资源简介

4.2　导数的乘法与除法法则
1.已知f（x）＝（x2＋1）cos x，则其导函数为（　　）
A.f'（x）＝（x2＋1）sin x
B.f'（x）＝－（x2＋1）sin x
C.f'（x）＝2xcos x－（x2＋1）sin x
D.f'（x）＝2xcos x＋（x2＋1）sin x
2.曲线y＝xln x在点（1，0）处的切线的方程为（　　）
A.x＋y－1＝0　　　　B.x＋y＋1＝0
C.x－y－1＝0 D.x＋1＝0
3.已知函数f（x）＝，则f（π）＋f'＝（　　）
A.－ B.
C.－ D.－
4.已知曲线f（x）＝（x＋a）ex在点（－1，f（－1））处的切线与直线2x＋y－1＝0垂直，则实数a的值为（　　）
A.－2e B.2e
C.－ D.
5.（多选）当函数y＝（a＞0）在x＝x0处的导数为0时，那么x0可以是（　　）
A.a B.0
C.－a D.a2
6.（多选）过点且与曲线y＝x2ex相切的切线斜率可能为（　　）
A.0 B.8e2
C.－ D.1
7.已知函数f（x）＝，则f'（3）＝　　　.
8.函数f（x）＝ex·cos x＋1在x＝0处的切线方程为　　　　　　.
9.函数y＝f（x）的图象如图所示，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，令g（x）＝xf（x），则k＝　　　，g'（3）＝　　　　.
10.求下列函数的导数：
（1）y＝（x2＋1）（x＋1）；
（2）y＝；
（3）y＝xtan x－.
11.若函数f（x），g（x）满足f（x）＋xg（x）＝x2－1，且f（1）＝1，则f'（1）＋g'（1）＝（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
12.等比数列{an}中，a2a7＝8，函数f（x）＝x（x＋a1）（x＋a2）…（x＋a8），则f'（0）＝（　　）
A.26 B.29
C.212 D.215
13.（多选）已知函数f（x）＝xsin的导函数为f'（x），则（　　）
A.f'（x）为奇函数 B.f'（x）为偶函数
C.f'（0）＝1 D.f（π）＋f'（π）＝－π
14.已知函数f（x）＝＋b在x＝1处的切线方程为2x－y－2＝0.
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）图象上的点到直线2x－y＋3＝0的距离的最小值.
15.（多选）给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f'（x）存在，且导函数f'（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）＝（f'（x））'， 若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数.以下四个函数在（ 0，）上是凸函数的是（　　）
A.f（x）＝sin x＋cos x
B.f（x）＝ln x－2x
C.f（x）＝－x3＋2x－1
D.f（x）＝xex
16.已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f'（x）g（x）＞f（x）g'（x），且f（x）＝axg（x）（a＞0，且a≠1），＋＝.若数列的前n项和大于62，求n的最小值.
4.2　导数的乘法与除法法则
1.C　∵f（x）＝（x2＋1）cos x，∴f'（x）＝2xcos x－（x2＋1）sin x，故选C.
2.C　∵y＝f（x）＝xln x，∴f'（x）＝ln x＋1，f'（1）＝1，根据导数的几何意义可知曲线在（1，0）处的切线的斜率k＝1，∴曲线y＝xln x在点（1，0）处的切线方程为y－0＝x－1，即x－y－1＝0.故选C.
3.D　因为f（x）＝，则f'（x）＝，因此f（π）＋f'＝－＋＝－.故选D.
4.D　由f（x）＝（x＋a）ex，得f'（x）＝ex＋（a＋x）ex＝（x＋a＋1）ex，则f'（－1）＝，因为曲线f（x）＝（x＋a）ex在点（－1，f（－1））处的切线与直线2x＋y－1＝0垂直，所以＝，故a＝.故选D.
5.AC　y'＝（ ）'＝＝，由－a2＝0得x0＝±a.
