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6.2　函数的极值
1.函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）（　　）
A.无极大值点，有四个极小值点
B.有三个极大值点，两个极小值点
C.有两个极大值点，两个极小值点
D.有四个极大值点，无极小值点
2.函数f（x）＝ln x－x在区间（0，e）上的极大值为（　　）
A.－e　　 B.1－e
C.－1 D.0
3.若函数f（x）＝x3－3bx＋3在（－1，2）内有极值，则实数b的取值范围是（　　）
A.（0，4） B.[0，4）
C.[1，4） D.（1，4）
4.已知函数f（x）＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于（1，0）点，则f（x）的极小值为（　　）
A.0 B.
C.－ D.1
5.（多选）已知函数f（x）的定义域为R且导函数为f'（x），如图是函数y＝xf'（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）
A.函数f（x）的单调递增区间是（－2，0），（2，＋∞）
B.函数f（x）的单调递增区间是（－∞，－2），（2，＋∞）
C.x＝－2是函数的极小值点
D.x＝2是函数的极小值点
6.（多选）对于函数f（x）＝16ln（1＋x）＋x2－10x，下列说法正确的是（　　）
A.x＝3是函数f（x）的一个极值点
B.f（x）的单调递增区间是（－1，1），（2，＋∞）
C.f（x）在区间（1，2）内单调递减
D.直线y＝16ln 3－16与函数y＝f（x）的图象有2个交点
7.能说明“若f'（0）＝0，则x＝0是函数y＝f（x）的极值点”为假命题的一个函数是　　　　.
8.函数f（x）＝ax－1－ln x（a≤0）在定义域内的极值点的个数为　　　　.
9.若函数f（x）＝x3＋ax2＋ax（x∈R）不存在极值点，则a的取值范围是　　　　.
10.设x＝1与x＝2是函数f（x）＝aln x＋bx2＋x的两个极值点.
（1）试确定常数a和b的值；
（2）判断x＝1，x＝2是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并说明理由.
11.（多选）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），若函数f（x）在x＝1处取得极大值，则函数y＝－xf'（x）的图象不可能是（　　）
12.（多选）已知函数f（x）＝xln x＋x2，x0是函数f（x）的极值点，则下列结论正确的是（　　）
A.0＜x0＜ B.x0＞
C.f（x0）＋2x0＜0 D.f（x0）＋2x0＞0
13.已知函数f（x）＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1处取得极值0，则m＝　　　，n＝　　　.
14.已知函数f（x）＝aln x－bx2，a，b∈R，若f（x）在x＝1处与直线y＝－相切.
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在上的极值.
15.（多选）对于函数f（x）＝ex（x－1）2（x－2），以下选项正确的是（　　）
A.有2个极大值　 B.有2个极小值
C.1是极大值点 D.1是极小值点
16.设a为实数，函数f（x）＝x3－x2－x＋a.
（1）求f（x）的极值；
（2）当a在什么范围内取值时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点？
6.2　函数的极值
1.C　f'（x）的符号由正变负，则f（x0）是极大值，f'（x）的符号由负变正，则f（x0）是极小值.由图象易知有两个极大值点，两个极小值点.
2.C　f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝－1.令f'（x）＝0，得x＝1.当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，e）时，f'（x）＜0，故f（x）在x＝1处取得极大值f（1）＝ln 1－1＝0－1＝－1.
3.A　f'（x）＝3x2－3b＝0，即x2＝b.又∵f（x）在（－1，2）内有极值，∴f'（x）在（－1，2）内有变号零点，∴0≤b＜4.当b＝0时，f（x）＝x3＋3在R上是增函数，没有极值，故选A.
4.A　由题知f'（x）＝3x2－2px－q，f'（1）＝3－2p－q＝0，f（1）＝1－p－q＝0，联立解得∴f（x）＝x3－2x2＋x，f'（x）＝3x2－4x＋1.令f'（x）＝3x2－4x＋1＝0，解得x＝1或x＝，经检验知x＝1是函数f（x）的极小值点，∴f（x）极小值＝f（1）＝0.
5.BD　由题意，当0＜x＜2时，f'（x）＜0；当x＞2时，f'（x）＞0；当－2＜x＜0时，f'（x）＜0；当x＜－2时，f'（x）＞0；即函数f（x）在（－∞，－2）和（2，＋∞）上单调递增，在（－2，2）上单调递减，因此函数f（x）在x＝2时取得极小值，在x＝－2时取得极大值.故选B、D.
6.AC　f'（x）＝＋2x－10＝（x＞－1），∴当－1＜x＜1时，f'（x）＞0，当1＜x＜3时，f'（x）＜0，当x＞3时，f'（x）＞0，∴f（x）在（－1，1）内单调递增，在（1，3）内单调递减，在（3，＋∞）内单调递增，故x＝3是f（x）的极小值点，故A正确，B错误，C正确；由单调性可知f（3）＜f（2）＜f（1），而f（2）＝16ln 3－16，又当x→－1时，f（x）→－∞，当x→＋∞时，f（x）→＋∞，故直线y＝16ln 3－16与y＝f（x）的图象有3个交点，故D错误.
7.f（x）＝x5（答案不唯一）　解析：极值点的导数必须为零，且极值点左右两侧的函数单调性相反.如函数f（x）＝x5，当x＝0时，f'（0）＝5×04＝0，但是f（x）＝x5在R上是增函数，所以x＝0不是函数f（x）＝x5的极值点.
8.0　解析：因为x＞0，f'（x）＝a－＝，所以当a≤0时，f'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，所以函数f（x）在（0，＋∞）上是减函数，所以f（x）在（0，＋∞）上没有极值点.
9.[0，3]　解析：由f（x）＝x3＋ax2＋ax（x∈R），得f'（x）＝3x2＋2ax＋a.∵函数f（x）＝x3＋ax2＋ax（x∈R）不存在极值点，且f'（x）的图象开口向上，∴f'（x）≥0对x∈R恒成立，∴Δ＝4a2－12a≤0，解得0≤a≤3，∴a的取值范围是[0，3] .
10.解：（1）因为f（x）＝aln x＋bx2＋x，
所以f'（x）＝＋2bx＋1（x＞0）.
依题意得f'（1）＝f'（2）＝0，即
解方程组得a＝－，b＝－.
（2）由（1）知，f（x）＝－ln x－x2＋x（x＞0），
故f'（x）＝－－x＋1＝.
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，2）时，f'（x）＞0；
当x∈（2，＋∞）时，f'（x）＜0.
故x＝1是函数f（x）的极小值点，x＝2是函数f（x）的极大值点.
