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4.1　导数的加法与减法法则
1.曲线f（x）＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为（　　）
A.　 B.
C. D.
2.若函数f（x）＝ax4＋bx2＋c满足f'（1）＝2，则f'（－1）＝（　　）
A.－1 B.－2
C.2 D.0
3.若f（x）＝x2－2x－4ln x，则f'（x）＞0的解集为（　　）
A.（0，＋∞） B.（－1，0）∪（2，＋∞）
C.（2，＋∞） D.（－1，0）
4.已知函数f（x）＝x＋sin x＋1，其导函数记为f'（x），则f（2 024）＋f'（2 024）＋f（－2 024）－f'（－2 024）＝（　　）
A.2 024 B.2
C.1 D.0
5.（多选）过点P（2，－6）作曲线f（x）＝x3－3x的切线，则切线方程为（　　）
A.3x＋y＝0 B.24x－y－54＝0
C.3x－y＝0 D.24x－y＋54＝0
6.（多选）若存在过点（1，0）的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则实数a的值为（　　）
A.－ B.－1
C.－ D.7
7.曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的所有切线中，斜率最小的切线方程为　　　　.
8.已知某物体的运动方程为s（t）＝＋2t2（位移单位：m，时间单位：s），则t＝1 s时物体的瞬时速度为　　　　m/s.
9.已知抛物线y＝ax2＋bx－7经过点（1，1），且过点（1，1）的切线方程为4x－y－3＝0，则a，b的值分别为　　　　.
10.已知曲线f（x）＝x3＋ax＋b在点P（2，－6）处的切线方程是13x－y－32＝0.
（1）求a，b的值；
（2）如果曲线y＝f（x）的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程.
11.已知f（x）＝x2＋sin，f'（x）为f（x）的导函数，则f'（x）的大致图象是（　　）
12.（多选）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx的导函数为f'（x），则（　　）
A.若f（x）为奇函数，则f'（x）为偶函数
B.若f'（0）＝0，则f（x）为奇函数
C.若f'（x）的最小值为0，则a2＝3b
D.若f'（x）为偶函数，则f（x）为奇函数
13.如图中有一个图象是函数f（x）＝x3＋ax2＋（a2－1）x＋1（a∈R，且a≠0）的导函数的图象，则f（－1）＝　　　　.
14.已知函数f（x）＝x3－2x2＋3x（x∈R）的图象为曲线C.
（1）求曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围；
（2）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.
15.对于三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），给出定义：设f'（x）是函数y＝f（x）的导数，f″（x）是f'（x）的导数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.请你根据这一发现判断函数f（x）＝x3－x2＋3x－的对称中心为（　　）
A. B.
C. D.
16.已知函数f（x）＝x－，g（x）＝a（2－ln x）.
（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在x＝1处的切线的斜率相同，求a的值；
（2）若存在一点，使得曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在该点处的切线的斜率相同，求实数a的取值范围.
4.1　导数的加法与减法法则
1.B　因为f'（x）＝x2－2x，k＝f'（1）＝－1，所以在x＝1处的切线的倾斜角为.
2.B　f'（x）＝4ax3＋2bx，f'（x）是奇函数，故f'（－1）＝－f'（1）＝－2.
3.C　∵f（x）＝x2－2x－4ln x，∴f'（x）＝2x－2－.令f'（x）＞0，整理得＞0，解得－1＜x＜0或x＞2.又x＞0，∴x＞2.
4.B　因为f'（x）＝1＋cos x，所以f'（x）为偶函数，所以f'（2 024）－f'（－2 024）＝f'（2 024）－f'（2 024）＝0，所以原式＝f（2 024）＋f（－2 024）＝2 024＋sin 2 024＋1＋（－2 024－sin 2 024＋1）＝2.故选B.
5.AB　易知点P（2，－6）不在曲线上，设切点为（m，m3－3m），f（x）＝x3－3x的导数为f'（x）＝3x2－3，则切线斜率k＝3m2－3，由点斜式方程可得切线方程为y－m3＋3m＝（3m2－3）（x－m），将点P（2，－6）代入可得－6－m3＋3m＝（3m2－3）（2－m），解得m＝0或m＝3.当m＝0时，切线方程为3x＋y＝0；当m＝3时，切线方程为24x－y－54＝0.
6.BC　设过点（1，0）的直线与曲线y＝x3相切于点（x0，y0），则切线方程为y－＝3（x－x0），即y＝3x－2，又点（1，0）在切线上，故3－2＝0，即x0＝0或x0＝.当x0＝0时，切线方程为y＝0，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切得a＝－.当x0＝时，切线方程为y＝x－，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切得a＝－1.故选B、C.
7.3x－y－11＝0　解析：∵y'＝3x2＋6x＋6＝3（x2＋2x＋2）＝3（x＋1）2＋3≥3，∴当x＝－1时，y'最小，即此时切线的斜率最小，此时切点为（－1，－14），∴切线方程为y＋14＝3（x＋1），即3x－y－11＝0.
