资源简介

5　简单复合函数的求导法则
1.设f（x）＝log3（x－1），则f'（2）＝（　　）
A.ln 3　 B.－ln 3
C. D.－
2.函数y＝sin 2x－cos 2x的导数是（　　）
A.2cos
B.cos 2x－sin 2x
C.sin 2x＋cos 2x
D.2cos
3.已知函数f（x）＝xex－a，曲线y＝f（x）在点（a，f（a））处的切线方程为y＝3x＋b，则a＋b＝（　　）
A.－4 B.－2
C.2 D.4
4.曲线y＝e－2x＋1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为（　　）
A. B.
C. D.1
5.（多选）设f'（x）是函数y＝f（x）的导函数，则以下求导运算中，正确的有（　　）
A.若f（x）＝sin 2x，则f'（x）＝cos 2x
B.若f（x）＝xex－ln 2，则f'（x）＝（x＋1）ex
C.若f'（x）＝2x－1，则f（x）＝x2－x
D.若f（x）＝tan 2x，则f'（x）＝
6.（多选）曲线y＝e2xcos 3x在点（0，1）处的切线与其平行直线l的距离为，则直线l的方程可能为（　　）
A.y＝2x＋6 B.y＝2x－4
C.y＝3x＋1 D.y＝3x－4
7.函数y＝sin 2xcos 3x的导数是　　　　　.
8.若f（x）＝log3（2x－1），则f'＝　　　　.
9.若曲线y＝e－x在点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标为　　　　.
10.已知直线y＝kx＋b是y＝ln x＋2的切线，也是y＝ln（x＋1）的切线，求b的值.
11.y＝x2与y＝ln（x＋a）有一条斜率为2的公切线，则a＝（　　）
A.－ln 2 B.ln 2
C.－ln 2 D.ln 2
12.（多选）设函数f（x）＝cos（x＋φ）（－π＜φ＜π）.若f（x）＋f'（x）是偶函数，则φ＝（　　）
A. B.－ C. D.－
13.如果函数y＝，那么y'＝　　　　.
14.设曲线y＝e－x（x≥0）在点M（t，e－t）处的切线l与x轴、y轴围成的三角形面积为S（t）.
（1）求切线l的方程；
（2）求S（t）的解析式.
15.设f0（x）＝sin 2x＋cos 2x，f1（x）＝f0'（x），f2（x）＝f1'（x），…，f1＋n（x）＝fn'（x），n∈N，则f2 024（x）＝（　　）
A.22 024（cos 2x＋sin 2x）
B.22 024（－cos 2x－sin 2x）
C.22 024（cos 2x－sin 2x）
D.22 024（－cos 2x＋sin 2x）
16.（1）已知f（x）＝eπxsin πx，求f'（x）及f'；
（2）在曲线g（x）＝上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程.
5　简单复合函数的求导法则
1.C　f'（x）＝，故f'（2）＝.
2.A　y'＝（sin 2x－cos 2x）'＝（sin 2x）'－（cos 2x）'＝cos 2x·（2x）'＋sin 2x·（2x）'＝2cos 2x＋2sin 2x＝2cos.
3.B　由题得f'（x）＝（x＋1）ex－a，所以f'（a）＝a＋1＝3，解得a＝2，所以f（x）＝xex－2，可得f（2）＝2×e2－2＝2，所以切点为（2，2），将（2，2）代入切线方程得b＝－4，所以a＋b＝－2.故选B.
4.A　当x＝0时，y'＝－2e－2×0＝－2，∴曲线在点（0，2）处的切线方程为y＝－2x＋2.由得x＝y＝，
∴A，如图所示，则围成的三角形的面积为××1＝.
5.BD　因为f（x）＝sin 2x，所以f'（x）＝（sin 2x）'（2x）'＝2cos 2x，故A错误；因为f（x）＝xex－ln 2，所以f'（x）＝x'ex＋x（ex）'－0＝（x＋1）ex，故B正确；若f'（x）＝2x－1，则f（x）＝x2－x＋c（c为任意常数），故C错误；因为f（x）＝tan 2x＝，所以f'（x）＝＝＝，故D正确.
6.AB　y'＝e2x（2cos 3x－3sin 3x），∴当x＝0时，y'＝2，则所求的切线方程为y＝2x＋1，设直线l的方程为y＝2x＋b，则＝，解得b＝6或－4.∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.
7.y'＝2cos 2xcos 3x－3sin 2xsin 3x　解析：∵y＝sin 2xcos 3x，∴y'＝（sin 2x）'cos 3x＋sin 2x（cos 3x）'＝2cos 2xcos 3x－3sin 2xsin 3x.
8.　解析：∵f（x）＝log3（2x－1），∴f'（x）＝，
∴f'＝.
9.（－ln 2，2）　解析：设P（x0，y0）.∵y＝e－x，∴y'＝－e－x.∴曲线y＝e－x在点P处的切线的斜率k＝－＝－2，∴－x0＝ln 2，∴x0＝－ln 2，∴y0＝eln 2＝2，∴点P的坐标为（－ln 2，2）.
10.解：函数y＝ln x＋2的导函数为y'＝，函数y＝ln（x＋1）的导函数为y'＝.