11.ACD　因为f（x）在x＝1处取得极大值，所以可知x＞1时，f'（x）＜0，x＜1时，f'（x）＞0，所以当x＞1时，y＝－xf'（x）＞0，A、C不可能，当0＜x＜1时，y＝－xf'（x）＜0，D不可能，故选A、C、D.
12.AD　∵函数f（x）＝xln x＋x2（x＞0），∴f'（x）＝ln x＋1＋2x，易得f'（x）＝ln x＋1＋2x在（0，＋∞）上是增函数，f'＝＞0，∵当x→0时，f'（x）→－∞，∴0＜x0＜，∴A正确，B错误.∵f'（x0）＝ln x0＋1＋2x0＝0，∴f（x0）＋2x0＝x0ln x0＋＋2x0＝x0（ln x0＋x0＋2）＝x0（1－x0）＞0，∴C错误，D正确.故选A、D.
13.2　9　解析：由题可得，f'（x）＝3x2＋6mx＋n，
∴
解得或当时，f'（x）＝3x2＋6x＋3＝3（x＋1）2≥0恒成立，不满足题意.故m＝2，n＝9.
14.解：（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝－2bx，∵函数f（x）在x＝1处与直线y＝－相切，
∴即解得
（2）由（1）得f（x）＝ln x－x2，f'（x）＝－x＝，令f'（x）＞0，得0＜x＜1，令f'（x）＜0，得x＞1，∴f（x）在上单调递增，在（1，e）上单调递减，
∴f（x）在上的极大值为f（1）＝－，无极小值.
15.BC　由题得f'（x）＝ex[（x－1）2（x－2）＋2（x－1）（x－2）＋（x－1）2]＝ex（x＋）（x－）（x－1）.∴f（x）在（－∞，－），（1，）上单调递减，在（－，1），（，＋∞）上单调递增.则f（x）有2个极小值，1个极大值，1是极大值点.
16.解：（1）f'（x）＝3x2－2x－1.
令f'（x）＝0，
得x＝－或x＝1.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x － 1 （1，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴f（x）的极大值是f＝＋a，
极小值是f（1）＝a－1.
（2）函数f（x）＝x3－x2－x＋a＝（x－1）2（x＋1）＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，有f（x）＞0，
x取足够小的负数时，有f（x）＜0，
∴曲线y＝f（x）与x轴至少有一个交点.
由（1）知f（x）极大值＝f＝＋a，
f（x）极小值＝f（1）＝a－1.
∵曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点，
∴f（x）极大值＜0或f（x）极小值＞0，
即＋a＜0或a－1＞0，
∴a＜－或a＞1，
∴当a∈∪（1，＋∞）时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点.
2 / 26.2　函数的极值
新课程标准解读 核心素养
1.了解极大值、极小值的概念 数学抽象
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 逻辑推理
3.会用导数求函数的极大值、极小值 数学运算
苏轼《题西林壁》中的诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，描述的是庐山的高低起伏，错落有致.在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点.
【问题】　在数学上，你知道怎样刻画这种现象吗？
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　函数极值的概念
1.极大值点与极大值
（1）定义：在包含x0的一个区间（a，b）上，函数y＝f（x）在任何不为x0的一点处的函数值都　　　　点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f（x）的极大值点，其函数值f（x0）为函数的极大值；
（2）几何意义：极大值点x0和极大值f（x0）在坐标平面上的对应点（x0，f（x0））是函数y＝f（x）的图象在区间（a，b）上的（局部）最高点，如图；
（3）对于可导函数y＝f（x），上述定义等价于：
若f'（x0）＝0，且在点x＝x0附近的　　　f'（x）＞0，　　　　f'（x）＜0，则x0是函数y＝f（x）的极大值点，f（x0）是函数y＝f（x）的极大值.
2.极小值点与极小值
（1）定义：在包含x0的一个区间（a，b）上，函数y＝f（x）在任何不为x0的一点处的函数值都　　　　点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f（x）的极小值点，其函数值f（x0）为函数的极小值；
（2）几何意义：极小值点x0和极小值f（x0）在坐标平面上的对应点（x0，f（x0））是函数y＝f（x）的图象在区间（a，b）上的（局部）最低点，如图；
（3）对于可导函数y＝f（x），上述定义等价于：
若f'（x0）＝0，且在点x＝x0附近的　　　f'（x）＜0，　　　　f'（x）＞0，则x0是函数y＝f（x）的极小值点，f（x0）是函数y＝f（x）的极小值.
3.极值点与极值
函数的极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值.
提醒　理解极值概念的注意点：①函数的极值是函数的一种局部性质，刻画的是函数在极值点附近两侧取值的大小情况.这个“附近”可以是很小很小的区间；②函数的极值点和函数的零点一样，都是一个实数，是使函数取得极值时自变量的值，不是点；③函数的极值点一定在函数的定义域内，定义域的端点不能成为极值点；
④一个函数未必存在极值点，若存在极值点也未必是唯一的，也可能有多个极值点，如图，x1，x3都是函数y＝f（x）的极大值点，x2，x4都是函数y＝f（x）的极小值点.一个函数可以有无穷多个极值点，如函数y＝sin x既有无穷多个极大值点，也有无穷多个极小值点；⑤极大值与极小值之间无确定的大小关系，即极大值未必大于极小值，极小值也未必小于极大值，如图，函数y＝f（x）在点x1处的极大值小于在点x4处的极小值；⑥常数函数、一次函数、指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）和对数函数y＝log ax（a＞0且a≠1）都不存在极值点.
【想一想】
1.函数y＝｜x－1｜在x＝1处是否有极值？是否可导？
2.导数为零的点一定是函数的极值点吗？
知识点二　函数极值的求法
一般情况下，在极值点x0处，函数y＝f（x）的导数f'（x0）＝0.因此，可以通过如下步骤求出函数y＝f（x）的极值点：
1.求出导数f'（x）.
2.解方程f'（x）＝0.
3.对于方程f'（x）＝0的每一个实数根x0，分析f'（x）在x0附近的符号（即f（x）的单调性），确定极值点：
（1）若f'（x）在x0附近的符号“左正右负”，则x0为极大值点；
（2）若f'（x）在x0附近的符号“左负右正”，则x0为极小值点；
（3）若f'（x）在x0附近的符号相同，则x0不是极值点.
提醒　设x0是f（x）的一个极值点，并求出了f（x）的导数f'（x0），则f'（x0）＝0.反之不一定成立.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数的极大值一定大于极小值.（　　）
（2）函数y＝f（x）一定有极大值和极小值.（　　）
（3）函数的极值点是自变量的值，极值是函数值.（　　）
2.已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）有（　　）
A.两个极大值，一个极小值
B.两个极大值，无极小值
C.一个极大值，一个极小值
D.一个极大值，两个极小值
3.函数f（x）＝x3－x2－3x＋6的极大值为　　　，极小值为　　　　.
