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6.1　函数的单调性
第一课时　函数的单调性
1.如图是函数y＝f（x）的导函数f'（x）的图象，则下列判断正确的是（　　）
A.在区间（－2，1）上，f（x）单调递增
B.在区间（1，3）上，f（x）单调递减
C.在区间（4，5）上，f（x）单调递增
D.在区间（－3，－2）上，f（x）单调递增
2.函数f（x）＝cos x－x在（0，π）上的单调性是（　　）
A.先增后减 B.先减后增
C.单调递增 D.单调递减
3.已知函数f（x）与其导函数f'（x）的图象如图所示，则满足f'（x）＜f（x）的x的取值范围为（　　）
A.（0，4） B.（－∞，0）∪（1，4）
C. D.（0，1）∪（4，＋∞）
4.函数f（x）＝ln x－4x＋1的单调递增区间为（　　）
A. B.（0，4）
C. D.
5.（多选）下列函数在（－∞，＋∞）上是单调函数的是（　　）
A.y＝x3＋x－1 B.y＝sin x－x
C.y＝xex＋1 D.y＝ex－x
6.（多选）已知定义在R上的函数f（x），其导函数y＝f'（x）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（　　）
A.f（b）＞f（a） B.f（d）＞f（e）
C.f（a）＞f（d） D.f（c）＞f（e）
7.函数y＝x2－4x＋a的单调递增区间为　　　　，单调递减区间为　　　　.
8.函数f（x）＝x2－5x＋2ln（2x）的单调递增区间是　　　　.
9.如图所示的是函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象，f'（x）为函数f（x）的导函数，则不等式x·f'（x）＜0的解集为　　　　.
10.判断函数f（x）＝2x（ex－1）－x2的单调性.
11.已知函数f（x）＝xsin x，x∈R，则f，f（1），f的大小关系为（　　）
A.f＞f（1）＞f
B.f（1）＞f＞f
C.f＞f（1）＞f
D.f＞f＞f（1）
12.（多选）设函数f（x）的定义域为D，f（x）的导函数为f'（x），若f'（x）在D上单调，则称函数f（x）为“C函数”.下列函数中，是“C函数”的有（　　）
A.y＝ex B.y＝ln x
C.y＝x3 D.y＝tan x
13.已知函数f（x）＝，则函数f（x）的单调递增区间是　　　　；单调递减区间是　　　　.
14.已知函数f（x）＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y＝x.
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间.
15.设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g（x）恒不为0，当x＜0时，f'（x）·g（x）－f（x）g'（x）＞0，且f（3）＝0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　　）
A.（－3，0）∪（3，＋∞）
B.（－3，0）∪（0，3）
C.（－∞，－3）∪（3，＋∞）
D.（－∞，－3）∪（0，3）
16.已知函数f（x）＝的图象在点M（－1，f（－1））处的切线方程为x＋2y＋5＝0.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调区间.
第一课时　函数的单调性
1.C　由图知当x∈（4，5）时，f'（x）＞0，所以在区间（4，5）上，f（x）单调递增.故只有C选项正确，其他选项均错误.
2.D　易知f'（x）＝－sin x－1，x∈（0，π），∴f'（x）＜0，则f（x）＝cos x－x在（0，π）上单调递减.
3.D　观察图象，可得导函数f'（x）的图象过点（0，0），，原函数f（x）的图象过点（0，0），（2，0），观察图象可得满足f'（x）＜f（x）的x的取值范围为（0，1）∪（4，＋∞），故选D.
4.A　f（x）＝ln x－4x＋1的定义域是{x｜x＞0}，f'（x）＝－4＝，当f'（x）＞0时，解得0＜x＜.
5.AB　由y＝x3＋x－1，得y'＝3x2＋1≥1，所以函数是增函数，A满足题意；由y＝sin x－x，得y'＝cos x－1≤0，所以函数是减函数，B满足题意；由y＝xex＋1，得y'＝ex（x＋1），当x≥－1时，y'＝ex（x＋1）≥0，函数单调递增，当x＜－1时，y'＝ex（x＋1）＜0，函数单调递减，故函数在（－∞，＋∞）上不是单调函数，C不满足题意；由y＝ex－x，得y'＝ex－1，当x≥0时，y'＝ex－1≥0，函数单调递增，当x＜0时，y'＝ex－1＜0，函数单调递减，故函数在（－∞，＋∞）上不是单调函数，D不满足题意.
6.ABD　由题图可得，当x∈（－∞，c）∪（e，＋∞）时，f'（x）＞0，当x∈（c，e）时，f'（x）＜0，故f（x）在（－∞，c），（e，＋∞）上单调递增，在（c，e）上单调递减，所以f（b）＞f（a），f（d）＞f（e），f（c）＞f（e）.
7.（2，＋∞）　（－∞，2）　解析：y'＝2x－4，令y'＞0，得x＞2；令y'＜0，得x＜2，所以y＝x2－4x＋a的单调递增区间为（2，＋∞），单调递减区间为（－∞，2）.
8.，（2，＋∞）　解析：f（x）的定义域是（0，＋∞），f'（x）＝2x－5＋2×＝＝，由f'（x）＞0得x＞2或0＜x＜，故f（x）的单调递增区间是，（2，＋∞）.
