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3　导数的计算
1.曲线y＝sin x在x＝0处的切线的倾斜角是（　　）
A.　 B.
C. D.
2.下列导数运算正确的是（　　）
A.'＝ B.（sin x）'＝－cos x
C.（3x）'＝3x D.（ln x）'＝
3.函数f（x）＝x3的斜率等于1的切线有（　　）
A.1条 B.2条
C.3条 D.不确定
4.设f0（x）＝sin x，f1（x）＝f0'（x），f2（x）＝f1'（x），…，fn＋1（x）＝fn'（x），n∈N，则f2 023（x）＝（　　）
A.sin x B.－sin x
C.cos x D.－cos x
5.（多选）下列曲线的切线中，不存在互相垂直的切线的曲线是（　　）
A.f（x）＝ex
B.f（x）＝x3
C.f（x）＝ln x
D.f（x）＝sin x
6.（多选）已知函数f（x）的导数为f'（x），若存在x0使得f（x0）＝f'（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”，下列函数中有“巧值点”的函数是（　　）
A.f（x）＝2x
B.f（x）＝ln x
C.f（x）＝sin x
D.f（x）＝
7.若f（x）＝，且f'（α）＝，则α＝　　　.
8.与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝ln x相切的直线方程是　　　　　　　　.
9.曲线y＝xn＋1（n∈N＋）在点（1，1）处的切线方程为　　　　　　　，其与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn＝　　　　.
10.已知点P在曲线y＝cos x上，直线l是以点P为切点的切线.
（1）求a的值；
（2）求过点P与直线l垂直的直线方程.
11.正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是（　　）
A.∪ B.[0，π）
C. D.∪
12.（多选）在曲线y＝上且切线的倾斜角为π的点的坐标为（　　）
A.（1，1） B.（－1，－1）
C. D.
13.已知f（x）＝cos x，g（x）＝x，则关于x的不等式f'（x）＋g'（x）≤0的解集为　　　　.
14.如图，设直线l1与曲线y＝相切于点P，直线l2过点P且垂直于l1，若l2交x轴于点Q，又作PK垂直x轴于点K，求KQ的长.
15.已知函数y＝x2（x＞0）的图象在点（ak，）处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N＋，若a1＝16，则a1＋a3＋a5＝　　　　.
16.已知点A，B（2，1），函数f（x）＝log2x.
（1）过坐标原点O作曲线y＝f（x）的切线，求切线方程；
（2）在曲线y＝f（x）上是否存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.
3　导数的计算
1.D　由题意知，y'＝cos x，当x＝0时，y'＝cos 0＝1.设此切线的倾斜角为α，则tan α＝1，∵α∈[0，π），∴α＝.
2.D　'＝－，（sin x）'＝cos x，（3x）'＝3xln 3，（ln x）'＝，故选D.
3.B　∵f'（x）＝3x2，设切点为（x0，y0），则3＝1，得x0＝±，即在点和点处有斜率为1的切线.∴有2条切线.
4.D　f0（x）＝sin x，f1（x）＝f0'（x）＝（sin x）'＝cos x，f2（x）＝f1'（x）＝（cos x）'＝－sin x，f3（x）＝f2'（x）＝（－sin x）'＝－cos x，f4（x）＝f3'（x）＝（－cos x）'＝sin x，所以4为最小正周期.故f2 023（x）＝f3（x）＝－cos x.
5.ABC　若存在互相垂直的切线，则其斜率之积为－1，或一条切线的斜率不存在，另一条切线的斜率为0.A中，f'（x）＝ex＞0，B中f'（x）＝3x2≥0，C中f'（x）＝（x＞0），故A、B、C中均不存在互相垂直的切线方程.而D中f'（x）＝cos x，其可正可负，一定存在使cos x1·cos x2＝－1的情形，故选A、B、C.
6.BCD　A中，f'（x）＝2xln 2，2xln 2＜2x，所以f（x）无“巧值点”，不符合；B中，f'（x）＝，则ln x＝，令g（x）＝ln x－（x＞0），易知g（x）的图象为（0，＋∞）上一条连续不断的曲线，且g（1）＝－1＜0，g（e）＝1－＞0，由函数零点存在定理可知g（x）在（1，e）上必有零点，所以f（x）有“巧值点”，符合；C中，f'（x）＝cos x，由sin x＝cos x得x＝＋kπ，k∈Z，所以f（x）有“巧值点”，符合；D中，f'（x）＝，＝有实数解，所以f（x）有“巧值点”，符合，故选B、C、D.
