这个二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：∵，
∴抛物线开口向上．
由（1）知这个二次函数图象的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．
分类讨论：①当点A和B在对称轴同侧时，
∵，且，
∴y随x的增大而减小，
∴点A和B在对称轴左侧，
∴，
解得：；
②当点A和B在对称轴异侧时，即，
∴．
∵，且，
∴点B到对称轴的距离比点A到对称轴的距离大．
∵，
∴，
解得：，
∴．
综上可知当．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）将函数解析式转换为顶点式即可求出答案.
（2）根据二次函数性质分类讨论即可求出答案.
（1）解：∵
，
∴这个二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：∵，
∴抛物线开口向上．
由（1）知这个二次函数图象的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．
分类讨论：①当点A和B在对称轴同侧时，
∵，且，
∴y随x的增大而减小，
∴点A和B在对称轴左侧，
∴，
解得：；
②当点A和B在对称轴异侧时，即，
∴．
∵，且，
∴点B到对称轴的距离比点A到对称轴的距离大．
∵，
∴，
解得：，
∴．
综上可知当．
23．（2024九上·杭州期中）已知二次函数（b为常数）．
（1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为，
①b的值是 ，点B的坐标是 ；
②当时，借助图象，求自变量x的取值范围；
（2）对于一切实数x，若函数值总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；
（3）当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围．
【答案】（1）①；
②，
列表如下：
1 3 4
5 0 0 5
画出函数图象如下：
由图可知：当时，或；
（2）解：∵，∴当时，有最小值为；
∵对于一切实数，若函数值总成立，
∴
（3）解：如图
∵，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
又当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，
∴直线与抛物线的两个交点为，直线在抛物线的下方，
∴关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，有最小值，
∴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：①∵函数图象与轴交于两点，点坐标为，∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∴，
∴点的坐标是；
故答案为：；
【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令，求出点的坐标即可；
②画出函数图象，图象法求出的取值范围即可；
（2）求出二次函数的最小值，即可得解；
（3）根据当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，得到和关于对称轴对称，进而求出的值，得到为的函数值，求出，推出直线过抛物线顶点或在抛物线的下方，即可得出结论．
（1）解：①∵函数图象与轴交于两点，点坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∴，
∴点的坐标是；
故答案为：；
②，
列表如下：
1 3 4
5 0 0 5
画出函数图象如下：
由图可知：当时，或；
（2）解：∵，
∴当时，有最小值为；
∵对于一切实数，若函数值总成立，
∴；
（3）解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
又当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，
∴直线与抛物线的两个交点为，直线在抛物线的下方，
∴关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，有最小值，
∴．
1 / 12025年人教版九年级上册周测卷 （第二十二章 第1节） 基础卷
一、选择题
1．（2025九上·拱墅开学考）下列函数中，是二次函数的是（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝x2+1
C．y＝（x﹣1）2﹣x2 D．
2．（2025九上·鄞州期末）下列函数对应的抛物线中，形状与拋物线 相同的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九上·大足期中）抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九上·义乌开学考） 二次函数的图象的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
5．（2025九上·慈溪期末）将拋物线 向上平移 3 个单位后得到的拋物线的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九上·平泉期末）函数数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024九上·溧阳月考）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九上·湖州期末）已知二次函数，则下列说法中正确的是（　　）
①当时，则方程有两个不同的实数根；
②若二次函数的图象过点，则该图象的对称轴为直线；
③当时，若二次函数的图象与负半轴交于和，且，方程的解为，若，则有．
④当时，二次函数图象与一次函数图象有两个交点，，且，则．
A．①② B．①④ C．①③ D．③④
9．（2025九上·海曙期末）为使抛物线C1：y=3（x-1）2+2与抛物线C2：y=3（x+1）2-2重合，下列平移能实现的是（　　）
A．把C1先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
B．把C1先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度
C．把C1先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
D．把C1先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度
10．（2024九上·潮南期中）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．（2025九上·丽水期末）二次函数的顶点坐标为　 　．
12．（2023九上·灵丘期末）将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式为　 　．
13．（2024九上·北京市期中）已知点在二次函数的图象上，则　 　．（填“>”“<”或“=”）
14．（2023九上·惠州月考）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以 的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是：，则小球运动中的最大高度是　 　m．
15．（2023九上·汉川月考）已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是　 　．
三、解答题
16．（2022九上·襄州期中）已知函数是二次函数；
（1）求的值；
（2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
17．（2025九上·拱墅开学考）已知二次函数经过点（3，0），对称轴是直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大．
18．（2024九上·武昌月考）如图，已知二次函数图象的顶点为，且过．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）观察图象，当时，的取值范围为_____(直接写出答案）．
19．（2025九上·义乌开学考）已知二次函数的顶点坐标为(2，-1)，且图像经过点(-3，24).