9.{x｜x＜－或0＜x＜}　解析：由f（x）的图象知，f（x）在（－∞，－）和（，＋∞）上单调递增，在（－，）上单调递减，所以当x∈（－∞，－）∪（，＋∞）时，f'（x）＞0；当x∈（－，）时，f'（x）＜0.所以x·f'（x）＜0的解集为{x｜x＜－或0＜x＜}.
10.解：函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝2（ex－1＋xex－x）＝2（ex－1）（x＋1）.
当x∈（－∞，－1）时，f'（x）＞0；
当x∈（－1，0）时，f'（x）＜0；
当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0.
故f（x）在（－∞，－1）和（0，＋∞）上单调递增，在（－1，0）上单调递减.
11.A　因为f（x）＝xsin x，所以f（－x）＝（－x）·sin（－x）＝xsin x＝f（x），所以函数f（x）是偶函数，所以f＝f.又当x∈时，f'（x）＝sin x＋xcos x＞0，所以函数f（x）在上单调递增，所以f＜f（1）＜f，即f＞f（1）＞f，故选A.
12.AB　对于A，y＝ex的定义域为R，y'＝ex，则y'在R上是增函数，∴y＝ex是“C函数”；对于B，y＝ln x的定义域为（0，＋∞），y'＝，则y'在（0，＋∞）上单调递减，∴y＝ln x是“C函数”；对于C，y＝x3的定义域为R，y'＝3x2，则y'在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，∴y＝x3不是“C函数”；对于D，y＝tan x的定义域为（ kπ－，kπ＋）（k∈Z），y'＝，令f（x）＝，则f'（x）＝（ ）'＝，当x∈（ 0，）时，f'（x）＞0，∴y'单调递增；当x∈（ －，0）时，f'（x）＜0，∴y'单调递减，∴y＝tan x不是“C函数”.故选A、B.
13.（0，e）　（e，＋∞）　解析：∵f（x）＝，∴f'（x）＝（x＞0）.当0＜x＜e时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，e）上单调递增；当x＞e时，f'（x）＜0，函数f（x）在（e，＋∞）上单调递减.∴f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，＋∞）.
14.解：（1）对f（x）＝＋－ln x－求导，得f'（x）＝－－（x＞0），由f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y＝x，得f'（1）＝－－a＝－2，解得a＝.
（2）由（1）知f（x）＝＋－ln x－，则f'（x）＝，令f'（x）＝0，解得x＝－1或x＝5.由于x＝－1不在f（x）的定义域（0，＋∞）内，故舍去.当x∈（0，5）时，f'（x）＜0，故f（x）的单调递减区间为（0，5）；当x∈（5，＋∞）时，f'（x）＞0，故f（x）的单调递增区间为（5，＋∞）.
15.D　令F（x）＝（g（x）恒不为0），则F（x）为奇函数，F'（x）＝，∵当x＜0时，F'（x）＞0，∴F（x）在（－∞，0）上单调递增.又F（3）＝＝0，∴F（－3）＝0.∴当x＜－3时，F（x）＜0；当－3＜x＜0时，F（x）＞0.又F（x）为奇函数，∴当0＜x＜3时，F（x）＜0；当x＞3时，F（x）＞0.而不等式f（x）g（x）＜0和＜0为同解不等式，∴不等式f（x）g（x）＜0的解集为（－∞，－3）∪（0，3）.
16.解：（1）因为f（x）的图象在点M（－1，f（－1））处的切线方程为x＋2y＋5＝0.所以f'（－1）＝－，且－1＋2f（－1）＋5＝0，
即f（－1）＝－2，即＝－2，　①
又f'（x）＝，
所以＝－.　②
由①②得a＝2，b＝3（因为b＋1≠0，所以b＝－1舍去）.
所以所求函数的解析式是f（x）＝.
（2）由（1）知，f'（x）＝.
令－2x2＋12x＋6＝0，解得x1＝3－2，x2＝3＋2，
则当x＜3－2或x＞3＋2时，f'（x）＜0；
当3－2＜x＜3＋2时，f'（x）＞0.
所以f（x）＝的单调递增区间是（3－2，3＋2），单调递减区间是（－∞，3－2）和（3＋2，＋∞）.
3 / 36.1　函数的单调性
新课程标准解读 核心素养
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系 数学抽象、直观想象
2.能利用导数研究函数的单调性 逻辑推理、数学运算
3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间 数学运算
第一课时　函数的单调性
　　研究股票时，我们最关心的是股票的发展趋势（走高或走低）以及股票价格的变化范围（封顶或保底）.从股票走势曲线图来看，股票有升有降.在数学上，函数曲线也有升有降，就是我们常说的单调性.
【问题】　函数的单调性与导数有什么关系呢？
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　导数的符号与函数的单调性之间的关系
导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系：
（1）若在某个区间上，函数y＝f（x）的导数f'（x）＞0，则在这个区间上，函数y＝f（x）　　　　　　；
（2）若在某个区间上，函数y＝f（x）的导数f'（x）＜0，则在这个区间上，函数y＝f（x）　　　　　　.
提醒　若在某个区间上，f'（x）≥0，且只在有限个点为0，则在这个区间上，函数y＝f（x）单调递增；若在某个区间上，f'（x）≤0，且只在有限个点为0，则在这个区间上，函数y＝f（x）单调递减.