8.5　解析：因为s（t）＝＋2t2＝－＋2t2，所以s'（t）＝－＋2·＋4t，所以s'（1）＝－1＋2＋4＝5，即物体在t＝1 s时的瞬时速度为5 m/s.
9.－4，12　解析：由于抛物线y＝ax2＋bx－7经过点（1，1），∴1＝a＋b－7，即a＋b－8＝0，　①
又经过点（1，1）的抛物线的切线方程为4x－y－3＝0，∴经过该点的抛物线的切线斜率为4.∵y'＝（ax2＋bx－7）'＝2ax＋b，∴2a＋b－4＝0.　②
由①②解得a＝－4，b＝12.
10.解：（1）∵f（x）＝x3＋ax＋b的导数f'（x）＝3x2＋a，由题意可得f'（2）＝12＋a＝13，f（2）＝8＋2a＋b＝－6，解得a＝1，b＝－16.
（2）∵切线与直线y＝－x＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为（x0，y0），则f'（x0）＝3＋1＝4，∴x0＝±1.
由f（x）＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，或y0＝－1－1－16＝－18.
则切线方程为y＝4（x－1）－14或y＝4（x＋1）－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
11.A　∵f（x）＝x2＋sin＝x2＋cos x，∴f'（x）＝x－sin x.易知f'（x）＝x－sin x是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B、D.由f'＝－＜0，排除C，故选A.
12.ACD　由题意得，对于选项A，若f（x）为奇函数，f（－x）＝－f（x），则－x3＋ax2－bx＝－x3－ax2－bx，故a＝0，又因为f'（x）＝3x2＋b，f'（－x）＝f'（x），所以f'（x）为偶函数，故A正确；对于选项B，若f'（0）＝0，又因为f'（x）＝3x2＋2ax＋b，则b＝0，故f（x）＝x3＋ax2，f（－x）＝－x3＋ax2，当a＝0时，f（－x）＝－f（x），f（x）是奇函数，当a≠0时，f（－x）≠－f（x），f（x）不是奇函数，所以f（x）不一定是奇函数，故B错误；对于选项C，若f'（x）的最小值为0，f'（x）＝3x2＋2ax＋b＝3（ x＋）2－＋b，所以f'（x）min＝－＋b＝0，则a2＝3b，故C正确；对于选项D，若f'（x）为偶函数，f'（x）＝3x2＋2ax＋b，f'（－x）＝3x2－2ax＋b，由f'（－x）＝f'（x），解得a＝0，故f（x）＝x3＋bx，f（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数，故D正确.
13.－　解析：f'（x）＝x2＋2ax＋a2－1＝[x＋（a＋1）][x＋（a－1）]，图①与图②中的图象的对称轴都是y轴，此时a＝0，与题设不符合，故图③中的图象是函数f（x）的导函数的图象.由图③知f'（0）＝0，由根与系数的关系得解得a＝－1.故f（x）＝x3－x2＋1，所以f（－1）＝－.
14.解：（1）由题意得f'（x）＝x2－4x＋3，
则f'（x）＝（x－2）2－1≥－1，
即曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围是[－1，＋∞）.
（2）设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由条件和（1）中结论可知，解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，
得x∈（－∞，2－ ]∪（1，3）∪[2＋，＋∞）.
15.A　依题意，得f'（x）＝x2－x＋3，∴f″（x）＝2x－1，由f″（x）＝0，即2x－1＝0，得x＝，又f＝1，∴函数f（x）＝x3－x2＋3x－的对称中心为.故选A.
16.解：（1）f'（x）＝1＋，g'（x）＝－，
所以曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为f'（1）＝3，曲线y＝g（x）在x＝1处的切线的斜率为g'（1）＝－a，由已知，得f'（1）＝g'（1），得a＝－3.
（2）由题意，得1＋＝－（x＞0），
则a＝－x－≤－2，
当且仅当x＝时，等号成立，
故实数a的取值范围为（－∞，－2 ].
2 / 24.1　导数的加法与减法法则
新课程标准解读 核心素养
能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的加法与减法法则，求简单函数的导数 数学运算
高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷.设一高铁走过的路程s（单位：m）关于时间t（单位：s）的函数为s＝f（t），求它的瞬时速度，就是求f（t）的导数.根据导数的定义，就是求当Δt→0时，所趋近的那个定值.这类运算比较复杂，而且有的函数，如y＝sin x＋x很难运用定义求导数.