题型一 求函数的极值
角度1　由图象判断函数的极值
【例1】　（多选）已知函数y＝f（x），其导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则y＝f（x）（　　）
A.在（－∞，0）上单调递减
B.在x＝0处取极大值
C.在（4，＋∞）上单调递减
D.在x＝2处取极小值
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
由图象判断函数的极值
（1）对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，图象在哪个点处与x轴相交，在交点附近导函数的值是怎样变化的；
（2）对于函数的图象，重点考查函数在哪个区间上单调递增，在哪个区间上单调递减，哪个点是极大值点，哪个点是极小值点.
角度2　求不含参数的函数极值问题
【例2】　求函数f（x）＝x2e－x的极值.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
　　求函数的极值需严格按照求函数极值的步骤进行，重点考虑两个问题：
（1）函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内，如果不在定义域内，需要舍去；
（2）检查导数值为0的点的附近左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点，否则不是极值点.
角度3　求含参数的函数极值问题
【例3】　若函数f（x）＝x－aln x（a∈R），求函数f（x）的极值.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
　　求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题.讨论的依据有两种：
（1）看参数是否对f'（x）的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；
（2）看f'（x）在其零点附近的符号是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论.
【跟踪训练】
1.函数f（x）的定义域为开区间（a，b），其导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在区间（a，b）上极小值点的个数为（　　）
A.1　　　　　　　　　 B.2
C.3 D.4
2.求函数f（x）＝x3－3ax＋b（a≠0）的极值.
题型二 由极值求参数值（或范围）
【例4】　（1）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝（　　）
A.4或－3 B.4或－11
C.4 D.－3
（2）若函数f（x）＝x2＋（a－1）x－aln x没有极值，则（　　）
A.a＝－1 B.a≥0
C.a＜－1 D.－1＜a＜0
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
已知函数极值求参数的方法
　　对于已知可导函数的极值求参数问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号.
（1）已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤：
①求函数的导数f'（x）；
②由极值点的导数值为0，列出方程（组），求解参数.求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件.
（2）对于函数无极值的问题，往往转化为f'（x）≥0或f'（x）≤0在某区间内恒成立问题，此时需注意不等式中的等号是否成立.
【跟踪训练】
1.已知函数f（x）的导数f'（x）＝a（x＋1）·（x－a），若f（x）在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是（　　）
A.（－∞，－1） B.（0，＋∞）
C.（0，1） D.（－1，0）
2.设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R，有大于零的极值点，则（　　）
A.a＜－ B.a＞－1
C.a＜－1 D.a＞－
1.下列函数中存在极值的是（　　）
A.y＝ B.y＝x－ex
C.y＝2 D.y＝x3
2.函数f（x）＝x＋2cos x在上的极大值点为（　　）
A.0 B.
C. D.
3.已知函数f（x）＝ln x－x2，则f（x）（　　）
A.有极小值，无极大值
B.无极小值，有极大值
C.既有极小值，又有极大值
D.既无极小值，又无极大值
4.（多选）定义在R上的可导函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（　　）
A.－3是f（x）的一个极小值点
B.－2和－1都是f（x）的极大值点
C.f（x）的单调递增区间是（－3，＋∞）
D.f（x）的单调递减区间是（－∞，－3）
5.已知f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是　　　　　.
6.2　函数的极值
【基础知识·重落实】
知识点一
1.（1）小于　（3）左侧　右侧　2.（1）大于　（3）左侧　右侧
想一想
1.提示：有极值.x＝1为极小值点，y极小值＝0，但y＝｜x－1｜在x＝1处无导数.即y＝｜x－1｜在R上不是可导函数.
2.提示：不一定.例如f（x）＝x3，f'（0）＝0，但x＝0不是它的极值点.一般地，当f'（x0）＝0时，若f（x）在x＝x0左右两侧附近的导数值异号，则f（x）在x＝x0处取得极值；若f（x）在x＝x0左右两侧附近的导数值同号，则f（x）在x＝x0处不能取得极值.
自我诊断
1.（1）×　（2）×　（3）√
2.C　由图可知导函数f'（x）有三个零点，依次设为x1＜0，x2＝0，x3＞0，当x＜x1时，f'（x）＜0，当x1＜x＜0时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在x＝x1处取得极小值；当x1＜x＜x2时，f'（x）＞0，当x2＜x＜x3时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在x＝x2处无极值；当x＞x3时，f'（x）＜0，所以函数f（x）在x＝x3处取得极大值，故选C.
3.　－3　解析：f'（x）＝x2－2x－3，令f'（x）＞0，得x＜－1或x＞3，令f'（x）＜0得－1＜x＜3，故f（x）在（－∞，－1），（3，＋∞）上单调递增，在（－1，3）上单调递减，故f（x）的极大值为f（－1）＝，极小值为f（3）＝－3.
【典型例题·精研析】
【例1】　BCD　由导函数的图象可知，x∈（－∞，0）∪（2，4）时，f'（x）＞0；x∈（0，2）∪（4，＋∞）时，f'（x）＜0.因此f（x）在（－∞，0），（2，4）上单调递增，在（0，2），（4，＋∞）上单调递减，所以y＝f（x）在x＝0处取得极大值，在x＝2处取得极小值，在x＝4处取得极大值，故选B、C、D.
【例2】　解：函数的定义域为R，
f'（x）＝2xe－x＋x2·e－x·（－x）'＝2xe－x－x2·e－x＝x（2－x）e－x.
令f'（x）＝0，得x（2－x）·e－x＝0，
解得x＝0或x＝2.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （－∞，0） 0 （0，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） － 0 ＋ 0 －
f（x） ↘ 极小值0 ↗ 极大值4e－2 ↘
因此当x＝0时，f（x）有极小值，并且极小值为f（0）＝0；
当x＝2时，f（x）有极大值，并且极大值为f（2）＝4e－2＝.
【例3】　解：函数f（x）的定义域为（0，＋∞），可知f'（x）＝1－＝.
（1）当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，＋∞）上是增函数，无极值.
（2）当a＞0时，令f'（x）＝0，
解得x＝a.
当0＜x＜a时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.
当x＞a时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.
∴f（x）在x＝a处取得极小值.即f（a）＝a－aln a，无极大值.
综上可知，当a≤0时，函数f（x）无极值；
当a＞0时，函数f（x）在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值.
跟踪训练
1.A　f'（x）＞0时，f（x）单调递增，f'（x）＜0时，f（x）单调递减.可知f（x）在（a，b）上的极小值点只有一个.