7.4　解析：因为f'（x）＝，所以f'（α）＝＝，解得α＝4.
8.2x－y－1－ln 2＝0　解析：∵直线2x－y－4＝0的斜率为k＝2，又∵y'＝（ln x）'＝，∴＝2，解得x＝，∴切点的坐标为.故切线方程为y＋ln 2＝2，即2x－y－1－ln 2＝0.
9.y＝（n＋1）x－n　　解析：∵y'＝（n＋1）xn，∴当x＝1时，y'＝n＋1.∴曲线y＝xn＋1（n∈N＋）在点（1，1）处的切线方程为y－1＝（n＋1）（x－1），即y＝（n＋1）x－n.令y＝0得x＝，∴xn＝，∴x1·x2·…·xn＝×××…×＝.
10.解：（1）因为P在曲线y＝cos x上，
所以a＝cos ＝.
（2）因为y'＝－sin x，所以kl＝－sin ＝－.
又因为所求直线与直线l垂直，
所以所求直线的斜率为－＝，
所以所求直线方程为y－＝，
即y＝x－＋.
11.A　因为y'＝cos x，而cos x∈[－1，1].所以直线l的斜率的范围是[－1，1]，所以直线l倾斜角的范围是∪.
12.AB　因为y＝，所以y'＝－，因为切线的倾斜角为π，所以切线斜率为－1，即y'＝－＝－1，所以x＝±1，则当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1，则点的坐标为（1，1）或（－1，－1）.
13.{x｜x＝2kπ＋，k∈Z}　解析：因为f（x）＝cos x，g（x）＝x，所以关于x的不等式f'（x）＋g'（x）≤0为－sin x＋1≤0，得sin x≥1，又因为－1≤sin x≤1，所以sin x＝1，解得x∈{x｜x＝2kπ＋，k∈Z}.
14.解：设P（x0，y0），则＝ .
∵直线l1与l2垂直，则＝－2，
∴直线l2的方程为y－y0＝－2（x－x0）.
∵点P（x0，y0）在曲线y＝上，∴y0＝.
在直线l2的方程中令y＝0，
则－＝－2（x－x0）.∴x＝＋x0，即xQ＝＋x0.
又xK＝x0，∴KQ＝xQ－xK＝＋x0－x0＝.
15.21　解析：∵y'＝2x，∴y＝x2（x＞0）的图象在点（ak，）处的切线方程为y－＝2ak（x－ak）.又该切线与x轴的交点为（ak＋1，0），∴ak＋1＝ak，即数列{ak}是首项为a1＝16，公比为q＝的等比数列，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.
16.解：（1）设切点为（m，log2m）（m＞0）.
因为f（x）＝log2x，所以f'（x）＝.
由题意可得＝，解得m＝e，
所以切线方程为y－log2e＝（x－e），即y＝x.
（2）过点A，B（2，1）的直线的斜率为kAB＝.
假设存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行，设P（n，log2n），≤n≤2，
则有＝，得n＝.
又＝ln ＜ln 2＜ln e＝1，所以＜＜，
所以在曲线y＝f（x）上存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行，且点P的横坐标为.
2 / 2§3　导数的计算
新课程标准解读 核心素养
1.理解并掌握导函数的概念 数学抽象
2.会用导数公式表求常见函数的导数 数学运算
已知函数：
①y＝f（x）＝c；②y＝f（x）＝x；③y＝f（x）＝x2；④y＝f（x）＝；⑤y＝f（x）＝.
【问题】　（1）函数y＝f（x）＝c的导数是什么？
（2）函数②③④⑤的导数分别是什么？
（3）函数②③④⑤均可表示为y＝xα（α为实数）的形式，其导数有何规律？
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　导函数
一般地，如果一个函数y＝f（x）在区间（a，b）的每一点x处都有导数f'（x）＝，那么f'（x）是关于x的函数，称　　　　为y＝f（x）的导函数，也简称为导数.