【问题】　是否有更简便的求导数的方法呢？
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
知识点　导数的加法与减法法则
知识点要素 梳理知识
导数的加法 与减法法则 两个函数和（或差）的导数等于这两个函数导数的和（或差）
表达式 [f（x）±g（x）]'＝f'（x）±g'（x）
提醒　（1）特别地，若f（x）＝2g（x）＝g（x）＋g（x），则f'（x）＝（2g（x））'＝（g（x）＋g（x））'＝g'（x）＋g'（x）＝2g'（x），即f（x）＝kg（x）（k为常数），f'（x）＝kg'（x）；（2）导数和（差）的求导法则可推广到任意有限个函数的和（差）的导数，即[u（x）±v（x）±…±w（x）]'＝u'（x）±v'（x）±…±w'（x）.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）'＝ex.（　　）
（2）函数f（x）＝x2＋x的导数是f'（x）＝x＋1.（　　）
（3）函数f（x）＝sin x－cos x的导数是f'（x）＝cos x＋sin x.（　　）
（4）函数f（x）＝2ln x，则f'（x）＝.（　　）
2.函数f（x）＝x＋的导数f'（x）＝（　　）
A.1－　　　　　　 B.1－
C.1＋ D.1＋
3.设f（x）＝x3＋ax2－2x＋b，若f'（1）＝4，则a＝　　　　.
题型一 利用导数加法、减法法则求导
【例1】　求下列函数的导数：
（1）y＝－x4＋3x3；
（2）y＝（2x2－1）（3x＋1）；
（3）y＝x（x＋1）（x2－x＋1）；
（4）y＝＋ln x－sin x.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
　　对于能转化为和、差运算的求导问题，应先将函数结构化简为和、差结构再利用加法、减法法则求导.
【跟踪训练】
1.函数f（x）＝（x－a）（x－b）在x＝a处的导数为（　　）
A.ab　　　　　　　　 B.－a（a－b）
C.0 D.a－b
2.已知f（x）＝x2＋2xf'（1），求f'（0）的值.
题型二 求导法则的逆向应用
【例2】　已知f'（x）是一次函数，x2·f'（x）－（2x－1）·f（x）＝1对一切x∈R恒成立，求f（x）的解析式.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
　　求导法则的逆向应用，其实质就是待定系数法.先设出含字母系数的函数模型，然后利用已知条件解出所设未知的字母系数，进而将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx的图象过点（1，5），其导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式为　　　　.
题型三 求导法则在导数几何意义中的应用
【例3】　已知函数f（x）＝ax3－x2－x＋b（a，b∈R，a≠0），g（x）＝ex，f（x）的图象在x＝－处的切线方程为y＝x＋.
（1）求a，b的值；
（2）直线y＝x＋是否与函数g（x）的图象相切？若相切，求出切点的坐标；若不相切，请说明理由.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
　　对于由某些基本初等函数的和（差）所构成的初等函数f（x），求解与曲线的切线有关的问题时，正确求出f'（x）是解题的关键，利用导数的加（减）法法则时应注意先化简再求导.
【跟踪训练】
设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式l（t）＝3t2－t.当运动员的滑雪路程为46 m时，此时的滑雪速度为　　　 m/s.
1.函数y＝（＋1）（－1）的导数等于（　　）
A.1　　　B.－　　C.　　D.－
2.已知函数f（x）＝ex＋ax，若f'（0）＝2，则实数a的值为（　　）
A.－1 B.0 C.1 D.2
3.（多选）下列导数运算正确的是（　　）
A.（x2－2x＋3）'＝2x－2
B.（sin x＋cos x）'＝sin x－cos x
C.（x－1＋ln x）'＝（x－1）x－2
D.'＝
4.已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝　　　　.
5.求下列函数的导数：
（1）y＝x3－x2－x＋3；
（2）y＝＋.
4.1　导数的加法与减法法则
【基础知识·重落实】
自我诊断
1.（1）√　（2）√　（3）√　（4）×
2.A　f'（x）＝'＝x'＋'＝1－.
3.　解析：f'（x）＝3x2＋2ax－2，故f'（1）＝3＋2a－2＝4，解得a＝.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）y'＝（－x4＋3x3）'＝（－x4）'＋（3x3）'
＝－4x3＋9x2.
（2）先将乘积形式转化为和差形式，
y＝（2x2－1）（3x＋1）＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y'＝（6x3＋2x2－3x－1）'＝18x2＋4x－3.
（3）利用立方和公式转化，
y＝x（x＋1）（x2－x＋1）＝x（x3＋1）＝x4＋x，
∴y'＝4x3＋1.
（4）先将根式化幂的形式，
y＝＋ln x－sin x＝＋ln x－sin x，
∴y'＝－＋－cos x.
跟踪训练
1.D　∵f（x）＝（x－a）（x－b）＝x2－（a＋b）x＋ab，∴f'（x）＝2x－（a＋b），∴f'（a）＝2a－（a＋b）＝a－b，故选D.
2.解：∵f'（x）＝2x＋2f'（1），∴f'（1）＝2＋2f'（1），即f'（1）＝－2，∴f'（0）＝2f'（1）＝－4.