6.ABC　因为y'＝（x2＋2x）ex，所以曲线y＝x2ex在点（x0，）处的切线方程为y－＝（＋2x0）·（x－x0）.将代入，得x0·（2－x0－6）＝0，即x0（x0－2）（2x0＋3）＝0，解得x0＝0或2或－，因为当x＝0时，y'＝0，当x＝2时，y'＝8e2，当x＝－时，y'＝－，所以过点且与曲线y＝x2ex相切的切线斜率可能为0，8e2，－.故选A、B、C.
7.　解析：因为f'（x）＝'＝＝＝，所以f'（3）＝＝.
8.x－y＋2＝0　解析：对f（x）求导可得f'（x）＝ex（cos x－sin x），则曲线f（x）在x＝0处的切线方程的斜率为f'（0）＝1，又f（0）＝2，则切线方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0.
9.－　0　解析：直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，可得k＝f'（3），由图象可得f（3）＝1，所以直线l过点（3，1），又知直线l过点（0，2），所以k＝＝－；由g（x）＝xf（x），可得g'（x）＝f（x）＋xf'（x），可得g'（3）＝f（3）＋3f'（3）＝1＋3×＝0.
10.解：（1）法一　y'＝（x2＋1）'·（x＋1）＋（x2＋1）·（x＋1）'＝2x（x＋1）＋（x2＋1）＝3x2＋2x＋1.
法二　∵y＝（x2＋1）（x＋1）＝x3＋x2＋x＋1，
∴y'＝3x2＋2x＋1.
（2）y'＝'＝
＝＝.
（3）∵y＝xtan x－＝x·－＝，
∴y'＝
＝
＝.
11.C　当x＝1时，f（1）＋g（1）＝0，又f（1）＝1，得g（1）＝－1.原式两边求导，得f'（x）＋g（x）＋xg'（x）＝2x，当x＝1时f'（1）＋g（1）＋g'（1）＝2，得f'（1）＋g'（1）＝2－g（1）＝2－（－1）＝3.故选C.
12.C　f'（x）＝x'·（x＋a1）（x＋a2）…（x＋a8）＋x·[（x＋a1）·（x＋a2）…（x＋a8）]'＝（x＋a1）（x＋a2）…（x＋a8）＋x·[（x＋a1）（x＋a2）…（x＋a8）]'，f'（0）＝（0＋a1）（0＋a2）…（0＋a8）＋0＝a1a2a3a4a5a6a7a8＝（a2a7）4＝212.故选C.
13.BC　因为f（x）＝xsin，所以f（x）＝xcos x，所以f'（x）＝cos x－xsin x.因为f'（－x）＝cos（－x）－（－x）sin（－x）＝cos x－xsin x＝f'（x），所以f'（x）是偶函数，故A不正确，B正确；f'（0）＝cos 0－0×sin 0＝1，故C正确；f（π）＋f'（π）＝πcos π＋cos π－πsin π＝－π－1－0＝－π－1，故D不正确.故选B、C.
14.解：（1）∵函数f（x）＝＋b，
∴f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝，
∴f（x）在x＝1处切线的斜率为k＝f'（1）＝a＝2，
由切线方程可知切点为（1，0），而切点也在函数f（x）的图象上，解得b＝0，
∴f（x）的解析式为f（x）＝.
（2）由于直线2x－y－2＝0与直线2x－y＋3＝0平行，直线2x－y－2＝0与函数f（x）＝在点（1，0）处相切，
∴切点（1，0）到直线2x－y＋3＝0的距离最小，最小值为d＝＝，
故函数f（x）图象上的点到直线2x－y＋3＝0的距离的最小值为.
15.ABC　若f（x）＝sin x＋cos x，则f″（x）＝－sin x－cos x，在（ 0，）上恒有f″（x）＜0；若f（x）＝ln x－2x，则f″（x）＝－，在（ 0，）上恒有f″（x）＜0；若f（x）＝－x3＋2x－1，则f″（x）＝－6x，在（ 0，）上恒有f″（x）＜0；若f（x）＝xex，则f″（x）＝2ex＋xex＝（2＋x）ex，在（ 0，）上恒有f″（x）＞0.
