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重庆市渝西中学校高2027届高二上10月考试
数学学科试卷
考试时间：120分钟 总分：150分
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
1.双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2.若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.圆和圆的公切线有且仅有( )条．
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与该双曲线的右支交于，两点，若，则周长为（ ）
A．16 B．24 C．36 D．40
5.已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6.椭圆E:+=1（a>b> 0）左右焦点分别为上顶点为A，射线AF1交椭圆E于B，以AB为直径的圆过，则椭圆E的离心率是（ ）
A． B． C． D．
7.已知中心在原点，半焦距为 4 的椭圆 被直线方程 截得的弦的中点横坐标为4，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
8（原创）.已知 是椭圆与双曲线的公共焦点, 是它们的一个公共点,且 ,线段 的中垂线经过.记椭圆的离心率为 ,双曲线的离心率为 ,则 的取值范围是（ ）
A. B. C.(6,7) D.
多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求. 全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分。
9.设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则下列说法中正确的是（ ）
A. ， B. 离心率为
C. 的面积为12 D. 的面积为24
10. 已知，，点P满足．则（ ）
A. 点P的轨迹为双曲线 B. 直线上存在满足题意的点P
C. 满足的点P共有0个 D. 的周长的取值范围是
11（原创）.已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A．的最小值为 B．椭圆的短轴长可能为2
C．椭圆的离心率的取值范围为 D．若，则椭圆的长半轴长为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知圆：与圆：，若两圆相交于A，B两点，则
13.已知椭圆，是椭圆C的右顶点，过椭圆的左焦点垂直于长轴的直线交椭圆于M，N两点，则的面积为 .
14（原创）.双曲线的左、右焦点分别为，为原点，为上关于原点对称的两点，若，则 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知圆内有一点，过点作直线交圆于
两点．
（1）当经过圆心时，求直线的方程； （2）当直线的倾斜角为时，求弦的长．
16. △ABC的内角A、B、C的对边为a、b、c，
（1）求A； （2）若求
17.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD，底面为直角梯形，，，且，E为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的正弦值．
18.如图所示：已知椭圆E：的长轴长为4，离心率．A是椭圆的右顶点，直线过点交椭圆于C，D两点，交轴于点，，．记的面积为S．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）求S的取值范围；
（3）求证：为定值．
19（原创）.在平面直角坐标系中,已知圆是圆上的动点,且的中点为.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点是直线上的动点,是的轨迹的两条切线,为切点,求四边形面积的最小值;
(3)若垂直于轴的直线过点且与的轨迹交于点,,点为直线上的动点,直线与的轨迹的另一个交点分别为(与不重合), 试探究直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由试卷第4页，共4页题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C C B D C B
题号 9 10 11 12 13 14
答案 ABD BCD AC
15．
（1）
已知圆的圆心为，因直线过点，所以直线的斜率为，直线的方程为,即
（2）.
当直线的倾斜角为时，斜率为，直线的方程为,即 圆心到直线的距离为，又圆的半径为，弦的长为.
16. (1)
由正弦定理，得，由余弦定理，得，又所以．
(2)
由（1）知：,又所以，又，
根据正弦定理，得，，
所以
17．（1）证明：因为平面，所以又，所以
∴所以，在三角形PAD中因为为的中点，所以∴
（2）由题知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则.
设平面的法向量为，则，即
令，得由（1）知，平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，则
所以，，平面与平面夹角的正弦值
18．（1）
令椭圆E的半焦距为c，依题意，，，解得，则，
所以椭圆E的标准方程为.
（2）
依题意，直线不垂直于坐标轴，设直线：，，设，
由消去x并整理得：，则，，，
由（1）知，则有，
令，显然函数在上单调递增，，则，所以S的取值范围是.
（3）
由（2）知，，由得，即，而，同理，因此，，
所以为定值.
19． (1)
已知圆 的方程为 ,将其转化为圆的标准方程： 。所以圆心 ,半径 。因为 是 的中点,根据垂径定理可知 。已知 ,则 。在 中,根据勾股定理。设点 ,根据两点间距离公式 ,两边平方可得 。
所以点 的轨迹方程为 。
(2) 四边形 面积的最小值为
因为四边形面积因为 , 是圆 的切线,所以 , 。
又因为 ,所以四边形 的面积根据勾股定理 ,所以 。
点 是直线 上的动点,根据点到直线的距离公式,圆心 到直线 的距离 ,即 。当 取最小值 时, 。所以四边形 面积的最小值为 。
（3）过定点
已知圆 的方程为 ,垂直于 轴的直线
过点 ,则直线 的方程为 。将 代入圆 的方程可得 ,解得 或 。所以 , 。设 ,则直线 的斜率 ,直线 的方程为 。直线 的斜率 ,直线 的方程为 。联立直线 与圆 的方程可得 。
展开并整理得
因为 是方程的一个根,设 ,根据韦达定理 ,则 代入ND直线，。同理,联立直线 与圆 的方程可得 点坐标。设直线 的方程为 ,将 , 两点坐标代入方程消去参数t即可得到直线 过定点 。
答案第4页，共5页

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