2.解：f'（x）＝3（x2－a）（a≠0），
当a＜0时，f'（x）＞0恒成立，即函数在（－∞，＋∞）上是增函数，此时函数没有极值；
当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝－或x＝.
当x变化时，f'（x）与f（x）的变化情况如下表：
x （－∞，－） － （－， ） （，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） ↗ 极大值 f（－） ↘ 极小值 f（） ↗
∴f（x）的极大值为f（－）＝2a＋b，极小值为f（）＝－2a＋b.
【例4】　（1）C　（2）A　解析：（1）∵f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2，∴f'（x）＝3x2＋2ax＋b.由题意得即解得或当时，f'（x）＝3x2－6x＋3＝3（x－1）2≥0，故函数f（x）是增函数，无极值，不符合题意.∴a＝4，故选C.
（2）f'（x）＝（x－1），x＞0，当a≥0时，＋1＞0，令f'（x）＜0，得0＜x＜1；令f'（x）＞0，得x＞1，f（x）在x＝1处取极小值，与题意矛盾.当a＜0时，方程＋1＝0必有一个正数解x＝－a，①若a＝－1，此正数解为x＝1，此时f'（x）＝≥0，f（x）在（0，＋∞）上是增函数，无极值.②若a≠－1，此正数解为x＝－a≠1，f'（x）＝0必有2个不同的正数解，f（x）存在2个极值.综上，a＝－1.故选A.
跟踪训练
1.D　若a＜－1，∵f'（x）＝a（x＋1）（x－a），∴f（x）在（－∞，a）上单调递减，在（a，－1）上单调递增，∴f（x）在x＝a处取得极小值，与题意矛盾；若－1＜a＜0，则f（x）在（－1，a）上单调递增，在（a，＋∞）上单调递减，从而在x＝a处取得极大值.若a＞0，则f（x）在（－1，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增，与题意矛盾，故选D.
2.C　y'＝ex＋a，由题意知a＜0.∵函数有大于零的极值点，设x＝x0为其极值点，∴＋a＝0，又x0＞0，∴a＜－1，故选C.
随堂检测
1.B　对于y＝x－ex，y'＝1－ex，令y'＝0，得x＝0.在区间（－∞，0）上，y'＞0；在区间（0，＋∞）上，y'＜0.故x＝0为函数y＝x－ex的极大值点.
2.B　由题意得，f'（x）＝1－2sin x，令f'（x）＝0，得x＝，当0＜x＜时，f'（x）＞0；当＜x＜时，f'（x）＜0.∴当x＝时，f（x）取得极大值.
3.B　由题可得，f'（x）＝－x＝（x＞0），当x＞1时，f'（x）＜0，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，所以f（x）在x＝1处取得极大值，无极小值.故选B.
4.ACD　当x＜－3时，f'（x）＜0，x＞－3时，f'（x）≥0，∴－3是极小值点，无极大值点，单调递增区间是（－3，＋∞），单调递减区间是（－∞，－3）.故选A、C、D.
5.（－∞，－3）∪（6，＋∞）　解析：f'（x）＝3x2＋2ax＋a＋6，∵f（x）有极大值与极小值，∴f'（x）＝0有两个不等实根，∴Δ＝4a2－12（a＋6）＞0，∴a＜－3或a＞6.
5 / 5(共74张PPT)
6.2　函数的极值
新课程标准解读 核心素养
1.了解极大值、极小值的概念 数学抽象
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 逻辑推理
3.会用导数求函数的极大值、极小值 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
苏轼《题西林壁》中的诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，
描述的是庐山的高低起伏，错落有致.在群山之中，各个山峰的顶端
虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点.
【问题】　在数学上，你知道怎样刻画这种现象吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知识点一　函数极值的概念
1. 极大值点与极大值
（1）定义：在包含 x0的一个区间（ a ， b ）上，函数 y ＝ f （ x ）在
任何不为 x0的一点处的函数值都 点 x0处的函数值，
称点 x0为函数 y ＝ f （ x ）的极大值点，其函数值 f （ x0）为函
数的极大值；
小于　
（2）几何意义：极大值点 x0和极大值 f （ x0）在坐标平面上的对应
点（ x0， f （ x0））是函数 y ＝ f （ x ）的图象在区间（ a ，
b ）上的（局部）最高点，如图；
（3）对于可导函数 y ＝ f （ x ），上述定义等价于：
若f'（ x0）＝0，且在点 x ＝ x0附近的 f'（ x ）＞
0， f'（ x ）＜0，则 x0是函数 y ＝ f （ x ）的极大值
点， f （ x0）是函数 y ＝ f （ x ）的极大值.
左侧　
右侧　
2. 极小值点与极小值
（1）定义：在包含 x0的一个区间（ a ， b ）上，函数 y ＝ f （ x ）在
任何不为 x0的一点处的函数值都 点 x0处的函数值，
称点 x0为函数 y ＝ f （ x ）的极小值点，其函数值 f （ x0）为函
数的极小值；
大于　
（2）几何意义：极小值点 x0和极小值 f （ x0）在坐标平面上的对应点（ x0， f （ x0））是函数 y ＝ f （ x ）的图象在区间（ a ， b ）上的（局部）最低点，如图；
（3）对于可导函数 y ＝ f （ x ），上述定义等价于：
若f'（ x0）＝0，且在点 x ＝ x0附近的 f'（ x ）＜
0， f'（ x ）＞0，则 x0是函数 y ＝ f （ x ）的极小值
点， f （ x0）是函数 y ＝ f （ x ）的极小值.
左侧　
右侧　
3. 极值点与极值
函数的极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为
极值.
提醒　理解极值概念的注意点：①函数的极值是函数的一种局部性质，刻画的是函数在极值点附近两侧取值的大小情况.这个“附近”可以是很小很小的区间；②函数的极值点和函数的零点一样，都是一个实数，是使函数取得极值时自变量的值，不是点；③函数的极值点一定在函数的定义域内，定义域的端点不能成为极值点；
④一个函数未必存在极值点，若存在极值点也未必是唯一的，也可能
有多个极值点，如图， x1， x3都是函数 y ＝ f （ x ）的极大值点， x2，
x4都是函数 y ＝ f （ x ）的极小值点.一个函数可以有无穷多个极值点，
如函数 y ＝ sin x 既有无穷多个极大值点，也有无穷多个极小值点；⑤
极大值与极小值之间无确定的大小关系，即极大值未必大于极小值，
极小值也未必小于极大值，如图，函数 y ＝ f （ x ）在点 x1处的极大值
小于在点 x4处的极小值；⑥常数函数、一次函数、指数函数 y ＝ ax （ a
＞0且 a ≠1）和对数函数 y ＝log ax （ a ＞0且 a ≠1）都不存在极值点.
