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6.3　函数的最值
1.下列结论正确的是（　　）
A.若f（x）在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值
B.若f（x）在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值
C.若f（x）在[a，b]上有极值，则极值一定是在x＝a和x＝b处取得
D.若f（x）在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上一定存在最大值和最小值
2.函数f（x）＝2＋，x∈（0，5]的最小值为（　　）
A.2　　　　　　　　　　 B.3
C. D.2＋
3.若函数f（x）＝asin x＋sin 3x在x＝处有最值，则a＝（　　）
A.2 B.1
C. D.0
4.函数f（x）＝x3－3x在区间（－2，m）上有最大值，则m的取值范围是（　　）
A.（－1，＋∞） B.（－1，1]
C.（－1，2） D.（－1，2]
5.（多选）已知函数f（x）的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表：
x －1 0 4 5
f（x） 1 2 2 1
f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，下列关于函数f（x）的结论正确的是（　　）
A.函数f（x）的极大值点有2个
B.函数f（x）在[0，2]上单调递减
C.当x∈[－1，t]时，若f（x）的最大值是2，则t的最大值为4
D.当1＜a＜2时，函数y＝f（x）－a有4个零点
6.（多选）若函数f（x）＝3x－x3在区间（a2－12，a）上有最小值，则实数a的可能取值是（　　）
A.0 B.1
C.2 D.3
7.设0＜x＜π，则函数y＝的最小值是　　　　.
8.已知函数f（x）＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1]，则f（m）的最小值为　　　　.
9.设函数f（x）＝x2ex，若当x∈[－2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，则实数m的取值范围是　　　　.
10.已知a为实数，f（x）＝（x2－4）（x－a）.若f'（－1）＝0.
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）在[－2，2]上的最大值和最小值.
11.已知函数y＝（x＞1）有最大值－4，则a的值为（　　）
A.1 B.－1
C.4 D.－4
12.（多选）下列关于函数f（x）＝（2x－x2）ex的判断正确的是（　　）
A.f（x）＞0的解集是{x｜0＜x＜2}
B.f（－）是极小值，f（）是极大值
C.f（x）没有最小值，也没有最大值
D.f（x）有最大值无最小值
13.已知函数f（x）＝2x2－ln x，若f'（x0）＝3，则x0＝　　　　，若在其定义域的一个子区间（k－1，k＋1）内存在最小值，则实数k的取值范围是　　　　.
14.已知函数f（x）＝excos x－x.
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值.
15.设函数y＝f（x）在（a，b）上的导函数为f'（x），f'（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”.已知当m≤2时，f（x）＝x3－mx2＋2x＋2在（－1，2）上是“凸函数”，则f（x）在（－1，2）上（　　）
A.既没有最大值，也没有最小值
B.既有最大值，也有最小值
C.有最大值，没有最小值
D.没有最大值，有最小值
16.已知函数f（x）＝2ex（x＋1）.
（1）求函数f（x）的极值；
（2）求函数f（x）在区间[t，t＋1]（t＞－3）上的最小值.
6.3　函数的最值
1.D　函数f（x）在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值.
2.B　由f'（x）＝－＝＝0，得x＝1，且x∈（0，1）时，f'（x）＜0，x∈（1，5]时，f'（x）＞0，∴x＝1时，f（x）取得极小值且为最小值，故最小值为f（1）＝3.
3.A　∵f（x）在x＝处有最值，∴x＝是函数f（x）的极值点.又∵f'（x）＝acos x＋cos 3x（x∈R），∴f'＝acos ＋cos π＝0，解得a＝2.
4.D　由于f'（x）＝3x2－3＝3（x＋1）·（x－1），故函数在（－∞，－1）和（1，＋∞）上单调递增，在（－1，1）上单调递减，f（－1）＝f（2）＝2，画出函数图象如图所示，由于函数在区间（－2，m）上有最大值，根据图象可知m∈（xB，xA]，即m∈（－1，2]，故选D.
5.AB　由题中f'（x）的图象可知，当x＝0时，函数f（x）取得极大值；当x＝4时，函数f（x）取得极大值，即函数f（x）有2个极大值点，故A中结论正确；易知函数f（x）在[0，2]上单调递减，故B中结论正确；当x∈[－1，t]时，若f（x）的最大值是2，则t满足0≤t≤5，即t的最大值是5，故C中结论错误；令y＝f（x）－a＝0，得f（x）＝a，当f（2）≤1，1＜a＜2时，易知f（x）＝a有四个根；当1＜f（2）＜2，1＜a＜2时，易知f（x）＝a不一定有四个根，故函数y＝f（x）－a有4个零点不一定正确，故D中结论错误，故选A、B.
6.ABC　由f'（x）＝3－3x2＝0，得x＝±1.
当x变化时，f'（x）及f（x）的变化情况如下表：
x （－∞，－1） －1 （－1，1） 1 （1，＋∞）
f'（x） － 0 ＋ 0 －
f（x） ↘ －2 ↗ 2 ↘
由此得a2－12＜－1＜a，解得－1＜a＜.
又当x∈（1，＋∞）时，f（x）单调递减，且当x＝2时，f（x）＝－2.∴a≤2.综上，－1＜a≤2.故选A、B、C.
7.　解析：y'＝＝.因为0＜x＜π，所以当＜x＜π时，y'＞0；当0＜x＜时，y'＜0.所以当x＝时，ymin＝.
8.－4　解析：f'（x）＝－3x2＋2ax，由f（x）在x＝2处取得极值知f'（2）＝0.即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.由此可得f（x）＝－x3＋3x2－4.f'（x）＝－3x2＋6x，由此可得f（x）在（－1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，∴当m∈[－1，1]时，f（m）min＝f（0）＝－4.
9.（－∞，0）　解析：f'（x）＝xex＋x2ex＝·x（x＋2），令f'（x）＝0得x＝0或x＝－2.当x∈[－2，2]时，f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x －2 （－2，0） 0 （0，2） 2
f'（x） 0 － 0 ＋
f（x） ↘ 极小值0 ↗
∴当x＝0时，f（x）min＝f（0）＝0，要使f（x）＞m对x∈[－2，2]恒成立，只需m＜f（x）min，∴m＜0.
10.解：（1）f'（x）＝2x（x－a）＋（x2－4），
∴f'（－1）＝－2（－1－a）＋（1－4）＝0，
∴a＝.
（2）令f'（x）＝2x＋（x2－4）＝0，
解得x＝－1或x＝，故f（x）在[－2，－1]上单调递增；在上单调递减，在上单调递增，f（－2）＝0，f（－1）＝，f＝－，f（2）＝0，
∴最大值为，最小值为－.
11.B　依题意得y'＝'＝＝＝，令y'＝0，解得x＝2或x＝0（舍去）.若函数在区间（1，＋∞）上有最大值－4，则最大值必然在x＝2处取得，所以＝－4，解得a＝－1，此时y'＝，当1＜x＜2时，y'＞0，当x＞2时，y'＜0，可以验证当x＝2时y取得最大值－4，故选B.