16.解：由题设可得＝ax，
又f'（x）g（x）＞f（x）g'（x），
∴'＝＝（ax）'＝axln a＞0，∴a＞1，
∵＋＝，即a＋a－1＝，可得a＝2，
∴＝2x，故＝2n，
∴数列为等比数列，
∴Sn＝＝2n＋1－2＞62，故n＋1＞6，即n＞5，n∈N＋，∴n的最小值为6.
2 / 24.2　导数的乘法与除法法则
新课程标准解读 核心素养
能利用基本初等函数的导数公式和导数的乘法与除法法则，求简单函数的导数 数学运算
　　设f（x）＝x2，g（x）＝x，计算[f（x）·g（x）]'与f'（x）g'（x）.
【问题】　（1）它们是否相等？
（2）f（x）与g（x）商的导数是否等于它们导数的商呢？
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
知识点　导数的乘法与除法法则
1.条件：函数f（x）和g（x）的导数分别是f'（x）和g'（x）.
2.结论：（1）[f（x）g（x）]'＝　　　　　　；
（2）'＝　　　　　　　　　　　.
提醒　（1）函数的积的导数可推广到有限个函数的乘积的导数，即[u（x）·v（x）·…·w（x）]'＝u'（x）·v（x）·…·w（x）＋u（x）v'（x）·…·w（x）＋…＋u（x）·v（x）·…·w'（x）；（2）导数乘法、除法法则的特殊化公式：[kf（x）]'＝kf'（x），k∈R；'＝－（其中c为常数）.
1.函数y＝x2sin x的导数为（　　）
A.y'＝2x＋cos x
B.y'＝x2cos x
C.y'＝2xcos x
D.y'＝2xsin x＋x2cos x
2.设f（x）＝，则f'（0）＝　　　　.
题型一 利用导数的乘法与除法法则求导
【例1】　求下列函数的导数：
（1）y＝；
（2）y＝3xex－2x＋e；
（3）y＝.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
求函数的导数的策略
（1）先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数；
（2）对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算.
【跟踪训练】
求下列函数的导数：
（1）y＝cos x·ln x；
（2）y＝.
题型二 求导法则的应用
角度1　利用导数求值
【例2】　（1）设函数f（x）＝.若f'（1）＝，则a＝　　　　；
（2）已知函数f（x）＝exln x，f'（x）为f（x）的导函数，则f'（1）＝　　　　.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
　　利用导数求值的关键
（1）对函数f（x）正确求导f'（x），若f（x）是由多个基本初等函数通过加、减、乘、除运算而得到的初等函数，要分析其结构形式，运用求导法则求解；
（2）求得f'（x）后，再根据其他条件列方程（组）求解或代入求值.
角度2　与导数的几何意义有关的问题
【例3】　已知函数f（x）＝，且f（x）的图象在x＝1处与直线y＝2相切.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若P（x0，y0）为f（x）图象上的任意一点，直线l与f（x）的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
解决与导数几何意义有关问题的一般思路
（1）利用导数的四则运算法则对函数f（x）正确求导，得f'（x）；
（2）正确运用导数的几何意义，即函数在点（x0，f（x0））处的导数值f'（x0）等于f（x）在点（x0，f（x0））处切线的斜率.
【跟踪训练】
曲线y＝在点（1，－1）处的切线方程为（　　）
A.y＝x－2　　　　　 B.y＝－3x＋2
C.y＝2x－3 D.y＝－2x＋1
1.已知函数f（x）＝xsin x＋ax，且f'＝1，则a＝（　　）
A.0 B.1
C.2 D.4
2.已知f（x）＝xex，则f'（2）＝（　　）
A.4e2 B.3e2
C.2e2 D.e2
3.（多选）下列求导运算正确的是（　　）
A.'＝ B.（tan x）'＝
C.（2ln x）'＝ D.（xln x）'＝ln x＋1
4.已知f（x）＝，若f'（x0）＋f（x0）＝0，则x0的值为　　　　.
4.2　导数的乘法与除法法则
【基础知识·重落实】
知识点
2.（1）f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）　（2），g（x）≠0
自我诊断
1.D　y'＝（x2sin x）'＝（x2）'·sin x＋x2·（sin x）'＝2xsin x＋x2cos x.