【想一想】
　在区间（a，b）内，若f'（x）＞0，则f（x）在此区间上单调递增，反之若f（x）在（a，b）上单调递增，则f'（x）＞0成立吗？
知识点二　函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一般地，设函数y＝f（x）在区间（a，b）上：
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
较大 　　　 比较“　　　　　”（向上或向下）
较小 　　　 比较“　　　　　”（向上或向下）
提醒　（1）原函数的图象通常只看增减变化，而导函数的图象通常对应只看正负变化；（2）导数的绝对值大（小）对应着原函数图象的陡峭（平缓）.弄清楚两个对应就能准确快速地分析函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数f（x）在定义域上都有f'（x）＜0，则函数f（x）在定义域上是减函数.（　　）
（2）函数f（x）在某区间内单调递增，则一定有f'（x）＞0.（　　）
（3）函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大.（　　）
（4）函数y＝x3＋x的单调递增区间为（－∞，＋∞）.（　　）
2.若函数f（x）＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第四象限，则函数f'（x）的图象是（　　）
3.函数f（x）＝ln x－x的单调递增区间是　　　　.
题型一 函数图象与导函数图象的关系
【例1】　（1）设函数f（x）在定义域内可导，f（x）的图象如图所示，则导函数f'（x）的图象可能为（　　）
　　　　
（2）已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　）
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
　　导函数f'（x）图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f（x）图象上升部分对应的区间（单调递增区间），导函数f'（x）图象在x轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数f（x）图象下降部分对应的区间（单调递减区间）.
【跟踪训练】
在同一坐标系中作出三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）及其导函数的图象，下列一定不正确的序号是（　　）
A.①②　　　　　　　　 B.①③
C.③④ D.①④
题型二 利用导数判断或证明函数的单调性
【例2】　下列函数中，在（0，＋∞）上单调递增的是（　　）
A.y＝cos x B.y＝xex
C.y＝x3－x D.y＝ln x－x
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
运用导数研究函数单调性的方法
　　利用导数判断或证明函数的单调性时，一般是先确定函数的定义域，再求导数，最后判断导数在所给区间上的符号，从而确定函数的单调性.
【跟踪训练】
若函数y＝xcos x－sin x在某区间上单调递增，则该区间可能为（　　）
A.（ ，） B.（ －，）
C.（π，2π） D.（0，π）
题型三 求函数y＝f（x）的单调区间
【例3】　求下列函数的单调区间：
（1）f（x）＝3x2－2ln x；
（2）f（x）＝－x3＋3x2.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
利用导数求函数的单调区间的思路方法
（1）解不等式法：步骤如下，①确定函数f（x）的定义域；②求导数f'（x）；③解不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0，并写出解集；④根据③的结果确定函数f（x）的单调区间；
（2）列表法：步骤如下，①确定函数f（x）的定义域；②求导数f'（x）；③解方程f'（x）＝0；④列表；⑤得出结论.
【跟踪训练】
求下列函数的单调区间：
（1）f（x）＝x2ex；
（2）f（x）＝.
1.函数f（x）＝x＋ln x在（0，6）上（　　）
A.单调递增
B.单调递减
C.在上单调递减，在上单调递增
D.在上单调递增，在上单调递减
2.已知f（x）在R上是可导函数，f（x）的图象如图所示，则不等式f'（x）＞0的解集为（　　）
A.（－2，0）∪（2，＋∞）
B.（－∞，－2）∪（2，＋∞）
C.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
D.（－2，－1）∪（1，2）
3.函数f（x）＝3＋xln x的单调递增区间是（　　）
A. 　　　　　　 B.（e，＋∞）
C. D.
4.函数f（x）＝x3－x2－3x＋2的单调递增区间是　　　　.
第一课时　函数的单调性
【基础知识·重落实】
知识点一
（1）单调递增　（2）单调递减
想一想
　提示：不一定成立.比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零.也就是说f'（x）＞0是可导函数y＝f（x）在某个区间上单调递增的充分不必要条件.
知识点二
较快　陡峭　较慢　平缓
自我诊断
1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）√
2.A　f'（x）＝2x＋b，由于函数f（x）＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第四象限，所以x＝－＞0，得b＜0.结合选项，可知选A.
3.（0，1）　解析：f'（x）＝－1，令f'（x）＞0，又x＞0，∴0＜x＜1，则f（x）的单调递增区间是（0，1）.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）D　（2）B　解析：（1）由f（x）的图象可知，y＝f（x）在（－∞，0）上单调递增，因此在x＜0时，有f'（x）＞0（即f'（x）在（－∞，0）上的图象全部在x轴上方），故排除A、C.从函数f（x）的图象上可以看出，函数f（x）在区间（0，x1）上单调递增，f'（x）＞0，在区间（x1，x2） 上单调递减，f'（x）＜0，在区间（x2，＋∞）上单调递增，f'（x）＞0，故排除B，选D.
（2）法一　由函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象自左到右先上升后下降，可知函数y＝f（x）图象的切线的斜率自左到右先增大后减小，可以判断B正确.
法二　由于f'（x）＞0恒成立，则根据导数符号和函数单调性的关系可知，f（x）单调递增，即图象从左至右上升.四个图象都满足.由于当x＞1时，f'（x）＞0且越来越小，则函数值增加得越来越慢，图象越来越“平缓”，且呈现上凸状；当x＜1时，f'（x）＞0且越来越大，故函数值增加得越来越快，图象越来越“陡峭”，且呈现下凹状，可以判断B正确.