12.ABD　由f（x）＞0得0＜x＜2，故A正确.f'（x）＝（2－x2）ex，令f'（x）＝0，得x＝±，当x＜－或x＞时，f'（x）＜0，当－＜x＜时，f'（x）＞0，∴当x＝－时，f（x）取得极小值，当x＝时，f（x）取得极大值，故B正确.当x→－∞时，f（x）＜0，当x→＋∞时，f（x）＜0，且f（）＞0，结合函数的单调性可知，函数f（x）有最大值无最小值，故C不正确，D正确.
13.1　　解析：∵函数f（x）＝2x2－ln x，x∈（0，＋∞），∴f'（x）＝4x－＝，由f'（x0）＝3，x0＞0，解得x0＝1.令f'（x）＝0得x＝，当0＜x＜时，f'（x）＜0，当x＞时，f'（x）＞0，∴当x＝时，f（x）取得极小值，由题意可知解得1≤k＜，∴实数k的取值范围是.
14.解：（1）因为f（x）＝excos x－x，所以f'（x）＝ex（cos x－sin x）－1，f'（0）＝0.又因为f（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1.
（2）设h（x）＝ex（cos x－sin x）－1，则h'（x）＝ex（cos x－sin x－sin x－cos x）＝－2exsin x.
当x∈时，h'（x）≤0，所以h（x）在区间上单调递减.所以对任意x∈有h（x）≤h（0）＝0，即f'（x）≤0.所以函数f（x）在区间上单调递减.
因此f（x）在区间上的最大值为f（0）＝1，最小值为f＝－.
15.A　f'（x）＝x2－mx＋2，f″（x）＝x－m.∵函数f（x）在（－1，2）上是“凸函数”，∴f″（x）＝x－m＜0在（－1，2）上恒成立，∴m＞x在（－1，2）上恒成立，∴m≥2，又m≤2，∴m＝2.∴f'（x）＝x2－2x＋2＝（x－2）2＞0在（－1，2）上恒成立，∴f（x）在（－1，2）内单调递增，∴该函数在该区间上既没有最大值，也没有最小值.
16.解：（1）f'（x）＝2ex（x＋2），
由f'（x）＞0，得x＞－2；由f'（x）＜0，得x＜－2.
∴f（x）在（－2，＋∞）上单调递增，在（－∞，－2）上单调递减.
∴f（x）的极小值为f（－2）＝－2e－2，无极大值.
（2）由（1）知，f（x）在（－2，＋∞）上单调递增，在（－∞，－2）上单调递减.
∵t＞－3，∴t＋1＞－2.
①当－3＜t＜－2时，f（x）在[t，－2）上单调递减，在（－2，t＋1]上单调递增，∴f（x）min＝f（－2）＝－2e－2.
②当t≥－2时，f（x）在[t，t＋1]上单调递增，
∴f（x）min＝f（t）＝2et（t＋1），
∴f（x）min＝
2 / 26.3　函数的最值
新课程标准解读 核心素养
1.理解函数的最值的概念 数学抽象
2.了解函数的最值与极值的区别与联系 逻辑推理
3.会用导数求在给定区间上函数的最值 数学运算
观察如图所示的函数y＝f（x），x∈[－3，2]的图象，回忆函数极值的定义，回答下列问题：
【问题】　（1）图中所示函数的极值点与极值分别是什么？
（2）图中所示函数的最值点与最值分别是什么？
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
知识点　函数的最值
1.最大值点与最小值点
函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数f（x）在这个区间上所有点处的函数值都　　　　　　.
函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数f（x）在这个区间上所有点处的函数值都　　　　　　.
2.最大值与最小值
最大（小）值在导数的零点取得，或者在区间的端点取得.要想求函数的最大（小）值，一般首先求出函数导数的零点，然后将所有　　　　　　与　　　　　　的函数值进行比较，其中最大（小）的值即为函数的最大（小）值.
函数的最大值和最小值统称为　　　　.
提醒　函数的极值与最值的区别与联系：①极值是对某一点附近（局部）而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言；②在函数的定义区间[a，b]内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值至多一个；③函数f（x）的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点.
【想一想】
在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在[a，b]上一定存在最值和极值吗？在区间（a，b）上呢？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数的最大值不一定是函数的极大值.（　　）
（2）函数f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.（　　）
（3）有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.（　　）
2.函数f（x）＝x－sin x，x∈的最大值是（　　）
A.π－1　　　　　　　 B.－1
C.π D.π＋1
3.函数f（x）＝x3－x2－3x＋6在[－4，4]上的最大值为　　　　，最小值为　　　　.
题型一 求函数的最值
角度1　不含参数的最值问题
【例1】　（1）y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2，1]上的最小值为（　　）
A.　　　　　　　　　　 B.2
C.－1 D.4
（2）已知函数f（x）＝x3－3x，x∈R.
①求f（x）的单调区间；
②在x∈[－，3]时，求f（x）的最大值与最小值.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
求函数最值的四个步骤
（1）求函数的定义域；
（2）求f'（x），解方程f'（x）＝0；
（3）列出关于x，f（x），f'（x）的变化表；
（4）求极值、端点值，确定最值.
提醒　不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较.
角度2　含参数的最值问题
【例2】　已知函数f（x）＝（x－k）ex.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在区间[0，1]上的最小值.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
　　由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性发生变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论.
【跟踪训练】
设函数f（x）＝1＋（1＋a）x－x2－x3，其中a＞0.
（1）讨论f（x）在其定义域上的单调性；
（2）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时x的值.
题型二 求函数在开区间或无穷区间上的最值
【例3】　求下列函数的最大值与最小值：
（1）f（x）＝；
（2）f（x）＝（x2－3）ex.
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
1.求函数在开区间或无穷区间上最大（小）值的方法
求函数在无穷区间或开区间上的最大（小）值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，先通过极值情况，确定相应极值点、极值，再根据函数解析式确定函数图象与坐标轴的交点，然后结合单调性画出函数的大致图象，借助图象观察得到函数的最大（小）值.
2.关于开区间上单调函数和单峰函数的最值
（1）开区间上连续的单调函数无最值.若f（x）在（a，b）上是连续曲线且单调递增（减），则f（x）在开区间（a，b）上无最值，其值域为（f（a），f（b））（（f（b），f（a）））；
（2）开区间上连续的单峰函数的极大（小）值，也是最大（小）值，但它没有最大（小）值.
【跟踪训练】
1.函数y＝的最大值为（　　）
A.e－1　　　　　　　　　　 B.e
C.e2 D.
2.函数y＝的最大值是　　　　，最小值是　　　　.