知识点二　几个常见函数的导数
函数 导数
y＝c（c是常数） 　　　
y＝xα（α是实数） y'＝αxα－1
y＝ax（a＞0，a≠1） y'＝　　　　，特别地（ex）'＝　　　　
y＝logax（a＞0，a≠1） y'＝　　　　，特别地（ln x）'＝　　　　
y＝sin x y'＝　　　
y＝cos x y'＝　　　
y＝tan x y'＝　　　
提醒　应用求导公式时应注意的问题：①函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝等都是幂函数y＝xα（α是实数）的形式，可由（xα）'＝αxα－1快速求导；②对于公式（ln x）'＝和（ex）'＝ex很好记，但对于公式（logax）'＝和（ax）'＝axln a的记忆就较难，特别要注意ln a所在的位置；③对于公式（sin x）'＝cos x，（cos x）'＝－sin x，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.
【想一想】
若y＝c，y＝x和y＝x2都表示路程关于时间的函数，则其导数的物理意义是什么？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若y＝，则y'＝×2＝1.（　　）
（2）若f（x）＝，则f'（x）＝－.（　　）
（3）若f（x）＝5x，则f'（x）＝5xlog5e.（　　）
（4）若y＝sin x，则y'＝cos x.（　　）
2.已知f（x）＝x2，则f'（3）＝（　　）
A.0　　　　　　　　　　 B.2x
C.6 D.9
3.曲线y＝ln x与x轴交点处的切线方程是　　　　.
题型一 利用导数公式求函数的导数
【例1】　求下列函数的导数：（1）y＝－3；（2）y＝x4；（3）y＝2x；（4）y＝log5x；（5）y＝cos.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
求基本初等函数的导数的注意点
（1）若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导；
（2）若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导.
【跟踪训练】
求下列函数的导数：
（1）y＝6x；（2）y＝x2；
（3）y＝cos2－sin2.
题型二 利用导数公式解决与切线有关的问题
角度1　求切线的方程
【例2】　函数y＝在点处的切线方程是（　　）
A.y＝4x　　　　　　 B.y＝－4x＋4
C.y＝4x＋4 D.y＝2x－4
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
求曲线过点P的切线方程的方法
（1）当点P（x0，y0）是切点时，切线方程为y－y0＝f'（x0）·（x－x0）；
（2）当点P（x0，y0）不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P'（x1，f（x1））；
第二步：写出过点P'（x1，f（x1））的切线方程y－f（x1）＝f'（x1）（x－x1）；
第三步：将点P的坐标（x0，y0）代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f（x1）＝f'（x1）·（x－x1）可得过点P（x0，y0）的切线方程.
角度2　求参数值
【例3】　已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝　　　　.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
利用导数的几何意义求参数的基本方法
　　利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围.
角度3　两曲线的公切线问题
【例4】　若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则l的方程为（　　）
A.y＝2x＋1　　　　　　 B.y＝2x＋
C.y＝x＋1 D.y＝x＋
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
解决两曲线的公切线问题的两种方法
（1）利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
（2）设公切线l在y＝f（x）上的切点P1（x1，f（x1）），在y＝g（x）上的切点P2（x2，g（x2）），则f'（x1）＝g'（x2）＝.
【跟踪训练】
函数g（x）＝ln x图象上一点P到直线y＝x的最短距离为　　　　.
1.若f（x）＝sin x，则f'＝（　　）
A.－　　　　　　　 B.－
C. D.
2.曲线y＝ex在点A（0，1）处的切线斜率为（　　）
A.1 B.2
C.e D.
3.对任意的x，有f'（x）＝4x3，f（1）＝－1，则函数f（x）的解析式为（　　）
A.f（x）＝x3 B.f（x）＝x4－2
C.f（x）＝x3＋1 D.f（x）＝x4－1
4.（多选）下列结论正确的是（　　）
A.若y＝3，则y'＝0
B.若y＝，则y'＝－
C.若y＝，则y'＝
D.若y＝x，则y'＝1
5.曲线y＝ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为　　　　.
3　导数的计算
【基础知识·重落实】
知识点一
f'（x）
知识点二
y'＝0　axln a　ex　　　cos x　－sin x　
想一想
　提示：若y＝c表示路程关于时间的函数，则y'＝0可以解释为某物体的速度始终为0，即物体一直处于静止状态；若y＝x表示路程关于时间的函数，则y'＝1可以解释为某物体做速度为1的匀速运动；若y＝x2表示路程关于时间的函数，则y'＝2x可以解释为某物体做变速运动，它在x时刻的瞬时速度为2x.