设曲线y＝ln x＋2和曲线y＝ln（x＋1）上的切点横坐标分别为m，n，
则该直线方程可以写成y＝·（x－m）＋ln m＋2，也可以写成y＝（x－n）＋ln（n＋1）.
整理后对比得解得
故b＝1－ln 2.
11.B　由y＝x2得y'＝2x＝2 x＝1，由点斜式得切线方程为y－1＝2（x－1），即y＝2x－1，
对曲线y＝ln（x＋a）求导，得y'＝＝2 x＝－a，代入y＝ln（x＋a），得y＝－ln 2，将代入y＝2x－1，得－ln 2＝2－1 a＝ln 2.故选B.
12.AB　f（x）＋f'（x）＝cos（x＋φ）－sin（x＋φ）＝2sin（ x＋φ＋π），因为f（x）＋f'（x）为偶函数，则φ＋π＝kπ＋，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z.又－π＜φ＜π，所以φ＝－或.
13.　解析：y'＝＝
＝＝.
14.解：（1）∵y＝e－x，
∴y'＝（e－x）'＝－e－x.
∴当x＝t时，y'＝－e－t.
故切线l的方程为y－e－t＝－e－t（x－t），
即x＋ety－（t＋1）＝0.
（2）令y＝0，得x＝t＋1；令x＝0，得y＝e－t（t＋1）.
∴S（t）＝（t＋1）e－t（t＋1）＝（t＋1）2e－t（t≥0）.
15.A　∵f0（x）＝sin 2x＋cos 2x，∴f1（x）＝f0'（x）＝2（cos 2x－sin 2x），f2（x）＝f1'（x）＝22（－sin 2x－cos 2x），f3（x）＝f2'（x）＝23（－cos 2x＋sin 2x），f4（x）＝f3'（x）＝24（sin 2x＋cos 2x），通过以上可以看出fn（x）满足以下规律：对任意n∈N，fn＋4（x）＝24fn（x）.故f2 024（x）＝f506×4（x）＝（24）506f0（x）＝22 024·（cos 2x＋sin 2x），故选A.
16.解：（1）∵f（x）＝eπxsin πx，
∴f'（x）＝πeπxsin πx＋πeπxcos πx
＝πeπx（sin πx＋cos πx）.
∴f'＝π＝π.
（2）设切点坐标为P（x0，y0），
由题意可知g'（x0）＝0.
又g'（x）＝，∴g'（x0）＝＝0.
解得x0＝0，此时y0＝1.
即该点的坐标为P（0，1），切线方程为y－1＝0.
2 / 25　简单复合函数的求导法则
新课程标准解读 核心素养
能求简单的复合函数（限于形如f（ax＋b））的导数 数学运算
　　假设某商品的利润y是销售量u的函数，销售量u是销售价格x的函数，且y＝f（u）＝60u－u2，u＝g（x）＝60－3x.
　　那么，不难看出，利润y是销售价格x的函数，且有y＝60u－u2＝60（60－3x）－（60－3x）2＝180x－9x2.
　　上式也可这样得到：f（g（x））＝60g（x）－[g（x）]2＝180x－9x2.
【问题】　（1）函数f（g（x））与f（x）和g（x）是什么关系？
（2）设y＝f（g（x））＝180x－9x2，求y'，并观察f'（u）和u'＝g'（x）的关系.
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
知识点　复合函数及求导法则
1.复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f（u）和u＝φ（x）＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数y＝f（u）和u＝φ（x）的复合函数，记作y＝　　　　，其中　　　为中间变量.
2.简单复合函数的求导法则
y'x＝[f（φ（x））]'＝　　　　，其中u＝φ（x）.特别地，当u＝ax＋b时，y'x＝　　　　.
提醒　复合函数导数的求解技巧：①中间变量的选择应是基本函数结构；②关键是正确分析函数的复合层次；③一般是从最外层开始，由外及内，一层层地求导；④善于把一部分表达式作为一个整体；⑤最后要把中间变量换成自变量的函数.
【想一想】
1.已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln（2x＋5），y＝sin（x＋2）.这三个函数都是复合函数吗？
2.试说明函数y＝ln（2x＋5）是如何复合的？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）f（x）＝2x2－是复合函数.（　　）
（2）y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成.（　　）
（3）函数f（x）＝e2x－1的导数为f'（x）＝2e2x－1.（　　）
2.设f（x）＝cos 2x－3x，则f'＝（　　）
A.－5　　B.－3　　C.－4　　D.－
3.曲线f（x）＝e－2x＋3在（1，f（1））处的切线的斜率是　　　　.
题型一 简单复合函数求导
【例1】　求下列函数的导数：
（1）y＝；
（2）y＝cos x2；
（3）y＝log2（2x＋1）.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
求复合函数的导数的步骤
【跟踪训练】
求下列函数的导数：
（1）y＝sin x2；
（2）y＝sin2；
（3）y＝.
题型二 复合函数导数的应用问题
【例2】　某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s（t）＝3sin（0≤t≤24），其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
　　将复合函数的求导与导数的实际意义相结合，旨在巩固函数在某点处的导数，反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况.