题型三 最值背景下的逆向探讨
【例4】　已知函数f（x）＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，则a＋b＝（　　）
A.5 B.－27
C.－27或1 D.5或－31
尝试解答　　　　　　 　　　　　　
通性通法
已知函数最值求参数的步骤
（1）求导数f'（x），并求极值；
（2）利用单调性，将极值与端点处的函数值进行比较，确定函数的最值，若参数的变化影响函数的单调性，要对参数进行分类讨论；
（3）利用最值列关于参数的方程（组），解方程（组）即可.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝（4x2＋4ax＋a2），其中a＜0.
（1）当a＝－4时，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）在区间[1，4]上的最小值为8，求a的值.
1.函数y＝4x－3x3在区间[0，2]上的最大值是（　　）
A.　 　B.　 　C.0　 　D.－16
2.（多选）如图所示，函数f（x）的导函数的图象是一条直线，则（　　）
A.函数f（x）有最大值
B.函数f（x）没有最大值
C.函数f（x）有最小值
D.函数f（x）没有最小值
3.函数f（x）＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为　　　　.
4.已知函数h（x）＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围.
6.3　函数的最值
【基础知识·重落实】
知识点
1.不超过f（x0）　不低于f（x0）　2.导数零点　区间端点　最值
想一想
　提示：在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值.如果函数f（x）在[a，b]上是单调的，此时f（x）在[a，b]上无极值；如果f（x）在[a，b]上不是单调函数，则f（x）在[a，b]上有极值.当f（x）在（a，b）上为单调函数时，它既没有最值也没有极值.
自我诊断
1.（1）√　（2）×　（3）×
2.C　∵f'（x）＝1－cos x，当x∈时，f'（x）＞0，∴f（x）在上单调递增，∴f（x）的最大值为f（π）＝π－sin π＝π，故选C.
3.　－　解析：f'（x）＝x2－2x－3，令f'（x）＞0，得x＜－1或x＞3，令f'（x）＜0，得－1＜x＜3，故f（x）在（－∞，－1），（3，＋∞）上单调递增，在（－1，3）上单调递减，故f（x）的极大值为f（－1）＝，极小值为f（3）＝－3，又f（－4）＝－，f（4）＝－，故f（x）的最大值为f（－1）＝，最小值为f（－4）＝－.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）C　y'＝3x2＋2x－1＝（3x－1）（x＋1），令y'＝0，解得x＝或x＝－1.当x＝－2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝2；当x＝时，y＝；当x＝1时，y＝2，所以函数的最小值为－1，故选C.
（2）解：①f'（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1），
当x＜－1或x＞1时，f'（x）＞0，当－1＜x＜1时，f'（x）＜0.所以f（x）的单调递增区间为（－∞，－1）和（1，＋∞），单调递减区间为（－1，1）.
②由①知x∈[－，3]时，f（x）的极大值为f（－1）＝2，f（x）的极小值为f（1）＝－2，
又f（－）＝0，f（3）＝18.
所以f（x）的最大值为18，f（x）的最小值为－2.
【例2】　解：（1）由f（x）＝（x－k）ex，得f'（x）＝（x－k＋1）ex，
令f'（x）＝0，得x＝k－1.
当x变化时，f'（x）与f（x）的变化情况如下表：
x （－∞，k－1） k－1 （k－1，＋∞）
f'（x） － 0 ＋
f（x） ↘ －ek－1 ↗
所以f（x）的单调递减区间是（－∞，k－1）；单调递增区间是（k－1，＋∞）.
（2）当k－1≤0，即k≤1时，函数f（x）在[0，1]上单调递增.所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）＝－k；
当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，
由（1）知f（x）在[0，k－1）上单调递减，在（k－1，1]上单调递增，所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（k－1）＝－ek－1；
当k－1≥1，即k≥2时，函数f（x）在[0，1]上单调递减.
所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）＝（1－k）e.
综上可知，当k≤1时，f（x）min＝－k；
当1＜k＜2时，f（x）min＝－ek－1；
当k≥2时，f（x）min＝（1－k）e.
跟踪训练
　解：（1）f（x）的定义域为R，f'（x）＝1＋a－2x－3x2.令f'（x）＝0，得x1＝，x2＝，x1＜x2，所以f'（x）＝－3（x－x1）（x－x2）.
当x＜x1或x＞x2时，f'（x）＜0；
当x1＜x＜x2时，f'（x）＞0.故f（x）在和（，＋∞）上单调递减，在（，）上单调递增.
（2）因为a＞0，所以x1＜0，x2＞0.
①当a≥4时，x2≥1.由（1）知，f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（x）在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值.
②当0＜a＜4时，x2＜1.由（1）知，f（x）在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减，因此f（x）在x＝x2＝处取得最大值.
又f（0）＝1，f（1）＝a，
所以当0＜a＜1时，f（x）在x＝1处取得最小值；
当a＝1时，f（x）在x＝0和x＝1处同时取得最小值；
当1＜a＜4时，f（x）在x＝0处取得最小值.
【例3】　解：（1）函数的定义域为R，f'（x）＝，令f'（x）＝0，得x＝－1或3，容易验证函数在x＝－1处取得极小值f（－1）＝－，在x＝3处取得极大值f（3）＝，又知f（0）＝－，f（1）＝0.当x＜1时，f（x）＜0；当x＞1时，f（x）＞0.据此可以画出函数的大致图象，如图所示.由图象可知，函数的最大值为f（3）＝，最小值为f（－1）＝－.
（2）函数的定义域是R，且f'（x）＝2x·ex＋（x2－3）ex＝ex（x2＋2x－3），令f'（x）＞0，得x＞1或x＜－3；令f'（x）＜0，得－3＜x＜1.所以函数f（x）在（－∞，－3）和（1，＋∞）内单调递增，在（－3，1）内单调递减，因此函数f（x）在x＝－3处取得极大值，极大值f（－3）＝6e－3；在x＝1处取得极小值，极小值f（1）＝－2e.又由f（x）＞0，得x＞或x＜－；由f（x）＜0得，－＜x＜.所以函数的大致图象如图所示.
从函数图象可得函数f（x）的最小值就是函数的极小值f（1）＝－2e，而函数无最大值.
跟踪训练
1.A　函数的定义域为（0，＋∞），令y'＝＝＝0，则可得x＝e.当x＞e时，y'＜0；当0＜x＜e时，y'＞0，故x＝e时，y取极大值，y极大值＝，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝.
2.　－　解析：令y'＝＝＝0，可得x＝－1或x＝1.当x＜－1或x＞1时，y'＜0，当－1＜x＜1时，y'＞0，∴当x＝－1时，y极小值＝－，当x＝1时y极大值＝.又知f（0）＝0，当x＜0时，y＜0，当x＞0时y＞0.结合单调性画出函数图象，如图所示，可知ymax＝，ymin＝－.
【例4】　D　由题设知a≠0，否则f（x）＝b为常函数，与题设矛盾.对f（x）求导得f'（x）＝3ax2－12ax＝3ax（x－4），令f'（x）＝0，得x1＝0，x2＝4（舍去）.