跟踪训练
　C　当f'（x）＞0时，y＝f（x）单调递增；当f'（x）＜0时，y＝f（x）单调递减.故可得，①②中函数图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的；而③中导函数为负的区间内相应的函数不单调递减，故错误；④中导函数为负的区间内相应的函数不单调递减，故错误.
【例2】　B　A中，y'＝－sin x，当x＞0时，y'的符号不确定；B中，y'＝ex＋xex＝（x＋1）ex，当x＞0时，y'＞0，故在（0，＋∞）上单调递增；C中，y'＝3x2－1，当x＞0时，y'＞－1；D中，y'＝－1，当x＞0时，y'＞－1.故选B.
跟踪训练
　C　∵y＝xcos x－sin x，∴y'＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.当x∈（ ，π）时，sin x＞0，y'＜0，函数单调递减，故A错误；当x∈（ －，0）时，sin x＜0，y'＜0，函数单调递减，故B错误；当x∈（π，2π）时，sin x＜0，y'＞0，函数单调递增，故C正确；当x∈（0，π）时，sin x＞0，y'＜0，函数单调递减，故D错误.故选C.
【例3】　解：（1）f（x）的定义域为（0，＋∞），
因为f'（x）＝6x－＝＝.
令f'（x）＞0得x＞，
令f'（x）＜0得0＜x＜，
所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）f（x）的定义域为R，f'（x）＝－3x2＋6x＝－3x（x－2）.
令f'（x）＝0，解得x1＝0，x2＝2，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （－∞，0） 0 （0，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） － 0 ＋ 0 －
f（x） ↘ （单调 递减） f（0）＝0 ↗ （单调 递增） f（2）＝4 ↘ （单调 递减）
所以f（x）的单调递减区间是（－∞，0），（2，＋∞）单调递增区间是（0，2）.
跟踪训练
　解：（1）f（x）的定义域为R.f'（x）＝2xex＋x2ex＝x（x＋2）ex，
令f'（x）＞0，解得x＜－2或x＞0.
令f'（x）＜0，解得－2＜x＜0.
所以f（x）的单调递增区间是（－∞，－2），（0，＋∞），单调递减区间是（－2，0）.
（2）f（x）的定义域为R，
f'（x）＝＝.
令f'（x）＝0，解得x1＝2－，x2＝2＋.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （－∞， 2－） 2－ （2－， 2＋） 2＋ （2＋， ＋∞）
f'（x） － 0 ＋ 0 －
f（x） ↘ f（2－） ＝－2－ ↗ f（2＋） ＝－2＋ ↘
由上表可知f（x）的单调递减区间是（－∞，2－），（2＋，＋∞），单调递增区间是（2－，2＋）.
随堂检测
1.A　f（x）的定义域为（0，＋∞），∵f'（x）＝1＋＞0，∴函数在（0，6）上单调递增.
2.C　因为f（x）在（－∞，－1），（1，＋∞）上单调递增，所以在区间（－∞，－1）和（1，＋∞）上f'（x）＞0.
3.C　f'（x）＝ln x＋1（x＞0），令f'（x）＞0，即ln x＋1＞0，得x＞.故函数f（x）的单调递增区间为.
4.（－∞，－1），（3，＋∞）　解析：f'（x）＝x2－2x－3，令f'（x）＞0，解得x＜－1或x＞3，故f（x）的单调递增区间是（－∞，－1），（3，＋∞）.
3 / 4(共67张PPT)
6.1　函数的单调性
新课程标准解读 核心素养
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与
导数的关系 数学抽象、
直观想象
2.能利用导数研究函数的单调性 逻辑推理、
数学运算
3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函
数的单调区间 数学运算
第一课时　
函数的单调性
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　研究股票时，我们最关心的是股票的发展趋势（走高或走低）以及股票价格的变化范围（封顶或保底）.从股票走势曲线图来看，股票有升有降.在数学上，函数曲线也有升有降，就是我们常说的单调性.
【问题】　函数的单调性与导数有什么关系呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知识点一　导数的符号与函数的单调性之间的关系
导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系：
（1）若在某个区间上，函数 y ＝ f （ x ）的导数f'（ x ）＞0，则在这个
区间上，函数 y ＝ f （ x ） ；
（2）若在某个区间上，函数 y ＝ f （ x ）的导数f'（ x ）＜0，则在这个
区间上，函数 y ＝ f （ x ） .
单调递增　
单调递减　
提醒　若在某个区间上，f'（ x ）≥0，且只在有限个点为0，则在这个
区间上，函数 y ＝ f （ x ）单调递增；若在某个区间上，f'（ x ）≤0，
且只在有限个点为0，则在这个区间上，函数 y ＝ f （ x ）单调递减.
【想一想】
在区间（ a ， b ）内，若f'（ x ）＞0，则 f （ x ）在此区间上单调递
增，反之若 f （ x ）在（ a ， b ）上单调递增，则f'（ x ）＞0成立吗？
提示：不一定成立.比如 y ＝ x3在R上为增函数，但其在 x ＝0处的导数
等于零.也就是说f'（ x ）＞0是可导函数 y ＝ f （ x ）在某个区间上单调
递增的充分不必要条件.
