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第二课时　函数单调性的应用
1.三次函数f（x）＝ax3－1在R上是减函数，则（　　）
A.a＝1　 B.a＝2
C.a≤0 D.a＜0
2.已知函数f（x），g（x）对任意实数x，有f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x），且当x＞0时，有f'（x）＞0，g'（x）＞0，则当x＜0时，有（　　）
A.f'（x）＞0，g'（x）＞0
B.f'（x）＞0，g'（x）＜0
C.f'（x）＜0，g'（x）＞0
D.f'（x）＜0，g'（x）＜0
3.已知函数f（x）＝x2－ax＋3在（0，1）上单调递减，函数g（x）＝x2－aln x在（1，2）上单调递增，则a＝（　　）
A.1 B.2
C.0 D.
4.若函数f（x）＝3x＋（a－2）ln x在定义域上不单调，则实数a的取值范围是（　　）
A.（ －∞，） B.[2，＋∞）
C.（0，＋∞） D.（－∞，2）
5.（多选）已知函数f（x），g（x）在区间[a，b]上均有f'（x）＜g'（x），则在[a，b]上，下列关系式中正确的是（　　）
A.f（x）＋f（b）≥g（x）＋g（b）
B.f（x）－f（b）≥g（x）－g（b）
C.f（x）＋g（a）≤g（x）＋f（a）
D.f（x）＋g（a）≥g（x）＋f（a）
6.（多选）已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f'（x），对于任意的x∈R，f'（x）＜－f（x）恒成立，则以下选项一定正确的是（　　）
A.5f（ln 5）＜2f（ln 2）
B.6f（ln 6）＜3f（ln 3）
C.2f（ln 5）＞5f（ln 2）
D.3f（ln 6）＜6f（ln 3）
7.函数f（x）＝x3－（2a＋1）x2＋（a2＋a）x＋4的单调递减区间是　　　　.
8.若函数f（x）＝（x2＋mx）ex的单调递减区间是，则实数m的值为　　　　.
9.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）＝0，若当x＞0时，xf'（x）＋f（x）＞0，则不等式xf（x）＞0的解集是　　　　.
10.已知函数f（x）＝x3＋ax2－a2x＋2.
（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若a＞0，求函数f（x）的单调区间.
11.若函数f（x）＝ax3－3x2＋x＋1恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是（　　）
A.（－∞，3）
B.（－∞，3]
C.（－∞，0）∪（0，3]
D.（－∞，0）∪（0，3）
12.（多选）已知函数f（x）＝ex－e－x＋sin 2x，则满足f（2x2－1）＋f（x）＞0的x的取值范围可能为（　　）
A. B.（－∞，－1）
C. D.
13.定义方程f（x）＝f'（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”.
（1）设f（x）＝cos x，则f（x）在（0，π）上的“新驻点”为　　　　；
（2）如果函数g（x）＝x与h（x）＝ln（x＋1）的“新驻点”分别为α，β，那么α和β的大小关系是　　　　.
14.试讨论函数f（x）＝kx－ln x的单调区间.
15.（多选）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）＜f（x）对任意的x∈R恒成立，则（　　）
A.f（ln 2）＜2f（0） B.f（2）＜e2f（0）
C.f（ln 2）＞2f（0） D.f（2）＞e2f（0）
16.已知函数f（x）＝ax2＋ln（x＋1）.
（1）当a＝－时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间[1，＋∞）上单调递减，求实数a的取值范围.
第二课时　函数单调性的应用
1.D　f'（x）＝3ax2，要使f（x）在R上为减函数，则f'（x）≤0在R上恒成立，即a≤0，又a＝0时，f'（x）＝0恒成立，所以a≠0.综上a＜0.
2.B　由已知，得f（x）为奇函数，g（x）为偶函数.∵当x＞0时，f'（x）＞0，g'（x）＞0，∴f（x），g（x）在（0，＋∞）上均单调递增，∴f（x）在（－∞，0）上单调递增，g（x）在（－∞，0）上单调递减，∴当x＜0时，f'（x）＞0，g'（x）＜0.
3.B　∵函数f（x）＝x2－ax＋3在（0，1）上单调递减，∴≥1，得a≥2.g'（x）＝2x－，依题意g'（x）≥0在（1，2）上恒成立，即2x2≥a在x∈（1，2）时恒成立，有a≤2，∴a＝2.
4.D　函数f（x）＝3x＋（a－2）ln x的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝3＋.当a≥2时，f'（x）＞0，函数f（x）在定义域上是增函数，不满足题意，舍去，当a＜2时，令f'（x）＝3＋＝0，解得x＝，故此时f（x）＝3x＋（a－2）ln x在定义域上不单调.故实数a的取值范围是（－∞，2）.
5.BC　据题意，由f'（x）＜g'（x）得f'（x）－g'（x）＜0，故F（x）＝f（x）－g（x）在[a，b]上单调递减，由单调性知识知，在[a，b]上必有F（x）≥F（b），即f（x）－g（x）≥f（b）－g（b），移项整理得f（x）－f（b）≥g（x）－g（b）.同理F（x）≤F（a），f（x）－g（x）≤f（a）－g（a），移项整理得f（x）＋g（a）≤g（x）＋f（a）.
6.AB　令g（x）＝exf（x），则g'（x）＝exf（x）＋exf'（x）＝ex[f（x）＋f'（x）].因为对于任意的x∈R，f'（x）＜－f（x）恒成立，所以g'（x）＜0，所以g（x）在R上是减函数.因为ln 5＞ln 2，所以g（ln 5）＜g（ln 2），所以eln 5f（ln 5）＜eln 2f（ln 2），即5f（ln 5）＜2f（ln 2），所以A正确，C错误，因为ln 6＞ln 3，所以g（ln 6）＜g（ln 3），所以eln 6f（ln 6）＜eln 3f（ln 3），即6f（ln 6）＜3f（ln 3），所以B正确，D错误.
7.（a，a＋1）　解析：f'（x）＝x2－（2a＋1）x＋a2＋a＝[x－（a＋1）]（x－a），令f'（x）＜0，得a＜x＜a＋1，故f（x）的单调递减区间是（a，a＋1）.
8.－　解析：f'（x）＝[x2＋（m＋2）x＋m]ex.因为f（x）的单调递减区间是，所以f'（x）＝0的两个根分别为x1＝－，x2＝1，即解得m＝－.
9.（－∞，－2）∪（2，＋∞）　解析：由题意设g（x）＝xf（x），则g'（x）＝xf'（x）＋f（x）.∵当x＞0时，xf'（x）＋f（x）＞0，∴g（x）在（0，＋∞）上单调递增.∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴g（x）是定义在R上的偶函数.又f（2）＝0，则g（2）＝2f（2）＝0，∴不等式xf（x）＞0等价于g（x）＞0＝g（2），∴｜x｜＞2，解得x＜－2或x＞2，∴不等式xf（x）＞0的解集是（－∞，－2）∪（2，＋∞）.
10.解：（1）∵a＝1，∴f（x）＝x3＋x2－x＋2，
∴f'（x）＝3x2＋2x－1，∴f'（1）＝4.又f（1）＝3，
∴切点坐标为（1，3），∴所求切线方程为y－3＝4（x－1），即4x－y－1＝0.
（2）f'（x）＝3x2＋2ax－a2＝（x＋a）（3x－a），
由f'（x）＝0得x＝－a或x＝.
又a＞0，由f'（x）＜0，得－a＜x＜，
由f'（x）＞0，得x＜－a或x＞，
故f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为和.