【例2】　解：由f'（x）为一次函数可知，f（x）为二次函数，设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则f'（x）＝2ax＋b，把f（x），f'（x）代入关于x的方程得x2（2ax＋b）－（2x－1）·（ax2＋bx＋c）＝1，即（a－b）x2＋（b－2c）x＋c－1＝0，
又该方程对一切x∈R恒成立，
所以解得
所以f（x）＝2x2＋2x＋1.
跟踪训练
　f（x）＝2x3－9x2＋12x　解析：因为f'（x）＝3ax2＋2bx＋c，f'（1）＝0，f'（2）＝0，f（1）＝5，
所以解得故函数f（x）的解析式是f（x）＝2x3－9x2＋12x.
【例3】　解：（1）f'（x）＝3ax2－2x－1.
∵f（x）的图象在x＝－处的切线方程为y＝x＋，
∴f'＝，即3a·＋1－1＝，解得a＝1，
又f（x）的图象过点，
∴－－＋b＝，解得b＝.
综上，a＝1，b＝.
（2）设直线y＝x＋与函数g（x）的图象相切于点A（x0，y0）.
∵g'（x）＝ex，∴g'（x0）＝＝，解得x0＝－，
将x0＝－代入g（x）＝ex，得点A的坐标是，∴切线方程为y－＝，化简得y＝x＋，故直线y＝x＋与函数g（x）的图象相切，切点坐标是.
跟踪训练
　　解析：由题意得3t2－t＝46，解得t＝4或t＝－（舍去），因为l'（t）＝6t－，所以l'（4）＝6×4－＝，当运动员的滑雪路程为46 m时，此时的滑雪速度为 m/s.
随堂检测
1.A　因为y＝（＋1）（－1）＝x－1，所以y'＝x'－1'＝1.
2.C　f'（x）＝ex＋a，故f'（0）＝1＋a＝2，所以a＝1.
3.ACD　 （x2－2x＋3）'＝2x－2，A正确.（sin x＋cos x）'＝cos x－sin x，B错误.（x－1＋ln x）'＝－x－2＋＝（x－1）x－2，C正确.'＝'＝，D正确.
4.1　解析：由题知y'1＝，y'2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为，3－2x0＋2，所以＝3，所以x0＝1.
5.解：（1）y'＝（x3－x2－x＋3）'＝（x3）'－（x2）'－x'＋3'＝3x2－2x－1.
（2）因为y＝2x－2＋3x－3，
所以y'＝（2x－2＋3x－3）'＝（2x－2）'＋（3x－3）'＝－4x－3－9x－4＝－－.
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4.1　
导数的加法与减法法则
新课程标准解读 核心素养
能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的加法与减法法则，求简单函数的导数 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷.设一高铁走
过的路程 s （单位：m）关于时间 t （单位：s）的函数为 s ＝ f （ t ），
求它的瞬时速度，就是求 f （ t ）的导数.根据导数的定义，就是求当Δ
t →0时， 所趋近的那个定值.这类运算比较复杂，而且有的函数，
如 y ＝ sin x ＋ x 很难运用定义求导数.
【问题】　是否有更简便的求导数的方法呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知识点　导数的加法与减法法则
知识点要素 梳理知识
导数的加法 与减法法则 两个函数和（或差）的导数等于这两个函
数导数的和（或差）
表达式 [ f （ x ）± g （ x ）]'＝f'（ x ）±g'（ x ）
提醒　（1）特别地，若 f （ x ）＝2 g （ x ）＝ g （ x ）＋ g （ x ），则f'
（ x ）＝（2 g （ x ））'＝（ g （ x ）＋ g （ x ））'＝g'（ x ）＋g'（ x ）
＝2g'（ x ），即 f （ x ）＝ kg （ x ）（ k 为常数），f'（ x ）＝kg'
（ x ）；（2）导数和（差）的求导法则可推广到任意有限个函数的和
（差）的导数，即[ u （ x ）± v （ x ）±…± w （ x ）]'＝u'（ x ）±v'
（ x ）±…±w'（ x ）.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1） '＝e x . （　√　）
（2）函数 f （ x ）＝ x2＋ x 的导数是f'（ x ）＝ x ＋1. （　√　）
（3）函数 f （ x ）＝ sin x － cos x 的导数是f'（ x ）＝ cos x ＋ sin x .
（　√　）
（4）函数 f （ x ）＝2ln x ，则f'（ x ）＝ . （　×　）
√
√
√
×
2. 函数 f （ x ）＝ x ＋ 的导数f'（ x ）＝（　　）
解析： 　f'（ x ）＝ '＝x'＋ '＝1－ .

解析：f'（ x ）＝3 x2＋2 ax －2，故f'（1）＝3＋2 a －2＝4，解得 a
＝ .

典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用导数加法、减法法则求导
【例1】　求下列函数的导数：
（1） y ＝－ x4＋3 x3；
解： y'＝（－ x4＋3 x3）'＝（－ x4）'＋（3 x3）'
＝－4 x3＋9 x2.