【想一想】
1. 函数 y ＝｜ x －1｜在 x ＝1处是否有极值？是否可导？
提示：有极值. x ＝1为极小值点， y极小值＝0，但 y ＝｜ x －1｜在 x
＝1处无导数.即 y ＝｜ x －1｜在R上不是可导函数.
2. 导数为零的点一定是函数的极值点吗？
提示：不一定.例如 f （ x ）＝ x3，f'（0）＝0，但 x ＝0不是它的极
值点.一般地，当f'（ x0）＝0时，若 f （ x ）在 x ＝ x0左右两侧附近
的导数值异号，则 f （ x ）在 x ＝ x0处取得极值；若 f （ x ）在 x ＝ x0
左右两侧附近的导数值同号，则 f （ x ）在 x ＝ x0处不能取得极值.
知识点二　函数极值的求法
一般情况下，在极值点 x0处，函数 y ＝ f （ x ）的导数f'（ x0）＝0.因
此，可以通过如下步骤求出函数 y ＝ f （ x ）的极值点：
1. 求出导数f'（ x ）.
2. 解方程f'（ x ）＝0.
3. 对于方程f'（ x ）＝0的每一个实数根 x0，分析f'（ x ）在 x0附近的符
号（即 f （ x ）的单调性），确定极值点：
（1）若f'（ x ）在 x0附近的符号“左正右负”，则 x0为极大值点；
（2）若f'（ x ）在 x0附近的符号“左负右正”，则 x0为极小值点；
（3）若f'（ x ）在 x0附近的符号相同，则 x0不是极值点.
提醒　设 x0是 f （ x ）的一个极值点，并求出了 f （ x ）的导数
f'（ x0），则f'（ x0）＝0.反之不一定成立.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数的极大值一定大于极小值. （　×　）
（2）函数 y ＝ f （ x ）一定有极大值和极小值. （　×　）
（3）函数的极值点是自变量的值，极值是函数值. （　√　）
×
×
√
2. 已知函数 f （ x ）的导函数f'（ x ）的图象如图所示，则函数 f （ x ）
有（　　）
A. 两个极大值，一个极小值
B. 两个极大值，无极小值
C. 一个极大值，一个极小值
D. 一个极大值，两个极小值
解析： 　由图可知导函数f'（ x ）有三个零点，依次设为 x1＜0，
x2＝0， x3＞0，当 x ＜ x1时，f'（ x ）＜0，当 x1＜ x ＜0时，f'（ x ）
＞0，所以函数 f （ x ）在 x ＝ x1处取得极小值；当 x1＜ x ＜ x2时，f'
（ x ）＞0，当 x2＜ x ＜ x3时，f'（ x ）＞0，所以函数 f （ x ）在 x ＝
x2处无极值；当 x ＞ x3时，f'（ x ）＜0，所以函数 f （ x ）在 x ＝ x3处
取得极大值，故选C.
3. 函数 f （ x ）＝ x3－ x2－3 x ＋6的极大值为 　 　，极小值为
.
解析：f'（ x ）＝ x2－2 x －3，令f'（ x ）＞0，得 x ＜－1或 x ＞3，令
f'（ x ）＜0得－1＜ x ＜3，故 f （ x ）在（－∞，－1），（3，＋
∞）上单调递增，在（－1，3）上单调递减，故 f （ x ）的极大值
为 f （－1）＝ ，极小值为 f （3）＝－3.

－
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典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求函数的极值
角度1　由图象判断函数的极值
【例1】　（多选）已知函数 y ＝ f （ x ），其导函数 y ＝f'（ x ）的图象
如图所示，则 y ＝ f （ x ）（　　）
A. 在（－∞，0）上单调递减 B. 在 x ＝0处取极大值
C. 在（4，＋∞）上单调递减 D. 在 x ＝2处取极小值
解析： 由导函数的图象可知， x ∈（－∞，0）∪（2，4）时，
f'（ x ）＞0； x ∈（0，2）∪（4，＋∞）时，f'（ x ）＜0.因此 f （ x ）
在（－∞，0），（2，4）上单调递增，在（0，2），（4，＋∞）上
单调递减，所以 y ＝ f （ x ）在 x ＝0处取得极大值，在 x ＝2处取得极
小值，在 x ＝4处取得极大值，故选B、C、D.
通性通法
由图象判断函数的极值
（1）对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，
在哪个区间上为负，图象在哪个点处与 x 轴相交，在交点附近导
函数的值是怎样变化的；
（2）对于函数的图象，重点考查函数在哪个区间上单调递增，在哪
个区间上单调递减，哪个点是极大值点，哪个点是极小值点.
角度2　求不含参数的函数极值问题
【例2】　求函数 f （ x ）＝ x2e－ x 的极值.
解：函数的定义域为R，
f'（ x ）＝2 x e－ x ＋ x2·e－ x ·（－ x ）'
＝2 x e－ x － x2·e－ x
＝ x （2－ x ）e－ x .
令f'（ x ）＝0，得 x （2－ x ）·e－ x ＝0，
解得 x ＝0或 x ＝2.
当 x 变化时，f'（ x ）， f （ x ）的变化情况如下表：
x （－∞，0） 0 （0，2） 2 （2，＋∞）
f'（ x ） － 0 ＋ 0 －
f （ x ） ↘ 极小 值0 ↗ 极大 值4e－2 ↘
因此当 x ＝0时， f （ x ）有极小值，并且极小值为 f （0）＝0；
当 x ＝2时， f （ x ）有极大值，并且极大值为 f （2）＝4e－2＝ .
通性通法
　　求函数的极值需严格按照求函数极值的步骤进行，重点考虑两个
问题：
（1）函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内，如
果不在定义域内，需要舍去；
（2）检查导数值为0的点的附近左右两侧的导数值是否异号，若异
号，则该点是极值点，否则不是极值点.
角度3　求含参数的函数极值问题
【例3】　若函数 f （ x ）＝ x － a ln x （ a ∈R），求函数 f （ x ）
的极值.
解：函数 f （ x ）的定义域为（0，＋∞），可知f'（ x ）＝1－ ＝
.
（1）当 a ≤0时，f'（ x ）＞0， f （ x ）在（0，＋∞）上是增函数，无
极值.
（2）当 a ＞0时，令f'（ x ）＝0，解得 x ＝ a .
当0＜ x ＜ a 时，f'（ x ）＜0， f （ x ）单调递减.