自我诊断
1.（1）×　（2）√　（3）×　（4）√
2.C　∵f（x）＝x2，∴f'（x）＝2x，∴f'（3）＝6.
3.y＝x－1　解析：易知曲线y＝ln x与x轴的交点为（1，0），∵y'＝，当x＝1时，可得切线的斜率为1，∴切线方程为y＝x－1.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）y'＝（－3）'＝0.（2）y'＝（x4）'＝4x3.
（3）y'＝（2x）'＝2xln 2.（4）y'＝（log5x）'＝.
（5）y'＝'＝（sin x）'＝cos x.
跟踪训练
　解：（1）y'＝（6x）'＝6xln 6.
（2）y'＝（x2）'＝'＝＝.
（3）∵y＝cos2－sin2＝cos x，
∴y'＝（cos x）'＝－sin x.
【例2】　B　∵y'＝'＝－x－2，
∴k＝－＝－4，
∴切线方程为y－2＝－4，即y＝－4x＋4.
【例3】　　解析：设切点坐标为（x0，y0），由题意得y'＝，所以k＝，又y0＝kx0，而且y0＝ln x0，从而可得x0＝e，y0＝1，则k＝.
【例4】　D　易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，则＝　①，设直线l与曲线y＝的切点坐标为（x0，）（x0＞0），则y'＝，k＝　②，＝kx0＋b　③，由②③可得b＝，将b＝，k＝代入①得x0＝1或x0＝－（舍去），所以k＝b＝，故直线l的方程为y＝x＋.
跟踪训练
　　解析：设与直线y＝x平行且与曲线g（x）＝ln x相切的直线的切点坐标为（x0，ln x0），∵g'（x）＝（ln x）'＝，则1＝，∴x0＝1，则切点坐标为（1，0），∴最短距离为点（1，0）到直线y＝x的距离，即为＝.
随堂检测
1.D　f'（x）＝cos x，f'＝cos＝.
2.A　由条件得y'＝ex，根据导数的几何意义，可得当x＝0时，k＝e0＝1.
3.B　由f'（x）＝4x3知f（x）中含有x4项，然后将x＝1代入选项中验证可得f（x）＝x4－2.故选B.
4.ACD　只有B是错误的.因为y'＝'＝'＝－＝－.
5.e2　解析：∵y'＝（ex）'＝ex，∴曲线在点（2，e2）处的切线斜率为k＝e2，∴曲线在点（2，e2）处的切线方程为y－e2＝e2（x－2），即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.∴S＝×1×＝e2.
3 / 4(共53张PPT)
§3　导数的计算
新课程标准解读 核心素养
1.理解并掌握导函数的概念 数学抽象
2.会用导数公式表求常见函数的导数 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
已知函数：
① y ＝ f （ x ）＝ c ；② y ＝ f （ x ）＝ x ；③ y ＝ f （ x ）＝ x2；
④ y ＝ f （ x ）＝ ；⑤ y ＝ f （ x ）＝ .
【问题】　（1）函数 y ＝ f （ x ）＝ c 的导数是什么？
（2）函数②③④⑤的导数分别是什么？
（3）函数②③④⑤均可表示为 y ＝ xα（α为实数）的形式，其导数
有何规律？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知识点一　导函数
一般地，如果一个函数 y ＝ f （ x ）在区间（ a ， b ）的每一点 x 处都有
导数f'（ x ）＝ ，那么f'（ x ）是关于 x 的函数，
称 为 y ＝ f （ x ）的导函数，也简称为导数.
f'（ x ）　
知识点二　几个常见函数的导数
函数 导数
y ＝ c （ c 是常数）
y ＝ xα（α是实数） y'＝α xα－1
y ＝ ax （ a ＞0， a ≠1） y'＝ ，特别地（e x ）'
＝
y ＝log ax （ a ＞0， a ≠1） y'＝ ，特别地（ln x ）'
＝
y'＝0　
ax ln a 　
e x 　
　
　
函数 导数
y ＝ sin x y'＝
y ＝ cos x y'＝
y ＝tan x y'＝
cos x 　
－ sin x 　
　
提醒　应用求导公式时应注意的问题：①函数 y ＝ x ， y ＝ x2， y ＝
x3， y ＝ ， y ＝ 等都是幂函数 y ＝ xα（α是实数）的形式，可由
（ xα）'＝α xα－1快速求导；②对于公式（ln x ）'＝ 和（e x ）'＝e x 很
好记，但对于公式（log ax ）'＝ 和（ ax ）'＝ ax ln a 的记忆就较难，
特别要注意ln a 所在的位置；③对于公式（ sin x ）'＝ cos x ，（ cos
x ）'＝－ sin x ，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.