【跟踪训练】
某市在一次降雨过程中，降雨量y（mm）与时间t（min）的关系可近似地表示为y＝f（t）＝，则在时刻t＝41 min的降雨强度为（　　）
A.2 mm/min　　　　　　 B.4 mm/min
C. mm/min D. mm/min
题型三 与复合函数有关的切线问题
【例3】　（1）曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是（　　）
A. B.2
C.3 D.0
（2）设曲线y＝eax在点（0，1）处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝　　　　.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
【母题探究】
1.（变条件、变设问）本例（1）的条件变为“曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2”，求m的值.
2.（变设问）本例（2）中的问题改为“求曲线的切线与坐标轴围成的面积”.
通性通法
解决复合函数求导与导数几何意义综合问题的方法
　　正确求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.
【跟踪训练】
已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝e－x－1－x，则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程是　　　.
1.已知f（x）＝sin 2x＋e2x，则f'（x）＝（　　）
A.2cos 2x＋2e2x　　　　　B.cos 2x＋e2x
C.2sin 2x＋2e2x D.sin 2x＋e2x
2.设f（x）＝ln（3x＋2）－3x2，则f'（0）＝（　　）
A.1 B.
C.－1 D.－2
3.设函数f（x）在（0，＋∞）内可导，且f（ex）＝x＋ex，则f'（1）＝　　　　.
4.已知函数f（x）的导函数f'（x），若f（x）＝f'sin 3x＋cos 3x，求f'的值.
探讨导函数与原函数的性质关系
1.奇偶性
（1）若函数f（x）是奇函数，则f（－x）＝－f（x），两边对x求导，得f'（－x）＝f'（x），所以导函数f'（x）为偶函数.
如图①所示，曲线在点A，B处的切线斜率相等，即f'（－a）＝f'（a）.
于是我们得到：奇函数的导数是偶函数.
例如，y＝sin x是奇函数，y'＝cos x是偶函数.
（2）若函数f（x）为偶函数，则f（－x）＝f（x），两边对x求导，得f'（－x）＝－f'（x），所以导函数f'（x）为奇函数.
如图②所示，曲线在点A，B处的切线斜率互为相反数，即g'（a）＝－g'（－a）.
于是我们得到：偶函数的导数是奇函数.
例如，y＝x2是偶函数，y'＝2x是奇函数.
　　
2.对称性
（1）若函数f（x）的图象关于直线x＝a对称，则f（a＋x）＝f（a－x），两边对x求导，得f'（a＋x）＋f'（a－x）＝0，所以导函数f'（x）的图象关于点（a，0）对称.
于是有：若函数f（x）的图象关于直线x＝a对称，则导函数f'（x）的图象关于点（a，0）对称.
（2）若函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，则f（a＋x）＋f（a－x）＝2b，两边对x求导，得f'（a＋x）＝f'（a－x），所以导函数f'（x）的图象关于直线x＝a对称.
于是有：若函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，则导函数f'（x）的图象关于直线x＝a对称.
3.周期性
若函数f（x）为周期函数，则f（x＋T）＝f（x）（T≠0）.两边对x对导，得f'（x＋T）＝f'（x）.所以导函数f'（x）仍为周期函数.
5　简单复合函数的求导法则
【基础知识·重落实】
知识点
1.f（φ（x））　u　2.f'（u）φ'（x）　a·f'（u）
想一想
1.提示：函数y＝ln（2x＋5），y＝sin（x＋2）是复合函数，函数y＝2x＋5＋ln x不是复合函数.
2.提示：设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln（2x＋5）可以看作是由y＝ln u和u＝2x＋5，经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.
自我诊断
1.（1）×　（2）√　（3）√
2.B　f'（x）＝－2sin 2x－3，f'＝－2sin π－3＝－3.
3.－2e　解析：f'（x）＝－2e－2x＋3，f'（1）＝－2e，即k＝－2e.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）令u＝1－3x，则y＝＝u－4，
所以y'u＝－4u－5，u'x＝－3.
所以y'x＝y'u·u'x＝12u－5＝.
（2）令u＝x2，则y＝cos u，
所以y'x＝y'u·u'x＝－sin u·2x＝－2xsin x2.
（3）令u＝2x＋1，则y＝log2u，
所以y'x＝y'u·u'x＝＝.
跟踪训练
　解：（1）令u＝x2，则y＝sin u，所以y'x＝cos u·u'＝cos x2·2x＝2xcos x2.
（2）令y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋，
则y'x＝y'u·u'v·v'x＝2u·cos v·2
＝2sin·cos·2＝2sin.
（3）令u＝1＋x2，则y＝＝，
所以y'x＝·（1＋x2）'＝ .
【例2】　解：设f（x）＝3sin x，x＝φ（t）＝t＋，
所以s'（t）＝f'（x）φ'（t）＝3cos x·＝cos，
将t＝18代入s'（t），得s'（18）＝cos＝（m/h）.
s'（18）表示当t＝18 h时，潮水的高度上升的速度为 m/h.
跟踪训练
　D　f'（t）＝·[10（t－1）]'＝，∴f'（41）＝＝，故选D.