11.D　∵函数f（x）＝ax3－3x2＋x＋1，∴f'（x）＝3ax2－6x＋1.由函数f（x）恰好有三个单调区间，得f'（x）有两个不相等的零点，∴3ax2－6x＋1＝0满足a≠0，且Δ＝36－12a＞0，解得a＜3且a≠0，∴a∈（－∞，0）∪（0，3）.故选D.
12.BD　函数f（x）＝ex－e－x＋sin 2x，定义域为R，且满足f（－x）＝e－x－ex＋sin（－2x）＝－（ex－e－x＋sin 2x）＝－f（x），∴f（x）为R上的奇函数.又f'（x）＝ex＋e－x＋2cos 2x≥2＋2cos 2x≥0恒成立，∴f（x）为R上的增函数.又f（2x2－1）＋f（x）＞0，得f（2x2－1）＞－f（x）＝f（－x），∴2x2－1＞－x，即2x2＋x－1＞0，解得x＜－1或x＞，∴x的取值范围是（－∞，－1）∪.故选B、D.
13.（1）　（2）α＞β　解析：（1）∵f（x）＝cos x，∴f'（x）＝－sin x，根据“新驻点”的定义得f（x）＝f'（x），即cos x＝－sin x，可得tan x＝－1，∵x∈（0，π），解得x＝，∴函数f（x）＝cos x在（0，π）上的“新驻点”为.
（2）∵g（x）＝x，则g'（x）＝1，根据“新驻点”的定义得g（α）＝g'（α），即α＝1.∵h（x）＝ln（x＋1），则h'（x）＝，由“新驻点”的定义得h（x）＝h'（x），即ln（x＋1）＝，构造函数F（x）＝ln（x＋1）－，则函数y＝F（x）在定义域上为增函数.∵F（0）＝－1＜0，F（1）＝ln 2－＞0，∴F（β）＝0，由函数零点存在定理可知β∈（0，1）.∴α＞β.
14.解：函数f（x）＝kx－ln x的定义域为（0，＋∞），
f'（x）＝k－＝.
当k≤0时，kx－1＜0，∴f'（x）＜0，
则f（x）在（0，＋∞）上是减函数.
当k＞0时，由f'（x）＜0，即＜0，
解得0＜x＜；
由f'（x）＞0，即＞0，解得x＞.
∴当k＞0时，f（x）的单调递减区间为，
单调递增区间为.
综上所述，当k≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，＋∞），无单调递增区间；当k＞0时，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为.
15.AB　令g（x）＝，则g'（x）＝＜0，故g（x）在R上是减函数，而ln 2＞0，2＞0，故g（ln 2）＜g（0），g（2）＜g（0），即＜，＜，所以f（ln 2）＜2f（0），f（2）＜e2f（0）.
16.解：（1）当a＝－时，f（x）＝－x2＋ln（x＋1）（x＞－1），
则f'（x）＝－x＋＝－（x＞－1）.
令f'（x）＞0，解得－1＜x＜1；
令f'（x）＜0，解得x＞1.
故函数f（x）的单调递增区间是（－1，1），单调递减区间是（1，＋∞）.
（2）因为函数f（x）在区间[1，＋∞）上单调递减，所以f'（x）＝2ax＋≤0对任意x∈[1，＋∞）恒成立，即a≤－对任意x∈[1，＋∞）恒成立.
令g（x）＝－，x∈[1，＋∞），
易求得g'（x）＞0在[1，＋∞）上恒成立，
所以g（x）在[1，＋∞）上单调递增，
因此g（x）min＝g（1）＝－，故a≤－.
即实数a的取值范围是.
2 / 2第二课时　函数单调性的应用
题型一 含参数的函数的单调性
【例1】　讨论函数f（x）＝ax2＋x－（a＋1）ln x（a≥0）的单调性.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
2.划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.
【跟踪训练】
求函数f（x）＝＋aln x（a∈R）的单调递减区间.
题型二 已知函数的单调性求参数的范围
【例2】　若函数f（x）＝x3－ax2＋（a－1）x＋1在区间[1，4]上单调递减，在区间[6，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A.（－∞，5]
B.[5，7]
C.[7，＋∞）
D.（－∞，5]∪[7，＋∞）
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f'（x）≥0（或f'（x）≤0），x∈（a，b）恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），应注意参数的取值是f'（x）不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意.
2.若函数y＝f（x）在区间（a，b）上不单调，则转化为f'（x）＝0在（a，b）上有解（需验证解的两侧导数是否异号）.
【跟踪训练】
若函数f（x）＝x3－12x在区间（k－1，k＋1）上不单调，则实数k的取值范围是（　　）
A.（－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞）
B.（－3，－1）∪（1，3）
C.（－2，2）
D.不存在这样的实数k
题型三 函数单调性的应用
【例3】　（1）已知函数f（x）＝＋ln x，则（　　）
A.f（e）＜f（π）＜f（2.7） B.f（π）＜f（e）＜f（2.7）
C.f（e）＜f（2.7）＜f（π） D.f（2.7）＜f（e）＜f（π）
（2）已知函数f（x）＝4x＋3sin x，x∈（－1，1），若f（1－a）＋f（1－a2）＜0成立，则实数a的取值范围为（　　）
A.（0，1）
B.（1，）
C.（－2，－）
D.（－∞，－2）∪（1，＋∞）
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
1.在比较两数（式）的大小关系时，首先要判断所给函数的单调性，再根据函数的单调性比较大小，有时还需要根据待比较式的结构特征构造新的函数，由新函数的单调性来比较大小.
2.对于利用导数解不等式问题，需要利用导数判断出函数的单调性，再利用单调性解不等式.注意函数定义域.
【跟踪训练】
若f（x）＝，e＜a＜b，则（　　）
A.f（a）＜f（b）　　 　 B.f（a）＝f（b）
C.f（a）＞f（b） D.f（a）f（b）＞1
1.设函数f（x）＝2x＋sin x，则（　　）
A.f（1）＞f（2） B.f（1）＜f（2）
C.f（1）＝f（2） D.以上都不正确
2.若f（x）＝x3－ax2的单调递减区间是（0，2），则正数a的值是（　　）
A.1　　 　B.2　　 　C.3　　 　D.4
3.若函数y＝x2－2bx＋6在[2，8]上单调递增，则实数b的取值范围是　　　　.
4.若f（x）＝－x2＋bln（x＋2）在（－1，＋∞）上单调递减，则b的取值范围是　　　　.
5.设函数f（x）＝x－－aln x（a∈R），讨论f（x）的单调性.
导数中函数的构造问题
类型一 利用f（x）与x构造
【例1】　设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）＋xf'（x）＜0，且f（－4）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集为　　　　.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
【例2】　已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f'（x），且满足f（－1）＝0，当x＞0时，2f（x）＞xf'（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是　　　　.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
方法总结
利用f（x）与x构造函数的形式
（1）常见的构造形式为xf（x），；
（2）出现nf（x）＋xf'（x）形式，构造函数F（x）＝xnf（x）；
（3）出现xf'（x）－nf（x）形式，构造函数F（x）＝.
【跟踪训练】
设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1）＝0，当x＜0时，有xf'（x）－f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＞0的解集为　　　　.