知识点二　函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一般地，设函数 y ＝ f （ x ）在区间（ a ， b ）上：
导数的绝
对值 函数值变化 函数的图象
较大 比较“ ”（向上或向下）
较小 比较“ ”（向上或向下）
较快　
陡峭　
较慢　
平缓　
提醒　（1）原函数的图象通常只看增减变化，而导函数的图象通常
对应只看正负变化；（2）导数的绝对值大（小）对应着原函数图象
的陡峭（平缓）.弄清楚两个对应就能准确快速地分析函数图象的变
化趋势与导数的绝对值大小的关系.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数 f （ x ）在定义域上都有f'（ x ）＜0，则函数 f （ x ）在定
义域上是减函数. （　×　）
（2）函数 f （ x ）在某区间内单调递增，则一定有f'（ x ）＞0.
（　×　）
（3）函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝
对值越大. （　√　）
（4）函数 y ＝ x3＋ x 的单调递增区间为（－∞，＋∞）.
（　√　）
×
×
√
√
2. 若函数 f （ x ）＝ x2＋ bx ＋ c 的图象的顶点在第四象限，则函数f'
（ x ）的图象是（　　）
解析： 　f'（ x ）＝2 x ＋ b ，由于函数 f （ x ）＝ x2＋ bx ＋ c 的图象
的顶点在第四象限，所以 x ＝－ ＞0，得 b ＜0.结合选项，可知
选A.
3. 函数 f （ x ）＝ln x － x 的单调递增区间是 .
解析：f'（ x ）＝ －1，令f'（ x ）＞0，又 x ＞0，∴0＜ x ＜1，则 f
（ x ）的单调递增区间是（0，1）.
（0，1）
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 函数图象与导函数图象的关系
【例1】　（1）设函数 f （ x ）在定义域内可导， f （ x ）的图象如图
所示，则导函数f'（ x ）的图象可能为（　D　）
D
解析： 由 f （ x ）的图象可知， y ＝ f （ x ）在（－∞，
0）上单调递增，因此在 x ＜0时，有f'（ x ）＞0（即f'（ x ）
在（－∞，0）上的图象全部在 x 轴上方），故排除A、C.
从函数 f （ x ）的图象上可以看出，函数 f （ x ）在区间（0，
x1）上单调递增，f'（ x ）＞0，在区间（ x1， x2） 上单调递
减，f'（ x ）＜0，在区间（ x2，＋∞）上单调递增，f'（ x ）
＞0，故排除B，选D.
（2）已知函数 y ＝ f （ x ）的图象是下列四个图象之一，且其导函数 y
＝f'（ x ）的图象如图所示，则该函数的图象是（　B　）
B
解析： 法一　由函数 y ＝ f （ x ）的导函数 y ＝f'（ x ）的图象自左到右先上升后下降，可知函数 y ＝ f （ x ）图象的切线的斜率自左到右先增大后减小，可以判断B正确.
法二　由于f'（ x ）＞0恒成立，则根据导数符号和函数单调性的关系
可知， f （ x ）单调递增，即图象从左至右上升.四个图象都满足.由于
当 x ＞1时，f'（ x ）＞0且越来越小，则函数值增加得越来越慢，图象
越来越“平缓”，且呈现上凸状；当 x ＜1时，f'（ x ）＞0且越来越
大，故函数值增加得越来越快，图象越来越“陡峭”，且呈现下凹
状，可以判断B正确.
通性通法
　　导函数f'（ x ）图象在 x 轴上方时对应的自变量的取值区间为原函
数 f （ x ）图象上升部分对应的区间（单调递增区间），导函数f'
（ x ）图象在 x 轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数 f （ x ）图
象下降部分对应的区间（单调递减区间）.
【跟踪训练】
在同一坐标系中作出三次函数 f （ x ）＝ ax3＋ bx2＋ cx ＋ d （ a ≠0）及
其导函数的图象，下列一定不正确的序号是（　　）
A. ①② B. ①③
C. ③④ D. ①④
解析： 　当f'（ x ）＞0时， y ＝ f （ x ）单调递增；当f'（ x ）＜0
时， y ＝ f （ x ）单调递减.故可得，①②中函数图象的增减趋势与
导函数的正负区间是吻合的；而③中导函数为负的区间内相应的
函数不单调递减，故错误；④中导函数为负的区间内相应的函数
不单调递减，故错误.
题型二 利用导数判断或证明函数的单调性
【例2】　下列函数中，在（0，＋∞）上单调递增的是（　　）
A. y ＝ cos x B. y ＝ x e x
C. y ＝ x3－ x D. y ＝ln x － x
解析：B　A中，y'＝－ sin x ，当 x ＞0时，y'的符号不确定；B中，y'
＝e x ＋ x e x ＝（ x ＋1）e x ，当 x ＞0时，y'＞0，故在（0，＋∞）上单
调递增；C中，y'＝3 x2－1，当 x ＞0时，y'＞－1；D中，y'＝ －1，当
x ＞0时，y'＞－1.故选B.
通性通法
运用导数研究函数单调性的方法
　　利用导数判断或证明函数的单调性时，一般是先确定函数的定义
域，再求导数，最后判断导数在所给区间上的符号，从而确定函数的
单调性.
【跟踪训练】
若函数 y ＝ x cos x － sin x 在某区间上单调递增，则该区间可能为
（　　）
C. （π，2π） D. （0，π）
解析： 　∵ y ＝ x cos x － sin x ，∴y'＝ cos x － x sin x － cos x ＝－ x sin
x .当 x ∈（ ，π）时， sin x ＞0，y'＜0，函数单调递减，故A错误；
当 x ∈（ － ，0）时， sin x ＜0，y'＜0，函数单调递减，故B错误；
当 x ∈（π，2π）时， sin x ＜0，y'＞0，函数单调递增，故C正确；当 x
∈（0，π）时， sin x ＞0，y'＜0，函数单调递减，故D错误.故选C.