【例3】　（1）A　（2）2　解析：（1）设曲线y＝ln（2x－1）在点（x0，y0）处的切线与直线2x－y＋3＝0平行.∵y'＝，∴当x＝x0时，y'＝＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln（2－1）＝0，即切点坐标为（1，0）.∴切点（1，0）到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.
（2）令y＝f（x），则曲线y＝eax在点（0，1）处的切线的斜率为f'（0），又∵切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，∴f'（0）＝2.∵f（x）＝eax，∴f'（x）＝（eax）'＝eax·（ax）'＝aeax，∴f'（0）＝ae0＝a，故a＝2.
母题探究
1.解：由题意可知，设切点P（x0，y0），
则当x＝x0时，y'＝＝2，∴x0＝1，即切点P（1，0），
∴＝2，解得m＝8或－12.
即实数m的值为8或－12.
当m＝8时，直线2x－y＋8＝0与曲线y＝ln（2x－1）相离，符合题意；
当m＝－12时，直线2x－y－12＝0与曲线y＝ln（2x－1）相交，不符合题意，舍去.故m＝8.
2.解：由题意可知，切线方程为y－1＝2x.
即2x－y＋1＝0.
令x＝0得y＝1；令y＝0得x＝－.
∴曲线的切线与坐标轴围成的面积为S＝××1＝.
跟踪训练
　2x－y＝0　解析：设x＞0，则－x＜0，f（－x）＝ex－1＋x.又f（x）为偶函数，f（x）＝f（－x）＝ex－1＋x.所以当x＞0时，f（x）＝ex－1＋x.因此，当x＞0时，f'（x）＝ex－1＋1，f'（1）＝e0＋1＝2.则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线的斜率为f'（1）＝2，所以切线方程为y－2＝2（x－1），即2x－y＝0.
随堂检测
1.A　因为f（x）＝sin 2x＋e2x，所以f'（x）＝2cos 2x＋2e2x.故选A.
2.B　f'（x）＝－6x，故f'（0）＝－0＝.
3.2　解析：法一　令ex＝t，则x＝ln t.∵f（ex）＝x＋ex，∴f（t）＝ln t＋t，∴f'（t）＝＋1，∴f'（1）＝1＋1＝2.
法二　求导，得[f（ex）]'＝f'（ex）ex＝1＋ex，令x＝0，得f'（e0）＝f'（1）＝1＋e0＝2.
4.解：∵f（x）＝f'sin 3x＋cos 3x，∴f'（x）＝f'·3cos 3x－3sin 3x，令x＝可得f'＝f'×3cos －3sin ＝f'－3×，解得f'＝3.
4 / 4(共65张PPT)
§5　
简单复合函数的求导法则
新课程标准解读 核心素养
能求简单的复合函数（限于形如 f （ ax ＋ b ））的导数 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　假设某商品的利润 y 是销售量 u 的函数，销售量 u 是销售价格 x 的
函数，且 y ＝ f （ u ）＝60 u － u2， u ＝ g （ x ）＝60－3 x .
　　那么，不难看出，利润 y 是销售价格 x 的函数，且有 y ＝60 u － u2
＝60（60－3 x ）－（60－3 x ）2＝180 x －9 x2.
　　上式也可这样得到： f （ g （ x ））＝60 g （ x ）－[ g （ x ）]2＝
180 x －9 x2.
【问题】　（1）函数 f （ g （ x ））与 f （ x ）和 g （ x ）是什么关系？
（2）设 y ＝ f （ g （ x ））＝180 x －9 x2，求y'，并观察f'（ u ）和u'＝g'
（ x ）的关系.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知识点　复合函数及求导法则
1. 复合函数的概念
一般地，对于两个函数 y ＝ f （ u ）和 u ＝φ（ x ）＝ ax ＋ b ，如果给
定 x 的一个值，就得到了 u 的值，进而确定了 y 的值，那么 y 可以表
示成 x 的函数，称这个函数为函数 y ＝ f （ u ）和 u ＝φ（ x ）的复合
函数，记作 y ＝ ，其中 为中间变量.
f （φ（ x ））　
u 　
2. 简单复合函数的求导法则
y' x ＝[ f （φ（ x ））]'＝ ，其中 u ＝φ（ x ）.特
别地，当 u ＝ ax ＋ b 时，y' x ＝ .
提醒　复合函数导数的求解技巧：①中间变量的选择应是基本函数
结构；②关键是正确分析函数的复合层次；③一般是从最外层开
始，由外及内，一层层地求导；④善于把一部分表达式作为一个整
体；⑤最后要把中间变量换成自变量的函数.
f'（ u ）φ'（ x ）　
a ·f'（ u ）　
【想一想】
1. 已知函数 y ＝2 x ＋5＋ln x ， y ＝ln（2 x ＋5）， y ＝ sin （ x ＋2）.
这三个函数都是复合函数吗？
提示：函数 y ＝ln（2 x ＋5）， y ＝ sin （ x ＋2）是复合函数，函数
y ＝2 x ＋5＋ln x 不是复合函数.