【想一想】
若 y ＝ c ， y ＝ x 和 y ＝ x2都表示路程关于时间的函数，则其导数的物
理意义是什么？
提示：若 y ＝ c 表示路程关于时间的函数，则y'＝0可以解释为某物体
的速度始终为0，即物体一直处于静止状态；若 y ＝ x 表示路程关于时
间的函数，则y'＝1可以解释为某物体做速度为1的匀速运动；若 y ＝ x2
表示路程关于时间的函数，则y'＝2 x 可以解释为某物体做变速运动，
它在 x 时刻的瞬时速度为2 x .
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若 y ＝ ，则y'＝ ×2＝1. （　×　）
（2）若 f （ x ）＝ ，则f'（ x ）＝－ . （　√　）
（3）若 f （ x ）＝5 x ，则f'（ x ）＝5 x log5e. （　×　）
（4）若 y ＝ sin x ，则y'＝ cos x . （　√　）
×
√
×
√
2. 已知 f （ x ）＝ x2，则f'（3）＝（　　）
A. 0 B. 2 x
C. 6 D. 9
解析： 　∵ f （ x ）＝ x2，∴f'（ x ）＝2 x ，∴f'（3）＝6.
3. 曲线 y ＝ln x 与 x 轴交点处的切线方程是 .
解析：易知曲线 y ＝ln x 与 x 轴的交点为（1，0），∵y'＝ ，当 x ＝
1时，可得切线的斜率为1，∴切线方程为 y ＝ x －1.
y ＝ x －1
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用导数公式求函数的导数
【例1】　求下列函数的导数：（1） y ＝－3；（2） y ＝ x4；（3） y
＝2 x ；（4） y ＝log5 x ；（5） y ＝ cos .
解：（1）y'＝（－3）'＝0.
（2）y'＝（ x4）'＝4 x3.
（3）y'＝（2 x ）'＝2 x ln 2.
（4）y'＝（log5 x ）'＝ .
（5）y'＝ '＝（ sin x ）'＝ cos x .
通性通法
求基本初等函数的导数的注意点
（1）若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利
用公式求导；
（2）若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过
恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数
幂的形式求导.
【跟踪训练】
求下列函数的导数：
（1） y ＝6 x ；（2） y ＝ x2 ；
（3） y ＝ cos 2 － sin 2 .
解：（1）y'＝（6 x ）'＝6 x ln 6.
（2）y'＝（ x2 ）'＝ '＝ ＝ .
（3）∵ y ＝ cos 2 － sin 2 ＝ cos x ，
∴y'＝（ cos x ）'＝－ sin x .
题型二 利用导数公式解决与切线有关的问题
角度1　求切线的方程
【例2】　函数 y ＝ 在点 处的切线方程是（　　）
A. y ＝4 x B. y ＝－4 x ＋4
C. y ＝4 x ＋4 D. y ＝2 x －4
解析： 　∵y'＝ '＝－ x－2，∴ k ＝－ ＝－4，∴切线方程为 y
－2＝－4 ，即 y ＝－4 x ＋4.
通性通法
求曲线过点 P 的切线方程的方法
（1）当点 P （ x0， y0）是切点时，切线方程为 y － y0＝f'（ x0）·（ x －
x0）；
（2）当点 P （ x0， y0）不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P'（ x1， f （ x1））；
第二步：写出过点P'（ x1， f （ x1））的切线方程 y － f （ x1）＝f'
（ x1）（ x － x1）；
第三步：将点 P 的坐标（ x0， y0）代入切线方程求出 x1；
第四步：将 x1的值代入方程 y － f （ x1）＝f'（ x1）·（ x － x1）可
得过点 P （ x0， y0）的切线方程.