（2） y ＝（2 x2－1）（3 x ＋1）；
解： 先将乘积形式转化为和差形式，
y ＝（2 x2－1）（3 x ＋1）＝6 x3＋2 x2－3 x －1，
∴y'＝（6 x3＋2 x2－3 x －1）'＝18 x2＋4 x －3.
（3） y ＝ x （ x ＋1）（ x2－ x ＋1）；
解： 利用立方和公式转化，
y ＝ x （ x ＋1）（ x2－ x ＋1）＝ x （ x3＋1）＝ x4＋ x ，
∴y'＝4 x3＋1.
（4） y ＝ ＋ln x － sin x .
解： 先将根式化幂的形式，
y ＝ ＋ln x － sin x ＝ ＋ln x － sin x ，
∴y'＝－ ＋ － cos x .
通性通法
　　对于能转化为和、差运算的求导问题，应先将函数结构化简为
和、差结构再利用加法、减法法则求导.
【跟踪训练】
1. 函数 f （ x ）＝（ x － a ）（ x － b ）在 x ＝ a 处的导数为（　　）
A. ab B. － a （ a － b ）
C. 0 D. a － b
解析： 　∵ f （ x ）＝（ x － a ）（ x － b ）＝ x2－（ a ＋ b ） x ＋
ab ，∴f'（ x ）＝2 x －（ a ＋ b ），∴f'（ a ）＝2 a －（ a ＋ b ）＝ a
－ b ，故选D.
2. 已知 f （ x ）＝ x2＋2xf'（1），求f'（0）的值.
解：∵f'（ x ）＝2 x ＋2f'（1），∴f'（1）＝2＋2f'（1），即f'（1）
＝－2，∴f'（0）＝2f'（1）＝－4.
题型二 求导法则的逆向应用
【例2】　已知f'（ x ）是一次函数， x2·f'（ x ）－（2 x －1）· f （ x ）
＝1对一切 x ∈R恒成立，求 f （ x ）的解析式.
解：由f'（ x ）为一次函数可知， f （ x ）为二次函数，设 f （ x ）
＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0），则f'（ x ）＝2 ax ＋ b ，把 f （ x ），f'
（ x ）代入关于 x 的方程得 x2（2 ax ＋ b ）－（2 x －1）·（ ax2＋
bx ＋ c ）＝1，即（ a － b ） x2＋（ b －2 c ） x ＋ c －1＝0，又该
方程对一切 x ∈R恒成立，
所以解得所以 f （ x ）＝2 x2＋2 x ＋1.
通性通法
　　求导法则的逆向应用，其实质就是待定系数法.先设出含字母系
数的函数模型，然后利用已知条件解出所设未知的字母系数，进而将
问题解决.待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特
征的函数.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）＝ ax3＋ bx2＋ cx 的图象过点（1，5），其导函数 y ＝
f'（ x ）的图象如图所示，则函数 f （ x ）的解析式为
.
f （ x ）＝2 x3－
9 x2＋12 x
解析：因为f'（ x ）＝3 ax2＋2 bx ＋ c ，f'（1）＝0，f'（2）＝0， f
（1）＝5，
所以解得故函数 f （ x ）的解析式是 f
（ x ）＝2 x3－9 x2＋12 x .
题型三 求导法则在导数几何意义中的应用
【例3】　已知函数 f （ x ）＝ ax3－ x2－ x ＋ b （ a ， b ∈R， a ≠0），
g （ x ）＝ e x ， f （ x ）的图象在 x ＝－ 处的切线方程为 y ＝ x ＋
.
（1）求 a ， b 的值；
解： f'（ x ）＝3 ax2－2 x －1.
∵ f （ x ）的图象在 x ＝－ 处的切线方程为 y ＝ x ＋ ，
∴f' ＝ ，即3 a · ＋1－1＝ ，解得 a ＝1，
又 f （ x ）的图象过点 ，
∴ － － ＋ b ＝ ，解得 b ＝ .
综上， a ＝1， b ＝ .
（2）直线 y ＝ x ＋ 是否与函数 g （ x ）的图象相切？若相切，求出
切点的坐标；若不相切，请说明理由.
解： 设直线 y ＝ x ＋ 与函数 g （ x ）的图象相切于点 A
（ x0， y0）.
∵g'（ x ）＝ e x ，∴g'（ x0）＝ ＝ ，
解得 x0＝－ ，
将 x0＝－ 代入 g （ x ）＝ e x ，得点 A 的坐标是 ，
∴切线方程为 y － ＝ ，化简得 y ＝ x ＋ ，故直线 y ＝
x ＋ 与函数 g （ x ）的图象相切，切点坐标是 .
通性通法
　　对于由某些基本初等函数的和（差）所构成的初等函数 f （ x ），
求解与曲线的切线有关的问题时，正确求出f'（ x ）是解题的关键，利
用导数的加（减）法法则时应注意先化简再求导.