题型三 求函数 y ＝ f （ x ）的单调区间
【例3】　求下列函数的单调区间：
（1） f （ x ）＝3 x2－2ln x ；
解： f （ x ）的定义域为（0，＋∞），
因为f'（ x ）＝6 x － ＝
＝ .
令f'（ x ）＞0得 x ＞ ，令f'（ x ）＜0得0＜ x ＜ ，
所以函数 f （ x ）的单调递增区间为 ，单调递减区间
为 .
（2） f （ x ）＝－ x3＋3 x2.
解： f （ x ）的定义域为R，f'（ x ）＝－3 x2＋6 x ＝－3 x
（ x －2）.
令f'（ x ）＝0，解得 x1＝0， x2＝2，
当 x 变化时，f'（ x ）， f （ x ）的变化情况如下表：
x （－∞，
0） 0 （0，2） 2 （2，＋
∞）
f'（ x ） － 0 ＋ 0 －
f （ x ） ↘ （单调 递减） f （0）＝0 ↗ （单调 递增） f （2）＝4 ↘
（单调
递减）
所以 f （ x ）的单调递减区间是（－∞，0），（2，＋∞）单调
递增区间是（0，2）.
通性通法
利用导数求函数的单调区间的思路方法
（1）解不等式法：步骤如下，①确定函数 f （ x ）的定义域；②求导
数f'（ x ）；③解不等式f'（ x ）＞0或f'（ x ）＜0，并写出解集；
④根据③的结果确定函数 f （ x ）的单调区间；
（2）列表法：步骤如下，①确定函数 f （ x ）的定义域；②求导数f'
（ x ）；③解方程f'（ x ）＝0；④列表；⑤得出结论.
【跟踪训练】
求下列函数的单调区间：
（1） f （ x ）＝ x2e x ；（2） f （ x ）＝ .
解： f （ x ）的定义域为R. f'（ x ）＝2 x e x ＋ x2e x ＝ x （ x ＋
2）e x ，
令f'（ x ）＞0，解得 x ＜－2或 x ＞0.
令f'（ x ）＜0，解得－2＜ x ＜0.
所以 f （ x ）的单调递增区间是（－∞，－2），（0，＋∞），
单调递减区间是（－2，0）.
解： f （ x ）的定义域为R，
f'（ x ）＝
＝ .
令f'（ x ）＝0，
解得 x1＝2－ ， x2＝2＋ .
当 x 变化时，f'（ x ）， f （ x ）的变化情况如下表：
（2） f （ x ）＝ .
x
f'（ x ） － 0 ＋ 0 －
f（ x ） ↘ ↗ ↘
由上表可知 f （ x ）的单调递减区间是（－∞，2－ ），（2＋
，＋∞），单调递增区间是（2－ ，2＋ ）.
1. 函数 f （ x ）＝ x ＋ln x 在（0，6）上（　　）
A. 单调递增
B. 单调递减
解析： 　 f （ x ）的定义域为（0，＋∞），∵f'（ x ）＝1＋ ＞
0，∴函数在（0，6）上单调递增.
2. 已知 f （ x ）在R上是可导函数， f （ x ）的图象如图所示，则不等
式f'（ x ）＞0的解集为（　　）
A. （－2，0）∪（2，＋∞）
B. （－∞，－2）∪（2，＋∞）
C. （－∞，－1）∪（1，＋∞）
D. （－2，－1）∪（1，2）
解析： 　因为 f （ x ）在（－∞，－1），（1，＋∞）上单调递
增，所以在区间（－∞，－1）和（1，＋∞）上f'（ x ）＞0.
3. 函数 f （ x ）＝3＋ x ln x 的单调递增区间是（　　）
B. （e，＋∞）
解析： 　f'（ x ）＝ln x ＋1（ x ＞0），令f'（ x ）＞0，即ln x ＋1＞
0，得 x ＞ .故函数 f （ x ）的单调递增区间为 .
4. 函数 f （ x ）＝ x3－ x2－3 x ＋2的单调递增区间是
.
解析：f'（ x ）＝ x2－2 x －3，令f'（ x ）＞0，解得 x ＜－1或 x ＞3，
故 f （ x ）的单调递增区间是（－∞，－1），（3，＋∞）.
（－∞，－
1），（3，＋∞）
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 如图是函数 y ＝ f （ x ）的导函数f'（ x ）的图象，则下列判断正确的是（　　）
A. 在区间（－2，1）上， f （ x ）单调
递增
B. 在区间（1，3）上， f （ x ）单调递减
C. 在区间（4，5）上， f （ x ）单调递增
D. 在区间（－3，－2）上， f （ x ）单调递增
解析： 　由图知当 x ∈（4，5）时，f'（ x ）＞0，所以在区间
（4，5）上， f （ x ）单调递增.故只有C选项正确，其他选项
均错误.
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2. 函数 f （ x ）＝ cos x － x 在（0，π）上的单调性是（　　）
A. 先增后减 B. 先减后增
C. 单调递增 D. 单调递减
解析： 　易知f'（ x ）＝－ sin x －1， x ∈（0，π），∴f'（ x ）＜
0，则 f （ x ）＝ cos x － x 在（0，π）上单调递减.