当 x ＞ a 时，f'（ x ）＞0， f （ x ）单调递增.
∴ f （ x ）在 x ＝ a 处取得极小值.即 f （ a ）＝ a － a ln a ，无极大值.
综上可知，当 a ≤0时，函数 f （ x ）无极值；
当 a ＞0时，函数 f （ x ）在 x ＝ a 处取得极小值 a － a ln a ，无极大值.
通性通法
　　求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想
才能解决问题.讨论的依据有两种：
（1）看参数是否对f'（ x ）的零点有影响，若有影响，则需要分
类讨论；
（2）看f'（ x ）在其零点附近的符号是否与参数有关，若有关，则需
要分类讨论.
【跟踪训练】
1. 函数 f （ x ）的定义域为开区间（ a ， b ），其导函数f'（ x ）在
（ a ， b ）内的图象如图所示，则函数 f （ x ）在区间（ a ， b ）上
极小值点的个数为（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 　f'（ x ）＞0时， f （ x ）单调递增，f'（ x ）＜0时， f
（ x ）单调递减.可知 f （ x ）在（ a ， b ）上的极小值点只有一个.
2. 求函数 f （ x ）＝ x3－3 ax ＋ b （ a ≠0）的极值.
解：f'（ x ）＝3（ x2－ a ）（ a ≠0），
当 a ＜0时，f'（ x ）＞0恒成立，即函数在（－∞，＋∞）上是增函
数，此时函数没有极值；
当 a ＞0时，令f'（ x ）＝0，得 x ＝－ 或 x ＝ .
当 x 变化时，f'（ x ）与 f （ x ）的变化情况如下表：
x
f'（ x ） ＋ 0 － 0 ＋
f （ x ） ↗ ↘ ↗
∴ f （ x ）的极大值为 f （－ ）＝2 a ＋ b ，极小值为 f （ ）
＝－2 a ＋ b .
题型二 由极值求参数值（或范围）
【例4】　（1）已知函数 f （ x ）＝ x3＋ ax2＋ bx ＋ a2在 x ＝1处取极值
10，则 a ＝（　C　）
A. 4或－3 B. 4或－11
C. 4 D. －3
C
解析： ∵ f （ x ）＝ x3＋ ax2＋ bx ＋ a2，∴f'（ x ）＝3 x2＋2
ax ＋ b .由题意得即
解得或当
时，f'（ x ）＝3 x2－6 x ＋3＝3（ x －1）2≥0，故函数 f （ x ）是
增函数，无极值，不符合题意.∴ a ＝4，故选C.
（2）若函数 f （ x ）＝ x2＋（ a －1） x － a ln x 没有极值，则
（　A　）
A. a ＝－1 B. a ≥0
C. a ＜－1 D. －1＜ a ＜0
A
解析： f'（ x ）＝（ x －1） ， x ＞0，当 a ≥0时， ＋1＞
0，令f'（ x ）＜0，得0＜ x ＜1；令f'（ x ）＞0，得 x ＞1， f
（ x ）在 x ＝1处取极小值，与题意矛盾.当 a ＜0时，方程 ＋1
＝0必有一个正数解 x ＝－ a ，①若 a ＝－1，此正数解为 x ＝1，
此时f'（ x ）＝ ≥0， f （ x ）在（0，＋∞）上是增函
数，无极值.②若 a ≠－1，此正数解为 x ＝－ a ≠1，f'（ x ）＝0
必有2个不同的正数解， f （ x ）存在2个极值.综上， a ＝－1.故
选A.
通性通法
已知函数极值求参数的方法
　　对于已知可导函数的极值求参数问题，解题的切入点是极值存在
的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号.
（1）已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤：
①求函数的导数f'（ x ）；
②由极值点的导数值为0，列出方程（组），求解参数.求出参
数后，一定要验证是否满足题目的条件.
（2）对于函数无极值的问题，往往转化为f'（ x ）≥0或f'（ x ）≤0在
某区间内恒成立问题，此时需注意不等式中的等号是否成立.
【跟踪训练】
1. 已知函数 f （ x ）的导数f'（ x ）＝ a （ x ＋1）·（ x － a ），若 f
（ x ）在 x ＝ a 处取到极大值，则 a 的取值范围是（　　）
A. （－∞，－1） B. （0，＋∞）
C. （0，1） D. （－1，0）
解析： 　若 a ＜－1，∵f'（ x ）＝ a （ x ＋1）（ x － a ），∴ f
（ x ）在（－∞， a ）上单调递减，在（ a ，－1）上单调递增，
∴ f （ x ）在 x ＝ a 处取得极小值，与题意矛盾；若－1＜ a ＜0，则 f
（ x ）在（－1， a ）上单调递增，在（ a ，＋∞）上单调递减，从
而在 x ＝ a 处取得极大值.若 a ＞0，则 f （ x ）在（－1， a ）上单调
递减，在（ a ，＋∞）上单调递增，与题意矛盾，故选D.
2. 设 a ∈R，若函数 y ＝e x ＋ ax ， x ∈R，有大于零的极值点，则
（　　）
B. a ＞－1
C. a ＜－1
解析： 　y'＝e x ＋ a ，由题意知 a ＜0.∵函数有大于零的极值
点，设 x ＝ x0为其极值点，∴ ＋ a ＝0，又 x0＞0，∴ a ＜－
1，故选C.
1. 下列函数中存在极值的是（　　）
B. y ＝ x －e x
C. y ＝2 D. y ＝ x3
解析： 　对于 y ＝ x －e x ，y'＝1－e x ，令y'＝0，得 x ＝0.在区间
（－∞，0）上，y'＞0；在区间（0，＋∞）上，y'＜0.故 x ＝0为函
数 y ＝ x －e x 的极大值点.
2. 函数 f （ x ）＝ x ＋2 cos x 在 上的极大值点为（　　）
A. 0
解析： 　由题意得，f'（ x ）＝1－2 sin x ，令f'（ x ）＝0，得 x ＝
，当0＜ x ＜ 时，f'（ x ）＞0；当 ＜ x ＜ 时，f'（ x ）＜0.∴当
x ＝ 时， f （ x ）取得极大值.
3. 已知函数 f （ x ）＝ln x － x2，则 f （ x ）（　　）
A. 有极小值，无极大值
B. 无极小值，有极大值
C. 既有极小值，又有极大值
D. 既无极小值，又无极大值
解析： 　由题可得，f'（ x ）＝ － x ＝ （ x ＞0），当 x ＞1
时，f'（ x ）＜0，当0＜ x ＜1时，f'（ x ）＞0，所以 f （ x ）在 x ＝1
处取得极大值，无极小值.故选B.