（1）当a＞0，且x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x －1 （－1，0） 0 （0，2） 2
f'（x） ＋ 0 －
f（x） －7a＋b ↗ b ↘ －16a＋b
由表可知，当x＝0时，f（x）取得极大值b，也就是函数f（x）在[－1，2]上的最大值，∴f（0）＝b＝3.
又f（－1）＝－7a＋3，f（2）＝－16a＋3＜f（－1），
∴f（x）在[－1，2]上的最小值为f（2），f（2）＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
（2）当a＜0时，同理可得，当x＝0时，f（x）取得极小值b，也就是函数f（x）在[－1，2]上的最小值，∴f（0）＝b＝－29.又f（－1）＝－7a－29，f（2）＝－16a－29＞f（－1），∴f（x）在[－1，2]上的最大值为f（2），f（2）＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.故a＋b＝5或a＋b＝－31.
跟踪训练
　解：（1）f（x）的定义域为[0，＋∞），当a＝－4时，f'（x）＝，令f'（x）＞0，得x∈（ 0，）或x∈（2，＋∞），
故函数f（x）的单调递增区间为（ 0，）和（2，＋∞）.
（2）f'（x）＝，a＜0，
由f'（x）＝0得x＝－或x＝－.
当x∈（ 0，－）时，f（x）单调递增；当x∈（ －，－）时，f（x）单调递减；当x∈（ －，＋∞）时，f（x）单调递增.
①当－≤1，即－2≤a＜0时，f（x）在[1，4]上的最小值为f（1），由f（1）＝4＋4a＋a2＝8，得a＝±2－2，均不符合题意.
②当1＜－≤4，即－8≤a＜－2时，此时＜－≤，f（x）在[1，4]上的最小值为f（ －）＝0，不符合题意.
③当－＞4，即a＜－8时，f（x）在[1，4]上的最小值可能在x＝1或x＝4处取得，而f（1）＝8时没有符合题意的a值，由f（4）＝2（64＋16a＋a2）＝8得a＝－10或a＝－6（舍去），当a＝－10时，f（x）在[1，4]上单调递减，f（x）在[1，4]上的最小值为f（4）＝8，符合题意.
综上知，a＝－10.
随堂检测
1.A　设f（x）＝4x－3x3，∴f'（x）＝4－9x2＝（2－3x）（2＋3x）.∵x∈[0，2]，∴当x＝时，f'（x）＝0，f（x）取得极大值.又f（0）＝0，f＝，f（2）＝－16，∴函数y＝4x－3x3在区间[0，2]上的最大值是.
2.BC　由导函数图象可知，函数只有一个极小值点，且函数在此处取得最小值，没有最大值.
3.－71　解析：f'（x）＝3x2－6x－9＝3（x－3）（x＋1）.由f'（x）＝0得x＝3或x＝－1.又f（－4）＝k－76，f（3）＝k－27，f（－1）＝k＋5，f（4）＝k－20.∴f（x）max＝k＋5＝10，∴k＝5，∴f（x）min＝k－76＝－71.
4.解：∵h（x）＝x3＋3x2－9x＋1，
∴h'（x）＝3x2＋6x－9.
令h'（x）＝0，得x1＝－3，x2＝1，
当x变化时，h'（x），h（x）的变化情况如下表：
x （－∞，－3） －3 （－3，1） 1 （1，＋∞）
h'（x） ＋ 0 － 0 ＋
h（x） ↗ 28 ↘ －4 ↗
当x＝－3时，取极大值28；当x＝1时，取极小值－4.
而h（2）＝3＜h（－3）＝28，如果h（x）在区间[k，2]上的最大值为28，则k≤－3.
∴k的取值范围为（－∞，－3].
3 / 4(共73张PPT)
6.3　函数的最值
新课程标准解读 核心素养
1.理解函数的最值的概念 数学抽象
2.了解函数的最值与极值的区别与联系 逻辑推理
3.会用导数求在给定区间上函数的最值 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　观察如图所示的函数 y ＝ f （ x ）， x ∈[－3，2]的图象，回忆函
数极值的定义，回答下列问题：
【问题】　（1）图中所示函数的极值点与极值分别是什么？
（2）图中所示函数的最值点与最值分别是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知识点　函数的最值
1. 最大值点与最小值点
函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]上的最大值点 x0指的是：函数 f
（ x ）在这个区间上所有点处的函数值都 .
函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]上的最小值点 x0指的是：函数 f
（ x ）在这个区间上所有点处的函数值都 .
不超过 f （ x0）　
不低于 f （ x0）　
2. 最大值与最小值
最大（小）值在导数的零点取得，或者在区间的端点取得.要想求
函数的最大（小）值，一般首先求出函数导数的零点，然后将所
有 与 的函数值进行比较，其中最大
（小）的值即为函数的最大（小）值.
函数的最大值和最小值统称为 .
导数零点　
区间端点　
最值　
提醒　函数的极值与最值的区别与联系：①极值是对某一点附近（局
部）而言，最值是对函数的整个定义区间[ a ， b ]而言；②在函数的
定义区间[ a ， b ]内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最
大（小）值至多一个；③函数 f （ x ）的极值点不能是区间的端点，而
最值点可以是区间的端点.
【想一想】
在区间[ a ， b ]上函数 y ＝ f （ x ）的图象是一条连续不断的曲线，想
一想，在[ a ， b ]上一定存在最值和极值吗？在区间（ a ， b ）上呢？
提示：在区间[ a ， b ]上一定有最值，但不一定有极值.如果函数 f
（ x ）在[ a ， b ]上是单调的，此时 f （ x ）在[ a ， b ]上无极值；如果
f （ x ）在[ a ， b ]上不是单调函数，则 f （ x ）在[ a ， b ]上有极值.当 f
（ x ）在（ a ， b ）上为单调函数时，它既没有最值也没有极值.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数的最大值不一定是函数的极大值. （　√　）
（2）函数 f （ x ）在区间[ a ， b ]上的最大值与最小值一定在区间
端点处取得. （　×　）
（3）有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.
（　×　）
√
×
×
2. 函数 f （ x ）＝ x － sin x ， x ∈ 的最大值是（　　）
A. π－1
C. π D. π＋1
解析： 　∵f'（ x ）＝1－ cos x ，当 x ∈ 时，f'（ x ）＞0，
∴ f （ x ）在 上单调递增，∴ f （ x ）的最大值为 f （π）＝π
－ sin π＝π，故选C.
3. 函数 f （ x ）＝ x3－ x2－3 x ＋6在[－4，4]上的最大值为 　 　，
最小值为 .
解析：f'（ x ）＝ x2－2 x －3，令f'（ x ）＞0，得 x ＜－1或 x ＞3，令
f'（ x ）＜0，得－1＜ x ＜3，故 f （ x ）在（－∞，－1），（3，＋
∞）上单调递增，在（－1，3）上单调递减，故 f （ x ）的极大值
为 f （－1）＝ ，极小值为 f （3）＝－3，又 f （－4）＝－ ， f
（4）＝－ ，故 f （ x ）的最大值为 f （－1）＝ ，最小值为 f （－
4）＝－ .