类型二 利用f（x）与ex构造
【例3】　已知f（x）为R上的可导函数，其导函数为f'（x），且对于任意的x∈R，均有f（x）＋f'（x）＞0，则（　　）
A.e－2 024f（－2 024）＜f（0），e2 024f（2 024）＞f（0）
B.e－2 024f（－2 024）＜f（0），e2 024f（2 024）＜f（0）
C.e－2 024f（－2 024）＞f（0），e2 024f（2 024）＞f（0）
D.e－2 024f（－2 024）＞f（0），e2 024f（2 024）＜f（0）
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
方法总结
利用f（x）与ex构造函数的形式
（1）常见的构造形式为exf（x），；
（2）出现f'（x）＋nf（x）形式，构造函数F（x）＝enxf（x）；
（3）出现f'（x）－nf（x）形式，构造函数F（x）＝.
【跟踪训练】
已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），且3f（x）－f'（x）＞0在R上恒成立，则下列等式一定成立的是（　　）
A.f（1）＜e3f（0）　　　　 B.f（1）＞e2f（0）
C.f（1）＞e3f（0） D.f（1）＜e2f（0）
类型三 利用f（x）与sin x，cos x构造
【例4】　已知函数y＝f（x）对于任意的x∈（ －，）满足f'（x）cos x＋f（x）sin x＞0（其中f'（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式不成立的是（　　）
A.f（ ）＜f（ ）
B.f（ －）＜f（ －）
C.f（0）＜f（ ）
D.f（0）＜2f（ ）
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
方法总结
利用f（x）与sin x，cos x构造函数常见的形式
（1）F（x）＝f（x）sin x，F'（x）＝f'（x）sin x＋f（x）cos x；
（2）F（x）＝，F'（x）＝；
（3）F（x）＝f（x）cos x，F'（x）＝f'（x）cos x－f（x）sin x；
（4）F（x）＝，F'（x）＝.
【跟踪训练】
已知函数y＝f（x－1）的图象关于点（1，0）对称，函数y＝f（x）对于任意的x∈（0，π）满足f'（x）sin x＞f（x）cos x（其中f'（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（　　）
A.f（ －）＞－f（ ）
B.f（ ）＜－f（ －）
C.f（ ）＞2f（ ）
D.f（ ）＜f（ ）
类型四 构造具体函数关系式
【例5】　已知α，β∈［－，］，且αsin α－βsin β＞0，则下列结论正确的是（　　）
A.α＞β B.α2＞β2
C.α＜β D.α＋β＞0
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
方法总结
　　这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题.
【跟踪训练】
已知实数a，b，c满足＝＝1，其中e是自然对数的底数，那么（a－c）2＋（b－d）2的最小值为（　　）
A.8　　 　B.10　　 　C.12　　 　D.18
第二课时　函数单调性的应用
【典型例题·精研析】
【例1】　解：函数f（x）的定义域为（0，＋∞），
f'（x）＝ax＋1－＝.
①当a＝0时，f'（x）＝，
由f'（x）＞0，得x＞1，由f'（x）＜0，得0＜x＜1.
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.
②当a＞0时，f'（x）＝，
∵a＞0，∴＞0.
由f'（x）＞0，得x＞1，由f'（x）＜0，得0＜x＜1.
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.
综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.
跟踪训练
　解：易得函数f（x）的定义域是（0，＋∞），
f'（x）＝－＋＝.
①当a≤0时，f'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，
故f（x）在（0，＋∞）上单调递减.
②当a＞0时，若0＜x＜，则f'（x）＜0；
若x＞，则f'（x）＞0，所以f（x）在上单调递减，在上单调递增.
综上可知，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，＋∞），当a＞0时，f（x）的单调递减区间为.
【例2】　B　法一　f'（x）＝x2－ax＋a－1，由f'（x）＝0得x＝1或x＝a－1.当a－1≤1，即a≤2时，对于任意的x∈[1，＋∞），f'（x）≥0，即函数f（x）在[1，＋∞）上单调递增，不符合题意；当a－1＞1，即a＞2时，函数f（x）在（－∞，1]和[a－1，＋∞）上单调递增，在[1，a－1]上单调递减，依题意[1，4] [1，a－1]且[6，＋∞） [a－1，＋∞），从而4≤a－1≤6，故5≤a≤7.综上，实数a的取值范围为[5，7].
法二　f'（x）＝x2－ax＋a－1，依题意，得f'（x）≤0在[1，4]上恒成立，且f'（x）≥0在[6，＋∞）上恒成立，由f'（x）＝0得x＝1或x＝a－1，故4≤a－1≤6，即5≤a≤7.故所求实数a的取值范围为[5，7].
跟踪训练
　B　由题意得，f'（x）＝3x2－12＝0在区间（k－1，k＋1）上至少有一个实数根.又f'（x）＝3x2－12＝0的根为±2，且f'（x）在x＝2或－2两侧导数异号，而区间（k－1，k＋1）的区间长度为2，故只有2或－2在区间（k－1，k＋1）内，∴k－1＜2＜k＋1或k－1＜－2＜k＋1，∴1＜k＜3或－3＜k＜－1，故选B.
【例3】　（1）D　（2）B　解析：（1）函数f（x）＝＋ln x的定义域为（0，＋∞）.∵f'（x）＝（＋ln x）'＝（）'＋（ln x）'＝＋＞0，∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数.∵2.7＜e＜π，∴f（2.7）＜f（e）＜f（π），故选D.
（2）∵f（x）＝4x＋3sin x，x∈（－1，1），∴f'（x）＝4＋3cos x＞0在x∈（－1，1）上恒成立，∴f（x）在（－1，1）上单调递增.又f（x）＝4x＋3sin x，x∈（－1，1）是奇函数，∴不等式f（1－a）＋f（1－a2）＜0可化为f（1－a）＜f（a2－1）.结合函数f（x）的定义域可知，a要满足解得1＜a＜.
跟踪训练
　C　易知f（x）的定义域为（0，＋∞），令f'（x）＝＜0，解得x＞e.∴f（x）在（e，＋∞）上单调递减，∵e＜a＜b，∴f（a）＞f（b）.
随堂检测
1.B　f'（x）＝2＋cos x＞0，故f（x）是R上的增函数，故f（1）＜f（2）.
2.A　f'（x）＝x2－2ax，令f'（x）＜0，由于a＞0，故解得0＜x＜2a，故2a＝2，即a＝1.
3.（－∞，2]　解析：由题意得y'＝2x－2b≥0在[2，8]上恒成立，
即b≤x在[2，8]上恒成立，所以b≤2.
4.（－∞，－1]　解析：∵f（x）在（－1，＋∞）上单调递减，∴f'（x）≤0在（－1，＋∞）上恒成立.∵f'（x）＝－x＋，∴－x＋≤0在（－1，＋∞）上恒成立，即b≤x（x＋2）在（－1，＋∞）上恒成立.设g（x）＝x（x＋2）＝（x＋1）2－1，则当x＞－1时，g（x）＞－1，∴b≤－1.
5.解：函数f（x）的定义域为（0，＋∞）.
f'（x）＝1＋－＝.
令g（x）＝x2－ax＋1，则对于方程x2－ax＋1＝0，有Δ＝a2－4.
当－2≤a≤2时，Δ≤0，g（x）≥0，f'（x）≥0，只有当a＝2，x＝1或a＝－2，x＝－1（舍去）时，等号成立，故函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数.
当a＜－2时，Δ＞0，g（x）＝0的两根都小于0，g（x）在（0，＋∞）上单调递增，且在（0，＋∞）上g（x）＞1，f'（x）＞0，故函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数.
当a＞2时，Δ＞0，g（x）＝0的两根为x1＝，x2＝，且x2＞x1＞0.
当0＜x＜x1时，f'（x）＞0；当x1＜x＜x2时，f'（x）＜0；当x＞x2时，f'（x）＞0.故函数f（x）在（0，x1），（x2＋∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减.