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3. 已知函数 f （ x ）与其导函数f'（ x ）的图象如图所示，则满足f'
（ x ）＜ f （ x ）的 x 的取值范围为（　　）
A. （0，4）
B. （－∞，0）∪（1，4）
D. （0，1）∪（4，＋∞）
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解析： 　观察图象，可得导函数f'（ x ）的图象过点（0，0），
，原函数 f （ x ）的图象过点（0，0），（2，0），观察图
象可得满足f'（ x ）＜ f （ x ）的 x 的取值范围为（0，1）∪（4，＋
∞），故选D.
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4. 函数 f （ x ）＝ln x －4 x ＋1的单调递增区间为（　　）
B. （0，4）
解析： 　 f （ x ）＝ln x －4 x ＋1的定义域是{ x ｜ x ＞0}，f'（ x ）
＝ －4＝ ，当f'（ x ）＞0时，解得0＜ x ＜ .
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5. （多选）下列函数在（－∞，＋∞）上是单调函数的是（　　）
A. y ＝ x3＋ x －1 B. y ＝ sin x － x
C. y ＝ x e x ＋1 D. y ＝e x － x
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解析： 　由 y ＝ x3＋ x －1，得y'＝3 x2＋1≥1，所以函数是增函
数，A满足题意；由 y ＝ sin x － x ，得y'＝ cos x －1≤0，所以函数
是减函数，B满足题意；由 y ＝ x e x ＋1，得y'＝e x （ x ＋1），当 x ≥
－1时，y'＝e x （ x ＋1）≥0，函数单调递增，当 x ＜－1时，y'＝e x
（ x ＋1）＜0，函数单调递减，故函数在（－∞，＋∞）上不是单
调函数，C不满足题意；由 y ＝e x － x ，得y'＝e x －1，当 x ≥0时，y'
＝e x －1≥0，函数单调递增，当 x ＜0时，y'＝e x －1＜0，函数单调
递减，故函数在（－∞，＋∞）上不是单调函数，D不满足题意.
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6. （多选）已知定义在R上的函数 f （ x ），其导函数 y ＝f'（ x ）的大
致图象如图所示，则下列叙述正确的是（　　）
A. f （ b ）＞ f （ a ） B. f （ d ）＞ f （ e ）
C. f （ a ）＞ f （ d ） D. f （ c ）＞ f （ e ）
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解析： 　由题图可得，当 x ∈（－∞， c ）∪（ e ，＋∞）
时，f'（ x ）＞0，当 x ∈（ c ， e ）时，f'（ x ）＜0，故 f （ x ）在
（－∞， c ），（ e ，＋∞）上单调递增，在（ c ， e ）上单调递
减，所以 f （ b ）＞ f （ a ）， f （ d ）＞ f （ e ）， f （ c ）＞ f （ e ）.
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7. 函数 y ＝ x2－4 x ＋ a 的单调递增区间为 ，单调递减
区间为 .
解析：y'＝2 x －4，令y'＞0，得 x ＞2；令y'＜0，得 x ＜2，所以 y ＝
x2－4 x ＋ a 的单调递增区间为（2，＋∞），单调递减区间为（－
∞，2）.
（2，＋∞）
（－∞，2）
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解析： f （ x ）的定义域是（0，＋∞），f'（ x ）＝2 x －5＋2×
＝ ＝ ，由f'（ x ）＞0得 x ＞2或0＜ x ＜ ，故
f （ x ）的单调递增区间是 ，（2，＋∞）.
，
（2，＋∞）
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－ 或0＜ x ＜ }
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解析：由 f （ x ）的图象知， f （ x ）在（－∞，－ ）和（ ，
＋∞）上单调递增，在（－ ， ）上单调递减，所以当 x ∈
（－∞，－ ）∪（ ，＋∞）时，f'（ x ）＞0；当 x ∈（－
， ）时，f'（ x ）＜0.所以 x ·f'（ x ）＜0的解集为{ x ｜ x ＜－
或0＜ x ＜ }.
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10. 判断函数 f （ x ）＝2 x （e x －1）－ x2的单调性.
解：函数 f （ x ）的定义域为R，f'（ x ）＝2（e x －1＋ x e x － x ）＝
2（e x －1）（ x ＋1）.
当 x ∈（－∞，－1）时，f'（ x ）＞0；
当 x ∈（－1，0）时，f'（ x ）＜0；
当 x ∈（0，＋∞）时，f'（ x ）＞0.
故 f （ x ）在（－∞，－1）和（0，＋∞）上单调递增，在（－
1，0）上单调递减.
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11. 已知函数 f （ x ）＝ x sin x ， x ∈R，则 f ， f （1）， f 的大
小关系为（　　）
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解析： 　因为 f （ x ）＝ x sin x ，所以 f （－ x ）＝（－ x ）· sin
（－ x ）＝ x sin x ＝ f （ x ），所以函数 f （ x ）是偶函数，所以 f
＝ f .又当 x ∈ 时，f'（ x ）＝ sin x ＋ x cos x ＞0，
所以函数 f （ x ）在 上单调递增，所以 f ＜ f （1）＜ f
，即 f ＞ f （1）＞ f ，故选A.