角度2　求参数值

解析：设切点坐标为（ x0， y0），由题意得y'＝ ，
所以 k ＝ ，又 y0＝ kx0，而且 y0＝ln x0，
从而可得 x0＝e， y0＝1，则 k ＝ .

通性通法
利用导数的几何意义求参数的基本方法
　　利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数
的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值
或取值范围.
角度3　两曲线的公切线问题
【例4】　若直线 l 与曲线 y ＝ 和圆 x2＋ y2＝ 都相切，则 l 的方程为
（　　）
A. y ＝2 x ＋1
解析： 　易知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ b ，则
＝ 　①，设直线 l 与曲线 y ＝ 的切点坐标为（ x0， ）
（ x0＞0），则y'＝ ， k ＝ 　②， ＝ kx0＋ b 　③，由②
③可得 b ＝ ，将 b ＝ ， k ＝ 代入①得 x0＝1或 x0＝－
（舍去），所以 k ＝ b ＝ ，故直线 l 的方程为 y ＝ x ＋ .
通性通法
解决两曲线的公切线问题的两种方法
（1）利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式
求解；
（2）设公切线 l 在 y ＝ f （ x ）上的切点 P1（ x1， f （ x1）），在 y ＝ g
（ x ）上的切点 P2（ x2， g （ x2）），则f'（ x1）＝g'（ x2）＝
.


解析：设与直线 y ＝ x 平行且与曲线 g （ x ）＝ln x 相切的直线的切点
坐标为（ x0，ln x0），∵g'（ x ）＝（ln x ）'＝ ，
则1＝ ，∴ x0＝1，则切点坐标为（1，0），
∴最短距离为点（1，0）到直线 y ＝ x 的距离，
即为 ＝ .
1. 若 f （ x ）＝ sin x ，则f' ＝（　　）
解析： 　f'（ x ）＝ cos x ，f' ＝ cos ＝ .
2. 曲线 y ＝e x 在点 A （0，1）处的切线斜率为（　　）
A. 1 B. 2
C. e
解析： 　由条件得y'＝e x ，根据导数的几何意义，可得当 x ＝0
时， k ＝e0＝1.
3. 对任意的 x ，有f'（ x ）＝4 x3， f （1）＝－1，则函数 f （ x ）的解析
式为（　　）
A. f （ x ）＝ x3 B. f （ x ）＝ x4－2
C. f （ x ）＝ x3＋1 D. f （ x ）＝ x4－1
解析： 　由f'（ x ）＝4 x3知 f （ x ）中含有 x4项，然后将 x ＝1代入
选项中验证可得 f （ x ）＝ x4－2.故选B.
4. （多选）下列结论正确的是（　　）
A. 若 y ＝3，则y'＝0
D. 若 y ＝ x ，则y'＝1
解析： 　只有B是错误的.因为y'＝ '＝ '＝－ ＝
－ .

解析：∵y'＝（e x ）'＝e x ，∴曲线在点（2，e2）处的切线斜率为 k
＝e2，∴曲线在点（2，e2）处的切线方程为 y －e2＝e2（ x －2），
即 y ＝e2 x －e2.当 x ＝0时， y ＝－e2，当 y ＝0时， x ＝1.∴ S ＝
×1× ＝ e2.
e2
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 曲线 y ＝ sin x 在 x ＝0处的切线的倾斜角是（　　）
解析： 　由题意知，y'＝ cos x ，当 x ＝0时，y'＝ cos 0＝1.设此切
线的倾斜角为α，则tan α＝1，∵α∈[0，π），∴α＝ .
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2. 下列导数运算正确的是（　　）
B. （ sin x ）'＝－ cos x
C. （3 x ）'＝3 x
解析： 　 '＝－ ，（ sin x ）'＝ cos x ，（3 x ）'＝3 x ln 3，（ln
x ）'＝ ，故选D.
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3. 函数 f （ x ）＝ x3的斜率等于1的切线有（　　）
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 不确定
解析： 　∵f'（ x ）＝3 x2，设切点为（ x0， y0），则3 ＝1，得
x0＝± ，即在点 和点 处有斜率为1的切
线.∴有2条切线.