综上，当a≤2时，函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数；当a＞2时，函数f（x）在（ 0，），（ ，＋∞）上单调递增，在（ ，）上单调递减.
拓视野　导数中函数的构造问题
【例1】　（－∞，－4）∪（0，4）　解析：构造F（x）＝xf（x），则F'（x）＝f（x）＋xf'（x），当x＜0时，f（x）＋xf'（x）＜0，可以推出当x＜0时，F'（x）＜0，∴F（x）在（－∞，0）上单调递减.∵f（x）为偶函数，y＝x为奇函数，∴F（x）为奇函数，∴F（x）在（0，＋∞）上也单调递减，根据f（－4）＝0可得F（－4）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象（图略），根据图象可知xf（x）＞0的解集为（－∞，－4）∪（0，4）.
【例2】　（－1，0）∪（0，1）　解析：构造F（x）＝，则F'（x）＝，当x＞0时，xf'（x）－2f（x）＜0，可以推出当x＞0时，F'（x）＜0，F（x）在（0，＋∞）上单调递减.∵f（x）为偶函数，y＝x2为偶函数，∴F（x）为偶函数，∴F（x）在（－∞，0）上单调递增，根据f（－1）＝0可得F（－1）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象（图略），根据图象可知f（x）＞0的解集为（－1，0）∪（0，1）.
跟踪训练
（－∞，－1）∪（1，＋∞）　解析：构造F（x）＝，则F'（x）＝，当x＜0时，xf'（x）－f（x）＞0，可以推出当x＜0时，F'（x）＞0，F（x）在（－∞，0）上单调递增，∵f（x）为偶函数，y＝x为奇函数，∴F（x）为奇函数，∴F（x）在（0，＋∞）上单调递增，根据f（1）＝0可得F（1）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象（图略），根据图象可知f（x）＞0的解集为（－∞，－1）∪（1，＋∞）.
【例3】　A　构造函数h（x）＝exf（x），则h'（x）＝exf（x）＋exf'（x）＝ex[f（x）＋f'（x）]＞0，所以函数h（x）在R上是增函数，故h（－2 024）＜h（0），即e－2 024f（－2 024）＜e0f（0），即e－2 024f（－2 024）＜f（0）.同理h（2 024）＞h（0），即e2 024f（2 024）＞f（0），故选A.
跟踪训练
A　构造g（x）＝，则g'（x）＝＝，因为3f（x）－f'（x）＞0在R上恒成立，所以g'（x）＜0在R上恒成立，故g（x）在R上是减函数，所以g（1）＜g（0），即＜，即f（1）＜e3f（0）.
【例4】　A　构造F（x）＝，则F'（x）＝，导函数f'（x）满足f'（x）cos x＋f（x）·sin x＞0，则F'（x）＞0，F（x）在（ －，）上单调递增.把选项转化后可知选A.
跟踪训练
C　由已知，得f（x）为奇函数，由函数y＝f（x）对于任意的x∈（0，π）满足f'（x）sin x＞f（x）cos x，得f'（x）sin x－f（x）cos x＞0，即［］'＞0，所以y＝在（0，π）上单调递增，又因为y＝为偶函数，所以y＝在（－π，0）上单调递减，所以＜，即f（ ）＞2f（ ）.
【例5】　B　构造f（x）＝xsin x，则f'（x）＝sin x＋xcos x，x∈［0，］时导函数f'（x）≥0，f（x）单调递增；x∈［－，0）时导函数f'（x）＜0，f（x）单调递减.又f（x）为偶函数，根据单调性和图象可知选B.
跟踪训练
　A　由＝1 b＝a－2ea，构造函数f（x）＝x－2ex，则动点M（a，b）在函数f（x）图象上，又由＝1 d＝2－c，构造函数g（x）＝2－x，则动点N（c，d）在函数g（x）图象上即在直线x＋y－2＝0上，问题转化为求曲线y＝f（x）上的动点M（a，b）与直线x＋y－2＝0上的动点N（c，d）的距离的平方的最小值，即点M到直线x＋y－2＝0的距离平方的最小值.由f'（x）＝1－2ex＝－1，得x＝0，所以切点坐标为（0，－2），所以（a－c）2＋（b－d）2的最小值为（ ）2＝8.
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第二课时　
函数单调性的应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 含参数的函数的单调性
【例1】　讨论函数 f （ x ）＝ ax2＋ x －（ a ＋1）ln x （ a ≥0）的单
调性.
解：函数 f （ x ）的定义域为（0，＋∞），
f'（ x ）＝ ax ＋1－ ＝ .
①当 a ＝0时，f'（ x ）＝ ，
由f'（ x ）＞0，得 x ＞1，由f'（ x ）＜0，得0＜ x ＜1.
∴ f （ x ）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.
②当 a ＞0时，f'（ x ）＝ ，
∵ a ＞0，∴ ＞0.
由f'（ x ）＞0，得 x ＞1，由f'（ x ）＜0，得0＜ x ＜1.
∴ f （ x ）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.
综上所述，当 a ≥0时， f （ x ）在（0，1）上单调递减，在（1，＋
∞）上单调递增.
通性通法
1. 研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行
分类讨论.
2. 划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数
为0的点和函数的间断点.
【跟踪训练】
求函数 f （ x ）＝ ＋ a ln x （ a ∈R）的单调递减区间.
解：易得函数 f （ x ）的定义域是（0，＋∞），
f'（ x ）＝－ ＋ ＝ .
①当 a ≤0时，f'（ x ）＜0在（0，＋∞）上恒成立，
故 f （ x ）在（0，＋∞）上单调递减.
②当 a ＞0时，若0＜ x ＜ ，则f'（ x ）＜0；
若 x ＞ ，则f'（ x ）＞0，所以 f （ x ）在 上单调递减，在
上单调递增.
综上可知，当 a ≤0时， f （ x ）的单调递减区间为（0，＋∞），当 a
＞0时， f （ x ）的单调递减区间为 .
题型二 已知函数的单调性求参数的范围
【例2】　若函数 f （ x ）＝ x3－ ax2＋（ a －1） x ＋1在区间[1，4]
上单调递减，在区间[6，＋∞）上单调递增，则实数 a 的取值范围是
（　　）
A. （－∞，5] B. [5，7]
C. [7，＋∞） D. （－∞，5]∪[7，＋∞）
解析： 　法一　f'（ x ）＝ x2－ ax ＋ a －1，由f'（ x ）＝0得 x ＝1或 x
＝ a －1.当 a －1≤1，即 a ≤2时，对于任意的 x ∈[1，＋∞），f'
（ x ）≥0，即函数 f （ x ）在[1，＋∞）上单调递增，不符合题意；
当 a －1＞1，即 a ＞2时，函数 f （ x ）在（－∞，1]和[ a －1，＋∞）
上单调递增，在[1， a －1]上单调递减，依题意[1，4] [1， a －1]
且[6，＋∞） [ a －1，＋∞），从而4≤ a －1≤6，故5≤ a ≤7.综
上，实数 a 的取值范围为[5，7].
法二　f'（ x ）＝ x2－ ax ＋ a －1，依题意，得f'（ x ）≤0在[1，4]上恒
成立，且f'（ x ）≥0在[6，＋∞）上恒成立，由f'（ x ）＝0得 x ＝1或 x
＝ a －1，故4≤ a －1≤6，即5≤ a ≤7.故所求实数 a 的取值范围为
[5，7].
通性通法
1. 已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f'（ x ）≥0（或
f'（ x ）≤0）， x ∈（ a ， b ）恒成立，利用分离参数或函数性质解
出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），应注意
参数的取值是f'（ x ）不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取
“＝”时是否满足题意.