【跟踪训练】
设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程 l （单位：m）与
时间 t （单位：s）满足关系式 l （ t ）＝3 t2－ t .当运动员的滑雪路程
为46 m时，此时的滑雪速度为 m/s.
解析：由题意得3 t2－ t ＝46，解得 t ＝4或 t ＝－ （舍去），因为l'
（ t ）＝6 t － ，所以l'（4）＝6×4－ ＝ ，当运动员的滑雪路程为
46 m时，此时的滑雪速度为 m/s.
　
1. 函数 y ＝（ ＋1）（ －1）的导数等于（　　）
A. 1
解析： 　因为 y ＝（ ＋1）（ －1）＝ x －1，所以y'＝x'－1'
＝1.
2. 已知函数 f （ x ）＝e x ＋ ax ，若f'（0）＝2，则实数 a 的值为
（　　）
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
解析： 　f'（ x ）＝e x ＋ a ，故f'（0）＝1＋ a ＝2，所以 a ＝1.
3. （多选）下列导数运算正确的是（　　）
A. （ x2－2 x ＋3）'＝2 x －2
B. （ sin x ＋ cos x ）'＝ sin x － cos x
C. （ x－1＋ln x ）'＝（ x －1） x－2
解析：ACD　 （ x2－2 x ＋3）'＝2 x －2，A正确.（ sin x ＋ cos x ）'
＝ cos x － sin x ，B错误.（ x－1＋ln x ）'＝－ x－2＋ ＝（ x －1） x－
2，C正确. '＝ '＝ ，D正确.
4. 已知曲线 y1＝2－ 与 y2＝ x3－ x2＋2 x 在 x ＝ x0处切线的斜率的乘积
为3，则 x0＝ .
解析：由题知y'1＝ ，y'2＝3 x2－2 x ＋2，所以两曲线在 x ＝ x0
处切线的斜率分别为 ，3 －2 x0＋2，所以 ＝3，
所以 x0＝1.
1
5. 求下列函数的导数：
（1） y ＝ x3－ x2－ x ＋3；（2） y ＝ ＋ .
解：（1）y'＝（ x3－ x2－ x ＋3）'＝（ x3）'－（ x2）'－x'＋3'
＝3 x2－2 x －1.
（2）因为 y ＝2 x－2＋3 x－3，所以y'＝（2 x－2＋3 x－3）'＝（2 x
－2）'＋（3 x－3）'＝－4 x－3－9 x－4＝－ － .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 曲线 f （ x ）＝ x3－ x2＋5在 x ＝1处的切线的倾斜角为（　　）
解析： 　因为f'（ x ）＝ x2－2 x ， k ＝f'（1）＝－1，所以在 x ＝1
处的切线的倾斜角为 .
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2. 若函数 f （ x ）＝ ax4＋ bx2＋ c 满足f'（1）＝2，则f'（－1）＝
（　　）
A. －1 B. －2
C. 2 D. 0
解析： 　f'（ x ）＝4 ax3＋2 bx ，f'（ x ）是奇函数，故f'（－1）＝
－f'（1）＝－2.
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3. 若 f （ x ）＝ x2－2 x －4ln x ，则f'（ x ）＞0的解集为（　　）
A. （0，＋∞） B. （－1，0）∪（2，＋∞）
C. （2，＋∞） D. （－1，0）
解析： 　∵ f （ x ）＝ x2－2 x －4ln x ，∴f'（ x ）＝2 x －2－ .令f'
（ x ）＞0，整理得 ＞0，解得－1＜ x ＜0或 x ＞2.又 x
＞0，∴ x ＞2.
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4. 已知函数 f （ x ）＝ x ＋ sin x ＋1，其导函数记为f'（ x ），则 f （2
024）＋f'（2 024）＋ f （－2 024）－f'（－2 024）＝（　　）
A. 2 024 B. 2
C. 1 D. 0
解析： 　因为f'（ x ）＝1＋ cos x ，所以f'（ x ）为偶函数，所以f'
（2 024）－f'（－2 024）＝f'（2 024）－f'（2 024）＝0，所以原式
＝ f （2 024）＋ f （－2 024）＝2 024＋ sin 2 024＋1＋（－2 024－
sin 2 024＋1）＝2.故选B.
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5. （多选）过点 P （2，－6）作曲线 f （ x ）＝ x3－3 x 的切线，则切
线方程为（　　）
A. 3 x ＋ y ＝0 B. 24 x － y －54＝0
C. 3 x － y ＝0 D. 24 x － y ＋54＝0
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解析： 　易知点 P （2，－6）不在曲线上，设切点为（ m ， m3
－3 m ）， f （ x ）＝ x3－3 x 的导数为f'（ x ）＝3 x2－3，则切线斜率
k ＝3 m2－3，由点斜式方程可得切线方程为 y － m3＋3 m ＝（3 m2－
3）（ x － m ），将点 P （2，－6）代入可得－6－ m3＋3 m ＝（3 m2
－3）（2－ m ），解得 m ＝0或 m ＝3.当 m ＝0时，切线方程为3 x
＋ y ＝0；当 m ＝3时，切线方程为24 x － y －54＝0.