4. （多选）定义在R上的可导函数 y ＝ f （ x ）的导函数的图象如图所
示，以下结论正确的是（　　）
A. －3是 f （ x ）的一个极小值点
B. －2和－1都是 f （ x ）的极大值点
C. f （ x ）的单调递增区间是（－3，＋∞）
D. f （ x ）的单调递减区间是（－∞，－3）
解析： 　当 x ＜－3时，f'（ x ）＜0， x ＞－3时，f'（ x ）≥0，
∴－3是极小值点，无极大值点，单调递增区间是（－3，＋∞），
单调递减区间是（－∞，－3）.故选A、C、D.
5. 已知 f （ x ）＝ x3＋ ax2＋（ a ＋6） x ＋1有极大值和极小值，则 a 的
取值范围是 .
解析：f'（ x ）＝3 x2＋2 ax ＋ a ＋6，∵ f （ x ）有极大值与极小值，
∴f'（ x ）＝0有两个不等实根，∴Δ＝4 a2－12（ a ＋6）＞0，∴ a
＜－3或 a ＞6.
（－∞，－3）∪（6，＋∞）
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 函数 f （ x ）的定义域为R，导函数f'（ x ）的图象如图所示，则函
数 f （ x ）（　　）
A. 无极大值点，有四个极小值点
B. 有三个极大值点，两个极小值点
C. 有两个极大值点，两个极小值点
D. 有四个极大值点，无极小值点
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解析： 　f'（ x ）的符号由正变负，则 f （ x0）是极大值，f'（ x ）
的符号由负变正，则 f （ x0）是极小值.由图象易知有两个极大值
点，两个极小值点.
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2. 函数 f （ x ）＝ln x － x 在区间（0，e）上的极大值为（　　）
A. －e B. 1－e C. －1 D. 0
解析： 　 f （ x ）的定义域为（0，＋∞），f'（ x ）＝ －1.令f'
（ x ）＝0，得 x ＝1.当 x ∈（0，1）时，f'（ x ）＞0，当 x ∈（1，
e）时，f'（ x ）＜0，故 f （ x ）在 x ＝1处取得极大值 f （1）＝ln 1
－1＝0－1＝－1.
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3. 若函数 f （ x ）＝ x3－3 bx ＋3在（－1，2）内有极值，则实数 b 的
取值范围是（　　）
A. （0，4） B. [0，4）
C. [1，4） D. （1，4）
解析： 　f'（ x ）＝3 x2－3 b ＝0，即 x2＝ b .又∵ f （ x ）在（－1，
2）内有极值，∴f'（ x ）在（－1，2）内有变号零点，∴0≤ b ＜4.
当 b ＝0时， f （ x ）＝ x3＋3在R上是增函数，没有极值，故选A.
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4. 已知函数 f （ x ）＝ x3－ px2－ qx 的图象与 x 轴相切于（1，0）点，
则 f （ x ）的极小值为（　　）
A. 0 D. 1
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解析： 　由题知f'（ x ）＝3 x2－2 px － q ，f'（1）＝3－2 p － q ＝
0， f （1）＝1－ p － q ＝0，联立解得
∴ f （ x ）＝ x3－2 x2＋ x ，f'（ x ）＝3 x2－4 x ＋1.
令f'（ x ）＝3 x2－4 x ＋1＝0，解得 x ＝1或 x ＝ ，经检验知 x ＝1是
函数 f （ x ）的极小值点，∴ f （ x ）极小值＝ f （1）＝0.
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5. （多选）已知函数 f （ x ）的定义域为R且导函数为f'（ x ），如图
是函数 y ＝xf'（ x ）的图象，则下列说法正确的是（　　）
A. 函数 f （ x ）的单调递增区间是（－2，0），
（2，＋∞）
B. 函数 f （ x ）的单调递增区间是（－∞，－2），
（2，＋∞）
C. x ＝－2是函数的极小值点
D. x ＝2是函数的极小值点
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解析： 　由题意，当0＜ x ＜2时，f'（ x ）＜0；当 x ＞2时，f'
（ x ）＞0；当－2＜ x ＜0时，f'（ x ）＜0；当 x ＜－2时，f'（ x ）＞
0；即函数 f （ x ）在（－∞，－2）和（2，＋∞）上单调递增，在
（－2，2）上单调递减，因此函数 f （ x ）在 x ＝2时取得极小值，
在 x ＝－2时取得极大值.故选B、D.
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6. （多选）对于函数 f （ x ）＝16ln（1＋ x ）＋ x2－10 x ，下列说法正
确的是（　　）
A. x ＝3是函数 f （ x ）的一个极值点
B. f （ x ）的单调递增区间是（－1，1），（2，＋∞）
C. f （ x ）在区间（1，2）内单调递减
D. 直线 y ＝16ln 3－16与函数 y ＝ f （ x ）的图象有2个交点
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解析： 　f'（ x ）＝ ＋2 x －10＝ （ x ＞－1），
∴当－1＜ x ＜1时，f'（ x ）＞0，当1＜ x ＜3时，f'（ x ）＜0，当 x
＞3时，f'（ x ）＞0，∴ f （ x ）在（－1，1）内单调递增，在（1，
3）内单调递减，在（3，＋∞）内单调递增，故 x ＝3是 f （ x ）的
极小值点，故A正确，B错误，C正确；由单调性可知 f （3）＜ f
（2）＜ f （1），而 f （2）＝16ln 3－16，又当 x →－1时， f （ x ）
→－∞，当 x →＋∞时， f （ x ）→＋∞，故直线 y ＝16ln 3－16与 y
＝ f （ x ）的图象有3个交点，故D错误.
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7. 能说明“若f'（0）＝0，则 x ＝0是函数 y ＝ f （ x ）的极值点”为假
命题的一个函数是 .
解析：极值点的导数必须为零，且极值点左右两侧的函数单调
性相反.如函数 f （ x ）＝ x5，当 x ＝0时，f'（0）＝5×04＝0，
但是 f （ x ）＝ x5在R上是增函数，所以 x ＝0不是函数 f （ x ）
＝ x5的极值点.
f （ x ）＝ x5（答案不唯一）
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8. 函数 f （ x ）＝ ax －1－ln x （ a ≤0）在定义域内的极值点的个数
为 .
解析：因为 x ＞0，f'（ x ）＝ a － ＝ ，所以当 a ≤0时，f'
（ x ）＜0在（0，＋∞）上恒成立，所以函数 f （ x ）在（0，＋
∞）上是减函数，所以 f （ x ）在（0，＋∞）上没有极值点.
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9. 若函数 f （ x ）＝ x3＋ ax2＋ ax （ x ∈R）不存在极值点，则 a 的取值
范围是 .