2.1　解析：f'（x）＝＝，故f'（0）＝1.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）把函数的解析式整理变形可得：
y＝＝＝1－，
∴y'＝－＝.
（2）根据求导法则进行求导可得：
y'＝（3xex）'－（2x）'＋e'＝（3x）'ex＋3x（ex）'－（2x）'＝3xln 3·ex＋3xex－2xln 2＝（3e）xln 3e－2xln 2.
（3）利用求导的除法法则可得：
y'＝
＝＝.
跟踪训练
　解：（1）y'＝（cos x·ln x）'＝（cos x）'·ln x＋cos x·（ln x）'＝－sin x·ln x＋.
（2）y'＝'＝
＝＝.
【例2】　（1）1　（2）e　解析：（1）由于f'（x）＝，故f'（1）＝＝，解得a＝1.
（2）由题意得f'（x）＝exln x＋ex·＝ex，则f'（1）＝e.
【例3】　解：（1）f'（x）＝
＝＝，
因为f（x）的图象在x＝1处与直线y＝2相切，
所以解得
则f（x）＝.
（2）由（1）可得，f'（x）＝，
所以直线l的斜率k＝f'（x0）＝＝＝－4·＋.
设t＝，则t∈（0，1]，
所以k＝4（2t2－t）＝8（ t－）2－，
则在对称轴t＝处取到最小值－，在t＝1处取到最大值4，所以直线l的斜率k的取值范围是［－，4］.
跟踪训练
　D　由题意知，点（1，－1）在曲线y＝上，又y'＝＝，所以曲线在点（1，－1）处的切线的斜率k＝＝－2，故所求切线的方程为y＋1＝－2（x－1），即y＝－2x＋1.
随堂检测
1.A　因为f'（x）＝sin x＋xcos x＋a，且f'＝1，所以sin ＋cos ＋a＝1，即a＝0.
2.B　由题意，函数f（x）＝xex，可得f'（x）＝ex＋xex＝（x＋1）ex，所以f'（2）＝3e2.故选B.
3.BD　对于选项A，'＝＝＝－，故A错误；对于选项B，（tan x）'＝（ ）'＝＝＝，故B正确；对于选项C，（2ln x）'＝，故C错误；对于选项D，（xln x）'＝x'ln x＋x（ln x）'＝ln x＋x·＝ln x＋1，故D正确.故选B、D.
4.　解析：∵f（x）＝，则f'（x）＝，其中x≠0，由f'（x0）＋f（x0）＝＋＝0，可得＋1＝0，解得x0＝.
3 / 3(共56张PPT)
4.2　
导数的乘法与除法法则
新课程标准解读 核心素养
能利用基本初等函数的导数公式和导数的乘法与除法
法则，求简单函数的导数 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　设 f （ x ）＝ x2， g （ x ）＝ x ，计算[ f （ x ）· g （ x ）]'与f'（ x ）
g'（ x ）.
【问题】　（1）它们是否相等？
（2） f （ x ）与 g （ x ）商的导数是否等于它们导数的商呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知识点　导数的乘法与除法法则
1. 条件：函数 f （ x ）和 g （ x ）的导数分别是f'（ x ）和g'（ x ）.
2. 结论：（1）[ f （ x ） g （ x ）]'＝
；
f'（ x ） g （ x ）＋ f （ x ）g'
（ x ）　
（2） '＝ 　 ， g （ x ）≠0　.
提醒　（1）函数的积的导数可推广到有限个函数的乘积的导
数，即[ u （ x ）· v （ x ）·…· w （ x ）]'＝u'（ x ）· v
（ x ）·…· w （ x ）＋ u （ x ）v'（ x ）·…· w （ x ）＋…＋ u
（ x ）· v （ x ）·…·w'（ x ）；（2）导数乘法、除法法则的特
殊化公式：[ kf （ x ）]'＝kf'（ x ）， k ∈R； '＝－
（其中 c 为常数）.