2. 若函数 y ＝ f （ x ）在区间（ a ， b ）上不单调，则转化为f'（ x ）＝
0在（ a ， b ）上有解（需验证解的两侧导数是否异号）.
【跟踪训练】
若函数 f （ x ）＝ x3－12 x 在区间（ k －1， k ＋1）上不单调，则实数 k
的取值范围是（　　）
A. （－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞）
B. （－3，－1）∪（1，3）
C. （－2，2）
D. 不存在这样的实数 k
解析： 　由题意得，f'（ x ）＝3 x2－12＝0在区间（ k －1， k ＋1）上
至少有一个实数根.又f'（ x ）＝3 x2－12＝0的根为±2，且f'（ x ）在 x
＝2或－2两侧导数异号，而区间（ k －1， k ＋1）的区间长度为2，故
只有2或－2在区间（ k －1， k ＋1）内，∴ k －1＜2＜ k ＋1或 k －1＜
－2＜ k ＋1，∴1＜ k ＜3或－3＜ k ＜－1，故选B.
题型三 函数单调性的应用
【例3】　（1）已知函数 f （ x ）＝ ＋ln x ，则（　D　）
A. f （e）＜ f （π）＜ f （2.7）
B. f （π）＜ f （e）＜ f （2.7）
C. f （e）＜ f （2.7）＜ f （π）
D. f （2.7）＜ f （e）＜ f （π）
D
解析： 函数 f （ x ）＝ ＋ln x 的定义域为（0，＋
∞）.∵f'（ x ）＝（ ＋ln x ）'＝（ ）'＋（ln x ）'＝ ＋
＞0，∴ f （ x ）在（0，＋∞）上是增函数.∵2.7＜e＜π，∴ f
（2.7）＜ f （e）＜ f （π），故选D.
（2）已知函数 f （ x ）＝4 x ＋3 sin x ， x ∈（－1，1），若 f （1－ a ）
＋ f （1－ a2）＜0成立，则实数 a 的取值范围为（　B　）
A. （0，1）
D. （－∞，－2）∪（1，＋∞）
B
解析： ∵ f （ x ）＝4 x ＋3 sin x ， x ∈（－1，1），∴f'（ x ）＝4
＋3 cos x ＞0在 x ∈（－1，1）上恒成立，∴ f （ x ）在（－1，
1）上单调递增.又 f （ x ）＝4 x ＋3 sin x ， x ∈（－1，1）是奇函
数，∴不等式 f （1－ a ）＋ f （1－ a2）＜0可化为 f （1－ a ）＜ f
（ a2－1）.结合函数 f （ x ）的定义域可知， a 要满足
解得1＜ a ＜ .
通性通法
1. 在比较两数（式）的大小关系时，首先要判断所给函数的单调性，
再根据函数的单调性比较大小，有时还需要根据待比较式的结构特
征构造新的函数，由新函数的单调性来比较大小.
2. 对于利用导数解不等式问题，需要利用导数判断出函数的单调性，
再利用单调性解不等式.注意函数定义域.
【跟踪训练】
若 f （ x ）＝ ，e＜ a ＜ b ，则（　　）
A. f （ a ）＜ f （ b ） B. f （ a ）＝ f （ b ）
C. f （ a ）＞ f （ b ） D. f （ a ） f （ b ）＞1
解析： 　易知 f （ x ）的定义域为（0，＋∞），令f'（ x ）＝ ＜
0，解得 x ＞e.∴ f （ x ）在（e，＋∞）上单调递减，∵e＜ a ＜ b ，∴ f
（ a ）＞ f （ b ）.
1. 设函数 f （ x ）＝2 x ＋ sin x ，则（　　）
A. f （1）＞ f （2） B. f （1）＜ f （2）
C. f （1）＝ f （2） D. 以上都不正确
解析： 　f'（ x ）＝2＋ cos x ＞0，故 f （ x ）是R上的增函数，故 f
（1）＜ f （2）.
2. 若 f （ x ）＝ x3－ ax2的单调递减区间是（0，2），则正数 a 的值是
（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 　f'（ x ）＝ x2－2 ax ，令f'（ x ）＜0，由于 a ＞0，故解得0
＜ x ＜2 a ，故2 a ＝2，即 a ＝1.
3. 若函数 y ＝ x2－2 bx ＋6在[2，8]上单调递增，则实数 b 的取值范围
是 　.
解析：由题意得y'＝2 x －2 b ≥0在[2，8]上恒成立，
即 b ≤ x 在[2，8]上恒成立，所以 b ≤2.
（－∞，2]　
4. 若 f （ x ）＝－ x2＋ b ln（ x ＋2）在（－1，＋∞）上单调递减，则
b 的取值范围是 .
解析：∵ f （ x ）在（－1，＋∞）上单调递减，∴f'（ x ）≤0在
（－1，＋∞）上恒成立.∵f'（ x ）＝－ x ＋ ，∴－ x ＋ ≤0
在（－1，＋∞）上恒成立，即 b ≤ x （ x ＋2）在（－1，＋∞）上
恒成立.设 g （ x ）＝ x （ x ＋2）＝（ x ＋1）2－1，则当 x ＞－1
时， g （ x ）＞－1，∴ b ≤－1.
（－∞，－1]
5. 设函数 f （ x ）＝ x － － a ln x （ a ∈R），讨论 f （ x ）的单调性.
解：函数 f （ x ）的定义域为（0，＋∞）.
f'（ x ）＝1＋ － ＝ .
令 g （ x ）＝ x2－ ax ＋1，则对于方程 x2－ ax ＋1＝0，有Δ＝ a2－4.
当－2≤ a ≤2时，Δ≤0， g （ x ）≥0，f'（ x ）≥0，只有当 a ＝2，
x ＝1或 a ＝－2， x ＝－1（舍去）时，等号成立，故函数 f （ x ）在
（0，＋∞）上是增函数.
当 a ＜－2时，Δ＞0， g （ x ）＝0的两根都小于0， g （ x ）在（0，
＋∞）上单调递增，且在（0，＋∞）上 g （ x ）＞1，f'（ x ）＞
0，故函数 f （ x ）在（0，＋∞）上是增函数.
当 a ＞2时，Δ＞0， g （ x ）＝0的两根为 x1＝ ， x2＝
，且 x2＞ x1＞0.
当0＜ x ＜ x1时，f'（ x ）＞0；当 x1＜ x ＜ x2时，f'（ x ）＜0；当 x ＞
x2时，f'（ x ）＞0.故函数 f （ x ）在（0， x1），（ x2＋∞）上单调
递增，在（ x1， x2）上单调递减.
综上，当 a ≤2时，函数 f （ x ）在（0，＋∞）上是增函数；当 a ＞2时，
函数 f （ x ）在（ 0， ），（ ，＋∞）上单调递增，
在（ ， ）上单调递减.
　导数中函数的构造问题
类型一 利用 f （ x ）与 x 构造
【例1】　设 f （ x ）是定义在R上的偶函数，当 x ＜0时， f （ x ）＋xf'
（ x ）＜0，且 f （－4）＝0，则不等式 xf （ x ）＞0的解集为
.
