资源简介

《常州市六校教研联合体2025-2026学年第一学期阶段调研高三数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B A B C D C A BD ABD BCD
12．2 13． 14．
15．(1)；(2)
【分析】（1）利用换元，转化为二次函数求值域；
（2）根据（1）的过程，参变分离转化为最值问题，即可求解.
【详解】（1）因为，设，，则，
所以，————————3分
在上单调递减，在上单调递增，，，
所以函数的值域是.——————————————————————6分
由（1）可知，，，
即，，————————————2分
①若t＝0，恒成立，此时；————————3分
②若t≠0，则，恒成立，
设，则，
当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增.——————————5分
故的最小值为，所以.
综上所述：.———————————————————————7分
16．(1)；(2)①对称中心为 ，Z；②
【分析】（1）根据向量平行的坐标表示列等式，结合三角恒等变换求解即可.
（2）①先将化简，再利用正弦函数图象的性质求解即可；
②整体法求函数的值域.
【详解】（1），
由，则，
即，
所以，————————————3分
所以．———————6分
（2）①
—————3分
由，得，Z，
所以的对称中心为 ，Z.——————————————5分
②因为，所以，
所以当，即时，；当，即时，．
所以的值域为．——————————————9分
17．(1)见证明；(2)；(2)
【分析】（1）根据线面平行的判定和性质定理；（2）由（1）得到点到平面的距离等于点到平面的距离，则，然后代入体积计算公式即可求解；
（3）建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式求出，换元利用二次函数的性质求出最值即可.
【详解】（1）因为底面ABCD为矩形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
因为平面，平面平面，所以，——————————4分
（2）因为，平面，平面，所以平面，又因为，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，则，
因为，，
由余弦定理得，
因为，所以，
因为底面为矩形，所以，又，、平面，
所以平面，因为，所以，，又，、平面，所以平面，————————2分
所以.——————————4分
（3）过作，，
，又面DEC，
面，又面，面面，
，面，——————2分
建立如图所示空间直角坐标系,
，
所以所以
设，则，
设面的一个法向量为，
则，，
令，解得，得，——————————4分
又，，——————5分
令，则
当，即时，————————————7分
18.(1)；(2)
【分析】（1）根据正弦定理与同角的关系求得，利用余弦定理和正弦定理计算即可求解；（2）设，根据正弦定理可得、，进而的面积，结合正弦函数的性质即可求解；
【详解】（1），由正弦定理得.
因为，所以.因为，所以.——————————2分
由，即，所以.
由正弦定理可得，则，
得，则或（舍去），
所以.——————————————6分
设，
在中，由正弦定理得，
所以.————————————3分
在中，由正弦定理得，
所以.————————6分
的面积
.——————————9分
因为，所以，
则，故面积的取值范围为.————11分
19．(1)；(2)；(3)
【分析】（1）求导，根据导数符号判断即可；
（2）当时，分区间利用二阶导数讨论；当时，利用导数证明函数在内有极大值；综合（1）可得的取值范围；
（3）解法一：利用隐零点方程消去，然后参变分离，构造函数，，利用导数求最小值可解；解法二：构造函数，利用导数，分类讨论的最小值即可得解.
【详解】（1）当时，由，得，
又，，，所以，即在单调递增，
故的单调增区间为，无单调减区间．————————3分
（2）由（1）可知；
依题意得：；
（ⅰ）若，
①时，，，此时，
故在无极值．————————1分
②当时，令，得．
由，，，则，从而在单调递增．
又，，
由零点存在性定理可知，存在，使得．——————————2分
从而当，，当，．
在单调递减，在单调递增，————————————3分
所以是在上唯一的极值且为极小值，故符合题意．—————4分
（ⅱ）若，，
令，，，
则．————————5分
令，
则，故在单调递增，
所以，即，所以在单调递增．
因为，时，，
所以的值域为．——————————6分
故当时，有唯一解，
且当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
此时在有唯一极大值点，不合题意，故舍去．
综上，．————————————7分
（3）解法一：由（2）可知，有且仅有一个极小值点，
故．
因为，所以，——————————1分
由题意知，，可得，
即，——————————2分
化简得，，
设，．——————————————3分
又
．————————5分
因为，所以，
当时，，；
当时，，；
故在上单调递增，在上单调递减．————————————6分
所以，此时，依题意，，
故的最大值是．——————————————7分
解法二：由得．
令，
则．——————————————1分
因为，
由（2）知，有且仅有一个极小值点，且．————————2分
①当时，．因为，所以．
又在上递减，在上递增．所以．
所以．——————————3分
②当时，因为，所以．
又在上递减，所以．
此时．————————————5分
③当时，因为，所以．
又在上递增．所以．
此时．—————————————6分
综上，当时，取得最大值，
依题意的最大值为．——————————7分
答案第1页，共2页常州市六校教研联合体2025-2026学年第一学期阶段调研
高三年级数学试卷
2025．10
出卷 戚高中高二数学组 审卷 戚高中高二数学组
考试时间 120分钟 满分150分
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
4．已知向量，向量在向量上的投影向量是，且，则（ ）
A． B． C．2 D．
5．已知两条不同的直线，两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则.
B．若，，则.
C．若，则.
D．若，则.
6．已知函数及其导函数的定义域均为，记，已知和都是偶函数，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ）
（参考数据：，，）
A．年 B．年
C．年 D．年
8．已知、，且，则（ ）
A． B．
C． D．无法确定、的大小
二、多选题
9．已知为虚数单位，以下选项不正确的是（ ）
A．若复数满足，则的虚部为
B．，，，则
C．是的充分不必要条件
D．若复数满足，则的最大值为6
10．已知直三棱柱中，，，，O为该三棱柱的外接球球心，为棱中点，则（ ）
A．直线与平面所成的角为 B．平面
C．半径为的球可以放入该直三棱柱的内部 D．球O被平面截得的截面圆的面积为
11．已知的面积为，若，，则（ ）
A．的外接圆半径为1
B．
C．
D．的内切圆半径为
三、填空题
12．已知函数，则的最小正周期为 .
13．已知某圆锥的母线长为，记其侧面积为，体积为，则当取得最大值时，母线与底面所成角的大小为 .
14．已知是函数图象上任意一点．若点的坐标满足：，则的最小值为 ．
四、解答题
15．已知函数．
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若对于恒成立，求的取值范围．
16．在平面直角坐标系中，已知向量，，．
(1)若，求的值；
(2)记，R．
①求的对称中心；
②若任意，求的值域．
17．如图，四棱锥中，底面为矩形，.二面角的大小是，点在平面与平面的交线上.
(1)证明：；
(2)求四面体的体积；
(3)若为直线上的动点，且，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
18．在中内角的对边分别为，满足，，
(1)求．
(2)若，点是边上的两个动点，当时，求面积的取值范围．
19．已知函数，．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若存在唯一的极值且为极小值，求的取值范围；
(3)设，若存在使得对恒成立，求的最大值．
试卷第4页，共5页

展开更多......

收起↑