， g （ x ）≠0　
1. 函数 y ＝ x2 sin x 的导数为（　　）
A. y'＝2 x ＋ cos x B. y'＝ x2 cos x
C. y'＝2 x cos x D. y'＝2 x sin x ＋ x2 cos x
解析： 　y'＝（ x2 sin x ）'＝（ x2）'· sin x ＋ x2·（ sin x ）'＝2 x sin x
＋ x2 cos x .
2. 设 f （ x ）＝ ，则f'（0）＝ .
解析：f'（ x ）＝ ＝ ，故f'（0）＝1.
1
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用导数的乘法与除法法则求导
【例1】　求下列函数的导数：
（1） y ＝ ；
解： 把函数的解析式整理变形可得：
y ＝ ＝
＝1－ ，
∴y'＝－
＝ .
（2） y ＝3 x e x －2 x ＋e；
解： 根据求导法则进行求导可得：
y'＝（3 x e x ）'－（2 x ）'＋e'＝（3 x ）'e x ＋3 x （e x ）'－（2 x ）'＝3 x
ln 3·e x ＋3 x e x －2 x ln 2＝（3e） x ln 3e－2 x ln 2.
（3） y ＝ .
解： 利用求导的除法法则可得：
y'＝
＝
＝ .
通性通法
求函数的导数的策略
（1）先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导
数的运算法则求导数；
（2）对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数
的积、商的导数计算.
【跟踪训练】
求下列函数的导数：
（1） y ＝ cos x ·ln x ；
解： y'＝（ cos x ·ln x ）'＝（ cos x ）'·ln x ＋ cos x ·（ln x ）'
＝－ sin x ·ln x ＋ .
（2） y ＝ .
解： y'＝ '＝
＝
＝ .
题型二 求导法则的应用
角度1　利用导数求值
【例2】　（1）设函数 f （ x ）＝ .若f'（1）＝ ，则 a ＝ ；
解析： 由于f'（ x ）＝ ，故f'（1）＝
＝ ，解得 a ＝1.
1
（2）已知函数 f （ x ）＝e x ln x ，f'（ x ）为 f （ x ）的导函数，则f'
（1）＝ .
解析： 由题意得f'（ x ）＝e x ln x ＋e x · ＝e x ，则f'
（1）＝e.
e
通性通法
　　利用导数求值的关键
（1）对函数 f （ x ）正确求导f'（ x ），若 f （ x ）是由多个基本初等函
数通过加、减、乘、除运算而得到的初等函数，要分析其结构
形式，运用求导法则求解；
（2）求得f'（ x ）后，再根据其他条件列方程（组）求解或代入求值.
角度2　与导数的几何意义有关的问题
【例3】　已知函数 f （ x ）＝ ，且 f （ x ）的图象在 x ＝1处与直
线 y ＝2相切.
（1）求函数 f （ x ）的解析式；
解： f'（ x ）＝
＝ ＝ ，
因为 f （ x ）的图象在 x ＝1处与直线 y ＝2相切，
所以解得
则 f （ x ）＝ .
（2）若 P （ x0， y0）为 f （ x ）图象上的任意一点，直线 l 与 f （ x ）的
图象切于 P 点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围.
解： 由（1）可得，f'（ x ）＝ ，
所以直线 l 的斜率 k ＝f'（ x0）＝ ＝ ＝－
4· ＋ .设 t ＝ ，则 t ∈（0，1]，
所以 k ＝4（2 t2－ t ）＝8（ t － ）2－ ，
则在对称轴 t ＝ 处取到最小值－ ，在 t ＝1处取到最大值4，所
以直线 l 的斜率 k 的取值范围是［－ ，4］.
通性通法
解决与导数几何意义有关问题的一般思路
（1）利用导数的四则运算法则对函数 f （ x ）正确求导，得f'（ x ）；
（2）正确运用导数的几何意义，即函数在点（ x0， f （ x0））处的导
数值f'（ x0）等于 f （ x ）在点（ x0， f （ x0））处切线的斜率.
【跟踪训练】
曲线 y ＝ 在点（1，－1）处的切线方程为（　　）
A. y ＝ x －2 B. y ＝－3 x ＋2
C. y ＝2 x －3 D. y ＝－2 x ＋1
解析： 　由题意知，点（1，－1）在曲线 y ＝ 上，又y'＝
＝ ，所以曲线在点（1，－1）处的切线的斜率 k ＝
＝－2，故所求切线的方程为 y ＋1＝－2（ x －1），即 y ＝－
2 x ＋1.