2. 试说明函数 y ＝ln（2 x ＋5）是如何复合的？
提示：设 u ＝2 x ＋5，则 y ＝ln u ，从而 y ＝ln（2 x ＋5）可以看作是
由 y ＝ln u 和 u ＝2 x ＋5，经过“复合”得到的，即 y 可以通过中间
变量 u 表示为自变量 x 的函数.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1） f （ x ）＝2 x2－ 是复合函数. （　×　）
（2） y ＝ cos 3 x 由函数 y ＝ cos u ， u ＝3 x 复合而成. （　√　）
（3）函数 f （ x ）＝e2 x－1的导数为f'（ x ）＝2e2 x－1. （　√　）
×
√
√
2. 设 f （ x ）＝ cos 2 x －3 x ，则f' ＝（　　）
A. －5 B. －3
C. －4
解析： 　f'（ x ）＝－2 sin 2 x －3，f' ＝－2 sin π－3＝－3.
3. 曲线 f （ x ）＝e－2 x＋3在（1， f （1））处的切线的斜率是 .
解析：f'（ x ）＝－2e－2 x＋3，f'（1）＝－2e，即 k ＝－2e.
－2e
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 简单复合函数求导
【例1】　求下列函数的导数：
（1） y ＝ ；
解： 令 u ＝1－3 x ，
则 y ＝ ＝ u－4，
所以y' u ＝－4 u－5，u' x ＝－3.
所以y' x ＝y' u ·u' x ＝12 u－5＝ .
（2） y ＝ cos x2；
解： 令 u ＝ x2，则 y ＝ cos u ，
所以y' x ＝y' u ·u' x ＝－ sin u ·2 x ＝－2 x sin x2.
（3） y ＝log2（2 x ＋1）.
解： 令 u ＝2 x ＋1，则 y ＝log2 u ，
所以y' x ＝y' u ·u' x ＝ ＝ .
通性通法
求复合函数的导数的步骤
【跟踪训练】
求下列函数的导数：
（1） y ＝ sin x2；
解： 令 u ＝ x2，则 y ＝ sin u ，所以y' x ＝ cos u ·u'＝ cos x2·2 x
＝2 x cos x2.
（2） y ＝ sin 2 ；
解： 令 y ＝ u2， u ＝ sin v ， v ＝2 x ＋ ，
则y' x ＝y' u ·u' v ·v' x ＝2 u · cos v ·2
＝2 sin · cos ·2＝2 sin .
（3） y ＝ .
解： 令 u ＝1＋ x2，则 y ＝ ＝ ，
所以y' x ＝ ·（1＋ x2）'＝ .
题型二 复合函数导数的应用问题
【例2】　某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式 s （ t ）
＝3 sin （0≤ t ≤24），其中 s 的单位是m， t 的单位是h，求
函数在 t ＝18时的导数，并解释它的实际意义.
解：设 f （ x ）＝3 sin x ， x ＝φ（ t ）＝ t ＋ ，
所以s'（ t ）＝f'（ x ）φ'（ t ）＝3 cos x ·
＝ cos ，
将 t ＝18代入s'（ t ），得s'（18）＝ cos ＝ （m/h）.
s'（18）表示当 t ＝18 h时，潮水的高度上升的速度为 m/h.
通性通法
　　将复合函数的求导与导数的实际意义相结合，旨在巩固函数在某
点处的导数，反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某
时刻的变化状况.
【跟踪训练】
某市在一次降雨过程中，降雨量 y （mm）与时间 t （min）的关系可
近似地表示为 y ＝ f （ t ）＝ ，则在时刻 t ＝41 min的降
雨强度为（　　）
A. 2 mm/min B. 4 mm/min
解析： 　f'（ t ）＝ ·[10（ t －1）]'＝ ，∴f'（41）
＝ ＝ ，故选D.
题型三 与复合函数有关的切线问题
【例3】　（1）曲线 y ＝ln（2 x －1）上的点到直线2 x － y ＋3＝0的最
短距离是（　A　）
D. 0
A
解析： 设曲线 y ＝ln（2 x －1）在点（ x0， y0）处的切线与
直线2 x － y ＋3＝0平行.∵y'＝ ，∴当 x ＝ x0时，y'＝
＝2，解得 x0＝1，∴ y0＝ln（2－1）＝0，即切点坐标为（1，
0）.∴切点（1，0）到直线2 x － y ＋3＝0的距离为 d ＝
＝ ，即曲线 y ＝ln（2 x －1）上的点到直线2 x － y
＋3＝0的最短距离是 .
（2）设曲线 y ＝e ax 在点（0，1）处的切线与直线 x ＋2 y ＋1＝0垂
直，则 a ＝ .
解析： 令 y ＝ f （ x ），则曲线 y ＝e ax 在点（0，1）处的切
线的斜率为f'（0），又∵切线与直线 x ＋2 y ＋1＝0垂直，∴f'
（0）＝2.∵ f （ x ）＝e ax ，∴f'（ x ）＝（e ax ）'＝e ax ·（ ax ）'＝
a e ax ，∴f'（0）＝ a e0＝ a ，故 a ＝2.
2
【母题探究】
1. （变条件、变设问）本例（1）的条件变为“曲线 y ＝ln（2 x －1）
上的点到直线2 x － y ＋ m ＝0的最小距离为2 ”，求 m 的值.