－
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求函数的最值
角度1　不含参数的最值问题
【例1】　（1） y ＝ x3＋ x2－ x ＋1在区间[－2，1]上的最小值为
（　　）
B. 2
C. －1 D. 4
解析： 　y'＝3 x2＋2 x －1＝（3 x －1）（ x ＋1），令y'＝
0，解得 x ＝ 或 x ＝－1.当 x ＝－2时， y ＝－1；当 x ＝－1时， y
＝2；当 x ＝ 时， y ＝ ；当 x ＝1时， y ＝2，所以函数的最小
值为－1，故选C.
解：①f'（ x ）＝3 x2－3＝3（ x ＋1）（ x －1），
当 x ＜－1或 x ＞1时，f'（ x ）＞0，当－1＜ x ＜1时，f'（ x ）＜
0.所以 f （ x ）的单调递增区间为（－∞，－1）和（1，＋
∞），单调递减区间为（－1，1）.
②由①知 x ∈[－ ，3]时， f （ x ）的极大值为 f （－1）＝2，
f （ x ）的极小值为 f （1）＝－2，
又 f （－ ）＝0， f （3）＝18.
所以 f （ x ）的最大值为18， f （ x ）的最小值为－2.
②在 x ∈[－ ，3]时，求 f （ x ）的最大值与最小值.
①求 f （ x ）的单调区间；
（2）已知函数 f （ x ）＝ x3－3 x ， x ∈R.
通性通法
求函数最值的四个步骤
（1）求函数的定义域；
（2）求f'（ x ），解方程f'（ x ）＝0；
（3）列出关于 x ， f （ x ），f'（ x ）的变化表；
（4）求极值、端点值，确定最值.
提醒　不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较.
角度2　含参数的最值问题
【例2】　已知函数 f （ x ）＝（ x － k ）e x .
（1）求 f （ x ）的单调区间；
解：由 f （ x ）＝（ x － k ）e x ，得f'（ x ）＝（ x － k ＋1）ex ，
令f'（ x ）＝0，得 x ＝ k －1.
当 x 变化时，f'（ x ）与 f （ x ）的变化情况如下表：
x （－∞， k －1） k －1 （ k －1，＋∞）
f'（ x ） － 0 ＋
f （ x ） ↘ －e k－1 ↗
所以 f （ x ）的单调递减区间是（－∞， k －1）；单调递增区间
是（ k －1，＋∞）.
（2）求 f （ x ）在区间[0，1]上的最小值.
解： 当 k －1≤0，即 k ≤1时，函数 f （ x ）在[0，1]上单调
递增.所以 f （ x ）在区间[0，1]上的最小值为 f （0）＝－ k ；
当0＜ k －1＜1，即1＜ k ＜2时，
由（1）知 f （ x ）在[0， k －1）上单调递减，在（ k －1，1]上
单调递增，所以 f （ x ）在区间[0，1]上的最小值为 f （ k －1）
＝－e k－1；
当 k －1≥1，即 k ≥2时，函数 f （ x ）在[0，1]上单调递减.
所以 f （ x ）在区间[0，1]上的最小值为 f （1）＝（1－ k ）e.
综上可知，当 k ≤1时， f （ x ）min＝－ k ；
当1＜ k ＜2时， f （ x ）min＝－e k－1；
当 k ≥2时， f （ x ）min＝（1－ k ）e.
通性通法
　　由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性发生
变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论.
【跟踪训练】
设函数 f （ x ）＝1＋（1＋ a ） x － x2－ x3，其中 a ＞0.
（1）讨论 f （ x ）在其定义域上的单调性；
解： f （ x ）的定义域为R，f'（ x ）＝1＋ a －2 x －3 x2.令f'
（ x ）＝0，
得 x1＝ ， x2＝ ， x1＜ x2，
所以f'（ x ）＝－3（ x － x1）（ x － x2）.
当 x ＜ x1或 x ＞ x2时，f'（ x ）＜0；
当 x1＜ x ＜ x2时，f'（ x ）＞0.故 f （ x ）在 和
（ ，＋∞）上单调递减，在（ ， ）
上单调递增.
（2）当 x ∈[0，1]时，求 f （ x ）取得最大值和最小值时 x 的值.
解： 因为 a ＞0，所以 x1＜0， x2＞0.
①当 a ≥4时， x2≥1.由（1）知， f （ x ）在[0，1]上单调递
增，所以 f （ x ）在 x ＝0和 x ＝1处分别取得最小值和最大值.
②当0＜ a ＜4时， x2＜1.由（1）知， f （ x ）在[0， x2]上单调递
增，在[ x2，1]上单调递减，因此 f （ x ）在 x ＝ x2＝ 处
取得最大值.
又 f （0）＝1， f （1）＝ a ，所以当0＜ a ＜1时， f （ x ）在 x ＝1
处取得最小值；
当 a ＝1时， f （ x ）在 x ＝0和 x ＝1处同时取得最小值；
当1＜ a ＜4时， f （ x ）在 x ＝0处取得最小值.
题型二 求函数在开区间或无穷区间上的最值
【例3】　求下列函数的最大值与最小值：
（1） f （ x ）＝ ；
解： 函数的定义域为R，f'（ x ）＝
，令f'（ x ）＝0，得 x ＝－1或3，容易验证函数在 x ＝－1处取得极小值 f （－1）＝－ ，在 x ＝3处取得极大值 f （3）＝ ，又知 f （0）＝－ ， f （1）＝0.当 x ＜1时， f （ x ）＜0；当 x ＞1时， f （ x ）＞0.据此可以画出函数的大致图象，如图所示.由图象可知，函数的最大值为 f （3）＝ ，最小值为 f （－1）＝－ .
（2） f （ x ）＝（ x2－3）e x .
解： 函数的定义域是R，且f'
（ x ）＝2 x ·e x ＋（ x2－3）e x ＝e x （ x2
＋2 x －3），令f'（ x ）＞0，得 x ＞1或
x ＜－3；令f'（ x ）＜0，得－3＜ x ＜1.
所以函数 f （ x ）在（－∞，－3）和（1，＋∞）内单调递增，在（－3，1）内单调递减，因此函数 f （ x ）在 x ＝－3处取得极大值，极大值 f （－3）＝6e－3；在 x ＝1处取得极小值，极小值
f （1）＝－2e.又由 f （ x ）＞0，得 x ＞ 或 x ＜－ ；由 f （ x ）＜0得，－ ＜ x ＜ .所以函数的大致图象如图所示.
从函数图象可得函数 f （ x ）的最小值就是函数的极小值 f （1）＝－2e，而函数无最大值.
通性通法
1. 求函数在开区间或无穷区间上最大（小）值的方法
求函数在无穷区间或开区间上的最大（小）值，不仅要研究其
极值情况，还要研究其单调性，先通过极值情况，确定相应极
值点、极值，再根据函数解析式确定函数图象与坐标轴的交
点，然后结合单调性画出函数的大致图象，借助图象观察得到
函数的最大（小）值.