（1）求函数解析式；
（2）求函数图象与坐标轴交点坐标.
20．（2025九上·杭州开学考）已知二次函数的图象经过点，．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个图象的顶点坐标和对称轴．
21．（2025九上·金华竞赛）已知二次函数 .
（1）当 时，函数的最大值与最小值之差为 2，求 的值；
（2）若 恒成立，求 的取值范围.
22．（2024九上·温州月考）已知：二次函数
（1）求这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）若，在抛物线上，且，求n的取值范围．
23．（2024九上·杭州期中）已知二次函数（b为常数）．
（1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为，
①b的值是 ，点B的坐标是 ；
②当时，借助图象，求自变量x的取值范围；
（2）对于一切实数x，若函数值总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；
（3）当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】A. y=2x+1是一次函数，A错误；
B.最高次数为2，且为整式函数，B正确；
C.函数化简后为y=-2x+1，是一次函数，C错误；
D.函数不是整式函数，属于分式函数，D错误。
故选：B
【分析】 根据二次函数的定义，判断各选项中函数的最高次数是否为2，且是否为整式函数。
2．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线图象的形状只与的大小有关，
与抛物线 的形状形同.
故答案为： A.
【分析】对于二次函数 图象的形状只与|a|的大小有关，据此即可求得答案.
3．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为，
故选：A
【分析】根据二次函数顶点式性质即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：二次函数 的图象的对称轴是x =x=
故答案为：D .
【分析】二次函数 的对称轴是： ，运用对称轴公式求解.
5．【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线y=x2向上平移3个单位后得到的抛物线的函数表达式是y=x2+3.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数图象的平移变换规律，上加下减，左加右减，即可得出平移后的函数表达式.
6．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：因为一次函数和二次函数都经过y轴上的，
所以两个函数图象交于y轴上的同一点，排除A；
当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除选项B；
当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除选项C；
故选：D．
【分析】根据题意，得到两个函数图象交于y轴上的同一点，再结合二次函数的开口方向，以及一次函数的性质，即可求解.
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线，该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
∵，，，
而，，，
∴点离对称轴最近，点离对称轴最远，
∴；
故答案为：D．
【分析】根据二次函数二次项系数大于0，可得出抛物线开口向上，该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，再根据对称轴为x=1，即可得出。
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①∵ac<0，
∴b2-4ac>0，
∴二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不同的实数根，故正确；
②∵x=0时，y=ax2+bx+c=c，
∴二次函数的图象过点(0，c)，
∵二次函数的图象过点(2，c)，
∴图象的对称轴为直线，故错误；
③当a>0时，二次函数的图象开口向上，
∵二次函数的图象与x轴负半轴交于A(m，0)和B(n，0)，且m∴二次函数的图象与直线y=-3x交点的横坐标为p、q，
如图，
由图象可知p④若a=-1，则二次函数为y=-x2+bx+c，
∴抛物线开口向下，
又图象与直线y=x有两个交点(x1，0)，(x2，0)，且x1<2∴当x=2时，y=-4+2b+c>0.
∴2b+c>4，故正确.
故答案为：B.
【分析】利用根的判别式即可判断①，利用二次函数的对称性即可判断②；根据题意画出图象，结合图象即可判断③；若a=-1，则二次函数为y=-x2+bx+c，可得抛物线开口向下，又图象与x轴有两个交点(x1，0)，(x2，0)，且x1<20，进而可以判断④.
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标为(1，2)
抛物线 的顶点坐标为
∵点(1，2)先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可得到点(
∴把抛物线 先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可得到抛物线
故答案为：A.