解：由题意可知，设切点 P （ x0， y0），
则当 x ＝ x0时，y'＝ ＝2，
∴ x0＝1，即切点 P （1，0），
∴ ＝2 ，解得 m ＝8或－12.
即实数 m 的值为8或－12.
当 m ＝8时，直线2 x － y ＋8＝0与曲线 y ＝ln（2 x －1）相离，符合
题意；
当 m ＝－12时，直线2 x － y －12＝0与曲线 y ＝ln（2 x －1）相交，
不符合题意，舍去.故 m ＝8.
2. （变设问）本例（2）中的问题改为“求曲线的切线与坐标轴围成
的面积”.
解：由题意可知，切线方程为 y －1＝2 x .
即2 x － y ＋1＝0.
令 x ＝0得 y ＝1；
令 y ＝0得 x ＝－ .
∴曲线的切线与坐标轴围成的面积为 S ＝ × ×1＝ .
通性通法
解决复合函数求导与导数几何意义综合问题的方法
　　正确求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切
点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问
题，寻求切点是解决问题的关键.
【跟踪训练】
已知 f （ x ）为偶函数，当 x ≤0时， f （ x ）＝e－ x－1－ x ，则曲线 y ＝ f
（ x ）在点（1，2）处的切线方程是 .
解析：设 x ＞0，则－ x ＜0， f （－ x ）＝e x－1＋ x .
又 f （ x ）为偶函数， f （ x ）＝ f （－ x ）＝e x－1＋ x .
所以当 x ＞0时， f （ x ）＝e x－1＋ x .
因此，当 x ＞0时，f'（ x ）＝e x－1＋1，f'（1）＝e0＋1＝2.
则曲线 y ＝ f （ x ）在点（1，2）处的切线的斜率为f'（1）＝2，
所以切线方程为 y －2＝2（ x －1），即2 x － y ＝0.
2 x － y ＝0
1. 已知 f （ x ）＝ sin 2 x ＋e2 x ，则f'（ x ）＝（　　）
A. 2 cos 2 x ＋2e2 x
B. cos 2 x ＋e2 x
C. 2 sin 2 x ＋2e2 x
D. sin 2 x ＋e2 x
解析： 　因为 f （ x ）＝ sin 2 x ＋e2 x ，所以f'（ x ）＝2 cos 2 x ＋2e2
x .故选A.
2. 设 f （ x ）＝ln（3 x ＋2）－3 x2，则f'（0）＝（　　）
A. 1
C. －1 D. －2
解析： 　f'（ x ）＝ －6 x ，故f'（0）＝ －0＝ .
3. 设函数 f （ x ）在（0，＋∞）内可导，且 f （e x ）＝ x ＋e x ，则f'
（1）＝ .
解析：法一　令e x ＝ t ，则 x ＝ln t .∵ f （e x ）＝ x ＋e x ，∴ f （ t ）＝
ln t ＋ t ，∴f'（ t ）＝ ＋1，∴f'（1）＝1＋1＝2.
2
法二　求导，得[ f （e x ）]'＝f'（e x ）e x ＝1＋e x ，令 x ＝0，得f'（e0）
＝f'（1）＝1＋e0＝2.
4. 已知函数 f （ x ）的导函数f'（ x ），若 f （ x ）＝f' sin 3 x ＋ cos 3
x ，求f' 的值.
解：∵ f （ x ）＝f' sin 3 x ＋ cos 3 x ，∴f'（ x ）＝f' ·3 cos 3 x
－3 sin 3 x ，令 x ＝ 可得f' ＝f' ×3 cos －3 sin ＝ f' －
3× ，解得f' ＝3 .
　探讨导函数与原函数的性质关系
1. 奇偶性
（1）若函数 f （ x ）是奇函数，则 f （－ x ）＝－ f （ x ），两边对 x
求导，得f'（－ x ）＝f'（ x ），所以导函数f'（ x ）为偶函数.
如图①所示，曲线在点 A ， B 处的切线斜率相等，即f'（－ a ）＝f'（ a ）.
于是我们得到：奇函数的导数是偶函数.
例如， y ＝ sin x 是奇函数，y'＝ cos x 是偶函数.
（2）若函数 f （ x ）为偶函数，则 f （－ x ）＝ f （ x ），两边对 x 求
导，得f'（－ x ）＝－f'（ x ），所以导函数f'（ x ）为奇函数.
如图②所示，曲线在点 A ， B 处的切线斜率互为相反数，即g'（ a ）＝－g'（－ a ）.
于是我们得到：偶函数的导数是奇函数.
例如， y ＝ x2是偶函数，y'＝2 x 是奇函数.
2. 对称性
（1）若函数 f （ x ）的图象关于直线 x ＝ a 对称，则 f （ a ＋ x ）＝ f
（ a － x ），两边对 x 求导，得f'（ a ＋ x ）＋f'（ a － x ）＝0，
所以导函数f'（ x ）的图象关于点（ a ，0）对称.
于是有：若函数 f （ x ）的图象关于直线 x ＝ a 对称，则导函
数f'（ x ）的图象关于点（ a ，0）对称.
（2）若函数 f （ x ）的图象关于点（ a ， b ）对称，则 f （ a ＋ x ）
＋ f （ a － x ）＝2 b ，两边对 x 求导，得f'（ a ＋ x ）＝f'（ a －
x ），所以导函数f'（ x ）的图象关于直线 x ＝ a 对称.