2. 关于开区间上单调函数和单峰函数的最值
（1）开区间上连续的单调函数无最值.若 f （ x ）在（ a ， b ）上是
连续曲线且单调递增（减），则 f （ x ）在开区间（ a ， b ）
上无最值，其值域为（ f （ a ）， f （ b ））（（ f （ b ）， f
（ a ）））；
（2）开区间上连续的单峰函数的极大（小）值，也是最大（小）
值，但它没有最大（小）值.
【跟踪训练】
1. 函数 y ＝ 的最大值为（　　）
A. e－1 B. e
C. e2
解析： 函数的定义域为（0，＋∞），令y'＝ ＝
＝0，则可得 x ＝e.当 x ＞e时，y'＜0；当0＜ x ＜e时，y'＞0，
故 x ＝e时， y 取极大值， y极大值＝ ，在定义域内只有一个极值，
所以 ymax＝ .
2. 函数 y ＝ 的最大值是 　 　，最小值是 　－ 　.
解析：令y'＝ ＝ ＝0，可
得 x ＝－1或 x ＝1.当 x ＜－1或 x ＞1时，y'＜
0，当－1＜ x ＜1时，y'＞0，∴当 x ＝－1时， y极小值＝－ ，当 x ＝1时 y极大值＝ .又知 f （0）＝0，当 x ＜0时， y ＜0，当 x ＞0时 y ＞0.结合单调性画出函数图象，如图所示，可知 ymax＝ ， ymin＝－ .

－
题型三 最值背景下的逆向探讨
【例4】　已知函数 f （ x ）＝ ax3－6 ax2＋ b ， x ∈[－1，2]的最大值
为3，最小值为－29，则 a ＋ b ＝（　　）
A. 5 B. －27
C. －27或1 D. 5或－31
解析： 　由题设知 a ≠0，否则 f （ x ）＝ b 为常函数，与题设矛盾.
对 f （ x ）求导得f'（ x ）＝3 ax2－12 ax ＝3 ax （ x －4），令f'（ x ）＝
0，得 x1＝0， x2＝4（舍去）.
（1）当 a ＞0，且 x 变化时，f'（ x ）， f （ x ）的变化情况如下表：
x －1 （－1，
0） 0 （0，2） 2
f'（ x ） ＋ 0 －
f （ x ） －7 a ＋ b ↗ b ↘ －16 a ＋ b
由表可知，当 x ＝0时， f （ x ）取得极大值 b ，也就是函数 f （ x ）在
[－1，2]上的最大值，∴ f （0）＝ b ＝3.
又 f （－1）＝－7 a ＋3， f （2）＝－16 a ＋3＜ f （－1），
∴ f （ x ）在[－1，2]上的最小值为 f （2）， f （2）＝－16 a ＋3＝－
29，解得 a ＝2.
（2）当 a ＜0时，同理可得，当 x ＝0时， f （ x ）取得极小值 b ，也就
是函数 f （ x ）在[－1，2]上的最小值，∴ f （0）＝ b ＝－29.又 f （－
1）＝－7 a －29， f （2）＝－16 a －29＞ f （－1），∴ f （ x ）在[－
1，2]上的最大值为 f （2）， f （2）＝－16 a －29＝3，解得 a ＝－2.
综上可得， a ＝2， b ＝3或 a ＝－2， b ＝－29.故 a ＋ b ＝5或 a ＋ b ＝
－31.
通性通法
已知函数最值求参数的步骤
（1）求导数f'（ x ），并求极值；
（2）利用单调性，将极值与端点处的函数值进行比较，确定函数
的最值，若参数的变化影响函数的单调性，要对参数进行分
类讨论；
（3）利用最值列关于参数的方程（组），解方程（组）即可.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）＝（4 x2＋4 ax ＋ a2） ，其中 a ＜0.
（1）当 a ＝－4时，求 f （ x ）的单调递增区间；
解： f （ x ）的定义域为[0，＋∞），
当 a ＝－4时，f'（ x ）＝ ，
令f'（ x ）＞0，得 x ∈（ 0， ）或 x ∈（2，＋∞），
故函数 f （ x ）的单调递增区间为（ 0， ）和（2，＋∞）.
（2）若 f （ x ）在区间[1，4]上的最小值为8，求 a 的值.
解：（2）f'（ x ）＝ ， a ＜0，
由f'（ x ）＝0得 x ＝－ 或 x ＝－ .
当 x ∈（ 0，－ ）时， f （ x ）单调递增；当 x ∈（ － ，－
）时， f （ x ）单调递减；当 x ∈（ － ，＋∞）时， f （ x ）单
调递增.
①当－ ≤1，即－2≤ a ＜0时， f （ x ）在[1，4]上的最小值为 f
（1），由 f （1）＝4＋4 a ＋ a2＝8，得 a ＝±2 －2，均不符
合题意.
②当1＜－ ≤4，即－8≤ a ＜－2时，此时 ＜－ ≤ ， f
（ x ）在[1，4]上的最小值为 f （ － ）＝0，不符合题意.
③当－ ＞4，即 a ＜－8时， f （ x ）在[1，4]上的最小值可能在
x ＝1或 x ＝4处取得，而 f （1）＝8时没有符合题意的 a 值，由 f
（4）＝2（64＋16 a ＋ a2）＝8得 a ＝－10或 a ＝－6（舍去），
当 a ＝－10时， f （ x ）在[1，4]上单调递减， f （ x ）在[1，4]
上的最小值为 f （4）＝8，符合题意.
综上知， a ＝－10.
1. 函数 y ＝4 x －3 x3在区间[0，2]上的最大值是（　　）
C. 0 D. －16
解析： 　设 f （ x ）＝4 x －3 x3，∴f'（ x ）＝4－9 x2＝（2－3 x ）
（2＋3 x ）.∵ x ∈[0，2]，∴当 x ＝ 时，f'（ x ）＝0， f （ x ）取
得极大值.又 f （0）＝0， f ＝ ， f （2）＝－16，∴函数 y ＝4 x
－3 x3在区间[0，2]上的最大值是 .
2. （多选）如图所示，函数 f （ x ）的导函数的图象是一条直线，则
（　　）
A. 函数 f （ x ）有最大值
B. 函数 f （ x ）没有最大值
C. 函数 f （ x ）有最小值
D. 函数 f （ x ）没有最小值
解析： 　由导函数图象可知，函数只有一个极小值点，且函数
在此处取得最小值，没有最大值.
3. 函数 f （ x ）＝ x3－3 x2－9 x ＋ k 在区间[－4，4]上的最大值为10，
则其最小值为 .
解析：f'（ x ）＝3 x2－6 x －9＝3（ x －3）（ x ＋1）.由f'（ x ）＝0
得 x ＝3或 x ＝－1.又 f （－4）＝ k －76， f （3）＝ k －27， f （－
1）＝ k ＋5， f （4）＝ k －20.∴ f （ x ）max＝ k ＋5＝10，∴ k ＝5，
∴ f （ x ）min＝ k －76＝－71.