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6. （多选）若存在过点（1，0）的直线与曲线 y ＝ x3和 y ＝ ax2＋ x
－9都相切，则实数 a 的值为（　　）
B. －1
D. 7
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解析： 　设过点（1，0）的直线与曲线 y ＝ x3相切于点（ x0，
y0），则切线方程为 y － ＝3 （ x － x0），即 y ＝3 x －2 ，
又点（1，0）在切线上，故3 －2 ＝0，即 x0＝0或 x0＝ .当 x0
＝0时，切线方程为 y ＝0，由 y ＝0与 y ＝ ax2＋ x －9相切得 a ＝－
.当 x0＝ 时，切线方程为 y ＝ x － ，由 y ＝ x － 与 y ＝ ax2
＋ x －9相切得 a ＝－1.故选B、C.
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7. 曲线 y ＝ x3＋3 x2＋6 x －10的所有切线中，斜率最小的切线方程
为 .
解析：∵y'＝3 x2＋6 x ＋6＝3（ x2＋2 x ＋2）＝3（ x ＋1）2＋3≥3，
∴当 x ＝－1时，y'最小，即此时切线的斜率最小，此时切点为（－
1，－14），∴切线方程为 y ＋14＝3（ x ＋1），即3 x － y －11＝0.
3 x － y －11＝0
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8. 已知某物体的运动方程为 s （ t ）＝ ＋2 t2（位移单位：m，时间
单位：s），则 t ＝1 s时物体的瞬时速度为 m/s.
解析：因为 s （ t ）＝ ＋2 t2＝ － ＋2 t2，所以s'（ t ）＝－ ＋
2· ＋4 t ，所以s'（1）＝－1＋2＋4＝5，即物体在 t ＝1 s时的瞬时
速度为5 m/s.
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9. 已知抛物线 y ＝ ax2＋ bx －7经过点（1，1），且过点（1，1）的切
线方程为4 x － y －3＝0，则 a ， b 的值分别为 .
解析：由于抛物线 y ＝ ax2＋ bx －7经过点（1，1），∴1＝ a ＋ b －
7，即 a ＋ b －8＝0，　①
又经过点（1，1）的抛物线的切线方程为4 x － y －3＝0，∴经过该
点的抛物线的切线斜率为4.∵y'＝（ ax2＋ bx －7）'＝2 ax ＋ b ，∴2
a ＋ b －4＝0.　②
由①②解得 a ＝－4， b ＝12.
－4，12
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10. 已知曲线 f （ x ）＝ x3＋ ax ＋ b 在点 P （2，－6）处的切线方程是
13 x － y －32＝0.
（1）求 a ， b 的值；
解： ∵ f （ x ）＝ x3＋ ax ＋ b 的导数f'（ x ）＝3 x2＋ a ，
由题意可得f'（2）＝12＋ a ＝13， f （2）＝8＋2 a ＋ b ＝－
6，解得 a ＝1， b ＝－16.
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（2）如果曲线 y ＝ f （ x ）的某一切线与直线 l ： y ＝－ x ＋3垂
直，求切点坐标与切线的方程.
解： ∵切线与直线 y ＝－ x ＋3垂直，∴切线的斜率 k ＝4.
设切点的坐标为（ x0， y0），则f'（ x0）＝3 ＋1＝4，∴ x0
＝±1.
由 f （ x ）＝ x3＋ x －16，可得 y0＝1＋1－16＝－14，或 y0＝
－1－1－16＝－18.
则切线方程为 y ＝4（ x －1）－14或 y ＝4（ x ＋1）－18.
即 y ＝4 x －18或 y ＝4 x －14.
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11. 已知 f （ x ）＝ x2＋ sin ，f'（ x ）为 f （ x ）的导函数，则f'
（ x ）的大致图象是（　　）
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解析： 　∵ f （ x ）＝ x2＋ sin ＝ x2＋ cos x ，∴f'（ x ）
＝ x － sin x .易知f'（ x ）＝ x － sin x 是奇函数，其图象关于原点
对称，故排除B、D. 由f' ＝ － ＜0，排除C，故选A.