于是有：若函数 f （ x ）的图象关于点（ a ， b ）对称，则导
函数f'（ x ）的图象关于直线 x ＝ a 对称.
3. 周期性
若函数 f （ x ）为周期函数，则 f （ x ＋ T ）＝ f （ x ）（ T ≠0）.两
边对 x 对导，得f'（ x ＋ T ）＝f'（ x ）.所以导函数f'（ x ）仍为周期
函数.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设 f （ x ）＝log3（ x －1），则f'（2）＝（　　）
A. ln 3 B. －ln 3
解析： 　f'（ x ）＝ ，故f'（2）＝ .
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2. 函数 y ＝ sin 2 x － cos 2 x 的导数是（　　）
B. cos 2 x － sin 2 x
C. sin 2 x ＋ cos 2 x
解析： 　y'＝（ sin 2 x － cos 2 x ）'＝（ sin 2 x ）'－（ cos 2 x ）'＝
cos 2 x ·（2 x ）'＋ sin 2 x ·（2 x ）'＝2 cos 2 x ＋2 sin 2 x ＝2 cos
.
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3. 已知函数 f （ x ）＝ x e x－ a ，曲线 y ＝ f （ x ）在点（ a ， f （ a ））处
的切线方程为 y ＝3 x ＋ b ，则 a ＋ b ＝（　　）
A. －4 B. －2
C. 2 D. 4
解析： 　由题得f'（ x ）＝（ x ＋1）e x－ a ，所以f'（ a ）＝ a ＋1＝
3，解得 a ＝2，所以 f （ x ）＝ x e x－2，可得 f （2）＝2×e2－2＝2，
所以切点为（2，2），将（2，2）代入切线方程得 b ＝－4，所以 a
＋ b ＝－2.故选B.
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4. 曲线 y ＝e－2 x ＋1在点（0，2）处的切线与直线 y ＝0和 y ＝ x 围成的
三角形的面积为（　　）
D. 1
解析： 　当 x ＝0时，y'＝－2e－2×0＝－2，∴曲线在点（0，2）处
的切线方程为 y ＝－2 x ＋2.由得 x ＝ y ＝ ，∴ A
，如图所示，则围成的三角形的面积为 × ×1＝ .
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5. （多选）设f'（ x ）是函数 y ＝ f （ x ）的导函数，则以下求导运算
中，正确的有（　　）
A. 若 f （ x ）＝ sin 2 x ，则f'（ x ）＝ cos 2 x
B. 若 f （ x ）＝ x e x －ln 2，则f'（ x ）＝（ x ＋1）e x
C. 若f'（ x ）＝2 x －1，则 f （ x ）＝ x2－ x
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解析： 　因为 f （ x ）＝ sin 2 x ，所以f'（ x ）＝（ sin 2 x ）'（2
x ）'＝2 cos 2 x ，故A错误；因为 f （ x ）＝ x e x －ln 2，所以f'（ x ）
＝x'e x ＋ x （e x ）'－0＝（ x ＋1）e x ，故B正确；若f'（ x ）＝2 x －
1，则 f （ x ）＝ x2－ x ＋ c （ c 为任意常数），故C错误；因为 f
（ x ）＝tan 2 x ＝ ，所以f'（ x ）＝
＝ ＝ ，故D正确.
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6. （多选）曲线 y ＝e2 x cos 3 x 在点（0，1）处的切线与其平行直线 l
的距离为 ，则直线 l 的方程可能为（　　）
A. y ＝2 x ＋6 B. y ＝2 x －4
C. y ＝3 x ＋1 D. y ＝3 x －4
解析： 　y'＝e2 x （2 cos 3 x －3 sin 3 x ），∴当 x ＝0时，y'＝2，
则所求的切线方程为 y ＝2 x ＋1，设直线 l 的方程为 y ＝2 x ＋ b ，则
＝ ，解得 b ＝6或－4.∴直线 l 的方程为 y ＝2 x ＋6或 y ＝
2 x －4.
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7. 函数 y ＝ sin 2 x cos 3 x 的导数是
.
解析：∵ y ＝ sin 2 x cos 3 x ，∴y'＝（ sin 2 x ）' cos 3 x ＋ sin 2 x
（ cos 3 x ）'＝2 cos 2 x cos 3 x －3 sin 2 x sin 3 x .
y'＝2 cos 2 x cos 3 x －3 sin 2 x sin 3
x
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8. 若 f （ x ）＝log3（2 x －1），则f' ＝ 　 　.
解析：∵ f （ x ）＝log3（2 x －1），∴f'（ x ）＝ ，∴f'
＝ .

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9. 若曲线 y ＝e－ x 在点 P 处的切线平行于直线2 x ＋ y ＋1＝0，则点 P 的
坐标为 .
解析：设 P （ x0， y0）.∵ y ＝e－ x ，∴y'＝－e－ x .∴曲线 y ＝e－ x 在
点 P 处的切线的斜率 k ＝－ ＝－2，∴－ x0＝ln 2，∴ x0＝－ln
2，∴ y0＝eln 2＝2，∴点 P 的坐标为（－ln 2，2）.