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4. 设 f0（ x ）＝ sin x ， f1（ x ）＝ f0'（ x ）， f2（ x ）＝ f1'（ x ），…，
fn＋1（ x ）＝ fn '（ x ）， n ∈N，则 f2 023（ x ）＝（　　）
A. sin x B. － sin x
C. cos x D. － cos x
解析： 　 f0（ x ）＝ sin x ， f1（ x ）＝ f0'（ x ）＝（ sin x ）'＝ cos
x ， f2（ x ）＝ f1'（ x ）＝（ cos x ）'＝－ sin x ， f3（ x ）＝ f2'（ x ）
＝（－ sin x ）'＝－ cos x ， f4（ x ）＝ f3'（ x ）＝（－ cos x ）'＝ sin
x ，所以4为最小正周期.故 f2 023（ x ）＝ f3（ x ）＝－ cos x .
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5. （多选）下列曲线的切线中，不存在互相垂直的切线的曲线是
（　　）
A. f （ x ）＝e x B. f （ x ）＝ x3
C. f （ x ）＝ln x D. f （ x ）＝ sin x
解析：ABC　若存在互相垂直的切线，则其斜率之积为－1，或一
条切线的斜率不存在，另一条切线的斜率为0.A中，f'（ x ）＝e x ＞
0，B中f'（ x ）＝3 x2≥0，C中f'（ x ）＝ （ x ＞0），故A、B、C
中均不存在互相垂直的切线方程.而D中f'（ x ）＝ cos x ，其可正可
负，一定存在使 cos x1· cos x2＝－1的情形，故选A、B、C.
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6. （多选）已知函数 f （ x ）的导数为f'（ x ），若存在 x0使得 f （ x0）
＝f'（ x0），则称 x0是 f （ x ）的一个“巧值点”，下列函数中有
“巧值点”的函数是（　　）
A. f （ x ）＝2 x B. f （ x ）＝ln x
C. f （ x ）＝ sin x
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解析： 　A中，f'（ x ）＝2 x ln 2，2 x ln 2＜2 x ，所以 f （ x ）无
“巧值点”，不符合；B中，f'（ x ）＝ ，则ln x ＝ ，令 g （ x ）
＝ln x － （ x ＞0），易知 g （ x ）的图象为（0，＋∞）上一条连
续不断的曲线，且 g （1）＝－1＜0， g （e）＝1－ ＞0，由函数
零点存在定理可知 g （ x ）在（1，e）上必有零点，所以 f （ x ）有
“巧值点”，符合；C中，f'（ x ）＝ cos x ，由 sin x ＝ cos x 得 x ＝
＋ k π， k ∈Z，所以 f （ x ）有“巧值点”，符合；
D中，f'（ x ）＝ ， ＝ 有实数解，所以 f （ x ）有“巧值点”，
符合，故选B、C、D.
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7. 若 f （ x ）＝ ，且f'（α）＝ ，则α＝ .
解析：因为f'（ x ）＝ ，所以f'（α）＝ ＝ ，解得α＝4.
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8. 与直线2 x － y －4＝0平行且与曲线 y ＝ln x 相切的直线方程是
.
解析：∵直线2 x － y －4＝0的斜率为 k ＝2，又∵y'＝（ln x ）'＝
，∴ ＝2，解得 x ＝ ，∴切点的坐标为 .故切线方程为
y ＋ln 2＝2 ，即2 x － y －1－ln 2＝0.
2 x
－ y －1－ln 2＝0
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解析：∵y'＝（ n ＋1） xn ，∴当 x ＝1时，y'＝ n ＋1.∴曲线 y ＝ xn＋
1（ n ∈N＋）在点（1，1）处的切线方程为 y －1＝（ n ＋1）（ x －
1），即 y ＝（ n ＋1） x － n .令 y ＝0得 x ＝ ，∴ xn ＝ ，
∴ x1· x2·…· xn ＝ × × ×…× ＝ .
y ＝（ n
＋1） x － n

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10. 已知点 P 在曲线 y ＝ cos x 上，直线 l 是以点 P 为切点
的切线.
（1）求 a 的值；
解： 因为 P 在曲线 y ＝ cos x 上，
所以 a ＝ cos ＝ .
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（2）求过点 P 与直线 l 垂直的直线方程.