（－
∞，－4）∪（0，4）
解析：构造 F （ x ）＝ xf （ x ），则F'（ x ）＝ f （ x ）＋xf'（ x ），当 x
＜0时， f （ x ）＋xf'（ x ）＜0，可以推出当 x ＜0时，F'（ x ）＜0，
∴ F （ x ）在（－∞，0）上单调递减.∵ f （ x ）为偶函数， y ＝ x 为奇
函数，∴ F （ x ）为奇函数，∴ F （ x ）在（0，＋∞）上也单调递
减，根据 f （－4）＝0可得 F （－4）＝0，根据函数的单调性、奇偶
性可得函数图象（图略），根据图象可知 xf （ x ）＞0的解集为（－
∞，－4）∪（0，4）.
【例2】　已知偶函数 f （ x ）（ x ≠0）的导函数为f'（ x ），且满足 f
（－1）＝0，当 x ＞0时，2 f （ x ）＞xf'（ x ），则使得 f （ x ）＞0成立
的 x 的取值范围是 .
（－1，0）∪（0，1）　
解析：构造 F （ x ）＝ ，则F'（ x ）＝ ，当 x ＞
0时，xf'（ x ）－2 f （ x ）＜0，可以推出当 x ＞0时，F'（ x ）＜0， F
（ x ）在（0，＋∞）上单调递减.∵ f （ x ）为偶函数， y ＝ x2为偶函
数，∴ F （ x ）为偶函数，∴ F （ x ）在（－∞，0）上单调递增，根
据 f （－1）＝0可得 F （－1）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得
函数图象（图略），根据图象可知 f （ x ）＞0的解集为（－1，0）∪
（0，1）.
方法总结
利用 f （ x ）与 x 构造函数的形式
（1）常见的构造形式为 xf （ x ）， ；
（2）出现 nf （ x ）＋xf'（ x ）形式，构造函数 F （ x ）＝ xnf （ x ）；
（3）出现xf'（ x ）－ nf （ x ）形式，构造函数 F （ x ）＝ .
【跟踪训练】
设 f （ x ）是定义在R上的偶函数，且 f （1）＝0，当 x ＜0时，有xf'
（ x ）－ f （ x ）＞0恒成立，则不等式 f （ x ）＞0的解集为
.
（－
∞，－1）∪（1，＋∞）
解析：构造 F （ x ）＝ ，则F'（ x ）＝ ，当 x ＜0
时，xf'（ x ）－ f （ x ）＞0，可以推出当 x ＜0时，F'（ x ）＞0， F
（ x ）在（－∞，0）上单调递增，∵ f （ x ）为偶函数， y ＝ x 为奇函
数，∴ F （ x ）为奇函数，∴ F （ x ）在（0，＋∞）上单调递增，根
据 f （1）＝0可得 F （1）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数
图象（图略），根据图象可知 f （ x ）＞0的解集为（－∞，－1）∪
（1，＋∞）.
类型二 利用 f （ x ）与e x 构造
【例3】　已知 f （ x ）为R上的可导函数，其导函数为f'（ x ），且对
于任意的 x ∈R，均有 f （ x ）＋f'（ x ）＞0，则（　　）
A. e－2 024 f （－2 024）＜ f （0），e2 024 f （2 024）＞ f （0）
B. e－2 024 f （－2 024）＜ f （0），e2 024 f （2 024）＜ f （0）
C. e－2 024 f （－2 024）＞ f （0），e2 024 f （2 024）＞ f （0）
D. e－2 024 f （－2 024）＞ f （0），e2 024 f （2 024）＜ f （0）
解析： 构造函数 h （ x ）＝e xf （ x ），则h'（ x ）＝e xf （ x ）＋e x f'
（ x ）＝e x [ f （ x ）＋f'（ x ）]＞0，所以函数 h （ x ）在R上是增函
数，故 h （－2 024）＜ h （0），即e－2 024 f （－2 024）＜e0 f （0），
即e－2 024 f （－2 024）＜ f （0）.同理 h （2 024）＞ h （0），即e2 024 f
（2 024）＞ f （0），故选A.
方法总结
利用 f （ x ）与e x 构造函数的形式
（1）常见的构造形式为e xf （ x ）， ；
（2）出现f'（ x ）＋ nf （ x ）形式，构造函数 F （ x ）＝e nxf （ x ）；
（3）出现f'（ x ）－ nf （ x ）形式，构造函数 F （ x ）＝ .
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）的定义域为R，其导函数为f'（ x ），且3 f （ x ）－f'
（ x ）＞0在R上恒成立，则下列等式一定成立的是（　　）
A. f （1）＜e3 f （0） B. f （1）＞e2 f （0）
C. f （1）＞e3 f （0） D. f （1）＜e2 f （0）
解析： 　构造 g （ x ）＝ ，则g'（ x ）＝
＝ ，因为3 f （ x ）－f'（ x ）＞0在R上恒成立，所以g'
（ x ）＜0在R上恒成立，故 g （ x ）在R上是减函数，所以 g （1）＜ g
（0），即 ＜ ，即 f （1）＜e3 f （0）.
类型三 利用 f （ x ）与 sin x ， cos x 构造
【例4】　已知函数 y ＝ f （ x ）对于任意的 x ∈（ － ， ）满足f'
（ x ） cos x ＋ f （ x ） sin x ＞0（其中f'（ x ）是函数 f （ x ）的导函
数），则下列不等式不成立的是（　　）
解析： 　构造 F （ x ）＝ ，则 F '（ x ）＝
，导函数f'（ x ）满足f'（ x ）· cos x ＋ f
（ x ）· sin x ＞0，则 F '（ x ）＞0， F （ x ）在（ － ， ）上单调递
增.把选项转化后可知选A.
方法总结
利用 f （ x ）与 sin x ， cos x 构造函数常见的形式
（1） F （ x ）＝ f （ x ） sin x ，F'（ x ）＝f'（ x ） sin x ＋ f （ x ） cos
x ；
（2） F （ x ）＝ ，F'（ x ）＝ ；
（3） F （ x ）＝ f （ x ） cos x ，F'（ x ）＝f'（ x ） cos x － f （ x ） sin
x ；
（4） F （ x ）＝ ，F'（ x ）＝ .
【跟踪训练】
已知函数 y ＝ f （ x －1）的图象关于点（1，0）对称，函数 y ＝ f
（ x ）对于任意的 x ∈（0，π）满足f'（ x ） sin x ＞ f （ x ） cos x （其中
f'（ x ）是函数 f （ x ）的导函数），则下列不等式成立的是（　　）
解析： 　由已知，得 f （ x ）为奇函数，由函数 y ＝ f （ x ）对于任意
的 x ∈（0，π）满足f'（ x ） sin x ＞ f （ x ） cos x ，得f'（ x ） sin x － f
（ x ） cos x ＞0，即［ ］'＞0，所以 y ＝ 在（0，π）上单
调递增，又因为 y ＝ 为偶函数，所以 y ＝ 在（－π，0）
上单调递减，所以 ＜ ，即 f （ ）＞2 f （ ）.
类型四 构造具体函数关系式
【例5】　已知α，β∈［－ ， ］，且α sin α－β sin β＞0，则
下列结论正确的是（　　）
A. α＞β B. α2＞β2
C. α＜β D. α＋β＞0
解析： 　构造 f （ x ）＝ x sin x ，则f'（ x ）＝ sin x ＋ x cos x ， x ∈
［0， ］时导函数f'（ x ）≥0， f （ x ）单调递增； x ∈［－ ，0）时
导函数f'（ x ）＜0， f （ x ）单调递减.又 f （ x ）为偶函数，根据单调
性和图象可知选B.
方法总结
　　这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系
式去解决不等式及求值问题.