【分析】根据平移规律“上加下减，左加右减”解题即可.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：②、∵抛物线开口向上，则，
∵对称轴为直线，则，
∴，故②正确；
①、抛物线与轴交于负半轴，则，
∴，故①错误；
③、∵当时，取得小值，
∴，
当m为任意实数，则，故③正确，
④、∵抛物线关于对称，
∴和的函数值相同，
即：，
由图象知，当时，函数值大于0，
∴，故④正确；
⑤、当关于对称时：即：时，
对应的函数值相同，
即：，
∴
∴若，且，则；故⑤正确；
综上所述，正确的是②③④⑤，共4个，
故答案为：C．
【分析】
根据开口方向得，根据对称轴可得，与轴的交点位置交于负半轴，则，可判断 ①② ；利用最值当时，取得小值可判断③；根据对称性和图象上的点，可判断④；利用对称性可判断⑤；逐一判断即可解答．
11．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数的顶点坐标为，
故答案为：．
【分析】根据二次函数的顶点坐标为解题即可．
12．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的新抛物线解析式为，
故答案为：．
【分析】根据二次函数图象平移的法则“上加下减，左加右减”即可求出答案，
13．【答案】>
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：二次函数，
对称轴为，
∵，
∴与对称轴的距离较与对称轴的距离远．
而，
∴．
故答案为：
【分析】根据二次函数性质即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意得，，
t=2时，函数值最大，此时h=20，
∴小球运动中的最大高度是m，
故答案为．
【分析】根据二次函数的性质，求出最值，即可得到答案．
15．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；翻折变换（折叠问题）；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵，
∴原函数图象的顶点坐标为：，
如图，根据折叠的性质，
可得新函数图象G的顶点坐标为：，即点D的坐标为，
当直线与新图象有4个交点时，根据图象可知：
m的取值范围是：．
故答案为：．
【分析】将解析式转换为顶点式，求出顶点坐标，根据折叠性质可得点D的坐标为，再结合函数图象信息即可求出答案.
16．【答案】（1）解：由题意：，
解得：，
时，函数是二次函数．
（2）解：二次函数的解析式为，
这个二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为．
【知识点】二次函数的定义；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）根据二次函数的定义即可求出答案.
（2）将二次函数解析式转换为顶点式，再根据其性质即可求出答案.
（1）由题意：，
解得，
时，函数是二次函数．
（2）二次函数的解析式为，
这个二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为．
17．【答案】（1）解：依题意
解得b=-4，c=-6
∴二次函数的解析式为
（2）解：抛物线开口向上，对称轴为x=1
由图象及性质可知，当时，y随x增大为增大。
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)根据题意将点 （3，0） 代入解析式，将对称轴写为，就能求出b，c的值，从而得出抛物线的解析式；
(2)利用二次函数的图象和性质易知当时，y随x增大为增大。
18．【答案】（1）解：∵二次函数图象的顶点为，设二次函数的解析式为
∵过点，
∴
解得：，
∴二次函数的解析式为：
（2）或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】
解：（2）当时，，
解得：或
当时，
解得：或
观察函数图象可得当时，的取值范围为或，
故答案为：或．
【分析】
（1）根据顶点坐标为设二次函数的解析式为，将代入计算即可求解；
（2）先求得时与时的函数值，结合函数图象写出的取值范围 ，即可求解．
（1）解：∵二次函数图象的顶点为，
设二次函数的解析式为
∵过点，
∴
解得：，
∴二次函数的解析式为：
（2）解：当时，，
解得：或
当时，
解得：或
观察函数图象可得当时，的取值范围为或，
故答案为：或．
19．【答案】（1）解： 设二次函数的解析式为
将点(-3，24)代入 中，
得24=a
解得a=1，
∴函数解析式解析式为
（2）解：令y=0，则 得
∴函数图象与x轴交点坐标为(1，0)， (3，0)；
令x=0，则
∴函数图象与y轴的交点坐标为(0，3).
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)设二次函数的解析式为 将点(-3，24)代入求出(a=1，即得答案；
(2)令y=0，得求解方程得 1， 即得函数图象与x轴交点坐标，令x=0， 则y=3，图象与y轴的交点坐标.
20．【答案】（1）解：已知二次函数的图象经过点，，
，
，
；
（2）解：，
顶点坐标，对称轴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）将点(-1，8)与(2，-1)分别代入y=x2+bx+c可得关于字母b、c的方程组，求解得出b、c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）将其表达式变成顶点式，然后根据，其对称轴为，顶点坐标为解题即可．
（1）解：已知二次函数的图象经过点，，
，
，
；
（2）解：，
顶点坐标，对称轴．
21．【答案】（1）解： ，对称轴 ，
分类讨论： ① 当 时，即 ，
当 时， ； 当 时， ，即 ，解得 ，
不符合题意， 舍去.