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12. （多选）设函数 f （ x ）的定义域为 D ， f （ x ）的导函数为f'
（ x ），若f'（ x ）在 D 上单调，则称函数 f （ x ）为“ C 函数”.下
列函数中，是“ C 函数”的有（　　）
A. y ＝e x B. y ＝ln x
C. y ＝ x3 D. y ＝tan x
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解析： 　对于A， y ＝e x 的定义域为R，y'＝e x ，则y'在R上是增
函数，∴ y ＝e x 是“ C 函数”；对于B， y ＝ln x 的定义域为（0，
＋∞），y'＝ ，则y'在（0，＋∞）上单调递减，∴ y ＝ln x 是“ C
函数”；对于C， y ＝ x3的定义域为R，y'＝3 x2，则y'在（－∞，
0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，∴ y ＝ x3不是“ C 函
数”；对于D， y ＝tan x 的定义域为（ k π－ ， k π＋ ）（ k
∈Z），y'＝ ，令 f （ x ）＝ ，则f'（ x ）＝（ ）'＝
，当 x ∈（ 0， ）时，f'（ x ）＞0，∴y'单调递增；
当 x ∈（ － ，0）时，f'（ x ）＜0，∴y'单调递减，∴ y ＝tan x 不是
“ C 函数”.故选A、B.
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13. 已知函数 f （ x ）＝ ，则函数 f （ x ）的单调递增区间是
；单调递减区间是 .
解析：∵ f （ x ）＝ ，∴f'（ x ）＝ （ x ＞0）.当0＜ x ＜e
时，f'（ x ）＞0，函数 f （ x ）在（0，e）上单调递增；当 x ＞e
时，f'（ x ）＜0，函数 f （ x ）在（e，＋∞）上单调递减.∴ f
（ x ）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，＋
∞）.
（0，
e）
（e，＋∞）
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14. 已知函数 f （ x ）＝ ＋ －ln x － ，其中 a ∈R，且曲线 y ＝ f
（ x ）在点（1， f （1））处的切线垂直于直线 y ＝ x .
（1）求 a 的值；
解： 对 f （ x ）＝ ＋ －ln x － 求导，得f'（ x ）＝
－ － （ x ＞0），由 f （ x ）在点（1， f （1））处的切线
垂直于直线 y ＝ x ，得f'（1）＝－ － a ＝－2，解得 a ＝ .
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（2）求函数 f （ x ）的单调区间.
解： 由（1）知 f （ x ）＝ ＋ －ln x － ，则f'（ x ）
＝ ，令f'（ x ）＝0，解得 x ＝－1或 x ＝5.由于 x ＝－
1不在 f （ x ）的定义域（0，＋∞）内，故舍去.当 x ∈（0，
5）时，f'（ x ）＜0，故 f （ x ）的单调递减区间为（0，
5）；当 x ∈（5，＋∞）时，f'（ x ）＞0，故 f （ x ）的单调
递增区间为（5，＋∞）.
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15. 设 f （ x ）， g （ x ）分别是定义在R上的奇函数和偶函数， g
（ x ）恒不为0，当 x ＜0时，f'（ x ）· g （ x ）－ f （ x ）g'（ x ）＞
0，且 f （3）＝0，则不等式 f （ x ） g （ x ）＜0的解集是（　　）
A. （－3，0）∪（3，＋∞）
B. （－3，0）∪（0，3）
C. （－∞，－3）∪（3，＋∞）
D. （－∞，－3）∪（0，3）
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解析： 　令 F （ x ）＝ （ g （ x ）恒不为0），则 F （ x ）
为奇函数，F'（ x ）＝ ，∵当 x ＜0时，F'
（ x ）＞0，∴ F （ x ）在（－∞，0）上单调递增.又 F （3）＝
＝0，∴ F （－3）＝0.∴当 x ＜－3时， F （ x ）＜0；当－
3＜ x ＜0时， F （ x ）＞0.又 F （ x ）为奇函数，∴当0＜ x ＜3时，
F （ x ）＜0；
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当 x ＞3时， F （ x ）＞0.而不等式 f （ x ） g （ x ）＜0和 ＜0为
同解不等式，∴不等式 f （ x ） g （ x ）＜0的解集为（－∞，－3）∪
（0，3）.
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16. 已知函数 f （ x ）＝ 的图象在点 M （－1， f （－1））处的切
线方程为 x ＋2 y ＋5＝0.
（1）求函数 f （ x ）的解析式；
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解： 因为 f （ x ）的图象在点 M （－1， f （－1））处
的切线方程为 x ＋2 y ＋5＝0.
所以f'（－1）＝－ ，且－1＋2 f （－1）＋5＝0，
即 f （－1）＝－2，即 ＝－2，　①
又f'（ x ）＝ ，
所以 ＝－ .　②
由①②得 a ＝2， b ＝3（因为 b ＋1≠0，所以 b ＝－1舍去）.
所以所求函数的解析式是 f （ x ）＝ .
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（2）求函数 f （ x ）的单调区间.
解： 由（1）知，f'（ x ）＝ .
令－2 x2＋12 x ＋6＝0，解得 x1＝3－2 ， x2＝3＋2 ，
则当 x ＜3－2 或 x ＞3＋2 时，f'（ x ）＜0；
当3－2 ＜ x ＜3＋2 时，f'（ x ）＞0.
所以 f （ x ）＝ 的单调递增区间是（3－2 ，3＋2
），单调递减区间是（－∞，3－2 ）和（3＋2 ，
＋∞）.
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