1. 已知函数 f （ x ）＝ x sin x ＋ ax ，且f' ＝1，则 a ＝（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 4
解析： 　因为f'（ x ）＝ sin x ＋ x cos x ＋ a ，且f' ＝1，所以 sin
＋ cos ＋ a ＝1，即 a ＝0.
2. 已知 f （ x ）＝ x e x ，则f'（2）＝（　　）
A. 4e2 B. 3e2
C. 2e2 D. e2
解析： 　由题意，函数 f （ x ）＝ x e x ，可得f'（ x ）＝e x ＋ x e x ＝
（ x ＋1）e x ，所以f'（2）＝3e2.故选B.
3. （多选）下列求导运算正确的是（　　）
D. （ x ln x ）'＝ln x ＋1
解析： 　对于选项A， '＝ ＝ ＝
－ ，故A错误；对于选项B，（tan x ）'＝（ ）'＝
＝ ＝ ，故B正确；对于选
项C，（2ln x ）'＝ ，故C错误；对于选项D，（ x ln x ）'＝x'ln x ＋ x
（ln x ）'＝ln x ＋ x · ＝ln x ＋1，故D正确.故选B、D.
4. 已知 f （ x ）＝ ，若f'（ x0）＋ f （ x0）＝0，则 x0的值为 　 　.
解析：∵ f （ x ）＝ ，则f'（ x ）＝ ，其中 x ≠0，由f'
（ x0）＋ f （ x0）＝ ＋ ＝0，可得 ＋1＝0，解得
x0＝ .

知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知 f （ x ）＝（ x2＋1） cos x ，则其导函数为（　　）
A. f'（ x ）＝（ x2＋1） sin x
B. f'（ x ）＝－（ x2＋1） sin x
C. f'（ x ）＝2 x cos x －（ x2＋1） sin x
D. f'（ x ）＝2 x cos x ＋（ x2＋1） sin x
解析： 　∵ f （ x ）＝（ x2＋1） cos x ，∴f'（ x ）＝2 x cos x －（ x2
＋1） sin x ，故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 曲线 y ＝ x ln x 在点（1，0）处的切线的方程为（　　）
A. x ＋ y －1＝0 B. x ＋ y ＋1＝0
C. x － y －1＝0 D. x ＋1＝0
解析： 　∵ y ＝ f （ x ）＝ x ln x ，∴f'（ x ）＝ln x ＋1，f'（1）＝
1，根据导数的几何意义可知曲线在（1，0）处的切线的斜率 k ＝
1，∴曲线 y ＝ x ln x 在点（1，0）处的切线方程为 y －0＝ x －1，即
x － y －1＝0.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. 已知函数 f （ x ）＝ ，则 f （π）＋f' ＝（　　）
解析： 　因为 f （ x ）＝ ，则f'（ x ）＝ ，因此 f
（π）＋f' ＝－ ＋ ＝－ .故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. 已知曲线 f （ x ）＝（ x ＋ a ）e x 在点（－1， f （－1））处的切线
与直线2 x ＋ y －1＝0垂直，则实数 a 的值为（　　）
A. －2e B. 2e
解析： 　由 f （ x ）＝（ x ＋ a ）e x ，得f'（ x ）＝e x ＋（ a ＋ x ）e x
＝（ x ＋ a ＋1）e x ，则f'（－1）＝ ，因为曲线 f （ x ）＝（ x ＋
a ）e x 在点（－1， f （－1））处的切线与直线2 x ＋ y －1＝0垂直，
所以 ＝ ，故 a ＝ .故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. （多选）当函数 y ＝ （ a ＞0）在 x ＝ x0处的导数为0时，那么
x0可以是（　　）
A. a B. 0
C. － a D. a2
解析： 　y'＝（ ）'＝ ＝ ，由 － a2
＝0得 x0＝± a .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. （多选）过点 且与曲线 y ＝ x2e x 相切的切线斜率可能为
（　　）
A. 0 B. 8e2
D. 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 　因为y'＝（ x2＋2 x ）e x ，所以曲线 y ＝ x2e x 在点
（ x0， ）处的切线方程为 y － ＝（ ＋2 x0） ·（ x
－ x0）.将 代入，得 x0 ·（2 － x0－6）＝0，即 x0（ x0
－2）（2 x0＋3） ＝0，解得 x0＝0或2或－ ，因为当 x ＝0时，y'
＝0，当 x ＝2时，y'＝8e2，当 x ＝－ 时，y'＝－ ，所以过点
且与曲线 y ＝ x2e x 相切的切线斜率可能为0，8e2，－ .