【跟踪训练】
已知实数 a ， b ， c 满足 ＝ ＝1，其中e是自然对数的底数，
那么（ a － c ）2＋（ b － d ）2的最小值为（　　）
A. 8 B. 10
C. 12 D. 18
解析： 　由 ＝1 b ＝ a －2e a ，构造函数 f （ x ）＝ x －2e x ，则
动点 M （ a ， b ）在函数 f （ x ）图象上，又由 ＝1 d ＝2－ c ，构
造函数 g （ x ）＝2－ x ，则动点 N （ c ， d ）在函数 g （ x ）图象上即
在直线 x ＋ y －2＝0上，问题转化为求曲线 y ＝ f （ x ）上的动点 M
（ a ， b ）与直线 x ＋ y －2＝0上的动点 N （ c ， d ）的距离的平方的最
小值，即点 M 到直线 x ＋ y －2＝0的距离平方的最小值.由f'（ x ）＝1
－2e x ＝－1，得 x ＝0，所以切点坐标为（0，－2），所以（ a － c ）2
＋（ b － d ）2的最小值为（ ）2＝8.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 三次函数 f （ x ）＝ ax3－1在R上是减函数，则（　　）
A. a ＝1 B. a ＝2
C. a ≤0 D. a ＜0
解析： 　f'（ x ）＝3 ax2，要使 f （ x ）在R上为减函数，则f'（ x ）
≤0在R上恒成立，即 a ≤0，又 a ＝0时，f'（ x ）＝0恒成立，所以 a
≠0.综上 a ＜0.
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2. 已知函数 f （ x ）， g （ x ）对任意实数 x ，有 f （－ x ）＝－ f
（ x ）， g （－ x ）＝ g （ x ），且当 x ＞0时，有f'（ x ）＞0，g'
（ x ）＞0，则当 x ＜0时，有（　　）
A. f'（ x ）＞0，g'（ x ）＞0
B. f'（ x ）＞0，g'（ x ）＜0
C. f'（ x ）＜0，g'（ x ）＞0
D. f'（ x ）＜0，g'（ x ）＜0
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解析： 　由已知，得 f （ x ）为奇函数， g （ x ）为偶函数.∵当 x
＞0时，f'（ x ）＞0，g'（ x ）＞0，∴ f （ x ）， g （ x ）在（0，＋
∞）上均单调递增，∴ f （ x ）在（－∞，0）上单调递增， g
（ x ）在（－∞，0）上单调递减，∴当 x ＜0时，f'（ x ）＞0，g'
（ x ）＜0.
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3. 已知函数 f （ x ）＝ x2－ ax ＋3在（0，1）上单调递减，函数 g
（ x ）＝ x2－ a ln x 在（1，2）上单调递增，则 a ＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 0
解析： 　∵函数 f （ x ）＝ x2－ ax ＋3在（0，1）上单调递减，
∴ ≥1，得 a ≥2.g'（ x ）＝2 x － ，依题意g'（ x ）≥0在（1，
2）上恒成立，即2 x2≥ a 在 x ∈（1，2）时恒成立，有 a ≤2，∴ a
＝2.
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4. 若函数 f （ x ）＝3 x ＋（ a －2）ln x 在定义域上不单调，则实数 a 的
取值范围是（　　）
B. [2，＋∞）
C. （0，＋∞） D. （－∞，2）
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解析： 　函数 f （ x ）＝3 x ＋（ a －2）ln x 的定义域为（0，＋
∞），f'（ x ）＝3＋ .当 a ≥2时，f'（ x ）＞0，函数 f （ x ）在定
义域上是增函数，不满足题意，舍去，当 a ＜2时，令f'（ x ）＝3＋
＝0，解得 x ＝ ，故此时 f （ x ）＝3 x ＋（ a －2）ln x 在定义
域上不单调.故实数 a 的取值范围是（－∞，2）.
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5. （多选）已知函数 f （ x ）， g （ x ）在区间[ a ， b ]上均有f'（ x ）
＜g'（ x ），则在[ a ， b ]上，下列关系式中正确的是（　　）
A. f （ x ）＋ f （ b ）≥ g （ x ）＋ g （ b ）
B. f （ x ）－ f （ b ）≥ g （ x ）－ g （ b ）
C. f （ x ）＋ g （ a ）≤ g （ x ）＋ f （ a ）
D. f （ x ）＋ g （ a ）≥ g （ x ）＋ f （ a ）
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解析： 　据题意，由f'（ x ）＜g'（ x ）得f'（ x ）－g'（ x ）＜0，
故 F （ x ）＝ f （ x ）－ g （ x ）在[ a ， b ]上单调递减，由单调性知
识知，在[ a ， b ]上必有 F （ x ）≥ F （ b ），即 f （ x ）－ g （ x ）
≥ f （ b ）－ g （ b ），移项整理得 f （ x ）－ f （ b ）≥ g （ x ）－ g
（ b ）.同理 F （ x ）≤ F （ a ）， f （ x ）－ g （ x ）≤ f （ a ）－ g
（ a ），移项整理得 f （ x ）＋ g （ a ）≤ g （ x ）＋ f （ a ）.
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6. （多选）已知函数 f （ x ）是定义在R上的可导函数，其导函数为f'
（ x ），对于任意的 x ∈R，f'（ x ）＜－ f （ x ）恒成立，则以下选
项一定正确的是（　　）
A. 5 f （ln 5）＜2 f （ln 2）
B. 6 f （ln 6）＜3 f （ln 3）
C. 2 f （ln 5）＞5 f （ln 2）
D. 3 f （ln 6）＜6 f （ln 3）
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解析： 令 g （ x ）＝e xf （ x ），则g'（ x ）＝e xf （ x ）＋e x f'
（ x ）＝e x [ f （ x ）＋f'（ x ）].因为对于任意的 x ∈R，f'（ x ）＜
－ f （ x ）恒成立，所以g'（ x ）＜0，所以 g （ x ）在R上是减函数.
因为ln 5＞ln 2，所以 g （ln 5）＜ g （ln 2），所以eln 5 f （ln 5）＜
eln 2 f （ln 2），即5 f （ln 5）＜2 f （ln 2），所以A正确，C错误，因
为ln 6＞ln 3，所以 g （ln 6）＜ g （ln 3），所以eln 6 f （ln 6）＜eln 3 f
（ln 3），即6 f （ln 6）＜3 f （ln 3），所以B正确，D错误.
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7. 函数 f （ x ）＝ x3－ （2 a ＋1） x2＋（ a2＋ a ） x ＋4的单调递减区
间是 .
解析：f'（ x ）＝ x2－（2 a ＋1） x ＋ a2＋ a ＝[ x －（ a ＋1）]（ x －
a ），令f'（ x ）＜0，得 a ＜ x ＜ a ＋1，故 f （ x ）的单调递减区间
是（ a ， a ＋1）.
（ a ， a ＋1）
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8. 若函数 f （ x ）＝（ x2＋ mx ）e x 的单调递减区间是 ，则实
数 m 的值为 .
解析：f'（ x ）＝[ x2＋（ m ＋2） x ＋ m ]e x .因为 f （ x ）的单调递减区
间是 ，所以f'（ x ）＝0的两个根分别为 x1＝－ ， x2＝1，即
解得 m ＝－ .
－
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9. 已知 f （ x ）是定义在R上的奇函数，且 f （2）＝0，若当 x ＞0时，
xf'（ x ）＋ f （ x ）＞0，则不等式 xf （ x ）＞0的解集是
.