－71
4. 已知函数 h （ x ）＝ x3＋3 x2－9 x ＋1在区间[ k ，2]上的最大值是
28，求 k 的取值范围.
解：∵ h （ x ）＝ x3＋3 x2－9 x ＋1，
∴h'（ x ）＝3 x2＋6 x －9.
令h'（ x ）＝0，得 x1＝－3， x2＝1，
当 x 变化时，h'（ x ）， h （ x ）的变化情况如下表：
x （－∞，－3） －3 （－3，1） 1 （1，＋∞）
h'（ x ） ＋ 0 － 0 ＋
h （ x ） ↗ 28 ↘ －4 ↗
当 x ＝－3时，取极大值28；
当 x ＝1时，取极小值－4.
而 h （2）＝3＜ h （－3）＝28，
如果 h （ x ）在区间[ k ，2]上的最大值为28，则 k ≤－3.
∴ k 的取值范围为（－∞，－3].
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 下列结论正确的是（　　）
A. 若 f （ x ）在[ a ， b ]上有极大值，则极大值一定是[ a ， b ]上的最
大值
B. 若 f （ x ）在[ a ， b ]上有极小值，则极小值一定是[ a ， b ]上的最
小值
C. 若 f （ x ）在[ a ， b ]上有极值，则极值一定是在 x ＝ a 和 x ＝ b 处取
得
D. 若 f （ x ）在[ a ， b ]上连续，则 f （ x ）在[ a ， b ]上一定存在最大
值和最小值
解析： 　函数 f （ x ）在[ a ， b ]上的极值不一定是最值，最值也
不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[ a ， b ]上一定
存在最大值和最小值.
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2. 函数 f （ x ）＝2 ＋ ， x ∈（0，5]的最小值为（　　）
A. 2 B. 3
解析： 　由f'（ x ）＝ － ＝ ＝0，得 x ＝1，且 x ∈（0，
1）时，f'（ x ）＜0， x ∈（1，5]时，f'（ x ）＞0，∴ x ＝1时， f
（ x ）取得极小值且为最小值，故最小值为 f （1）＝3.
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3. 若函数 f （ x ）＝ a sin x ＋ sin 3 x 在 x ＝ 处有最值，则 a ＝
（　　）
A. 2 B. 1 D. 0
解析： 　∵ f （ x ）在 x ＝ 处有最值，∴ x ＝ 是函数 f （ x ）的极
值点.又∵f'（ x ）＝ a cos x ＋ cos 3 x （ x ∈R），∴f' ＝ a cos ＋
cos π＝0，解得 a ＝2.
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4. 函数 f （ x ）＝ x3－3 x 在区间（－2， m ）上有最大值，则 m 的取值
范围是（　　）
A. （－1，＋∞） B. （－1，1]
C. （－1，2） D. （－1，2]
解析： 　由于f'（ x ）＝3 x2－3＝3（ x
＋1）·（ x －1），故函数在（－∞，－1）和（1，＋∞）上单调递增，在（－1，1）上单调递减， f （－1）＝ f （2）＝2，画出函数图象如图所示，由于函数在区间（－2， m ）上有最大值，根据图
象可知 m ∈（ xB ， xA ]，即 m ∈（－1，2]，故选D.
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5. （多选）已知函数 f （ x ）的定义域为[－1，5]，部分对应值
如下表：
x －1 0 4 5
f （ x ） 1 2 2 1
f （ x ）的导函数f'（ x ）的图象如图所示，下列关于函数 f （ x ）的
结论正确的是（　　）
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A. 函数 f （ x ）的极大值点有2个
B. 函数 f （ x ）在[0，2]上单调递减
C. 当 x ∈[－1， t ]时，若 f （ x ）的最大值是2，则 t 的最大值为4
D. 当1＜ a ＜2时，函数 y ＝ f （ x ）－ a 有4个零点
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解析： 由题中f'（ x ）的图象可知，当 x ＝0时，函数 f （ x ）取
得极大值；当 x ＝4时，函数 f （ x ）取得极大值，即函数 f （ x ）有
2个极大值点，故A中结论正确；易知函数 f （ x ）在[0，2]上单调
递减，故B中结论正确；当 x ∈[－1， t ]时，若 f （ x ）的最大值是
2，则 t 满足0≤ t ≤5，即 t 的最大值是5，故C中结论错误；令 y ＝ f
（ x ）－ a ＝0，得 f （ x ）＝ a ，当 f （2）≤1，1＜ a ＜2时，易知 f
（ x ）＝ a 有四个根；当1＜ f （2）＜2，1＜ a ＜2时，易知 f （ x ）
＝ a 不一定有四个根，故函数 y ＝ f （ x ）－ a 有4个零点不一定正
确，故D中结论错误，故选A、B.
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6. （多选）若函数 f （ x ）＝3 x － x3在区间（ a2－12， a ）上有最小
值，则实数 a 的可能取值是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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解析： 　由f'（ x ）＝3－3 x2＝0，得 x ＝±1.
当 x 变化时，f'（ x ）及 f （ x ）的变化情况如下表：
x （－∞，－1） －1 （－1，1） 1 （1，＋∞）
f'（ x ） － 0 ＋ 0 －
f （ x ） ↘ －2 ↗ 2 ↘
由此得 a2－12＜－1＜ a ，解得－1＜ a ＜ .
又当 x ∈（1，＋∞）时， f （ x ）单调递减，且当 x ＝2时， f （ x ）
＝－2.∴ a ≤2.综上，－1＜ a ≤2.故选A、B、C.
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7. 设0＜ x ＜π，则函数 y ＝ 的最小值是 　 　.
解析：y'＝ ＝ .因为0＜ x ＜π，所以当 ＜
x ＜π时，y'＞0；当0＜ x ＜ 时，y'＜0.所以当 x ＝ 时， ymin＝ .

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8. 已知函数 f （ x ）＝－ x3＋ ax2－4在 x ＝2处取得极值，若 m ∈[－
1，1]，则 f （ m ）的最小值为 .
解析：f'（ x ）＝－3 x2＋2 ax ，由 f （ x ）在 x ＝2处取得极值知f'
（2）＝0.即－3×4＋2 a ×2＝0，故 a ＝3.由此可得 f （ x ）＝－ x3
＋3 x2－4.f'（ x ）＝－3 x2＋6 x ，由此可得 f （ x ）在（－1，0）上
单调递减，在（0，1）上单调递增，∴当 m ∈[－1，1]时， f
（ m ）min＝ f （0）＝－4.
－4
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9. 设函数 f （ x ）＝ x2e x ，若当 x ∈[－2，2]时，不等式 f （ x ）＞ m
恒成立，则实数 m 的取值范围是 .