解析：由 f （ x ）＝ x3＋ ax2＋ ax （ x ∈R），得f'（ x ）＝3 x2＋2 ax
＋ a .∵函数 f （ x ）＝ x3＋ ax2＋ ax （ x ∈R）不存在极值点，且f'
（ x ）的图象开口向上，∴f'（ x ）≥0对 x ∈R恒成立，∴Δ＝4 a2－
12 a ≤0，解得0≤ a ≤3，∴ a 的取值范围是[0，3] .
[0，3]
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10. 设 x ＝1与 x ＝2是函数 f （ x ）＝ a ln x ＋ bx2＋ x 的两个极值点.
（1）试确定常数 a 和 b 的值；
解： 因为 f （ x ）＝ a ln x ＋ bx2＋ x ，
所以f'（ x ）＝ ＋2 bx ＋1（ x ＞0）.
依题意得f'（1）＝f'（2）＝0，
即
解方程组得 a ＝－ ， b ＝－ .
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（2）判断 x ＝1， x ＝2是函数 f （ x ）的极大值点还是极小值点，
并说明理由.
解：由（1）知， f （ x ）＝－ ln x － x2＋ x （ x ＞0），
故f'（ x ）＝－ － x ＋1＝ .
当 x ∈（0，1）时，f'（ x ）＜0；当 x ∈（1，2）时，f'
（ x ）＞0；当 x ∈（2，＋∞）时，f'（ x ）＜0.
故 x ＝1是函数 f （ x ）的极小值点， x ＝2是函数 f （ x ）的极
大值点.
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11. （多选）设函数 f （ x ）在R上可导，其导函数为f'（ x ），若函数 f
（ x ）在 x ＝1处取得极大值，则函数 y ＝－xf'（ x ）的图象不可能
是（　　）
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解析： 　因为 f （ x ）在 x ＝1处取得极大值，所以可知 x ＞1
时，f'（ x ）＜0， x ＜1时，f'（ x ）＞0，所以当 x ＞1时， y ＝－xf'
（ x ）＞0，A、C不可能，当0＜ x ＜1时， y ＝－xf'（ x ）＜0，D
不可能，故选A、C、D.
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12. （多选）已知函数 f （ x ）＝ x ln x ＋ x2， x0是函数 f （ x ）的极值
点，则下列结论正确的是（　　）
C. f （ x0）＋2 x0＜0 D. f （ x0）＋2 x0＞0
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解析：AD　∵函数 f （ x ）＝ x ln x ＋ x2（ x ＞0），∴f'（ x ）＝ln x
＋1＋2 x ，易得f'（ x ）＝ln x ＋1＋2 x 在（0，＋∞）上是增函数，
f' ＝ ＞0，∵当 x →0时，f'（ x ）→－∞，∴0＜ x0＜ ，∴A正
确，B错误.∵f'（ x0）＝ln x0＋1＋2 x0＝0，∴ f （ x0）＋2 x0＝ x0ln
x0＋ ＋2 x0＝ x0（ln x0＋ x0＋2）＝ x0（1－ x0）＞0，∴C错误，
D正确.故选A、D.
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13. 已知函数 f （ x ）＝ x3＋3 mx2＋ nx ＋ m2在 x ＝－1处取得极值0，则
m ＝ ， n ＝ .
解析：由题可得，f'（ x ）＝3 x2＋6 mx ＋ n ，
∴解得或
当时，f'（ x ）＝3 x2＋6 x ＋3＝3（ x ＋1）2≥0恒成立，
不满足题意.故 m ＝2， n ＝9.
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14. 已知函数 f （ x ）＝ a ln x － bx2， a ， b ∈R，若 f （ x ）在 x ＝1处与
直线 y ＝－ 相切.
（1）求 a ， b 的值；
解： 函数 f （ x ）的定义域为（0，＋∞），f'（ x ）＝
－2 bx ，∵函数 f （ x ）在 x ＝1处与直线 y ＝－ 相切，
∴即解得
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解：由（1）得 f （ x ）＝ln x － x2，f'（ x ）＝ － x ＝
，令f'（ x ）＞0，得0＜ x ＜1，
令f'（ x ）＜0，得 x ＞1，∴ f （ x ）在 上单调递增，
在（1，e）上单调递减，
∴ f （ x ）在 上的极大值为 f （1）＝－ ，无极小值.
（2）求 f （ x ）在 上的极值.
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15. （多选）对于函数 f （ x ）＝e x （ x －1）2（ x －2），以下选项正
确的是（　　）
A. 有2个极大值 B. 有2个极小值
C. 1是极大值点 D. 1是极小值点
解析： 　由题得f'（ x ）＝e x [（ x －1）2（ x －2）＋2（ x －1）
（ x －2）＋（ x －1）2]＝e x （ x ＋ ）（ x － ）·（ x －1）.
∴ f （ x ）在（－∞，－ ），（1， ）上单调递减，在（－
，1），（ ，＋∞）上单调递增.则 f （ x ）有2个极小值，1
个极大值，1是极大值点.
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16. 设 a 为实数，函数 f （ x ）＝ x3－ x2－ x ＋ a .
（1）求 f （ x ）的极值；
解： f'（ x ）＝3 x2－2 x －1.
令f'（ x ）＝0，得 x ＝－ 或 x ＝1.
当 x 变化时，f'（ x ）， f （ x ）的变化情况如下表：
x 1 （1，＋∞）
f'（ x ） ＋ 0 － 0 ＋
f （ x ） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴ f （ x ）的极大值是 f ＝ ＋ a ，
极小值是 f （1）＝ a －1.
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（2）当 a 在什么范围内取值时，曲线 y ＝ f （ x ）与 x 轴仅有一个
交点？
解： 函数 f （ x ）＝ x3－ x2－ x ＋ a ＝（ x －1）2（ x ＋
1）＋ a －1，
由此可知， x 取足够大的正数时，有 f （ x ）＞0，
x 取足够小的负数时，有 f （ x ）＜0，
∴曲线 y ＝ f （ x ）与 x 轴至少有一个交点.
由（1）知 f （ x ）极大值＝ f ＝ ＋ a ，
f （ x ）极小值＝ f （1）＝ a －1.
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∵曲线 y ＝ f （ x ）与 x 轴仅有一个交点，
∴ f （ x ）极大值＜0或 f （ x ）极小值＞0，
即 ＋ a ＜0或 a －1＞0，
∴ a ＜－ 或 a ＞1，
∴当 a ∈ ∪（1，＋∞）时，曲线 y ＝ f （ x ）与 x
轴仅有一个交点.
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