（－∞，
－2）∪（2，＋∞）
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解析：由题意设 g （ x ）＝ xf （ x ），则g'（ x ）＝xf'（ x ）＋ f
（ x ）.∵当 x ＞0时，xf'（ x ）＋ f （ x ）＞0，∴ g （ x ）在（0，＋
∞）上单调递增.∵ f （ x ）是定义在R上的奇函数，∴ g （ x ）是定
义在R上的偶函数.又 f （2）＝0，则 g （2）＝2 f （2）＝0，∴不等
式 xf （ x ）＞0等价于 g （ x ）＞0＝ g （2），∴｜ x ｜＞2，解得 x
＜－2或 x ＞2，∴不等式 xf （ x ）＞0的解集是（－∞，－2）∪
（2，＋∞）.
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10. 已知函数 f （ x ）＝ x3＋ ax2－ a2 x ＋2.
（1）若 a ＝1，求曲线 y ＝ f （ x ）在点（1， f （1））处的切
线方程；
解： ∵ a ＝1，∴ f （ x ）＝ x3＋ x2－ x ＋2，
∴f'（ x ）＝3 x2＋2 x －1，∴f'（1）＝4.又 f （1）＝3，
∴切点坐标为（1，3），∴所求切线方程为 y －3＝4（ x －
1），即4 x － y －1＝0.
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（2）若 a ＞0，求函数 f （ x ）的单调区间.
解： f'（ x ）＝3 x2＋2 ax － a2＝（ x ＋ a ）（3 x － a ），
由f'（ x ）＝0得 x ＝－ a 或 x ＝ .
又 a ＞0，由f'（ x ）＜0，得－ a ＜ x ＜ ，
由f'（ x ）＞0，得 x ＜－ a 或 x ＞ ，
故 f （ x ）的单调递减区间为 ，单调递增区间为
和 .
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11. 若函数 f （ x ）＝ ax3－3 x2＋ x ＋1恰好有三个单调区间，则实数 a
的取值范围是（　　）
A. （－∞，3） B. （－∞，3]
C. （－∞，0）∪（0，3] D. （－∞，0）∪（0，3）
解析： 　∵函数 f （ x ）＝ ax3－3 x2＋ x ＋1，∴f'（ x ）＝3 ax2－6
x ＋1.由函数 f （ x ）恰好有三个单调区间，得f'（ x ）有两个不相
等的零点，∴3 ax2－6 x ＋1＝0满足 a ≠0，且Δ＝36－12 a ＞0，解
得 a ＜3且 a ≠0，∴ a ∈（－∞，0）∪（0，3）.故选D.
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12. （多选）已知函数 f （ x ）＝e x －e－ x ＋ sin 2 x ，则满足 f （2 x2－
1）＋ f （ x ）＞0的 x 的取值范围可能为（　　）
B. （－∞，－1）
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解析： 　函数 f （ x ）＝e x －e－ x ＋ sin 2 x ，定义域为R，且满
足 f （－ x ）＝e－ x －e x ＋ sin （－2 x ）＝－（e x －e－ x ＋ sin 2 x ）
＝－ f （ x ），∴ f （ x ）为R上的奇函数.又f'（ x ）＝e x ＋e－ x ＋2
cos 2 x ≥2＋2 cos 2 x ≥0恒成立，∴ f （ x ）为R上的增函数.又 f
（2 x2－1）＋ f （ x ）＞0，得 f （2 x2－1）＞－ f （ x ）＝ f （－
x ），∴2 x2－1＞－ x ，即2 x2＋ x －1＞0，解得 x ＜－1或 x ＞ ，
∴ x 的取值范围是（－∞，－1）∪ .故选B、D.
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13. 定义方程 f （ x ）＝f'（ x ）的实数根 x0叫做函数 f （ x ）的“新驻
点”.

解析： ∵ f （ x ）＝ cos x ，∴f'（ x ）＝－ sin x ，根据
“新驻点”的定义得 f （ x ）＝f'（ x ），即 cos x ＝－ sin x ，
可得tan x ＝－1，∵ x ∈（0，π），解得 x ＝ ，∴函数 f
（ x ）＝ cos x 在（0，π）上的“新驻点”为 .

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（2）如果函数 g （ x ）＝ x 与 h （ x ）＝ln（ x ＋1）的“新驻点”
分别为α，β，那么α和β的大小关系是 .
解析： ∵ g （ x ）＝ x ，则g'（ x ）＝1，根据“新驻
点”的定义得 g （α）＝g'（α），即α＝1.∵ h （ x ）＝ln
（ x ＋1），则h'（ x ）＝ ，由“新驻点”的定义得 h
（ x ）＝h'（ x ），即ln（ x ＋1）＝ ，构造函数 F （ x ）
＝ln（ x ＋1）－ ，则函数 y ＝ F （ x ）在定义域上为增函
数.∵ F （0）＝－1＜0， F （1）＝ln 2－ ＞0，∴ F （β）
＝0，由函数零点存在定理可知β∈（0，1）.∴α＞β.
α＞β
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14. 试讨论函数 f （ x ）＝ kx －ln x 的单调区间.
解：函数 f （ x ）＝ kx －ln x 的定义域为（0，＋∞），
f'（ x ）＝ k － ＝ .
当 k ≤0时， kx －1＜0，∴f'（ x ）＜0，
则 f （ x ）在（0，＋∞）上是减函数.
当 k ＞0时，由f'（ x ）＜0，即 ＜0，
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解得0＜ x ＜ ；
由f'（ x ）＞0，即 ＞0，解得 x ＞ .
∴当 k ＞0时， f （ x ）的单调递减区间为 ，
单调递增区间为 .
综上所述，当 k ≤0时， f （ x ）的单调递减区间为（0，＋∞），
无单调递增区间；当 k ＞0时， f （ x ）的单调递减区间为
，单调递增区间为 .
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15. （多选）已知函数 f （ x ）的导函数为f'（ x ），且f'（ x ）＜ f
（ x ）对任意的 x ∈R恒成立，则（　　）
A. f （ln 2）＜2 f （0） B. f （2）＜e2 f （0）
C. f （ln 2）＞2 f （0） D. f （2）＞e2 f （0）
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解析： 　令 g （ x ）＝ ，则g'（ x ）＝ ＜0，
故 g （ x ）在R上是减函数，而ln 2＞0，2＞0，故 g （ln 2）＜ g
（0）， g （2）＜ g （0），即 ＜ ， ＜
，所以 f （ln 2）＜2 f （0）， f （2）＜e2 f （0）.
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16. 已知函数 f （ x ）＝ ax2＋ln（ x ＋1）.
（1）当 a ＝－ 时，求函数 f （ x ）的单调区间；
解： 当 a ＝－ 时， f （ x ）＝－ x2＋ln（ x ＋1）（ x ＞－1），
则f'（ x ）＝－ x ＋ ＝－ （ x ＞－1）.
令f'（ x ）＞0，解得－1＜ x ＜1；
令f'（ x ）＜0，解得 x ＞1.
故函数 f （ x ）的单调递增区间是（－1，1），单调递减区
间是（1，＋∞）.
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（2）若函数 f （ x ）在区间[1，＋∞）上单调递减，求实数 a 的取
值范围.
解： 因为函数 f （ x ）在区间[1，＋∞）上单调递减，
所以f'（ x ）＝2 ax ＋ ≤0对任意 x ∈[1，＋∞）恒成立，
即 a ≤－ 对任意 x ∈[1，＋∞）恒成立.
令 g （ x ）＝－ ， x ∈[1，＋∞），
易求得g'（ x ）＞0在[1，＋∞）上恒成立，
所以 g （ x ）在[1，＋∞）上单调递增，
因此 g （ x ）min＝ g （1）＝－ ，故 a ≤－ .
即实数 a 的取值范围是 .
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