故选A、B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 已知函数 f （ x ）＝ ，则f'（3）＝ 　 　.
解析：因为f'（ x ）＝ '
＝ ＝ ＝ ，所以f'（3）
＝ ＝ .

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. 函数 f （ x ）＝e x · cos x ＋1在 x ＝0处的切线方程为
.
解析：对 f （ x ）求导可得f'（ x ）＝e x （ cos x － sin x ），则曲线 f
（ x ）在 x ＝0处的切线方程的斜率为f'（0）＝1，又 f （0）＝2，则
切线方程为 y ＝ x ＋2，即 x － y ＋2＝0.
x － y ＋2＝
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

－
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：直线 l ： y ＝ kx ＋2是曲线 y ＝ f （ x ）在 x ＝3处的切线，可得
k ＝f'（3），由图象可得 f （3）＝1，所以直线 l 过点（3，1），又
知直线 l 过点（0，2），所以 k ＝ ＝－ ；由 g （ x ）＝ xf
（ x ），可得g'（ x ）＝ f （ x ）＋xf'（ x ），可得g'（3）＝ f （3）
＋3f'（3）＝1＋3× ＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. 求下列函数的导数：
（1） y ＝（ x2＋1）（ x ＋1）；
解： 法一　y'＝（ x2＋1）'·（ x ＋1）＋（ x2＋1）·（ x
＋1）'＝2 x （ x ＋1）＋（ x2＋1）＝3 x2＋2 x ＋1.
法二　∵ y ＝（ x2＋1）（ x ＋1）＝ x3＋ x2＋ x ＋1，
∴y'＝3 x2＋2 x ＋1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解： y'＝ '
＝
＝ ＝ .
（2） y ＝ ；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解： ∵ y ＝ x tan x － ＝ x · －
＝ ，
∴y'＝
＝
＝ .
（3） y ＝ x tan x － .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. 若函数 f （ x ）， g （ x ）满足 f （ x ）＋ xg （ x ）＝ x2－1，且 f
（1）＝1，则f'（1）＋g'（1）＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 　当 x ＝1时， f （1）＋ g （1）＝0，又 f （1）＝1，得 g
（1）＝－1.原式两边求导，得f'（ x ）＋ g （ x ）＋xg'（ x ）＝2
x ，当 x ＝1时f'（1）＋ g （1）＋g'（1）＝2，得f'（1）＋g'（1）
＝2－ g （1）＝2－（－1）＝3.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. 等比数列{ an }中， a2 a7＝8，函数 f （ x ）＝ x （ x ＋ a1）·（ x ＋
a2）…（ x ＋ a8），则f'（0）＝（　　）
A. 26 B. 29
C. 212 D. 215
解析： 　f'（ x ）＝x'·（ x ＋ a1）（ x ＋ a2）…（ x ＋ a8）＋
x ·[（ x ＋ a1）·（ x ＋ a2）…（ x ＋ a8）]'＝（ x ＋ a1）（ x ＋ a2）…
（ x ＋ a8）＋ x ·[（ x ＋ a1）（ x ＋ a2）…（ x ＋ a8）]'，f'（0）＝
（0＋ a1）（0＋ a2）…（0＋ a8）＋0＝ a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8＝（ a2
a7）4＝212.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13. （多选）已知函数 f （ x ）＝ x sin 的导函数为f'（ x ），则
（　　）
A. f'（ x ）为奇函数
B. f'（ x ）为偶函数
C. f'（0）＝1
D. f （π）＋f'（π）＝－π
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 　因为 f （ x ）＝ x sin ，所以 f （ x ）＝ x cos x ，
所以f'（ x ）＝ cos x － x sin x .因为f'（－ x ）＝ cos （－ x ）－（－
x ） sin （－ x ）＝ cos x － x sin x ＝f'（ x ），所以f'（ x ）是偶函
数，故A不正确，B正确；f'（0）＝ cos 0－0× sin 0＝1，故C正
确； f （π）＋f'（π）＝π cos π＋ cos π－π sin π＝－π－1－0＝－π
－1，故D不正确.故选B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. 已知函数 f （ x ）＝ ＋ b 在 x ＝1处的切线方程为2 x － y －2＝0.