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12. （多选）已知函数 f （ x ）＝ x3＋ ax2＋ bx 的导函数为f'（ x ），则
（　　）
A. 若 f （ x ）为奇函数，则f'（ x ）为偶函数
B. 若f'（0）＝0，则 f （ x ）为奇函数
C. 若f'（ x ）的最小值为0，则 a2＝3 b
D. 若f'（ x ）为偶函数，则 f （ x ）为奇函数
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解析： 　由题意得，对于选项A，若 f （ x ）为奇函数， f
（－ x ）＝－ f （ x ），则－ x3＋ ax2－ bx ＝－ x3－ ax2－ bx ，故 a
＝0，又因为f'（ x ）＝3 x2＋ b ，f'（－ x ）＝f'（ x ），所以f'（ x ）
为偶函数，故A正确；对于选项B，若f'（0）＝0，又因为f'（ x ）
＝3 x2＋2 ax ＋ b ，则 b ＝0，故 f （ x ）＝ x3＋ ax2， f （－ x ）＝－
x3＋ ax2，当 a ＝0时， f （－ x ）＝－ f （ x ）， f （ x ）是奇函数，
当 a ≠0时， f （－ x ）≠－ f （ x ）， f （ x ）不是奇函数，所以 f
（ x ）不一定是奇函数，故B错误；
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对于选项C，若f'（ x ）的最小值为0，f'（ x ）＝3 x2＋2 ax ＋ b ＝3（ x
＋ ）2－ ＋ b ，所以f'（ x ）min＝－ ＋ b ＝0，则 a2＝3 b ，故C正
确；对于选项D，若f'（ x ）为偶函数，f'（ x ）＝3 x2＋2 ax ＋ b ，f'
（－ x ）＝3 x2－2 ax ＋ b ，由f'（－ x ）＝f'（ x ），解得 a ＝0，故 f
（ x ）＝ x3＋ bx ， f （－ x ）＝－ f （ x ），所以 f （ x ）为奇函数，故D
正确.
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13. 如图中有一个图象是函数 f （ x ）＝ x3＋ ax2＋（ a2－1） x ＋1（ a
∈R，且 a ≠0）的导函数的图象，则 f （－1）＝ .
－
解析：f'（ x ）＝ x2＋2 ax ＋ a2－1＝[ x ＋（ a ＋1）][ x ＋（ a －
1）]，图①与图②中的图象的对称轴都是 y 轴，此时 a ＝0，与题
设不符合，故图③中的图象是函数 f （ x ）的导函数的图象.由图
③知f'（0）＝0，由根与系数的关系得解得 a ＝－1.
故 f （ x ）＝ x3－ x2＋1，所以 f （－1）＝－ .
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14. 已知函数 f （ x ）＝ x3－2 x2＋3 x （ x ∈R）的图象为曲线 C .
（1）求曲线 C 上任意一点的切线的斜率的取值范围；
解： 由题意得f'（ x ）＝ x2－4 x ＋3，
则f'（ x ）＝（ x －2）2－1≥－1，
即曲线 C 上任意一点的切线的斜率的取值范围是[－1，＋
∞）.
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（2）若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与
曲线 C 的切点的横坐标的取值范围.
解： 设曲线 C 的其中一条切线的斜率为 k ，则由条件
和（1）中结论可知，
解得－1≤ k ＜0或 k ≥1，故由－1≤ x2－4 x ＋3
＜0或 x2－4 x ＋3≥1，
得 x ∈（－∞，2－ ]∪（1，3）∪[2＋ ，＋∞）.
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15. 对于三次函数 f （ x ）＝ ax3＋ bx2＋ cx ＋ d （ a ≠0），给出定义：
设f'（ x ）是函数 y ＝ f （ x ）的导数， f ″（ x ）是f'（ x ）的导数，
若方程 f ″（ x ）＝0有实数解 x0，则称点（ x0， f （ x0））为函数 y
＝ f （ x ）的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数
都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.请你根据这一发现判断
函数 f （ x ）＝ x3－ x2＋3 x － 的对称中心为（　　）
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解析： 　依题意，得f'（ x ）＝ x2－ x ＋3，∴ f ″（ x ）＝2 x －1，
由 f ″（ x ）＝0，即2 x －1＝0，得 x ＝ ，又 f ＝1，∴函数 f
（ x ）＝ x3－ x2＋3 x － 的对称中心为 .故选A.
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16. 已知函数 f （ x ）＝ x － ， g （ x ）＝ a （2－ln x ）.
（1）若曲线 y ＝ f （ x ）与曲线 y ＝ g （ x ）在 x ＝1处的切线的斜
率相同，求 a 的值；
解： f'（ x ）＝1＋ ，g'（ x ）＝－ ，
所以曲线 y ＝ f （ x ）在 x ＝1处的切线的斜率为f'（1）＝3，
曲线 y ＝ g （ x ）在 x ＝1处的切线的斜率为g'（1）＝－ a ，
由已知，得f'（1）＝g'（1），得 a ＝－3.
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（2）若存在一点，使得曲线 y ＝ f （ x ）与曲线 y ＝ g （ x ）在该
点处的切线的斜率相同，求实数 a 的取值范围.
解： 由题意，得1＋ ＝－ （ x ＞0），
则 a ＝－ x － ≤－2 ，当且仅当 x ＝ 时，等号成立，
故实数 a 的取值范围为（－∞，－2 ].
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