解： 因为y'＝－ sin x ，所以 kl ＝－ sin ＝－ .
又因为所求直线与直线 l 垂直，
所以所求直线的斜率为－ ＝ ，
所以所求直线方程为 y － ＝ ，
即 y ＝ x － ＋ .
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11. 正弦曲线 y ＝ sin x 上一点 P ，以点 P 为切点的切线为直线 l ，则直
线 l 的倾斜角的范围是（　　）
B. [0，π）
解析：A　因为y'＝ cos x ，而 cos x ∈[－1，1].所以直线 l 的斜率
的范围是[－1，1]，所以直线 l 倾斜角的范围是 ∪ .
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12. （多选）在曲线 y ＝ 上且切线的倾斜角为 π的点的坐标为
（　　）
A. （1，1） B. （－1，－1）
解析： 　因为 y ＝ ，所以y'＝－ ，因为切线的倾斜角为
π，所以切线斜率为－1，即y'＝－ ＝－1，所以 x ＝±1，则当 x
＝1时， y ＝1；当 x ＝－1时， y ＝－1，则点的坐标为（1，1）或
（－1，－1）.
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解析：因为 f （ x ）＝ cos x ， g （ x ）＝ x ，所以关于 x 的不等式f'
（ x ）＋g'（ x ）≤0为－ sin x ＋1≤0，得 sin x ≥1，又因为－1≤
sin x ≤1，所以 sin x ＝1，解得 x ∈{ x ｜ x ＝2 k π＋ ， k ∈Z}.
{ x ｜ x ＝2 k π＋ ， k ∈Z}
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14. 如图，设直线 l1与曲线 y ＝ 相切于点 P ，直线 l2过点 P 且垂直于 l1，若 l2交 x 轴于点 Q ，又作 PK 垂直 x 轴于点 K ，求 KQ 的长.
解：设 P （ x0， y0），则 ＝ .
∵直线 l1与 l2垂直，则 ＝－2 ，
∴直线 l2的方程为 y － y0＝－2 （ x － x0）.
∵点 P （ x0， y0）在曲线 y ＝ 上，∴ y0＝ .
在直线 l2的方程中令 y ＝0，则－ ＝－2 （ x － x0）.
∴ x ＝ ＋ x0，即 xQ ＝ ＋ x0.
又 xK ＝ x0，∴ KQ ＝ xQ － xK ＝ ＋ x0－ x0＝ .
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15. 已知函数 y ＝ x2（ x ＞0）的图象在点（ ak ， ）处的切线与 x 轴
交点的横坐标为 ak＋1，其中 k ∈N＋，若 a1＝16，则 a1＋ a3＋ a5
＝ .
解析：∵y'＝2 x ，∴ y ＝ x2（ x ＞0）的图象在点（ ak ， ）处的
切线方程为 y － ＝2 ak （ x － ak ）.又该切线与 x 轴的交点为（ ak
＋1，0），∴ ak＋1＝ ak ，即数列{ ak }是首项为 a1＝16，公比为 q
＝ 的等比数列，∴ a3＝4， a5＝1，∴ a1＋ a3＋ a5＝21.
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16. 已知点 A ， B （2，1），函数 f （ x ）＝log2 x .
（1）过坐标原点 O 作曲线 y ＝ f （ x ）的切线，求切线方程；
解： 设切点为（ m ，log2 m ）（ m ＞0）.
因为 f （ x ）＝log2 x ，所以f'（ x ）＝ .
由题意可得 ＝ ，解得 m ＝e，
所以切线方程为 y －log2e＝ （ x －e），
即 y ＝ x .
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（2）在曲线 y ＝ f （ x ） 上是否存在点 P ，使得过点 P
的切线与直线 AB 平行？若存在，求出点 P 的横坐标；若不
存在，请说明理由.
解： 过点 A ， B （2，1）的直线的斜率为 kAB ＝ .
假设存在点 P ，使得过点 P 的切线与直线 AB 平行，设 P
（ n ，log2 n ）， ≤ n ≤2，则有 ＝ ，得 n ＝ .
又 ＝ln ＜ln 2＜ln e＝1，所以 ＜ ＜ ，
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所以在曲线 y ＝ f （ x ） 上存在点 P ，使得过点 P 的切线与
直线 AB 平行，且点 P 的横坐标为 .
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