（1）求 f （ x ）的解析式；
解： ∵函数 f （ x ）＝ ＋ b ，
∴ f （ x ）的定义域为（0，＋∞），f'（ x ）＝ ，
∴ f （ x ）在 x ＝1处切线的斜率为 k ＝f'（1）＝ a ＝2，
由切线方程可知切点为（1，0），而切点也在函数 f （ x ）
的图象上，解得 b ＝0，
∴ f （ x ）的解析式为 f （ x ）＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）求函数 f （ x ）图象上的点到直线2 x － y ＋3＝0的距离的最
小值.
解： 由于直线2 x － y －2＝0与直线2 x － y ＋3＝0平
行，直线2 x － y －2＝0与函数 f （ x ）＝ 在点（1，0）处
相切，
∴切点（1，0）到直线2 x － y ＋3＝0的距离最小，最小值为
d ＝ ＝ ，
故函数 f （ x ）图象上的点到直线2 x － y ＋3＝0的距离的最
小值为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. （多选）给出定义：若函数 f （ x ）在 D 上可导，即f'（ x ）存在，
且导函数f'（ x ）在 D 上也可导，则称 f （ x ）在 D 上存在二阶导函
数，记 f ″（ x ）＝（f'（ x ））'， 若 f ″（ x ）＜0在 D 上恒成立，则
称 f （ x ）在 D 上为凸函数.以下四个函数在（ 0， ）上是凸函数
的是（　　）
A. f （ x ）＝ sin x ＋ cos x B. f （ x ）＝ln x －2 x
C. f （ x ）＝－ x3＋2 x －1 D. f （ x ）＝ x e x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 　若 f （ x ）＝ sin x ＋ cos x ，则 f ″（ x ）＝－ sin x －
cos x ，在（ 0， ）上恒有 f ″（ x ）＜0；若 f （ x ）＝ln x －2 x ，
则 f ″（ x ）＝－ ，在（ 0， ）上恒有 f ″（ x ）＜0；若 f （ x ）
＝－ x3＋2 x －1，则 f ″（ x ）＝－6 x ，在（ 0， ）上恒有 f ″
（ x ）＜0；若 f （ x ）＝ x e x ，则 f ″（ x ）＝2e x ＋ x e x ＝（2＋ x ）e
x ，在（ 0， ）上恒有 f ″（ x ）＞0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 已知 f （ x ）， g （ x ）都是定义在R上的函数， g （ x ）≠0，f'
（ x ） g （ x ）＞ f （ x ）g'（ x ），且 f （ x ）＝ axg （ x ）（ a ＞0，
且 a ≠1）， ＋ ＝ .若数列 的前 n 项和大于
62，求 n 的最小值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解：由题设可得 ＝ ax ，
又f'（ x ） g （ x ）＞ f （ x ）g'（ x ），
∴ '＝ ＝（ ax ）'＝ ax ln a ＞0，
∴ a ＞1，
∵ ＋ ＝ ，即 a ＋ a－1＝ ，可得 a ＝2，
∴ ＝2 x ，故 ＝2 n ，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴数列 为等比数列，
∴ Sn ＝ ＝2 n＋1－2＞62，故 n ＋1＞6，即 n ＞5， n ∈N
＋，∴ n 的最小值为6.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
谢 谢 观 看！

展开更多......

收起↑