解析：f'（ x ）＝ x e x ＋ x2e x ＝ · x （ x ＋2），令f'（ x ）＝0得 x ＝
0或 x ＝－2.当 x ∈[－2，2]时，f'（ x ）， f （ x ）随 x 的变化情况如
下表：
（－∞，0）
x －2 （－2，0） 0 （0，2） 2
f'（ x ） 0 － 0 ＋
f （ x ） ↘ 极小值0 ↗
∴当 x ＝0时， f （ x ）min＝ f （0）＝0，要使 f （ x ）＞ m 对 x ∈[－
2，2]恒成立，只需 m ＜ f （ x ）min，∴ m ＜0.
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10. 已知 a 为实数， f （ x ）＝（ x2－4）（ x － a ）.若f'（－1）＝0.
（1）求 a 的值；
解： f'（ x ）＝2 x （ x － a ）＋（ x2－4），
∴f'（－1）＝－2（－1－ a ）＋（1－4）＝0，∴ a ＝ .
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（2）求函数 f （ x ）在[－2，2]上的最大值和最小值.
解： 令f'（ x ）＝2 x ＋（ x2－4）＝0，
解得 x ＝－1或 x ＝ ，故 f （ x ）在[－2，－1]上单调递增；
在 上单调递减，在 上单调递增， f （－2）＝
0， f （－1）＝ ， f ＝－ ， f （2）＝0，∴最大值为
，最小值为－ .
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11. 已知函数 y ＝ （ x ＞1）有最大值－4，则 a 的值为（　　）
A. 1 B. －1 C. 4 D. －4
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解析： 　依题意得y'＝ '＝ ＝ ＝
，令y'＝0，解得 x ＝2或 x ＝0（舍去）.若函数在区
间（1，＋∞）上有最大值－4，则最大值必然在 x ＝2处取
得，所以 ＝－4，解得 a ＝－1，此时y'＝ ，当1＜
x ＜2时，y'＞0，当 x ＞2时，y'＜0，可以验证当 x ＝2时 y 取得
最大值－4，故选B.
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12. （多选）下列关于函数 f （ x ）＝（2 x － x2）e x 的判断正确的是
（　　）
A. f （ x ）＞0的解集是{ x ｜0＜ x ＜2}
C. f （ x ）没有最小值，也没有最大值
D. f （ x ）有最大值无最小值
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解析： 　由 f （ x ）＞0得0＜ x ＜2，故A正确.f'（ x ）＝（2－
x2）e x ，令f'（ x ）＝0，得 x ＝± ，当 x ＜－ 或 x ＞ 时，f'
（ x ）＜0，当－ ＜ x ＜ 时，f'（ x ）＞0，∴当 x ＝－
时， f （ x ）取得极小值，当 x ＝ 时， f （ x ）取得极大值，故B
正确.当 x →－∞时， f （ x ）＜0，当 x →＋∞时， f （ x ）＜0，且
f （ ）＞0，结合函数的单调性可知，函数 f （ x ）有最大值无
最小值，故C不正确，D正确.
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解析：∵函数 f （ x ）＝2 x2－ln x ， x ∈（0，＋∞），∴f'（ x ）＝
4 x － ＝ ，由f'（ x0）＝3， x0＞0，解得 x0＝1.令f'（ x ）＝0
得 x ＝ ，当0＜ x ＜ 时，f'（ x ）＜0，当 x ＞ 时，f'（ x ）＞0，
∴当 x ＝ 时， f （ x ）取得极小值，由题意可知
解得1≤ k ＜ ，∴实数 k 的取值范围是
.
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14. 已知函数 f （ x ）＝e x cos x － x .
（1）求曲线 y ＝ f （ x ）在点（0， f （0））处的切线方程；
解： 因为 f （ x ）＝e x cos x － x ，所以f'（ x ）＝e x
（ cos x － sin x ）－1，f'（0）＝0.又因为 f （0）＝1，所以
曲线 y ＝ f （ x ）在点（0， f （0））处的切线方程为 y ＝1.
（2）求函数 f （ x ）在区间 上的最大值和最小值.
解： 设 h （ x ）＝e x （ cos x － sin x ）－1，则h'
（ x ）＝e x （ cos x － sin x － sin x － cos x ）＝－2e x sin
x .
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当 x ∈ 时，h'（ x ）≤0，所以 h （ x ）在区间
上单调递减.所以对任意 x ∈ 有 h （ x ）≤
h （0）＝0，即f'（ x ）≤0.所以函数 f （ x ）在区间
上单调递减.
因此 f （ x ）在区间 上的最大值为 f （0）＝1，最
小值为 f ＝－ .
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15. 设函数 y ＝ f （ x ）在（ a ， b ）上的导函数为f'（ x ），f'（ x ）在
（ a ， b ）上的导函数为 f ″（ x ），若在（ a ， b ）上， f ″（ x ）＜
0恒成立，则称函数 f （ x ）在（ a ， b ）上为“凸函数”.已知当
m ≤2时， f （ x ）＝ x3－ mx2＋2 x ＋2在（－1，2）上是“凸函
数”，则 f （ x ）在（－1，2）上（　　）
A. 既没有最大值，也没有最小值
B. 既有最大值，也有最小值
C. 有最大值，没有最小值
D. 没有最大值，有最小值
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解析： 　f'（ x ）＝ x2－ mx ＋2， f ″（ x ）＝ x － m .∵函数 f
（ x ）在（－1，2）上是“凸函数”，∴ f ″（ x ）＝ x － m ＜0在
（－1，2）上恒成立，∴ m ＞ x 在（－1，2）上恒成立，∴ m
≥2，又 m ≤2，∴ m ＝2.∴f'（ x ）＝ x2－2 x ＋2＝ （ x －2）2＞
0在（－1，2）上恒成立，∴ f （ x ）在（－1，2）内单调递增，
∴该函数在该区间上既没有最大值，也没有最小值.
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16. 已知函数 f （ x ）＝2e x （ x ＋1）.
（1）求函数 f （ x ）的极值；
解： f'（ x ）＝2e x （ x ＋2），
由f'（ x ）＞0，得 x ＞－2；
由f'（ x ）＜0，得 x ＜－2.
∴ f （ x ）在（－2，＋∞）上单调递增，在（－∞，－2）
上单调递减.
∴ f （ x ）的极小值为 f （－2）＝－2e－2，无极大值.
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（2）求函数 f （ x ）在区间[ t ， t ＋1]（ t ＞－3）上的最小值.
解： 由（1）知， f （ x ）在（－2，＋∞）上单调
递增，在（－∞，－2）上单调递减.
∵ t ＞－3，∴ t ＋1＞－2.
①当－3＜ t ＜－2时， f （ x ）在[ t ，－2）上单调递
减，在（－2， t ＋1]上单调递增，∴ f （ x ）min＝ f （－
2）＝－2e－2.
②当 t ≥－2时， f （ x ）在[ t ， t ＋1]上单调递增，
∴ f （ x ）min＝ f （ t ）＝2e t （ t ＋1），
∴ f （ x ）min＝
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