（－ln 2，2）
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10. 已知直线 y ＝ kx ＋ b 是 y ＝ln x ＋2的切线，也是 y ＝ln（ x ＋1）的
切线，求 b 的值.
解：函数 y ＝ln x ＋2的导函数为y'＝ ，函数 y ＝ln（ x ＋1）的导
函数为y'＝ .
设曲线 y ＝ln x ＋2和曲线 y ＝ln（ x ＋1）上的切点横坐标分别为
m ， n ，
则该直线方程可以写成 y ＝ ·（ x － m ）＋ln m ＋2，也可以写成 y
＝ （ x － n ）＋ln（ n ＋1）.
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整理后对比得
解得
故 b ＝1－ln 2.
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11. y ＝ x2与 y ＝ln（ x ＋ a ）有一条斜率为2的公切线，则 a ＝（　　）
C. －ln 2 D. ln 2
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解析： 　由 y ＝ x2得y'＝2 x ＝2 x ＝1，由点斜式得切线方程为 y
－1＝2（ x －1），即 y ＝2 x －1，
对曲线 y ＝ln（ x ＋ a ）求导，得y'＝ ＝2 x ＝ － a ，代入 y
＝ln（ x ＋ a ），得 y ＝－ln 2，将 代入 y ＝2 x －1，
得－ln 2＝2 －1 a ＝ ln 2.故选B.
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12. （多选）设函数 f （ x ）＝ cos （ x ＋φ）（－π＜φ＜π）.若 f
（ x ）＋f'（ x ）是偶函数，则φ＝（　　）
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解析： 　 f （ x ）＋f'（ x ）＝ cos （ x ＋φ）－ sin （ x
＋φ）＝2 sin （ x ＋φ＋ π），因为 f （ x ）＋f'（ x ）为偶函
数，则φ＋ π＝ k π＋ ， k ∈Z，所以φ＝ k π－ ， k ∈Z. 又－π＜
φ＜π，所以φ＝－ 或 .
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13. 如果函数 y ＝ ，那么y'＝ 　 　.
解析：y'＝ ＝
＝ ＝ .

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14. 设曲线 y ＝e－ x （ x ≥0）在点 M （ t ，e－ t ）处的切线 l 与 x 轴、 y 轴
围成的三角形面积为 S （ t ）.
（1）求切线 l 的方程；
解： ∵ y ＝e－ x ，
∴y'＝（e－ x ）'＝－e－ x .
∴当 x ＝ t 时，y'＝－e－ t .
故切线 l 的方程为 y －e－ t ＝－e－ t （ x － t ），
即 x ＋e ty －（ t ＋1）＝0.
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（2）求 S （ t ）的解析式.
解： 令 y ＝0，得 x ＝ t ＋1；
令 x ＝0，得 y ＝e－ t （ t ＋1）.
∴ S （ t ）＝ （ t ＋1）e－ t （ t ＋1）＝ （ t ＋1）2e－ t （ t
≥0）.
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15. 设 f0（ x ）＝ sin 2 x ＋ cos 2 x ， f1（ x ）＝ f0'（ x ）， f2（ x ）＝ f1'
（ x ），…， f1＋ n （ x ）＝ fn '（ x ）， n ∈N，则 f2 024（ x ）＝
（　　）
A. 22 024（ cos 2 x ＋ sin 2 x ）
B. 22 024（－ cos 2 x － sin 2 x ）
C. 22 024（ cos 2 x － sin 2 x ）
D. 22 024（－ cos 2 x ＋ sin 2 x ）
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解析： 　∵ f0（ x ）＝ sin 2 x ＋ cos 2 x ，∴ f1（ x ）＝ f0'（ x ）＝
2（ cos 2 x － sin 2 x ）， f2（ x ）＝ f1'（ x ）＝22（－ sin 2 x － cos 2
x ）， f3（ x ）＝ f2'（ x ）＝23（－ cos 2 x ＋ sin 2 x ）， f4（ x ）＝
f3'（ x ）＝24（ sin 2 x ＋ cos 2 x ），通过以上可以看出 fn （ x ）满
足以下规律：对任意 n ∈N， fn＋4（ x ）＝24 fn （ x ）.故 f2 024（ x ）
＝ f506×4（ x ）＝（24）506 f0（ x ）＝22 024·（ cos 2 x ＋ sin 2 x ），故
选A.
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16. （1）已知 f （ x ）＝eπ x sin π x ，求f'（ x ）及f' ；
解： ∵ f （ x ）＝eπ x sin π x ，
∴f'（ x ）＝πeπ x sin π x ＋πeπ x cos π x
＝πeπ x （ sin π x ＋ cos π x ）.
∴f' ＝π ＝π .
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（2）在曲线 g （ x ）＝ 上求一点，使过该点的切线平行于 x
轴，并求切线方程.
解： 设切点坐标为 P （ x0， y0），
由题意可知g'（ x0）＝0.
又g'（ x ）＝ ，
∴g'（ x0）＝ ＝0.
解得 x0＝0，此时 y0＝1.
即该点的坐标为 P （0，1），切线方程为 y －1＝0.
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