② 当 时，即 ，
当 时， ； 当 时， ，即 ，解得 ，
不符合题意， 舍去.
③当 时，即 ，
当 时， ； 当 时， ，即 ，解得 或 不符合题意，舍去.
④当 时，即 ，
当 时， ； 当 时， ，即 ，
解得 或 不符合题意，舍去.
综上， 或 .
（2）解：分类讨论：
① 当 时，即 ，当 时， ，即 ，解得 ，故 .
② 当 时，即 ，
当 时， ，即 ，解得 ，不符合题意，舍去.
③当 时，即 ，
当 时， ，即 ，解得 ，故 .
综上，
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用函数解析式可求出抛物线的对称轴，再分情况讨论：① 当 时，即 ，分别求出当x=-1时y的最小值和x=1时y的最大值，然后根据函数的最大值与最小值之差为 2，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，再作出判断；② 当 时，即 ，分别求出当x=1时y的最小值和x=-1时y的最大值，然后根据函数的最大值与最小值之差为 2，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，利用a的取值范围作出判断；③当 时，即 ，分别求出当 时y的最小值和x=1时y的最大值，然后根据函数的最大值与最小值之差为 2，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，利用a的取值范围作出判断；④当 时，即 ，分别求出当 时y的最小值和x=-1时y的最大值，然后根据函数的最大值与最小值之差为 2，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，利用a的取值范围作出判断；综上所述可得到符合题意的a的值.
（2）分类讨论： 当 时，可求出当x=1时y的最小值，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集；② 当 时，求出当x=2时y的最小值，据此可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集；③当 时，可求出当 时y的最小值，据此可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集，综上所述可得到 恒成立的a的取值范围.
22．【答案】（1）解：∵
，
∴这个二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：∵，
∴抛物线开口向上．
由（1）知这个二次函数图象的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．
分类讨论：①当点A和B在对称轴同侧时，
∵，且，
∴y随x的增大而减小，
∴点A和B在对称轴左侧，
∴，
解得：；
②当点A和B在对称轴异侧时，即，
∴．
∵，且，
∴点B到对称轴的距离比点A到对称轴的距离大．
∵，
∴，
解得：，
∴．
综上可知当．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）将函数解析式转换为顶点式即可求出答案.
（2）根据二次函数性质分类讨论即可求出答案.
（1）解：∵
，
∴这个二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：∵，
∴抛物线开口向上．
由（1）知这个二次函数图象的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．
分类讨论：①当点A和B在对称轴同侧时，
∵，且，
∴y随x的增大而减小，
∴点A和B在对称轴左侧，
∴，
解得：；
②当点A和B在对称轴异侧时，即，
∴．
∵，且，
∴点B到对称轴的距离比点A到对称轴的距离大．
∵，
∴，
解得：，
∴．
综上可知当．
23．【答案】（1）①；
②，
列表如下：
1 3 4
5 0 0 5
画出函数图象如下：
由图可知：当时，或；
（2）解：∵，∴当时，有最小值为；
∵对于一切实数，若函数值总成立，
∴
（3）解：如图
∵，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
又当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，
∴直线与抛物线的两个交点为，直线在抛物线的下方，
∴关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，有最小值，
∴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：①∵函数图象与轴交于两点，点坐标为，∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∴，
∴点的坐标是；
故答案为：；
【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令，求出点的坐标即可；
②画出函数图象，图象法求出的取值范围即可；
（2）求出二次函数的最小值，即可得解；
（3）根据当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，得到和关于对称轴对称，进而求出的值，得到为的函数值，求出，推出直线过抛物线顶点或在抛物线的下方，即可得出结论．
（1）解：①∵函数图象与轴交于两点，点坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∴，
∴点的坐标是；
故答案为：；
②，
列表如下：
1 3 4
5 0 0 5
画出函数图象如下：
由图可知：当时，或；
（2）解：∵，
∴当时，有最小值为；
∵对于一切实数，若函数值总成立，
∴；
（3）解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
又当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，
∴直线与抛物线的两个交点为，直线在抛物线的下方，
∴关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，有最小值，
∴．
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